のぞき見！結び目理論／第四回「不変量」

【シリーズ一覧】
第一回「定義」
第二回「表示」
第三回「同値」
第四回「不変量」
第五回「ジョーンズ多項式(1)」
第六回「ジョーンズ多項式(2)」

不変量

結び目の分類をしていく上で中心的な武器となる概念を導入します．

すなわち，「結び目$K,K^{\prime }$が同値$\Rightarrow$$\rho (K)=\rho (K^{\prime })$」ということであり，この対偶をとることで「$\rho (K)\ne \rho (K^{\prime })$$\Rightarrow$$K,K^{\prime }$は同値でない」と言えます．ところでライデマイスターの定理より，結び目$K$のある正則射影図$D_K$から計算される量$f(D_K)$は$D_K$のライデマイスター移動によって不変であるときには値が$K$からただ一つに定まり，結び目の不変量となります．次回で主役となるジョーンズ多項式も射影図から定義される多項式不変量です．

なお，「$\rho (K)=\rho (K^{\prime })$$\Rightarrow$$K,K^{\prime }$が同値」とは限らないことに注意しましょう．これが成り立つ不変量は完全不変量といい，結び目の完全な分類を達成しますが，有力な候補はあれど未だ発見されていません．結び目の同値を示すには今のところ変形を見つけるしかないのです．

ではいくつかの基本的な不変量を紹介します．まず，不変性が容易にわかる例として最小交点数が挙げられます．これは正則射影図のうち交点数が最小となるときのその個数により定義されます．明らかに自明な結び目であることと最小交点数が$0$であることは同値です．最小交点数は結び目の命名にも用いられており，三葉結び目なら$3_1$のように呼ばれています．しかしながらこれは計算が困難です．

つまらないものとしては，いくつのひもからなる絡み目かという成分数も不変量で，結び目なら常に$1$です．これは全同位変形よりも緩く位相空間の主な分類基準となる同相な変形に対する不変量になっています．他にも正則射影図をルール「各交点のまわりの$3$つの断片は全て同じあるいは全て異なる色である」となるよう$3$色で塗り分ける方法の総数である$3$彩色数は入門書で取り上げられることが多い不変量でしょう．

毛色の異なる不変量として，多項式に値をとるものが活躍するのも結び目理論の特徴です．古典的なものではアレクサンダー多項式が最初に登場した多項式不変量であり，これは1920年代に結び目補空間の無限巡回被覆から代数的位相幾何学の手法により計算されましたが，予備知識なしに詳細を伝えることは難しいです．そこで本シリーズでは，1980年代に発見された画期的な不変量であるジョーンズ多項式を紹介することをゴールにしたいと思います．
注) ちなみに，幾何を少し嗜んでる人へ話すと，デーン手術により全ての連結で向き付け可能な$3$次元閉多様体は結び目の補空間から作られるので低次元トポロジーの研究者からも熱視線を浴びている分野です．