リーマン予想による素数定理の精密化

　 素数公式の記事 で示した式
$$\psi (x)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{x^s}{s}ds$$
を積分することで
$${\psi }_1(x)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}ds$$
が成り立つ。
　また同記事で示した部分分数展開公式
$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{1}{s}=\frac{1}{s-1}-\frac{\log 2\pi }{s}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho (s-\rho )}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(s+2n)}$$
を$s+1$で割り、ヘヴィサイドの展開公式を思い出すことで
$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{2(s-1)}-\frac{\log 2\pi }{s}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho (\rho +1)(s-\rho )}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(2n-1)(s+2n)}+\frac{{\zeta }^{\prime }(-1)}{\zeta (-1)}\frac{1}{s+1}$$
がわかるのでこれを
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^a{x}^{-s-1}dx=\frac{1}{s-a}\leftrightarrow \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{x^s}{s-a}ds=x^a$$
に注意して逆メリン変換することで
$${\psi }_1(x)=\frac{x^2}{2}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho +1}}{\rho (\rho +1)}-x\log 2\pi -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n+1}}{2n(2n-1)}+\frac{{\zeta }^{\prime }(-1)}{\zeta (-1)}$$
を得る。

　$h>0$のとき、任意の$0\le t\le mh$に対して$\varphi (x+t)>f_m(x,h,t)$が成り立つとすると
$$\begin{array}{rcl}{K}_m(x,h)& =& {\int }_0^h\cdots {\int }_0^h{\int }_0^h\varphi (x+t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & >& {\int }_0^h\cdots {\int }_0^h{\int }_0^h{f}_m(x,h,t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & =& K_m(x,h)\end{array}$$
となって矛盾。
　$h<0$のときも同様に、任意の$mh\le t\le 0$に対して$\varphi (x+t)<f_m(x,h,t)$が成り立つとすると
$$\begin{array}{rcl}(-1{)}^m{K}_m(x,h)& =& {\int }_h^0\cdots {\int }_h^0{\int }_h^0\varphi (x+t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & <& {\int }_h^0\cdots {\int }_h^0{\int }_h^0{f}_m(x,h,t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & =& (-1{)}^m{K}_m(x,h)\end{array}$$
となって矛盾。よって主張を得る。

　右側の不等号については$h=\delta x$に対して補題2を考えると、ある$0\le t\le m\delta x$があって
$$\psi (x+t)-(x+t)+\frac{1}{2}\log {(1-(x+t)}^{-2})+\log 2\pi \le \frac{K_m(x,\delta x)}{x^m{\delta }^m}+\frac{m\delta x}{2}-t$$
つまり
$$\psi (x+t)-x+\frac{1}{2}\log {(1-(x+t)}^{-2})+\log 2\pi \le {\epsilon }_{1}x$$
が成り立つ。またそれぞれの単調性から
$$\begin{array}{rl}\psi (x)& \le \psi (x+t)\\ \log (1-x^{-2})& \le \log {(1-(x+t)}^{-2})\end{array}$$
であることに注意すると
$$\psi (x)-x+\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})+\log 2\pi =\varphi (x)\le {\epsilon }_{1}x$$
を得る。
　左側の不等号も同様にある$-m\delta x\le t\le 0$があって
$$\psi (x+t)-x+\frac{1}{2}\log {(1-(x+t)}^{-2})+\log 2\pi \ge -{\epsilon }_{-1}x$$
が成り立ち、単調性から
$$\begin{array}{rl}\psi (x)& \ge \psi (x+t)\\ \log (1-x^{-2})& \ge \log {(1-(x+t)}^{-2})\end{array}$$
なので結局$\varphi (x)\ge -{\epsilon }_{-1}x$を得る。

　まず$\psi (x)$と${\psi }_1(x)$の素数公式
$$\begin{array}{rl}\psi & =x-\log 2\pi -\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n}}{2n}+\varphi (x)\\ {\int }_0^x\psi (x)dx& =\frac{x^2}{2}-x\log 2\pi +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n+1}}{2n(2n+1)}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho +1}}{\rho (\rho +1)}\end{array}$$
を見比べることで
$${\int }_0^h\varphi (x+t_1)d{t}_1=-\sum _{\rho }\frac{(x+h{)}^{\rho }-x^{\rho }}{\rho (\rho +1)}=-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }{\int }_0^h(x+t_1{)}^{\rho }d{t}_1$$
が成り立つことがわかる。
　またこの右辺は絶対収束していたので級数と積分が交換でき、
$$\begin{array}{rcl}{K}_m(x,h)& =& {\int }_0^h\cdots {\int }_0^h({\int }_0^h\varphi (x+t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_1)d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & =& -\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }{\int }_0^h\cdots {\int }_0^h{\int }_0^h(x+t_1+t_2+\cdots +t_m{)}^{\rho }d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\end{array}$$
を得る。

