Apéry数の母関数2

前の記事 で, Apéry数の母関数の超幾何関数による表示
\begin{align} &\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{1+t}\F21{\frac 13,\frac 23}1{\frac 12-\frac{27t(1-t)+(1-7t+t^2)\sqrt{1-34t+t^2}}{2(1+t)^3}}\\ &\qquad\cdot\F21{\frac 13,\frac 23}1{\frac 12+\frac{27t(1-t)-(1-7t+t^2)\sqrt{1-34t+t^2}}{2(1+t)^3}} \end{align}
を得た. しかし, この右辺の表示を見る限りではあまり簡潔な表示とは言いがたいところである. Chan-Zudilinの論文によればApéry数の母関数は
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=(1-8u)^{-\frac 32}\F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}{-\frac{64u(1+u)^3}{(1-8u)^3}} \end{align}
と表されるようである. 今回はこの表示の導出を試みるとともに, 他の
\begin{align} \F32{\frac 12,\frac 1s,1-\frac 1s}{1,1}{x} \end{align}
による表示も与えたいと思う. 今回の記事において, $t,u$などの変数は絶対値が十分小さいものとする.

$s=3$

まず, 冒頭の表示において, $\displaystyle t=\frac{u(1-8u)}{1+u}$とすると上手く根号が外れて簡潔な表示
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac{1+u}{(1+4u)(1-2u)}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u^2}{(1-2u)^3}}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}} \end{align}
となる. ここで, 前の記事 で示した等式
\begin{align} \F21{\frac 13,\frac 23}1{\frac{27u^2}{(1-2u)^3}}&=\frac{1-2u}{1+4u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}} \end{align}
を用いると, 上の式は
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{(1+4u)^2}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}^2 \end{align}
ここで, Clausenの公式
\begin{align} \F21{2a,2b}{a+b+\frac 12}{x}^2=\F32{2a,2b,a+b}{2a+2b,a+b+\frac 12}{4x(1-x)} \end{align}
を用いると,
\begin{align} \F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}^2&=\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u(1+u)(1-8u)^2}{(1+4u)^6}} \end{align}
を得る. つまり,
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{(1+4u)^2}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u(1+u)(1-8u)^2}{(1+4u)^6}} \end{align}
が得られた. 全く同様に$\displaystyle \frac{27u^2}{(1-2u)^3}$の方でClausenの公式を用いると,
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{(1-2u)^2}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2(1+u)^2(1-8u)}{(1-2u)^6}} \end{align}
という表示も得られる. まとめると以下のようになる.

$s=6$

子葉さんの記事 によれば

\begin{align} \F21{\frac 1{12},\frac{5}{12}}{1}{\frac{64z(1-z)^3}{(1+8z)^3}}=(1+8z)^{\frac 14}\F21{\frac 16,\frac 13}{1}{4z(1-z)} \end{align}
が成り立つようである. ここで,
\begin{align} z=\frac{27u}{(1+4u)^3} \end{align}
として, 両辺を二乗してClausenの公式の系
\begin{align} \F21{\frac{a}2,\frac{1-a}2}{1}{x}^2=\F32{a,1-a,\frac 12}{1,1}{x} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u(1+u)(1-8u)^2}{(1+4u)^6}}\\ &=\frac {(1+4u)^{\frac 32}}{\sqrt{1+228u+48u^2+64u^3}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{\frac{1728u(u+1)^3(1-8u)^6}{(1+4u)^3(1+228u+48u^2+64u^3)^3}} \end{align}
を得る. よって, 定理1の1つ目の表示から
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{\sqrt{(1+4u)(1+228u+48u^2+64u^3)}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{\frac{1728u(u+1)^3(1-8u)^6}{(1+4u)^3(1+228u+48u^2+64u^3)^3}} \end{align}
が得られる. 同様に定理1の2つ目の表示から
\begin{align} &\frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-8u)}{1+u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac 1{\sqrt{(1-2u)(1-6u+228u^2-8u^3)}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{\frac{1728u^2(u+1)^6(1-8u)^3}{(1-2u)^3(1-6u+228u^2-8u^3)^3}} \end{align}
も得られる. まとめると以下のようになる.

$s=2$

三次変換公式
\begin{align} \F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}{x}&=\frac 1{\sqrt{1-4x}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{-\frac{27x}{(1-4x)^3}} \end{align}
において, $\displaystyle x=-\frac{64u(1+u)^3}{(1-8u)^3}$とすると
\begin{align} \F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}{-\frac{64u(1+u)^3}{(1-8u)^3}}&=\frac {(1-8u)^{\frac 32}}{\sqrt{(1+4u)(1+228u+48u^2+64u^3)}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{\frac{1728u(u+1)^3(1-8u)^6}{(1+4u)^3(1+228u+48u^2+64u^3)^3}} \end{align}
となる. これと定理1の表示を比較して以下を得る.

