ある二重超幾何級数の和公式について4: q類似
今回は, 前2つの記事( ある二重超幾何級数の和公式について2: 2F1型の和 , ある二重超幾何級数の和公式について3: 5F4型の和 )で得られた結果の$q$類似を導出したいと思う.
${}_2\phi_1$型の和
$R>1$とする. $f$が$|x|< R$において正則であるとして,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
を考える. まず, $N$を非負整数として$b=q^{-N}$の場合を考える. そのとき, 級数はterminatingになり,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^N}{a}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac 1{(q;q)_k}f(q^k)q^k\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_n(q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^N}{a}\right)^n
\end{align}
となる. ここで,
$q$-Vandermondeの恒等式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_n(q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^N}{a}\right)^n\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_n}{(c;q)_n(q;q)_{n-k}}\left(\frac{cq^{N-k}}{a}\right)^n\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_{n+k}}{(c;q)_{n+k}(q;q)_{n}}\left(\frac{cq^{N-k}}{a}\right)^{n+k}\qquad n\mapsto n+k\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\frac{(a,q^{-N};q)_k}{(c;q)_k}\left(\frac{cq^{N-k}}{a}\right)^k\Q21{aq^k,q^{k-N}}{cq^k}{\frac{cq^{N-k}}{a}}\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\frac{(a,q^{-N};q)_k}{(c;q)_k}\left(\frac{cq^{N-k}}{a}\right)^k\frac{(c/a;q)_{N-k}}{(cq^k;q)_{N-k}}\\
&=\frac{(c/a;q)_N(a,q^{-N};q)_k}{(c;q)_N(aq^{1-N}/c;q)_k}\left(q^{1-k}\right)^kq^{2\binom k2}\\
&=\frac{(c/a;q)_N(a,q^{-N};q)_k}{(c;q)_N(aq^{1-N}/c;q)_k}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,q^{-N};q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^N}{a}\right)^n\sum_{k=0}^n(q^{-n};q)_kf(q^k)q^k\\
&=\frac{(c/a;q)_N}{(c;q)_N}\sum_{0\leq k}\frac{(a,q^{-N};q)_k}{(q,aq^{1-N}/c;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
を得る. これは$t=q^N$において,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,1/t;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{ct}{a}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(ct/a,c;q)_{\infty}}{(c/a,ct;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(a,1/t;q)_k}{(q,aq/ct;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
が成り立つことを意味している. この左辺は
\begin{align}
(1/t;q)_nt^n=\prod_{k=0}^{n-1}(t-q^k)
\end{align}
となることから$t=0$において正則である. $q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
として,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a,1/t;q)_k}{(q,aq/ct;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a,1/t;q)_{\infty}}{(q,aq/ct;q)_{\infty}}\int_0^1\frac{(sq,asq/ct;q)_{\infty}}{(as,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
は$t=0$において正則ではないが, 前の記事(
Andrews-Askey積分から従うq積分の正則性
)の命題2より
\begin{align}
&\frac{(a,1/t;q)_{\infty}}{(q,aq/ct;q)_{\infty}}\int_{ct/a}^1\frac{(sq,asq/ct;q)_{\infty}}{(as,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
は$t=0$において正則であり, $t\to q^N$において
\begin{align}
\frac{(c/a;q)_N}{(c;q)_N}\sum_{0\leq k}\frac{(a,q^{-N};q)_k}{(q,aq^{1-N}/c;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
に等しい. よって, 一致の定理によって$t=0$の周りで
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,1/t;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{ct}{a}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(ct/a,c;q)_{\infty}}{(c/a,ct;q)_{\infty}}\frac{(a,1/t;q)_{\infty}}{(q,aq/ct;q)_{\infty}}\int_{ct/a}^1\frac{(sq,asq/ct;q)_{\infty}}{(as,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
が成り立つことが分かる. $t=1/b$として, 変数を書きかえると以下を得る.
$R>1$とする. $f$が$|x|< R$において正則であるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a,b,c,c/ab;q)_{\infty}}{(q,abq/c,c/a,c/b;q)_{\infty}}\int_{c/ab}^1\frac{(tq,abtq/c;q)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}}f(t)\,d_qt
\end{align}
が成り立つ.
特に,
\begin{align}
f(z)=\frac{(a_1,\dots,a_r,b_1z,\dots,b_sz;q)_{\infty}}{(a_1z,\dots,a_rz,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}
\end{align}
とすると以下の系を得る.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/ab,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\int_{c/ab}^1\frac{(tq,abtq/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
が成り立つ.
これは前の記事( ある二重超幾何級数の和公式について2: 2F1型の和 )の定理1の$z=1$の場合の$q$類似である.
系1において, $a\mapsto aq$として$1-a$倍すると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(1-aq^n)}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{abq}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/aq,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\int_{c/abq}^1\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(atq,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\int_{c/abq}^1\frac{1-at}{1-c/aq}\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
が成り立つ. $b$倍して,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(b-abq^n)}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{abq}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\int_{c/abq}^1\frac{b(1-at)}{1-c/aq}\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
$a,b$を入れ替えたものと差をとって$b-a$で割ると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{abq}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac 1{b-a}\left(\frac{b(1-at)}{1-c/aq}-\frac{a(1-bt)}{1-c/bq}\right)\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{1-ct/q}{(1-c/aq)(1-c/bq)}\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/aq,c/bq,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{(1-ct/q)(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
となる. 同様に, $b$倍せずに差をとって$a-b$で割ると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac 1{a-b}\left(\frac{1-at}{1-c/aq}-\frac{1-bt}{1-c/bq}\right)\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/a,c/b,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{-t-c/abq+(a+b)t/abq}{(1-c/aq)(1-c/bq)}\frac{(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/aq,c/bq,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{(((a+b)/abq-1)t-c/abq)(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
\end{align}
つまり以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{abq}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/aq,c/bq,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{(1-ct/q)(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n\Q{r+1}{s}{q^{-n},a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,c/abq,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}{(q,abq^2/c,c/aq,c/bq,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_{c/abq}^1\frac{(((a+b)/abq-1)t-c/abq)(tq,abtq^2/c,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at,bt,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
が成り立つ.