$$\begin{array}{rcl}& & |{\int }_0^h\cdots {\int }_0^h{\int }_0^h(x+t_1+t_2+\cdots +t_m{)}^{\rho }d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m|\\ & \le & |{\int }_0^h\cdots {\int }_0^h{\int }_0^h(x+|t_1|+|t_2|+\cdots +|t_m|{)}^{\beta }d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m|\\ & =& {\int }_0^{|h|}\cdots {\int }_0^{|h|}{\int }_0^{|h|}(x+t_1+t_2+\cdots +t_m{)}^{\beta }d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & =& {\int }_0^{\delta }\cdots {\int }_0^{\delta }{\int }_0^{\delta }{x}^{\beta }(1+u_1+u_2+\cdots +u_m{)}^{\beta }(xd{u}_1)(xd{u}_2)\cdots (xd{u}_m)(t_k=x{u}_k)\\ & \le & x^{\beta +m}{\int }_0^{\delta }\cdots {\int }_0^{\delta }{\int }_0^{\delta }(1+t_1+t_2+\cdots +t_m)d{t}_{1}d{t}_2\cdots d{t}_m\\ & =& x^{\beta +m}\cdot {\delta }^m\frac{2+m\delta }{2}\end{array}$$
のようにしてわかる。(積分の値については漸化式$I_{m+1}=\delta I_m+\frac{1}{2}{\delta }^{m+2}$からわかる。)

　左辺の積分を計算すると
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{(\rho +1)(\rho +2)\cdots (\rho +m)}\sum _{j=0}^m(-1{)}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})(x+jh{)}^{\rho +m}\\ & =& \frac{x^{\rho +m}}{(\rho +1)(\rho +2)\cdots (\rho +m)}\sum _{j=0}^m(-1{)}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})(1\pm j\delta {)}^{\rho +m}\end{array}$$
となり、$0<\delta <(x-1)/mx<1/m$および$\beta <1$より
$$|(1\pm j\delta {)}^{\rho +m}|=(1\pm j\delta {)}^{\beta +m}<(1+j\delta {)}^{m+1}<((1+\delta {)}^j{)}^{m+1}$$
に注意すると
$$|\sum _{j=0}^m(-1{)}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})(1\pm j\delta {)}^{\rho +m}|\le \sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})((1+\delta {)}^{m+1}{)}^j=((1+\delta {)}^{m+1}+1{)}^m$$
なのであとは$|z|\ge |\mathrm{Im}(z)|$に注意すればわかる。

　上で示した種々の結果から
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{x}|\varphi (x)|& \le & \frac{\underset{\pm }{max}|K_m(x,\pm \delta x)|}{x^{m+1}{\delta }^m}+\frac{m\delta }{2}\\ & \le & \frac{1}{x^{m+1}{\delta }^m}(\sum _{|\gamma |\le T}{x}^{\beta +m}{\delta }^m\frac{2+m\delta }{2|\rho |}+\sum _{|\gamma |>T}\frac{x^{\beta +m}((1+\delta {)}^{m+1}+1{)}^m}{|\rho |\cdot |\gamma {|}^m})+\frac{m\delta }{2}\\ & \le & \frac{1}{x}(2\sum _{0<\gamma \le T}{x}^{\beta }\frac{2+m\delta }{2|\rho |}+2\sum _{\gamma >T}{x}^{\beta }\frac{((1+\delta {)}^{m+1}+1{)}^m}{{\delta }^m{\gamma }^{m+1}})+\frac{m\delta }{2}\end{array}$$
と評価できるので、あとはリーマン予想$\beta =\frac{1}{2}$からわかる。

