Heineの変換公式の二重類似
前の記事 で$q$-Saalschützの和公式の二重類似を示した. 元々の $q$-Saalschützの和公式 は Heineの変換公式 の係数を比較することによって得ることができた. 今回は同じように$q$-Saalschützの和公式の二重類似からHeineの変換公式の二重類似が得られることを述べる.
Heineの変換公式の二重類似
前の記事
の定理1は$N$を非負整数, $w=abc/de$として,
\begin{align}
\sum_{n=0}^N\frac{(d,e;q)_n}{(ab,ac;q)_n}\frac{(w;q)_{N-n}}{(q;q)_{N-n}}w^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}=\frac{(a,wd,we;q)_N}{(q,ab,ac;q)_N}
\end{align}
と書き換えられる. よって, 両辺の母関数を考えると以下を得る.
$w=abc/de$とするとき,
\begin{align}
\frac{(wt;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e;q)_n}{(ab,ac;q)_n}(wt)^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\Q32{a,wd,we}{ab,ac}{t}
\end{align}
が成り立つ.
特に, $a=q$とすると$w=bcq/de$となり,
\begin{align}
\frac{(wt;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e;q)_n}{(bq,cq;q)_n}(wt)^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}q^k&=\Q32{q,wd,we}{bq,cq}{t}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(wd,we;q)_n}{(bq,cq;q)_n}t^n
\end{align}
を得る. この右辺はシフトした${}_2\phi_1$になっているので, これはシフトしたHeineの変換公式と見ることもできる. 定理1は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(d,e;q)_n}{(ab,ac;q)_n}(wt)^n\sum_{k=0}^n\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}&=\frac{(t;q)_{\infty}}{(wt;q)_{\infty}}\Q32{a,wd,we}{ab,ac}{t}\\
&=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,wd,we;q)_k}{(q,ab,ac;q)_k}\frac{(1/w;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}w^{n-k}
\end{align}
となるから両辺の$t^N$の係数を比較すると,
\begin{align}
\frac{(d,e;q)_N}{(ab,ac;q)_N}w^N\sum_{k=0}^N\frac{(1/w,b,c;q)_k}{(q,d,e;q)_k}a^k\frac{(a;q)_{N-k}}{(q;q)_{N-k}}&=\sum_{k=0}^N\frac{(a,wd,we;q)_k}{(q,ab,ac;q)_k}\frac{(1/w;q)_{N-k}}{(q;q)_{N-k}}w^{N-k}
\end{align}
となり, これは
\begin{align}
\Q43{1/w,b,c,q^{-N}}{d,e,q^{1-N}/a}q=\frac{(ab,ac,1/w;q)_N}{(a,d,e;q)_N}\Q43{a,wd,we,q^{-N}}{ab,ac,wq^{1-N}}q
\end{align}
となる. これは
Searsの変換公式
と同値である. これは, $q$-Saalschützの和公式の二重類似がSearsの変換公式を反転したものであることを意味している.
古典極限
定理1の古典極限として以下が得られる.
$w=a+b+c-d-e$とするとき,
\begin{align}
(1-t)^{-w}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e)_n}{(a+b,a+c)_n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{(-w,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}&=\F32{a,w+d,w+e}{a+b,a+c}{t}
\end{align}
が成り立つ.
これはEulerの変換公式の二重類似である.
Kummerの変換公式の二重類似
両辺に$t^{f-1}(1-t)^{g-1}$を掛けて積分すると
\begin{align}
&\frac{\Gamma(f)\Gamma(g-w)}{\Gamma(f+g-w)}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f)_n}{(a+b,a+c,f+g-w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-w,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\\
&=\frac{\Gamma(f)\Gamma(g)}{\Gamma(f+g)}\F43{a,w+d,w+e,f}{a+b,a+c,f+g}{1}
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
$w=a+b+c-d-e$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f)_n}{(a+b,a+c,f+g-w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-w,b,c)_k}{k!(d,e)_k}\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\\
&=\frac{\Gamma(g)\Gamma(f+g-w)}{\Gamma(g-w)\Gamma(f+g)}\F43{a,w+d,w+e,f}{a+b,a+c,f+g}{1}
\end{align}
が成り立つ.
これは Kummerの変換公式 の二重類似と言える.
あとがき
Heineの変換公式 は3つあり, そのうち3つ目の変換公式の二重類似が得られたことになるが, 他の2つの方にも二重類似があるのかどうかは今後の研究課題である. また, 定理3はThomaeの変換公式の二重類似であるが, それを一般化するようなSearsの変換公式の二重類似があるのかは気になるところである.
