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任意の$a,b\in\Ebd(x)$をとる．
$a,b$(を表す射)の引き戻しが$a$と$b$の交わり$a\wedge b$を与える．
余ペアリング$a+b\to x$の正則像が結び$a\vee b$を与える．実際，$c\in\Ebd(x)$が$a,b\leq c$をみたすとすると，仲介射の一意性から
\begin{align} (a+b\to c\regmono x)=(a+b\to x)=(a+b\twoheadrightarrow a\vee b\regmono x) \end{align}
であるが，正則像であることから$a\vee b\leq c$が従う．
最小限は$0$(ex, 命題4, 命題5参照)，最大元は$x$である．
$(a_i)_{i\in I}$を$\Ebd(x)$の(小さい)族とする．$\C$が完備であれば広い引き戻しが$a_i$たちの交わりを与え，$\C$が余完備であれば余ペアリング$\sum a_i\to x$の正則像が結びを与える．

(イ) $c\in\Ebd(x+y)$に対し，強モノは引き戻しで保たれるから，入射$x,y\regmono x+y$に沿った引き戻しは$c\wedge x\in\Ebd(x)$, $c\wedge y\in\Ebd(y)$である．また広範条件から$c=(c\wedge x)+(c\wedge y)$である．
\begin{xy}\tag{1}\label{sum of ebds}\xymatrix{ c\wedge x \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &c \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &c\wedge y \ar@{_{(}->}[l]\ar@{}[l]|{+}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ x \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &x+y &y \ar@{_{(}->}[l]\ar@{}[l]|{+} }\end{xy}
逆に$a\in\Ebd(x)$, $b\in\Ebd(y)$が与えられたとき，(reg, 系3(ハ))(の双対)により$a+b\in\Ebd(x+y)$が得られる．これらは互いに逆の写像を与える．
(ロ) $c\in\Conn(x+y)$のとき，\eqref{sum of ebds}において$\langle c\wedge x, c\wedge y\rangle=\langle c, 0\rangle$ or $\langle0, c\rangle$である．

$a,b\in\Summ(x)$, $a\wedge b=0$とする．$a'$を$a$の割符(ex, 定義2)として引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{ 0 \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &b \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &b\wedge a' \ar@{_{(}->}[l]\ar@{}[l]|{+}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ a \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &x &a' \ar@{_{(}->}[l]\ar@{}[l]|{+} }\end{xy}
をとると，広範条件により$b=b\wedge a'$, すなわち$b\leq a'$である．よって命題2により$a+b\regmono x$であるから，その正則像である$a\vee b$は$a+b$に一致する．

$a,b\in\Ebd(x)$, $a\leq b$とする．このとき可換四角形
\begin{xy}\xymatrix@R=16pt{ a \ar@{->>}[r]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &f_\ast[a] \ar@{_{(}->}[dd]\ar@{}[dd]|{-}\ar@<-2pt>@{.>}[ldd]\\ b \ar@{->>}[d] &\\ f_\ast[b] \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &y }\end{xy}
を得るから，充填が存在して$f_\ast[a]\leq f_\ast[b]$と分かる．$f^\ast$の関手性は引き戻しの普遍性により従う．
$f_\ast\dashv f^\ast$を示すため，任意の$a\in\Ebd(x)$, $b\in\Ebd(y)$に対して
\begin{align}\tag{2}\label{adjunction} f_\ast[a]\leq b\iff a\leq f^\ast[b] \end{align}
を示す．
[$\implies$] $f_\ast$の定義と$f_\ast[a]\leq b$から可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar@{->>}[r]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &f_\ast[a] \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+}\ar@{^{(}->}[rd]\ar@{}[rd]|{\times} &b \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ x \ar[rr]_f &&y }\end{xy}
を得る．よって引き戻し$f^\ast[b]$の普遍性から$a\leq f^\ast[b]$を得る．
[$\impliedby$] $a\leq f^\ast[b]$のとき，
\begin{align} (a\twoheadrightarrow f_\ast[a]\regmono y) &=(a\regmono x\xrightarrow{f}y)\\ &=(a\regmono f^\ast[b]\regmono x \xrightarrow{f}y)\\ &=(a\regmono f^\ast[b]\to b\regmono y) \end{align}
であるから，可換四角形
\begin{xy}\xymatrix@R=16pt{ a \ar@{->>}[r]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &f_\ast[a]\ar@{_{(}->}[dd]\ar@{}[dd]|{-}\\ f^\ast[b] \ar[d] &\\ b \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &y }\end{xy}
を得る．よって充填が存在して，$f_\ast[a]\leq b$を得る．
以上で\eqref{adjunction}が示された．