　 アーベルの総和公式 と同様にして
$$\sum _{a<\gamma \le b}f(\gamma )=N(b)f(b)-N(a)f(a)-{\int }_a^{b}N(t)f^{\prime }(t)dt$$
が成り立つので
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(t)& =\frac{1}{2\pi }\log \frac{t}{2\pi }\\ t{R}^{\prime }(t)& =0.137+\frac{0.433}{\log t}\\ & \le 0.137+\frac{0.433}{\log a}(a<t)\end{array}$$
に注意すると$N(t)<F(t)+R(t)$より
$$\begin{array}{rcl}\sum _{a<\gamma \le b}f(\gamma )& \le & N(b)f(b)-N(a)f(a)-{\int }_a^b(F(t)+R(t))f^{\prime }(t)dt\\ & =& E(a,b)+{\int }_a^b{F}^{\prime }(t)f(t)dt+{\int }_a^b\frac{t{R}^{\prime }(t)}{t}f(t)dt\\ & \le & \frac{1}{2\pi }{\int }_a^{b}f(t)\log \frac{t}{2\pi }dt+(0.137+\frac{0.433}{\log a}){\int }_a^b\frac{f(t)}{t}dt+E(a,b)\end{array}$$
を得る。

　$D=158.84998$について、$N(D)=57$および
$$\sum _{0<\gamma \le D}\frac{1}{|\rho |}<0.8113925$$
が知られていることを使う。これは具体的な非自明な零点の(近似)値を求めることでわかるので特に証明はしない。
　まず$f(t)=1/t,a=D,b=T$について補題8を使うことで
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<\gamma \le T}\frac{1}{|\rho |}& <& 0.8113925+\sum _{D<\gamma \le T}\frac{1}{\gamma }\\ & \le & 0.8113925+\frac{1}{4\pi }({\log }^2\frac{T}{2\pi }-{\log }^2\frac{D}{2\pi })+(0.137+\frac{0.433}{\log D})(\frac{1}{D}-\frac{1}{T})+E\\ & <& \frac{1}{4\pi }{\log }^2\frac{T}{2\pi }+0.0030404-(0.137+\frac{0.433}{\log D})\frac{1}{T}+(N(T)-F(T)-R(T))\frac{1}{T}\end{array}$$
が成り立つ。ただし
$$0.8113925-\frac{1}{4\pi }{\log }^2\frac{D}{2\pi }+(F(D)+R(D)-N(D)+0.137+\frac{0.433}{\log D})\frac{1}{D}<0.0030404$$
とした。

>>> from numpy import log,pi
>>> d=158.84998
>>> c=d/(2*pi)
>>> N=57
>>> F=c*log(c)-c+7/8
>>> R=0.137*log(d)+0.443*log(log(d))+1.588
>>> 0.8113925-(log(c))**2/(4*pi)+(F+R-N+0.137+0.443/log(d))/d
0.003040395970144244

　また
$$\int \frac{1}{t^{m+1}}\log \frac{t}{2\pi }dt=\frac{1+m\log \left(t/2\pi \right)}{m^2{t}^m}+C$$
に注意して$f(t)=1/t^{m+1},a=T,b=\mathrm{\infty }$について補題7を使うことで
$$\begin{array}{rcl}\sum _{\gamma >T}\frac{1}{{\gamma }^{m+1}}& \le & \frac{1}{T^m}(\frac{1}{2\pi m}\log \frac{T}{2\pi }+\frac{1}{2\pi m^2}+(0.137+\frac{0.433}{\log T})\frac{1}{(m+1)T}-(N(T)-F(T)-R(T))\frac{1}{T})\\ & <& \frac{{\delta }^m(2+m\delta )}{2((1+\delta {)}^{m+1}+1{)}^m}(\frac{1}{4\pi }(\frac{2}{m}\log \frac{T}{2\pi }+\frac{2}{m^2})+(0.137+\frac{0.433}{\log D})\frac{1}{(m+1)T}-(N(T)-F(T)-R(T))\frac{1}{T})\end{array}$$
が成り立つので、さっきの不等式と合わせて
$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{0<\gamma \le T}\frac{2+m\delta }{|\rho |}+2\sum _{\gamma >T}\frac{((1+\delta {)}^{m+1}+1{)}^m}{{\delta }^m{\gamma }^{m+1}}\\ & <& \frac{2+m\delta }{4\pi }({(\log \frac{T}{2\pi }+\frac{1}{m})}^2+4\pi \cdot 0.0030404+\frac{1}{m^2}-(0.137+\frac{0.433}{\log D})(1-\frac{1}{m+1})\frac{4\pi }{T})\\ & <& \frac{2+m\delta }{4\pi }({(\log \frac{T}{2\pi }+\frac{1}{m})}^2+0.038207+\frac{1}{m^2}-\frac{2.82m}{(m+1)T})\end{array}$$
を得る。ただし
$4\pi \cdot 0.0030404<0.038207$
${\displaystyle 4\pi (0.137+\frac{0.433}{\log D})>2.82}$
とした。

