WP-Bailey格子2

$(a, w)$ に関するWP-Bailey対は
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} α_{k} \end{array}$
を満たす数列 $(α_{n}, β_{n})$ の組として定義される. 前回の記事でZhangによるWP-Bailey格子を示したが, それは Agarwal-Andrews-BressoudによるBailey格子の一般化にはなっていなかった. 今回はそれを一般化し, LovejoyによるBailey格子もWP-Bailey格子に拡張する.

以下はAgarwal-Andrews-BressoudによるBailey格子の一般化である.

$(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対であるとする.　このとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := (1 - a) (\frac{(1 - b q^{n}) (1 - \frac{w q^{n}}{b})}{1 - a q^{2 n}} α_{n} - \frac{w}{a} \frac{(1 - \frac{a q^{n - 1}}{b}) (1 - \frac{a b q^{n - 1}}{w})}{1 - a q^{2 n - 2}}) \\ β_{n}^{'} & := (1 - b q^{n}) (1 - \frac{w q^{n}}{b}) β_{n} \end{aligned}$
は $(a / q, w)$ に関するWP-Bailey対である.

$(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関するBailey対であるとき, WP-Baileyの補題において, $b \mapsto b q, c \mapsto a q / b$ とすると,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & = \frac{(b q, a q / b; q)_{n}}{(a / b, b; q)_{n}} q^{- n} α_{n} \\ = \frac{(1 - b q^{n}) (1 - \frac{a q^{n}}{b})}{(1 - b) (1 - \frac{a}{b})} α_{n} \\ β_{n}^{'} & = \frac{(w / b, w b / a; q)_{n}}{(a / b, b; q)_{n}} (\frac{(b q, a q / b; q)_{n}}{(w / b, w b / a; q)_{n}} \frac{1 - w q^{2 n}}{1 - w} \frac{(w / q; q)_{2 n}}{(w; q)_{2 n}} q^{- n} β_{n} \\ - \frac{(b q, a q / b; q)_{n - 1}}{(w / b, w b / a; q)_{n - 1}} \frac{1 - w q^{2 n - 1}}{1 - w} \frac{(w / q; q)_{2 n - 1}}{(w; q)_{2 n - 1}} q^{- n} β_{n - 1}) \\ = \frac{(1 - b q^{n}) (1 - \frac{a q^{n}}{b})}{(1 - b) (1 - \frac{a}{b})} \frac{1 - \frac{w}{q}}{1 - w q^{2 n - 1}} q^{- n} β_{n} \\ - \frac{(1 - \frac{w q^{n - 1}}{b}) (1 - \frac{w b q^{n - 1}}{a})}{(1 - b) (1 - \frac{a}{b})} \frac{1 - \frac{w}{q}}{1 - w q^{2 n - 1}} q^{- n} β_{n - 1} \end{aligned}$
が $(a, w / q)$ に関するWP-Bailey対である. それぞれを $(1 - b) (1 - \frac{a}{b})$ 倍して, Bressoudの反転公式より, $α_{n}, β_{n}$ を入れ替えてから, $a, w$ を入れ替えると定理を得る.

これはZhangによるWP-Bailey格子の一般化にもなっており, 具体的には両辺の $b + \frac{w}{b}$ の係数を取り出すことによって得ることができる.

次はLovejoyによるBailey格子のWP-Bailey格子への一般化である.

$(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対であるとするとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{1 - a q^{2 n + 1}}{1 - a q} \frac{(a q / b, a b q / w; q)_{n}}{(b q, w q / b; q)_{n}} {(\frac{w}{a q})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, w / b; q)_{k}}{(a q / b, a b q / w; q)_{k}} {(\frac{a q}{w})}^{k} α_{k} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(1 - b) (1 - \frac{w}{b})}{(1 - b q^{n}) (1 - \frac{w q^{n}}{b})} β_{n} \end{aligned}$
は $(a q, w)$ に関するWP-Bailey対である.

WP-Baileyの補題において, $c = a / b$ とすると, $(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関するWP-Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, a / b; q)_{n}}{(a q / b, b q; q)_{n}} q^{n} α_{n} \\ = \frac{(1 - b) (1 - \frac{a}{b})}{(1 - b q^{n}) (1 - \frac{a q^{n}}{b})} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(w q / b, w b q / a; q)_{n}}{(a q / b, b q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, a / b; q)_{k}}{(w q / b, w b q / a; q)_{k}} \frac{1 - w q^{2 k}}{1 - w} q^{k} β_{k} \end{aligned}$
が $(a, w q)$ に関するWP-Bailey対である. Bressoudの反転公式より, $α_{n}, β_{n}$ を入れ替えてから, $a, w$ を入れ替えると定理を得る.