二項関係 ⑪

Prop&Proof.

1. 反射的であることを示す。
   任意に $a\in A$ をとる。
   このとき、$a=a$ であるから、恒等関係の定義より、
   $$ (a,a)\in\Delta_A $$
   である。
   したがって、$\Delta_A$ は反射的である。
   $ $
2. 対称的であることを示す。
   任意に $a,b\in A$ をとり、
   $$ (a,b)\in\Delta_A $$
   と仮定する。
   恒等関係の定義より、
   $$ a=b $$
   である。したがって、
   $$ b=a $$
   である。
   よって、恒等関係の定義より、
   $$ (b,a)\in\Delta_A $$
   である。
   したがって、$\Delta_A$ は対称的である。
   $ $
3. 反対称的であることを示す。
   任意に $a,b\in A$ をとり、
   $$ (a,b)\in\Delta_A\land (b,a)\in\Delta_A $$
   と仮定する。
   特に、
   $$ (a,b)\in\Delta_A $$
   である。
   恒等関係の定義より、
   $$ a=b $$
   である。
   したがって、$\Delta_A$ は反対称的である。
   $ $
4. 推移的であることを示す。
   任意に $a,b,c\in A$ をとり、
   $$ (a,b)\in\Delta_A\land (b,c)\in\Delta_A $$
   と仮定する。
   恒等関係の定義より、
   $$ a=b\land b=c $$
   である。
   等号の推移性より、
   $$ a=c $$
   である。
   したがって、恒等関係の定義より、
   $$ (a,c)\in\Delta_A $$
   である。
   よって、$\Delta_A$ は推移的である。

-以上より、$\Delta_A$ は反射的、対称的、反対称的、推移的である。
$$ \Box$$

1. 空関係 $\varnothing$ が対称的であることを示す。
   任意に $a,b\in A$ をとる。
   空集合は要素を持たないので、
   $$ (a,b)\notin\varnothing $$
   である。したがって、条件文
   $$ (a,b)\in\varnothing\Rightarrow (b,a)\in\varnothing $$
   の前件は偽である。ゆえに、この条件文は空虚に真である(補足を参照)。
   $a,b\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ \forall b\in A\ \bigl((a,b)\in\varnothing\Rightarrow (b,a)\in\varnothing\bigr) $$
   が成り立つ。
   したがって、$\varnothing$ は対称的である。
   $ $
2. 空関係 $\varnothing$ が反対称的であることを示す。
   任意に $a,b\in A$ をとる。
   空集合は要素を持たないので、
   $$ (a,b)\notin\varnothing $$
   である。したがって、
   $$ (a,b)\in\varnothing\land (b,a)\in\varnothing $$
   は偽である。
   ゆえに、条件文
   $$ \bigl((a,b)\in\varnothing\land (b,a)\in\varnothing\bigr)\Rightarrow a=b $$
   は空虚に真である(補足を参照)。
   $a,b\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ \forall b\in A\ \bigl(((a,b)\in\varnothing\land (b,a)\in\varnothing)\Rightarrow a=b\bigr) $$
   が成り立つ。
   したがって、$\varnothing$ は反対称的である。
   $ $
3. 空関係 $\varnothing$ が推移的であることを示す。
   任意に $a,b,c\in A$ をとる。
   空集合は要素を持たないので、
   $$ (a,b)\notin\varnothing $$
   である。したがって、
   $$ (a,b)\in\varnothing\land (b,c)\in\varnothing $$
   は偽である。
   ゆえに、条件文
   $$ \bigl((a,b)\in\varnothing\land (b,c)\in\varnothing\bigr)\Rightarrow (a,c)\in\varnothing $$
   は空虚に真である(補足を参照)。
   $a,b,c\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ \forall b\in A\ \forall c\in A\ \bigl(((a,b)\in\varnothing\land (b,c)\in\varnothing)\Rightarrow (a,c)\in\varnothing\bigr) $$
   が成り立つ。
   したがって、$\varnothing$ は推移的である。

-以上より、空関係 $\varnothing$ は対称的、反対称的、推移的である。
$$ \Box$$

1. $R$ が反射的であるならば $A=\varnothing$ であることを示す。
   $R$ が反射的であると仮定する。
   このとき、反射性の定義より、
   $$ \forall a\in A\ ((a,a)\in R) $$
   が成り立つ。
   $A=\varnothing$ を示す。背理法のため、
   $$ A\neq\varnothing $$
   と仮定する。このとき、ある $a\in A$ が存在する。
   反射性より、
   $$ (a,a)\in R $$
   が成り立つ。
   一方、$R=\varnothing$ であるから、
   $$ (a,a)\notin R $$
   である。これは矛盾である。
   したがって、
   $$ A=\varnothing $$
   である。
   $ $
2. $A=\varnothing$ ならば $R$ は反射的であることを示す。
   $A=\varnothing$ と仮定する。
   このとき、$A$ の元は存在しない。したがって、全称命題
   $$ \forall a\in A\ ((a,a)\in R) $$
   は空虚に真である(補足を参照)。
   よって、$R$ は $A$ 上の関係として反射的である。

-以上より、
$$ \bigl(\forall a\in A\ ((a,a)\in R)\bigr) \Longleftrightarrow A=\varnothing $$
が成り立つ。
すなわち、空関係 $R=\varnothing\subseteq A\times A$ が $A$ 上の関係として反射的であることと $A=\varnothing$ は同値である。
$$ \Box$$

1. 全体関係 $A\times A$ が反射的であることを示す。
   任意に $a\in A$ をとる。
   このとき、$a\in A$ かつ $a\in A$ である( 証明はコチラ )。
   したがって、直積の定義より、
   $$ (a,a)\in A\times A $$
   である。
   $a\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ ((a,a)\in A\times A) $$
   が成り立つ。
   したがって、$A\times A$ は反射的である。
   $ $
2. 全体関係 $A\times A$ が対称的であることを示す。
   任意に $a,b\in A$ をとる。
   このとき、$b\in A$ かつ $a\in A$ である。したがって、直積の定義より、
   $$ (b,a)\in A\times A $$
   である。
   ゆえに、条件文
   $$ (a,b)\in A\times A\Rightarrow (b,a)\in A\times A $$
   は真である。
   $a,b\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ \forall b\in A\ \bigl((a,b)\in A\times A\Rightarrow (b,a)\in A\times A\bigr) $$
   が成り立つ。
   したがって、$A\times A$ は対称的である。
   $ $
3. 全体関係 $A\times A$ が推移的であることを示す。
   任意に $a,b,c\in A$ をとる。このとき、$a\in A$ かつ $c\in A$ である。
   したがって、直積の定義より、
   $$ (a,c)\in A\times A $$
   である。
   ゆえに、条件文
   $$ \bigl((a,b)\in A\times A\land (b,c)\in A\times A\bigr)\Rightarrow (a,c)\in A\times A $$
   は真である。
   $a,b,c\in A$ は任意であったから、
   $$ \forall a\in A\ \forall b\in A\ \forall c\in A\ \bigl(((a,b)\in A\times A\land (b,c)\in A\times A)\Rightarrow (a,c)\in A\times A\bigr) $$
   が成り立つ。
   したがって、$A\times A$ は推移的である。

-以上より、全体関係 $A\times A$ は反射的、対称的、推移的である。
$$ \Box$$