>>> from numpy import log,pi
>>> 4*pi*0.0030404
0.03820679321589763
>>> 4*pi*(0.137+0.443/log(d))
2.8200430232286395

　まず任意に$\xi \ge 82800$を取って$x\ge \xi$において
$$m=1,\delta =\frac{\log x}{\pi \sqrt{x}}$$
として定理7,9を適用する。
　このとき
$$\delta =\frac{1}{\log x}\cdot \frac{{\log }^{2}x}{\pi \sqrt{x}}\le \frac{{\alpha }_1}{\log x}\le {\alpha }_2$$
ただし
$${\alpha }_1=\frac{{\log }^2\xi }{\pi \sqrt{\xi }},{\alpha }_2=\frac{\log \xi }{\pi \sqrt{\xi }}<0.0126$$
と評価でき、また
$$\begin{array}{rcl}T& =& \frac{(1+\delta {)}^{m+1}+1}{\delta }{\left(\frac{2}{2+m\delta }\right)}^{\frac{1}{m}}=\frac{2(2+2\delta +{\delta }^2)}{\delta (2+\delta )}=2(\frac{1}{\delta }+1-\frac{1}{2+\delta })\\ & \ge & 2(\frac{1}{0.0126}+1-\frac{1}{2})>158.84998=D\\ \log \frac{T}{2\pi }+\frac{1}{m}& =& \log \frac{1}{\pi \delta }+\log (1+\frac{\delta (1+\delta )}{2+\delta })+1\le \log \frac{\sqrt{x}}{\log x}+(\log (1+{\delta }_1)+1)\\ & \le & \frac{1}{2}(\log x-2\log \log x+2(1+{\delta }_1))\le \frac{1}{2}(\log x-{\alpha }_3)\end{array}$$
ただし
$${\delta }_1=\frac{{\alpha }_2(1+{\alpha }_2)}{2+{\alpha }_2}<0.00634,{\alpha }_3=2\log \log \xi -2(1+{\delta }_1)>2.841$$
と評価できることに注意する。

>>> from numpy import log,pi,sqrt
>>> xi=82800
>>> a2=log(xi)/(pi*sqrt(xi))
>>> a2
0.012526849246324731
>>> 2*(1/0.0126+1-1/2)
159.73015873015873
>>> d1=a2*(1+a2)/(2+a2)
>>> d1
0.006302410923419406
>>> a3=2*log(log(xi))-2*(1+d1)
>>> a3
2.841276293240455

　いま定理7,9から
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{x}|\psi (x)-x|=\frac{1}{x}|\varphi (x)-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})-\log 2\pi |\\ & <& \frac{2+\delta }{4\pi \sqrt{x}}({(\log \frac{T}{2\pi }+\frac{1}{m})}^2+0.038207+1-\frac{2.82}{2T})+\frac{\delta }{2}+\frac{1}{x}|\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})+\log 2\pi |\\ & <& \frac{1}{8\pi \sqrt{x}}(1+\frac{{\alpha }_1}{2\log x})((\log x-{\alpha }_3{)}^2+4\cdot 1.038207)+\frac{\log x}{2\pi \sqrt{x}}+\frac{1}{x}\log 2\pi \\ & \le & \frac{1}{8\pi \sqrt{x}}(1+\frac{{\alpha }_1}{2\log x})({\log }^{2}x-{\alpha }_4\log x)+\frac{\log x}{8\pi \sqrt{x}}(4+\frac{8\pi \log 2\pi }{\sqrt{x}\log x})\\ & \le & \frac{1}{8\pi \sqrt{x}}({\log }^{2}x-{\alpha }_5\log x)-\frac{1}{8\pi \sqrt{x}}\frac{{\alpha }_1{\alpha }_4}{2}\end{array}$$
ただし
$${\alpha }_4=2{\alpha }_3-\frac{{\alpha }_3^2+4.152828}{\log \xi },{\alpha }_5=a_4-\frac{{\alpha }_1}{2}-4-\frac{8\pi \log 2\pi }{\sqrt{\xi }\log \xi }$$
と評価できる。
　ここで$2x-x^2/a$は$0\le x\le a$で単調増加であり、また${\alpha }_3<2\log \log \xi <\log \xi$であることに注意すると
$${\alpha }_4>2\cdot 2.841-\frac{{2.841}^2+4.152828}{\log \xi }>0$$
となるので、結局
$$|\psi (x)-x|<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}(\log x-{\alpha }_5)\log x$$
と評価できることになる。

