リーマン予想と同値な不等式：ラマヌジャンの定理

　巨大過剰数の定義から$N^{\prime }$に対応する$\epsilon >{\epsilon }_n$に対して
$$\frac{\sigma (N^{\prime })}{(N^{\prime }{)}^{1+\epsilon }}>\frac{\sigma (N)}{N^{1+\epsilon }}$$
$N$に対応する$\epsilon \le {\epsilon }_n$に対して
$$\frac{\sigma (N^{\prime })}{(N^{\prime }{)}^{1+\epsilon }}\le \frac{\sigma (N)}{N^{1+\epsilon }}$$
が成り立つので$\epsilon ={\epsilon }_n$においてこの等号が成り立つことになる。よって
$$\frac{\sigma (n)}{n^{1+{\epsilon }_n}}\le \frac{\sigma (N^{\prime })}{(N^{\prime }{)}^{1+{\epsilon }_n}}=\frac{\sigma (N)}{N^{1+{\epsilon }_n}}$$
を得る。
　また
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{x^{{\epsilon }_n}}{\log \log x}\\ g(x)& =\log f(e^x)={\epsilon }_{n}x-\log \log x\end{array}$$
とおくと
$$g^{″}(x)={({\epsilon }_n-\frac{1}{x\log x})}^{\prime }=\frac{\log x+1}{(x\log x{)}^2}>0$$
すなわち$g(x)$は下に凸なので
$$\log n=t\log N^{\prime }+(1-t)\log N(\mathrm{\exists }t\in [0,1))$$
とおくと
$$g(\log n)\le tg(\log N^{\prime })+(1-t)g(\log N)\le max\{g(\log N^{\prime }),g(\log N)\}$$
を得る。よって
$$\frac{n^{{\epsilon }_n}}{\log \log n}\le max\{\frac{(N^{\prime }{)}^{{\epsilon }_n}}{\log \log N^{\prime }},\frac{N^{{\epsilon }_n}}{\log \log N}\}$$
となるので先の不等式にこれを掛け合わせることで主張を得る。

$$x_2^{\epsilon }=\frac{x_2^3-1}{x_2(x_2^2-1)}=1+\frac{1}{x_2^2+x_2}$$
より
$$\epsilon =\frac{\log (1+1/(x_2^2+x_2))}{\log x_2}$$
であって、この右辺が$x_2$について単調減少であることに注意すると
$$\epsilon =\frac{\log (1+1/x)}{\log x}>\frac{\log (1+1/(2x+\sqrt{2x}))}{\log \sqrt{2x}}$$
が成り立つことを示せばよい。実際、より強い不等式
$$\frac{\log (1+1/x)}{\log x}>\frac{\log (1+1/(2x+\sqrt{2x}))}{\log \sqrt{x}}$$
すなわち
$$1+\frac{1}{x}>{(1+\frac{1}{2x+\sqrt{2x}})}^2$$
が次のように示される。
$$\begin{array}{rcl}{(1+\frac{1}{2x+\sqrt{2x}})}^2& =& 1+\frac{1}{x}(\frac{2x}{2x+\sqrt{2x}}+\frac{x}{(2x+\sqrt{2x}{)}^2})\\ & =& 1+\frac{1}{x}((1-\frac{1}{\sqrt{2x}+1})+\frac{1}{2(\sqrt{2x}+1{)}^2})\\ & <& 1+\frac{1}{x}((1-\frac{1}{\sqrt{2x}+1})+\frac{1}{\sqrt{2x}+1})\\ & =& 1+\frac{1}{x}\end{array}$$

　 この記事 の補題5系から
$$\begin{array}{rcl}\log N& =& \vartheta (x)+x_2+O(x^{\frac{1}{3}})\\ \log \log N& =& \log \vartheta (x)+\frac{x_2}{\vartheta (x)}+O(x^{-\frac{2}{3}})\\ \log \log \log N& =& \log \log \vartheta (x)+\frac{x_2}{\vartheta (x)\log \vartheta (x)}+O(x^{-\frac{2}{3}})\end{array}$$
と評価でき、また同記事の補題5から
$$x_2=\sqrt{2x}(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right))$$
と評価できることとリーマン予想と同値な漸近公式
$$\vartheta (x)=x+O(\sqrt{x}{\log }^{2}x)$$
からわかる。

　 この記事 の定理8より
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{\sigma (N)}{N}={\sigma }_{-1}(N)=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{p\le x_r}\frac{1-p^{-(r+1)}}{1-p^{-r}}\\ & =& \prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{x_{r+1}<p\le x_r}\prod _{k=1}^r\frac{1-p^{-(k+1)}}{1-p^{-k}}=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{x_{r+1}<p\le x_r}\frac{1-p^{-(r+1)}}{1-p^{-1}}\\ & =& \prod _{p\le x_1}\frac{1}{1-p^{-1}}\prod _{x_2<p\le x_1}(1-p^{-2})\prod _{r=2}^{\mathrm{\infty }}\prod _{x_{r+1}<p\le x_r}(1-p^{-(r+1)})\\ & \le & \prod _{p\le x}\frac{1}{1-p^{-1}}\prod _{\sqrt{2x}<p\le x}(1-p^{-2})\end{array}$$
とわかる。

　 この記事 の定理7
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})=-\log |\zeta (s)|-\mathrm{Li}(x^{1-s})+O\left(\frac{x^{1-s}}{{\log }^{2}x}\right)$$
から
$$\begin{array}{rcl}\log \prod _{p\le x}(1-p^{-2})& =& -\log |\zeta (s)|-\mathrm{Li}(x^{-1})+O\left(\frac{x^{-1}}{{\log }^{2}x}\right)\\ & =& -\log |\zeta (s)|+\frac{x^{-1}}{\log x}+O\left(\frac{x^{-1}}{{\log }^{2}x}\right)\\ \log \prod _{\sqrt{2x}<p\le x}(1-p^{-2})& =& \frac{1}{x\log x}-\frac{1}{\sqrt{2x}\log \sqrt{2x}}+O\left(\frac{1}{\sqrt{x}{\log }^{2}x}\right)\\ & =& -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}\log x}+O\left(\frac{1}{\sqrt{x}{\log }^{2}x}\right)\end{array}$$
とわかる($\mathrm{Li}(x^{-1})$の評価については この記事 参照)。

　リーマン予想が真であれば$\bar{\rho }=1-\rho$であることから
$$\sqrt{x}{S}_1(x)=\sum _{\rho }\frac{x^{\rho -\frac{1}{2}}}{\rho (\rho -1)}=-\sum _{\rho }\frac{x^{\mathrm{Im}(\rho )}}{|\rho {|}^2}\le \sum _{\rho }\frac{1}{|\rho {|}^2}=2+\gamma -\log 4\pi$$
(最後の等号については この記事 参照)に注意すると、 この記事 の定理4系
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-1})=-\gamma -\log \log \vartheta (x)-\frac{2}{\sqrt{x}\log x}-\frac{S_1(x)}{\log x}+O\left(\frac{1}{\sqrt{x}{\log }^{2}x}\right)$$
からわかる。