${}_6\phi_5$型の和
$R>1$とする. $f$が$|x|< R$において正則であるとして,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
を考える. $d=q^{-N}$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{1}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n(q^{-n},aq^{n};q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n
\end{align}
であり,
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n(q^{-n},aq^{n};q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_{n+k}(b,c,q^{-N};q)_n}{(q;q)_{n-k}(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N-k+1}}{bc}\right)^n\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_{2k}(b,c,q^{-N};q)_k}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_k}\left(\frac{aq^{N-k+1}}{bc}\right)^k\\
&\qquad\cdot\Q65{aq^{2k},\sqrt aq^{k+1},-\sqrt aq^{k+1},bq^k,cq^k,q^{k-N}}{\sqrt aq^k,-\sqrt aq^k,aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c,aq^{N+k+1}}{\frac{aq^{N-k+1}}{bc}}\\
&=(-1)^kq^{\binom k2}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_{2k}(b,c,q^{-N};q)_k}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_k}\left(\frac{aq^{N-k+1}}{bc}\right)^k\frac{(aq^{2k+1},aq/bc;q)_{N-k}}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/c;q)_{N-k}}\\
&=\frac{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N(b,c,q^{-N};q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_N(bcq^{-N}/a;q)_k}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N}{(aq/b,aq/c;q)_N}\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-N};q)_k}{(bcq^{-N}/a,q;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
である. これは$t=q^N$において
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,1/t;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,atq;q)_n}\left(\frac{atq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a,aq/bc,atq/b,atq/c;q)_{\infty}}{(atq,atq/bc,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,1/t;q)_k}{(bc/at,q;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
が成り立つことを意味している. この左辺は
\begin{align}
(1/t;q)_nt^n=\prod_{k=0}^{n-1}(t-q^k)
\end{align}
であるから$t=0$において正則である. 右辺の級数は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,1/t;q)_k}{(bc/at,q;q)_k}f(q^k)q^k=\frac{(b,c,1/t;q)_{\infty}}{(bc/at,q;q)_{\infty}}\int_0^1\frac{(bcs/at,sq;q)_{\infty}}{(bs,cs,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
であり, 前の記事(
Andrews-Askey積分から従うq積分の正則性
)の命題2より
\begin{align}
\frac{(b,c,1/t;q)_{\infty}}{(bc/at,q;q)_{\infty}}\int_{atq/bc}^1\frac{(bcs/at,sq;q)_{\infty}}{(bs,cs,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
は$t=0$において正則で, $t\to q^N$において
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-N};q)_k}{(bcq^{-N}/a,q;q)_k}f(q^k)q^k
\end{align}
に等しいことから, 一致の定理より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,1/t;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,atq;q)_n}\left(\frac{atq}{bc}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a,aq/bc,atq/b,atq/c;q)_{\infty}}{(atq,atq/bc,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(b,c,1/t;q)_{\infty}}{(bc/at,q;q)_{\infty}}\int_{atq/bc}^1\frac{(bcs/at,sq;q)_{\infty}}{(bs,cs,s/t;q)_{\infty}}f(s)\,d_qs
\end{align}
が成り立つ. $t=1/d$として変数と付け替えると以下を得る.
$R>1$とする. $f$が$|x|< R$において正則であるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q;q)_k}f(q^k)q^k\\
&=\frac{(a,b,c,d,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd,bcd/a,q;q)_{\infty}}\int_{aq/bcd}^1\frac{(bcdt/a,tq;q)_{\infty}}{(bt,ct,dt;q)_{\infty}}f(t)\,d_qt
\end{align}
が成り立つ.
特に,
\begin{align}
f(z)=\frac{(b_1,\dots,b_r,c_1z,\dots,c_sz;q)_{\infty}}{(b_1z,\dots,b_rz,c_1,\dots,c_s;q)_{\infty}}
\end{align}
とすると以下の系を得る.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n\Q{r+2}{s}{q^{-n},aq^n,b_1,\dots,b_r}{c_1,\dots,c_s}q\\
&=\frac{(a,b,c,d,aq/bc,aq/bd,aq/cd,b_1,\dots,b_r;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd,bcd/a,q,c_1,\dots,c_s;q)_{\infty}}\int_{aq/bcd}^1\frac{(bcdt/a,tq,c_1t,\dots,c_st;q)_{\infty}}{(bt,ct,dt,b_1t,\dots,b_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
が成り立つ.
これは前の記事( ある二重超幾何級数の和公式について3: 5F4型の和 )の定理1の$q$類似を与えている. また, $r=2, s=3$で左辺の${}_4\phi_3$がbalancedの場合は Ismail-Rahman-Suslovの展開公式 と同値である.