>>> from numpy import log
>>> xi=82800
>>> 2*2.841-(2.841**2+4.152828)/log(xi)
4.602530634962593

　そして
$$0\le \psi (x)-\vartheta (x)<\vartheta (\sqrt{x})+3x^{\frac{1}{3}}(x>0)$$
および
$$\vartheta (x)<1.02x(x>0)$$
が成り立つことが知られているので
$$|\vartheta (x)-x|<|\psi (x)-x|+1.02\sqrt{x}+3x^{\frac{1}{3}}<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}(\log x-{\alpha }_6)\log x$$
ただし
$${\alpha }_6={\alpha }_5-\frac{8.16\pi }{\log \xi }-\frac{24\pi }{{\xi }^{\frac{1}{6}}\log \xi }$$
と評価でき、$\xi \ge 82800$は任意であったので$\xi =23\cdot {10}^8$とおくことで${\alpha }_5>{\alpha }_6>2$となり主張を得る。

>>> from numpy import sqrt,power,log,pi
>>> xi=23*10**8
>>> a2=log(xi)/(pi*sqrt(xi))
>>> d1=a2*(1+a2)/(2+a2)
>>> a3=2*log(log(xi))-2*(1+d1)
>>> a4=2*a3-(a3**2+4.152828)/log(xi)
>>> a5=a4-a2*log(xi)/2-4-8*pi*log(2*pi)/(sqrt(xi)*log(xi))
>>> a6=a5-8.16*pi/log(xi)-24*pi/(power(xi,1/6)*log(xi))
>>> a6
2.00704868502812

　定理9と同様に評価し、$\xi =e^{16}<{10}^7$とおくことで${\alpha }_5>{\alpha }_6>0$がわかるので$x\ge e^{16}$においては所望の不等式が成り立つ。

>>> from numpy import sqrt,power,log,pi,e
>>> xi=e**16
>>> a2=log(xi)/(pi*sqrt(xi))
>>> d1=a2*(1+a2)/(2+a2)
>>> a3=2*log(log(xi))-2*(1+d1)
>>> a4=2*a3-(a3**2+4.152828)/log(xi)
>>> a5=a4-a2*log(xi)/2-4-8*pi*log(2*pi)/(sqrt(xi)*log(xi))
>>> a6=a5-8.16*pi/log(xi)-24*pi/(power(xi,1/6)*log(xi))
>>> a6
0.09834137524507225

　$x<e^{16}$においては数値計算で示すのも現実的だが、元論文に倣ってもう少し不等式評価しておく。
　いま$0<x\le {10}^8$において
$$0<x-\vartheta (x)<2.05282\sqrt{x}$$
が成り立つことが知られているので$1400\le x<e^{16}$においては
$$|\vartheta (x)-x|<\frac{2.05282}{{\log }^{2}1400}\sqrt{x}{\log }^{2}x<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}{\log }^{2}x$$
と評価できる。
　また
$$0\le \psi (x)-\vartheta (x)<\vartheta (\sqrt{x})+3x^{\frac{1}{3}}(x>0)$$
が知られていたことを思い出すと$1400\le x<e^{16}$において
$$\begin{array}{rl}\psi (x)-x& \ge \vartheta (x)-x\\ & >-\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}{\log }^{2}x\\ \psi (x)-x& <\psi (x)-\vartheta (x)<\sqrt{x}+3x^{\frac{1}{3}}\\ & \le \frac{1}{{\log }^{2}1075}(1+\frac{3}{{1075}^{\frac{1}{6}}})\sqrt{x}{\log }^{2}x\\ & <\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}{\log }^{2}x\end{array}$$
と評価できる。

>>> from numpy import log,pi
>>> 2.05282/(log(1400)**2)
0.03911710512821552
>>> (1+3/power(1075,1/6))/log(1075)**2
0.039763115286937885
>>> 1/(8*pi)
0.039788735772973836