マルコフ方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの正整数解の全列挙性の証明

$(3bc-a,b,c)$の場合のみ示す。他は同様の方法で示せる。$a^2+b^2+c^2=3abc$に注意すると、
\begin{align} &(3bc-a)^2+b^2+c^2=9b^2c^2-6abc+a^2+b^2+c^2\\ =&9b^2c^2-6abc+3abc=9b^2c^2-3abc=3(3bc-a)bc \end{align}
となって、$(3bc-a,b,c)$は整数解である。また、$3bc-a=\dfrac{b^2+c^2}{a}>0$であるから、特に$(3bc-a,b,c)$は正整数解でもある。

(1)のみを示す。他は同様の方法で示せる。$(3bc-a,b,c)$はマルコフ方程式の正整数解であるから、$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a}=3bc$であることに注意すると、
\begin{align} 3bc-a-b=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a}-a-b=\dfrac{b^2+c^2-ab}{a}\geq\dfrac{c^2}{a}>0 \end{align}
となり、$3bc-a>b$が成り立つ。ここで上の式の最後から2番目の不等号は$a\leq b$であることを利用している。同様に、
\begin{align} 3bc-a-c=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a}-a-c=\dfrac{b^2+c^2-ac}{a}\geq\dfrac{b^2}{a}>0 \end{align}
となり、$3bc-a>c$が成り立つ。

(1)のみを示す。他は同様の方法で示せる。ここで、$b$と$c$の大小関係に注目して「$c\leq b$ならば$3bc-a\leq b$である」ことと「$b\leq c$ならば$3bc-a\leq c$である」ことを示せば良いが、どちらもほとんど同じ方法で示せるので「$c\leq b$ならば$3bc-a\leq b$」のみを示す。以下、$c\leq b$を仮定する。関数$f\colon\mathbb R\to \mathbb R$を次で定義する：
\begin{align} f(x)=(x-a)(x-(3bc-a)). \end{align}
仮定から$a>b$なので、特に$b-a<0$であり、したがって$f(b)=(b-a)(b-(3bc-a))\leq0$を示せば$3bc-a\leq b$がいえる。以下、$f(b)\leq0$を示す。$(a,b,c)$がマルコフ方程式の解であることから$b^2+c^2=a(3bc-a)$が成り立っているので、これを用いることで$f(b)$の表示を
\begin{align} f(b)=(b-a)(b-(3bc-a))=b^2-3b^2c+b^2+c^2=2b^2-3b^2c+c^2 \end{align}
と変形できる。そこで、関数$g\colon\mathbb R^2\to \mathbb R$を
\begin{align} g(y,z)=2y^2-3y^2z+z^2 \end{align}
とおくと、$g(b,c)=f(b)$を満たすので、$g(b,c)\leq 0$を示せば良いことになる。$b=c=1$のとき$g(1,1)=0$である。今$1\leq c\leq b$なので（$c\leq b$を仮定していたことに注意せよ）、$g$の$y$方向と$z$方向の偏微分が領域$\{(y,z)\mid 1\leq z\leq y\}$上で常に負であれば、この領域内で$y$軸正方向、$z$軸正方向について$g(y,z)$が単調減少なので$0=g(1,1)\geq g(b,c)$となって証明が終わる。実際、$1\leq z\leq y$を満たす$(y,z)$について
\begin{align} \dfrac{\partial g}{\partial y}(y,z)=4y-6yz<0,\quad \dfrac{\partial g}{\partial z}(y,z)=-3y^2+2z\leq-3z^2+2z<0 \end{align}
となることが確かめられる。よって示された。

第1成分と第2成分が等しいとき、正整数解は$(1,1,1)$と$(1,1,2)$のどちらかであることを示す（他の成分が等しいときも同様にして示される）。$ (a,a,c)$がマルコフ方程式の正整数解であるとする。このとき、$a$と$c$は $2a^2+c^2=3a^2c$を満たすので、これを$c$についての2次方程式だと思うと、$c=\dfrac{3a^2\pm a\sqrt{9a^2-8}}{2}$を得る。ここで、$c$が整数であることから$9a^2-8$は平方数である必要がある。そこで、$d$を整数として$9a^2-8=d^2$とおいて式変形をすることで、$(3a+d)(3a-d)=8$を得る。さて、 $\alpha:=3a+d,\beta:=3a-d$とおいたとき$\alpha\beta=8$であり、$\alpha,\beta$が両方とも整数であることを考慮すると$(\alpha,\beta)$は$\pm(1,8),\pm(2,4),\pm(4,2),\pm(8,1)$のいずれかとなる。ここでさらに、連立方程式
\begin{align} \begin{cases}3a+d=\alpha\\3a-d=\beta\end{cases} \end{align}
を解いたときに$a$が正整数、$d$が整数でなければならないので、$(\alpha,\beta)$の候補は$(2,4),(4,2)$に絞られる。このとき、どちらも$a=1$である。$a=1$のとき、$c=1$または$2$なので$(a,a,c)$は$(1,1,1)$または$(1,1,2)$であることが示された。

