リーマン予想と同値な不等式：ラマヌジャンの定理

　巨大過剰数の定義から$N'$に対応する$\e>\e_n$に対して
$$\frac{\s(N')}{(N')^{1+\e}}>\frac{\s(N)}{N^{1+\e}}$$
$N$に対応する$\e\leq\e_n$に対して
$$\frac{\s(N')}{(N')^{1+\e}}\leq\frac{\s(N)}{N^{1+\e}}$$
が成り立つので$\e=\e_n$においてこの等号が成り立つことになる。よって
$$\frac{\s(n)}{n^{1+\e_n}}\leq\frac{\s(N')}{(N')^{1+\e_n}}=\frac{\s(N)}{N^{1+\e_n}}$$
を得る。
　また
\begin{align} f(x)&=\frac{x^{\e_n}}{\log\log x}\\ g(x)&=\log f(e^x)=\e_nx-\log\log x \end{align}
とおくと
$$g''(x)=\l(\e_n-\frac{1}{x\log x}\r)'=\frac{\log x+1}{(x\log x)^2}>0$$
すなわち$g(x)$は下に凸なので
$$\log n=t\log N'+(1-t)\log N\quad(\exists t\in[0,1))$$
とおくと
$$g(\log n)\leq tg(\log N')+(1-t)g(\log N)\leq \max\{g(\log N'),g(\log N)\}$$
を得る。よって
$$\frac{n^{\e_n}}{\log\log n} \leq\max\l\{\frac{(N')^{\e_n}}{\log\log N'},\frac{N^{\e_n}}{\log\log N}\r\}$$
となるので先の不等式にこれを掛け合わせることで主張を得る。

$$x_2^\e=\frac{x_2^3-1}{x_2(x_2^2-1)}=1+\farc1{x_2^2+x_2}$$
より
$$\e=\frac{\log(1+1/(x_2^2+x_2))}{\log x_2}$$
であって、この右辺が$x_2$について単調減少であることに注意すると
$$\e=\frac{\log(1+1/x)}{\log x}>\frac{\log(1+1/(2x+\sqrt{2x}))}{\log\sqrt{2x}}$$
が成り立つことを示せばよい。実際、より強い不等式
$$\frac{\log(1+1/x)}{\log x}>\frac{\log(1+1/(2x+\sqrt{2x}))}{\log\sqrt x}$$
すなわち
$$1+\farc1x>\l(1+\frac1{2x+\sqrt{2x}}\r)^2$$
が次のように示される。
\begin{eqnarray} \l(1+\frac1{2x+\sqrt{2x}}\r)^2 &=&1+\frac1x\l(\frac{2x}{2x+\sqrt{2x}}+\frac x{(2x+\sqrt{2x})^2}\r) \\&=&1+\frac1x\l((1-\frac1{\sqrt{2x}+1})+\frac1{2(\sqrt{2x}+1)^2}\r) \\&<&1+\frac1x\l((1-\frac1{\sqrt{2x}+1})+\frac1{\sqrt{2x}+1}\r) \\&=&1+\frac1x \end{eqnarray}

　 この記事 の補題5系から
\begin{eqnarray} \log N&=&\vt(x)+x_2+O(x^\frac13) \\\log\log N&=&\log\vt(x)+\frac{x_2}{\vt(x)}+O(x^{-\frac23}) \\\log\log\log N&=&\log\log\vt(x)+\frac{x_2}{\vt(x)\log\vt(x)}+O(x^{-\frac23}) \end{eqnarray}
と評価でき、また同記事の補題5から
$$x_2=\sqrt{2x}(1+O\l(\frac1{\log x}\r))$$
と評価できることとリーマン予想と同値な漸近公式
$$\vt(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$$
からわかる。

　 この記事 の定理8より
\begin{eqnarray} &&\farc{\s(N)}{N}=\s_{-1}(N) =\prod_{r=1}^\infty\prod_{p\leq x_r}\frac{1-p^{-(r+1)}}{1-p^{-r}} \\&=&\prod_{r=1}^\infty\prod_{x_{r+1}< p\leq x_r}\prod^r_{k=1}\frac{1-p^{-(k+1)}}{1-p^{-k}} =\prod_{r=1}^\infty\prod_{x_{r+1}< p\leq x_r}\frac{1-p^{-(r+1)}}{1-p^{-1}} \\&=&\prod_{p\leq x_1}\frac1{1-p^{-1}}\prod_{x_2< p\leq x_1}(1-p^{-2}) \prod_{r=2}^\infty\prod_{x_{r+1}< p\leq x_r}(1-p^{-(r+1)}) \\&\leq&\prod_{p\leq x}\frac1{1-p^{-1}}\prod_{\sqrt{2x}< p\leq x}(1-p^{-2}) \end{eqnarray}
とわかる。

　 この記事 の定理7
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) =-\log|\z(s)|-\Li(x^{1-s})+O\l(\frac{x^{1-s}}{\log^2x}\r)$$
から
\begin{eqnarray} \log\prod_{p\leq x}(1-p^{-2}) &=&-\log|\z(s)|-\Li(x^{-1})+O\l(\frac{x^{-1}}{\log^2x}\r) \\&=&-\log|\z(s)|+\frac{x^{-1}}{\log x}+O\l(\frac{x^{-1}}{\log^2x}\r) \\\log\prod_{\sqrt{2x}< p\leq x}(1-p^{-2}) &=&\frac1{x\log x}-\frac1{\sqrt{2x}\log\sqrt{2x}}+O\l(\frac1{\sqrt{x}\log^2x}\r) \\&=&-\frac{\sqrt2}{\sqrt x\log x}+O\l(\frac1{\sqrt{x}\log^2x}\r) \end{eqnarray}
とわかる($\Li(x^{-1})$の評価については この記事 参照)。

　リーマン予想が真であれば$\ol\rho=1-\rho$であることから
$$\sqrt xS_1(x)=\sum_\rho\frac{x^{\rho-\frac12}}{\rho(\rho-1)} =-\sum_\rho\frac{x^{\Im(\rho)}}{|\rho|^2} \leq\sum_\rho\frac1{|\rho|^2}=2+\g-\log4\pi$$
(最後の等号については この記事 参照)に注意すると、 この記事 の定理4系
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-1}) =-\g-\log\log\vt(x)-\frac2{\sqrt x\log x} -\frac{S_1(x)}{\log x}+O\l(\frac1{\sqrt x\log^2x}\r)$$
からわかる。