$s=4$

二次変換公式
\begin{align} \F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}x=\frac 1{\sqrt{1-x}}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{4x}{(1-x)^2}} \end{align}
を用いると,
\begin{align} (1-8u)^{-\frac 32}\F32{\frac 12,\frac 12,\frac 12}{1,1}{-\frac{64u(1+u)^3}{(1-8u)^3}}&=\frac{1}{1+20u-8u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u(u+1)^3(1-8u)^3}{(1+20u-8u^2)^4}} \end{align}
を得る. また, 前の記事 の定理2において, $\displaystyle u\mapsto \frac{9u}{(1+u)(1-8u)}$とすると
\begin{align} \frac{1}{1+20u-8u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u(u+1)^3(1-8u)^3}{(1+20u-8u^2)^4}}&=\frac 1{1-4u-8u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u^3(1+u)(1-8u)}{(1-4u-8u^2)^4}} \end{align}
となる. つまり以下が得られる.

Domb数の母関数との関係

前の記事 で, Domb数の母関数の表示
\begin{align} \sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}&=\frac 1{1-4u}\F32{\frac 13,\frac12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2}{(1-4u)^3}} \end{align}
を示した. ここで, $\displaystyle u\mapsto -\frac{u(1+u)}{1-8u}$とすると,
\begin{align} \frac 1{1-8u}\sum_{0\leq n}\left(-\frac{u(1+u)}{1-8u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}&=\frac 1{(1-2u)^2}\F32{\frac 13,\frac12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2(1+u)^2(1-8u)}{(1-2u)^6}} \end{align}
を得る. これと定理1を比較して以下が得られる.

Almkvist-Zudilin数の母関数との関係

前の記事 で, Almkvist-Zudilin数の母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n(-1)^k3^{n-3k}\frac{(3k)!}{k!^3}\binom{n}{3k}\binom{n+k}{k}&=\frac 1{1-27u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u}{(1-27u)^4}} \end{align}
を示した. ここで, $\displaystyle u\mapsto-\frac{u(1-u)}{1-9u}$とすると
\begin{align} &\frac 1{1-9u}\sum_{0\leq n}\left(-\frac{u(1-u)}{1-9u}\right)^n\sum_{k=0}^n(-1)^k3^{n-3k}\frac{(3k)!}{k!^3}\binom{n}{3k}\binom{n+k}{k}\\ &=\frac 1{1+18u-27u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u(1-u)(1-9u)^3}{(1+18u-27u^2)^4}} \end{align}
となる. また, 定理4の1つ目の式において$u\mapsto\frac{u}{1-u}$とすると,
\begin{align} &\frac 1{1-u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-9u)}{1-u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ &=\frac{1}{1+18u-27u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u(1-u)(1-9u)^3}{(1+18u-27u^2)^4}} \end{align}
となる. これらより, 以下が得られる.

定理5と定理6から, Chan-Zudilinの論文において示されているDomb数とAlmkvist-Zudilin数の母関数の間の等式
\begin{align} &\frac 1{1+8u}\sum_{0\leq n}\left(-\frac{u(1+9u)}{1+8u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\ &=\frac 1{1+9u}\sum_{0\leq n}\left(-\frac{u(1+8u)}{1+9u}\right)^n\sum_{k=0}^n(-1)^k3^{n-3k}\frac{(3k)!}{k!^3}\binom{n}{3k}\binom{n+k}{k} \end{align}
を得ることもできる.

Rogersによる母関数

前の記事 で証明を与えなかった等式
\begin{align} \frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{u}{9(1+u)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\frac 1{1+3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u}{9(1+3u)^4}} \end{align}
もついでに示しておく. $u\mapsto -9u$とすると示すべき等式は
\begin{align} \frac 1{1-9u}\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(-\frac{u}{(1-9u)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\frac 1{1+3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u}{(1-27u)^4}} \end{align}
となって, 先ほどのAlmkvist-Zudilin数の母関数が現れる. ここで, 先ほどと同じように$ \displaystyle u\mapsto -\frac{u(1-u)}{1-9u}$として, 両辺を$1-9u$で割ると, 左辺は 前の記事 の定理2の直前の議論により,
\begin{align} &\frac 1{1-9u^2}\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{u(1-u)(1-9u)}{(1-9u^2)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\\ &=\frac 1{1-u}\frac 1{1+\frac{u(1-9u)}{1-u}}\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{\frac{u(1-9u)}{1-u}}{\left(1+\frac{u(1-9u)}{1-u}\right)^2)}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\\ &=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u(1-9u)}{1-u}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ \end{align}
と表される. 一方, 右辺は先ほどと全く同様に
\begin{align} \frac{1}{1+18u-27u^2}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u(1-u)(1-9u)^3}{(1+18u-27u^2)^4}} \end{align}
となるから, 先ほどの議論によりこれらは等しいことが分かる. よって以下が示せた.