まず(2)を示す。$(a,b,c)$をマルコフ方程式の正整数解とする。$(a,b,c)=(1,1,1)$の場合は明らかなので、$(a,b,c)\neq(1,1,1)$とする。このとき、命題5から$a,b,c$の中で最大の成分であるようなものが一意的に定まる（$a,b,c$が全て違う数ならこれは明らかであり、2つ以上が同じ数であっても$(a,b,c)$は$(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)$のどれかなので成り立つ）。このとき、その最大の成分を選び、それを別の数と入れ替えて新しい解$(a',b',c')$を構成することを考える：つまり、$a$が最大の場合は$(a',b',c')=(3bc-a,b,c)$、$b$が最大の場合は$(a',b',c')=(a,3ac-b,c)$、$c$が最大の場合は$(a',b',c')=(a,b,3ab-c)$を考える。命題4から、$(a',b',c')$の3つの数の中で$(a,b,c)$から入れ替わった数は、それ以外の2つの数より小さいか等しくなる。後者の場合、$(a',b',c')$は最大となる成分を2つ以上持つことになるが、命題5からそのような頂点は$(1,1,1)$しか存在しない。したがって、$(a',b',c')=(1,1,1)$でないならば$a',b',c'$の中で最大の成分が一意的に定まるので、その数を別の数に変えて新しい解$(a'',b'',c'')$を考える。この手順を繰り返すことで、構成される解に含まれる最大の数をどんどん小さくしていくことができる。ただし命題1からこれらの解は正整数解であるためこの操作は無限に行うことはできず、最終的に$(1,1,1)$に辿り着くことになる。この手順を$(1,1,1)$から逆に辿ると解に含まれる3つの成分のうち最大であるようなものは単調増加していくので、$(a,b,c)$が$\mathbb T$上に含まれることがわかる。
次に(1)を示す。(2)を示すときに用いた、$\mathbb T$上で$(a,b,c)$から$(1,1,1)$まで辿り着く操作を用いると、仮に$(a,b,c)$が$\mathbb T$上の2箇所に現れるならば$(1,1,1)$も2箇所に現れることになるが、これは命題3の系に矛盾する。以上から示された。

マルコフ数の定義から、$c$を含む正整数解$(a',b',c)$を少なくとも一つとれる（マルコフ方程式は対称式なので、解に含まれる3つの数の順番は入れ替えて良い。したがって、$c$を第3成分としておく）。ここで、$a'\leq b'\leq c$である場合は$a'=a,b'=b$として証明が終わる。そうでない場合は、$a',b'$の大きい方を変えることによって新しい正整数解$(3b'c-a',b',c)$または$(a',3a'c-b',c)$を考える。命題4から新しい解の$c$以外の2成分のうち大きい方は$a',b'$の大きい方より小さいので、これを繰り返すことで第1成分と第2成分を$c$より小さくすることができる。そうしてできた正整数解において、第1成分が第2成分より大きくなっている場合は2つの成分の位置を交換することで条件を満たす$(a,b,c)$を得る。

$a$と$b$が互いに素であることのみを示す（他は同様にして示される）。$a$と$b$が共通素因数$d$を持つとする。このとき、明らかに$3bc-a$と$b$も共通の素因数$d$を持つ。また、$a$と$3ac-a$も共通の素因数$d$を持つ。したがって、$(3bc-a,b,c),(a,3ac-b,c),(a,b,3ab-c)$の第1成分と第2成分は共通の素因数$d$を持つことになるが、定理2によって$(1,1,1)$まで遡ることにって$1$と$1$が共通の素因数$d$を持つことになるため、矛盾する。

$(a,b)$が方程式$x^2+y^2+1=3xy$の正整数解であることと、$(a,b,1)$がマルコフ方程式の正整数解であることは同値である。したがって、定理2により$x^2+y^2+1=3xy$の正整数解は$(1,1)$から帰納的に$(a,b)\mapsto(3b-a,b)$または$(a,b)\mapsto(a,3a-b)$を作用させていったもので全てである。あとは、これらが$(F_{2n-1},F_{2n+1})$または$(F_{2n+1},F_{2n-1})$の表示を持つことを示せば十分である。$(1,2)=(F_1,F_3), (2,1)=(F_3,F_1)$であり、これらが$x^2+y^2+1=3xy$の正整数解であることは明らか。$F_{k+1}=F_{k}+F_{k-1}=2F_{k-1}+F_{k-2}=3F_{k-1}-F_{k-3}$が成立するので、$(F_{2n-1},F_{2n-3})$が$x^2+y^2+1=3xy$の正整数解ならば$(F_{2n-1},3F_{2n-1}-F_{2n-3})=(F_{2n-1},F_{2n+1})$も正整数解である。$(F_{2n-3},F_{2n-1})$の場合も同様である。よって示された。

$(a,b)$が方程式$x^2+y^2+4=6xy$の正整数解であることと、$(a,b,2)$がマルコフ方程式の正整数解であることは同値である。したがって、定理2により$x^2+y^2+4=6xy$の正整数解は$(1,1)$から帰納的に$(a,b)\mapsto(6b-a,b)$または$(a,b)\mapsto(a,6a-b)$を作用させていったもので全てである。あとは、これらが$(P_{2n-1},P_{2n+1})$または$(P_{2n+1},P_{2n-1})$の表示を持つことを示せば十分である。$(1,5)=(P_1,P_3), (5,1)=(P_3,P_1)$であり、これらが$x^2+y^2+4=6xy$の正整数解であることは明らか。$P_{k+1}=2P_{k}+P_{k-1}=5P_{k-1}+2P_{k-2}=6P_{k-1}-P_{k-3}$が成立するので、$(P_{2n-1},P_{2n-3})$が$x^2+y^2+4=6xy$の正整数解ならば$(P_{2n-1},6P_{2n-1}-P_{2n-3})=(P_{2n-1},P_{2n+1})$も正整数解である。$(P_{2n-3},P_{2n-1})$の場合も同様である。よって示された。