任意の$\bigvee\Sigma$の直和因子$u$をとる．任意の$p\in\Sigma$に対し，$p=(p\wedge u)+(p\wedge u')$であるから，$p$の連結性により$p\leq u$または$p\leq u'$が成り立つ．もし$p\leq u$, $q\leq u'$なる組$p,q\in\Sigma$が存在すれば，余積が非交和であることから$p\wedge q\leq u\wedge u'=0$を得，$\Sigma$のとり方に矛盾する．よってすべての$p\in\Sigma$に対し(例えば)$p\leq u$であり，$\bigvee\Sigma\leq u$を得る．従って$\bigvee\Sigma$は非自明な直和因子を持たず，連結である．

強モノが合成と引き戻しで保たれることから，(reg, 系3(ハ))と同じ議論がうまくいく．

\begin{xy}\xymatrix{ a\times b \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &x\times b \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ a\times x \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &x\times x }\end{xy}
が引き戻しを与えることが容易に示される．

$\Delta^\ast$は右随伴であったから，補題7により
\begin{align} \Delta^\ast[a\times b] &=\Delta^\ast[(a\times x)\wedge(x\times b)]\\ &=\Delta^\ast[a\times x]\wedge\Delta^\ast[x\times b] \end{align}
である．よって$\Delta^\ast[a\times x]=a$, $\Delta^\ast[x\times b]=b$を示せばよい．前者のため引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{ \Delta^\ast[a\times x] \ar[r]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &a\times x \ar[r]^{\mathsf{pr}_1}\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &a \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ x \ar[r]_\Delta \ar `d[r] `[rr]_\id &x\times x \ar[r]_{\mathsf{pr}_1} &x }\end{xy}
を考えると，引き戻しが同型を保つことから$\Delta^\ast[a\times x]=a$を得る．後者についても同様である．

$x$が非連結であるとき，非自明な$u\in\Summ(x)$($\subset \O(x)$)が存在し，$u\wedge u'=0$であるから既約でない．

(ex, 補題12)と同じ議論により$f^\ast\colon\O(y)\to\O(x)$が単射であることが示せる．任意の$u,v\in\O(y)$をとる．もし$u\wedge v=0$であれば，
\begin{align} 0=f^\ast[u\wedge v]=f^\ast[u]\wedge f^\ast[v] \end{align}
であるから，$x$の既約性により$f^\ast[u]=0$または$f^\ast[v]=0$である．よって$f^\ast$の単射性により$u=0$または$v=0$を得，$y$は既約であることが示された．

$\id_k$がエピなので．

明らか．

点的対象$k$について，
\begin{align} \setex{0,k}\subset\Summ(k)\subset\O(k)\subset\Ebd(k)=\setex{0,k} \end{align}
なので$\O(k)=\setex{0,k}$である．このことから$k$が既約と分かる．よって命題10と素対象の定義により素対象も既約である．

$f$の正則像分解$x\twoheadrightarrow\im f\regmono k$を考える．$k$は点的であるから，$\im f=0$または$\im f=k$である．前者であれば，$0$は厳密ゆえ$x=0$であり，後者であれば$f$はエピである．

点的対象$k$からのエピ射$k\twoheadrightarrow x$をとるとき，合成$k\twoheadrightarrow x\xtwoheadrightarrow{f}y$はエピである．

命題2(ロ)による．

任意の射$z \to y$とエピ射$w \twoheadrightarrow z$をとり，引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{ x_i \times_y w \ar[r] \ar@{->>}[d] &(x_1 + x_2) \times_y w \ar[r] \ar[d] &w \ar@{->>}[d]\\ x_i \times_y z \ar[r] \ar[d] &(x_1 + x_2) \times_y z \ar[r] \ar[d] &z \ar[d]\\ x_i \ar[r]_{\mathrm{inj.}} \ar `d[r] `[rr]_{\varphi_i} [rr] &x_1 + x_2 \ar[r]_{(\varphi_1 \, \varphi_2)} &y }\end{xy}
を考える．$\varphi_i$の平坦性から1列目の射$x_i \times_y w \twoheadrightarrow x_i \times_y z$はエピである．よってその$i = 1, 2$についての和
\begin{align} (x_1 \times_y w) + (x_2 \times_y w) \twoheadrightarrow (x_1 \times_y z) + (x_2 \times_y z) \end{align}
もエピである．従って(ex, 命題9)により，2列目の射
\begin{align} (x_1 + x_2) \times_y w \twoheadrightarrow (x_1 + x_2) \times_y z \end{align}
はエピである．

忠実性については(slice, 命題3, (ロ))による．平坦性については引き戻しの貼り合わせ原理による．

$b := \varphi_\ast[a]$とおく．\eqref{imsq}が可換であるから，引き戻し$\varphi^\ast[b]$の普遍性により$\varphi|_a \colon a \epimono b$は$\varphi^b \colon \varphi^\ast[b] \hookrightarrow b$を経由する:
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar@{->>}@/^/[rrd]^{\varphi|_a} \ar@{_{(}->}@/_/[rdd]\ar@{}@/_/[rdd]|{/} \ar@{_{(}->}[rd]\ar@{}[rd]|{\times} &&\\ &\varphi^\ast[b] \ar@{^{(}->}[r]_{\varphi^b} \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &b \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ &x \ar@{^{(}->}[r]_\varphi &y }\end{xy}
引き戻しはモノを保つので$\varphi^b$はモノであるから，
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar@{=}[r] \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &a \ar@{_{(}->>}[d]^{\varphi|_a}\\ \varphi^\ast[b] \ar@{^{(}->}[r]_{\varphi^b} &b }\end{xy}
は引き戻しである．また補題17により$\varphi^b$は平坦でもあるから，$a \regmono \varphi^\ast[b]$はエピでもあり，同型である．

$a\in\Ebd(m)$, $a\neq0$とする．命題14により合成$a\regmono m\epimono k$はエピであり，
\begin{xy}\xymatrix{ a \ar@{=}[r]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &a \ar@{->>}[d]\\ m \ar@{^{(}->>}[r]_\varphi &k }\end{xy}
は引き戻しであるから，$a\regmono m$はエピであり，同型である．従って$m$は自明な強部分対象しか持たず，点的である．

$q\in\Spec(x_l)$に対し，仮定Cにより$\k(l)\leq q$であるから，$l=\varphi_\ast[\k(l)]\leq\varphi_\ast[q]$である．よって$\varphi_\ast$は$\Spec(x_l)$を$\setin{p\in\Spec(x)}{l\leq p}$に写す．
$\varphi^\ast$が逆写像を与えることを示す．$l\leq p\in\Spec(x)$とし，点的対象$k$とエピ射$k\twoheadrightarrow p$をとる．命題18により$\k(l)=\varphi^\ast[l]\leq\varphi^\ast[p]$であるから$\varphi^\ast[p]\neq0$である．引き戻し
\begin{xy}\tag{5}\label{5}\xymatrix{ k\times_x x_l \ar@{->>}[r]\ar@{_{(}->}[d] &\varphi^\ast[p] \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+}\ar@{_{(}->}[d]_{\varphi^p} &x_l \ar@{_{(}->}[d]^\varphi\\ k \ar@{->>}[r] &p \ar@{^{(}->}[r]\ar@{}[r]|{+} &x }\end{xy}
を考える．$\varphi$が平坦ゆえ$k\times_x x_l\twoheadrightarrow\varphi^\ast[p]$はエピである．$\varphi^\ast[p]\neq0$であったから，$0$からのエピ射が同型しかないことから$k\times_xx_l\neq0$である．補題17により$k \times_x x_l \hookrightarrow k$は平坦モノであるから，補題19により$k\times_xx_l$は点的であり，$\varphi^\ast[p]\in\Spec(x_l)$を得る．
\eqref{5}において，命題14により$k\times_xx_l\epimono k$はエピであるから，合成$(k\times_xx_l\epimono k\twoheadrightarrow p)$も，従って$\varphi^p$もエピである．これは$\varphi_\ast[\varphi^\ast[p]]=p$を示している．とくに$\varphi_\ast$は全射である．命題18により$\varphi_\ast$は単射であるから，\eqref{loc isom}が同型であることが示された．

(slice, 命題3, (ロ))により，引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{ \varphi^\ast[b] \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} & b \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ x \ar@{->>}[r]_\varphi &y }\end{xy}
が正則像分解を与える．

命題18, 21により前者の同型がわかる．後者のため，$\varphi^\ast$の制限が写像$\varphi^\ast \colon \Spec(y) \to \Spec(x)$を導くことを示す．そのため，任意の$q \in \Spec(y)$と点的対象からのエピ射$k \twoheadrightarrow q$をとる．このとき引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{ x \times_y k \ar@{^{(}->>}[r] \ar@{->>}[d] &k \ar@{->>}[d]\\ \varphi^\ast[q] \ar@{^{(}->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-} &q \ar@{_{(}->}[d]\ar@{}[d]|{-}\\ x \ar@{^{(}->>}[r]_\varphi &y }\end{xy}
において，$\varphi$の忠実性から$x \times_y k \epimono k$はエピであるから$x \times_y k \neq 0$である．またこの射は補題17により平坦モノであるから，補題19により$x \times_y k$は点的である．$\varphi$の平坦性により$x \times_y k \twoheadrightarrow \varphi^\ast[q]$はエピであるから，$\varphi^\ast[q] \in \Spec(x)$が示された．