リーマン予想による約数関数の漸近公式(とラマヌジャンの定理)

$$f(x)=\log \frac{1-x^{-s(r+1)}}{1-x^{-sr}},\pi (x)=\sum _{p\le x}1$$
とおいたとき、$y_r$の定義から
$$f(y_r)=\log y_r^{ϵ}=ϵ\log y_r$$
となることに注意すると アーベルの総和公式 から
$$\begin{array}{rcl}\log {\mathrm{\Pi }}_r(x_r)& =& \sum _{p\le x_r}f(p)\\ & =& \pi (x_r)f(x_r)-{\int }_{x_0}^{x_r}\pi (t)f^{\prime }(t)dt\\ & =& \epsilon \pi (x_r)\log x_r-{\int }_{x_0}^{x_r}\pi (t)f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
が成り立つ(ただし$x_0=x_r({\epsilon }_0)\le x_1({\epsilon }_0)=2$とした)。ここで$t=y_r(ϵ)$と変数変換すると
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(t)dt& =& f^{\prime }(y_r)y_r^{\prime }dϵ=(f(y_r){)}^{\prime }dϵ=(\log y_r^{ϵ}{)}^{\prime }dϵ\\ & =& (\epsilon \frac{y_r^{\prime }}{y_r}+\log y_r)dϵ=\frac{\epsilon }{t}dt+\log y_{r}dϵ\end{array}$$
なので
$$\log {\mathrm{\Pi }}_r(x_r)=\epsilon \pi (x_r)\log x_r-{\int }_{x_0}^{x_r}\frac{ϵ\pi (t)}{t}dt-{\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }\pi (y_r)\log y_{r}dϵ$$
がわかる。

　再びアーベルの総和公式から
$$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-{\int }_{x_0}^x\frac{\pi (t)}{t}dt$$
であることに注意すると
$$\begin{array}{rcl}\log \frac{{\mathrm{\Pi }}_r(x_r)}{e^{\epsilon \vartheta (x_r)}}& =& {\int }_{x_0}^{x_r}\frac{\epsilon \pi (t)}{t}dt-{\int }_{x_0}^{x_r}\frac{ϵ\pi (t)}{t}dt-{\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }\pi (y_r)\log y_{r}dϵ\\ & =& {\int }_{x_0}^{x_r}{\int }_{ϵ}^{\epsilon }\frac{\pi (t)}{t}d{ϵ}^{\prime }dt-{\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }\pi (y_r)\log y_{r}dϵ\\ & =& {\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }({\int }_{x_0}^{y_r}\frac{\pi (t)}{t}dt-y_r\log y_r)dϵ\\ & =& -{\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }\vartheta (y_r)dϵ\end{array}$$
を得る。

$$g(\epsilon )=\log \left(n^{\epsilon }\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Pi }}_r(x_r)}{e^{\epsilon \vartheta (x_r)}}\right)=\epsilon \log n-\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{{\epsilon }_0}^{\epsilon }\vartheta (y_r)dϵ$$
とおいたとき、$x_r$は$\epsilon$について単調減少であることに注意すると
$$g^{\prime }(\epsilon )=\log n-\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta (x_r)$$
は単調増加であり、また
$$N(\epsilon )=\exp (\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta (x_r))$$
とおくと$N(\epsilon )$は$\epsilon$が減少するにつれて全ての優高度合成数を小さい順に渡る( 前々回の記事 参照)ので
$$N(\epsilon +ϵ)<n\le N(\epsilon )(\mathrm{\forall }ϵ>0)$$
となるような$\epsilon$を考えると$\epsilon ={\epsilon }_n$であることがわかる。
　すなわち$g^{\prime }(\epsilon )=\log (n/N(\epsilon ))$は$\epsilon ={\epsilon }_n$の前後で符号を変え、$g(\epsilon )$は$\epsilon ={\epsilon }_n$において最小値を取ることになり、主張を得る。

　定理2,4より$n\le N_n$に注意すると
$${\sigma }_{-s}(n)\le {\left(\frac{n}{N_n}\right)}^{\epsilon }{\sigma }_{-s}(N_n)\le {\sigma }_{-s}(N_n)={\mathrm{\Sigma }}_{-s}(n)$$
が成り立ち、$2$つの不等号は共に$n=N_n$、つまり$n$が優高度合成数であるときに等号が成り立つ。(また第$2$の等号が成り立つのはその時に限る)

$$\begin{array}{rcl}(x_r^r{)}^{\epsilon }& =& {\left(\frac{1-x_r^{-s(r+1)}}{1-x_r^{-sr}}\right)}^r={(1+\frac{x_r-1}{x_r^{sr}-x_r^s})}^r\\ & >& 1+\frac{r}{\sum _{k=1}^r{x}_r^{ks}}\ge 1+\frac{1}{x_r^{rs}}\end{array}$$
つまり$h(x)=x^{\epsilon }-(1+x^{-s})$とおくと
$$h(x_r^r)>0=h(x_1)$$
が成り立つので$h(x)$の単調性( 前々回の記事 の補題3参照)から$x_r>x_1^{\frac{1}{r}}$がわかる。
　また$x_1^{\epsilon }=1+x_1^{-s}$を$\epsilon$について解くと
$$\epsilon =\frac{\log (1+x_1^{-s})}{\log x_1}$$
がわかるので$x_r=x_1^{t_r/r}(1<t_r<r)$とおくと
$$x_r^{\epsilon }=(1+x_1^{-s}{)}^{t_r/r}=\frac{1-x_1^{-s{t}_r(1+\frac{1}{r})}}{1-x_1^{-s{t}_r}}$$
となる。この両辺の対数をとって整理していくと、
$$\begin{array}{rcl}\frac{t_r}{r}{x}_1^{-s}+O(x_1^{-2s})& =& x_1^{-s{t}_r}-x_1^{-s{t}_r(1+\frac{1}{r})}+O(x_1^{-2s{t}_r})\\ x_1^{s(t_r-1)}& =& \frac{r}{t_r}(1-x_1^{-s{t}_r/r})(1+O\left(x_1^{-s(2-t_r)}\right))\\ s(t_r-1)\log x_1& =& \log r-\log t_r+O(x_1^{-s{t}_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)})\\ t_r& =& 1+\frac{\log r}{s\log x_1}-\frac{\log t_r}{s\log x_1}+\frac{O(x_1^{-s{t}_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)})}{s\log x_1}\end{array}$$
ここでこの左辺は$r$未満であり、$x_1\to \mathrm{\infty }$において発散しえないので、
$$O(x_1^{-s{t}_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)})=O(x^{-ϵ})(\mathrm{\exists }ϵ>0)$$
としてよく($t_r\to 1$もわかるので$t_r\ne 2$とした)、また右辺の$\log r-\log t_r$も$O(1)$とすると
$$\log t_r=\log (1+O\left(\frac{1}{\log x_1}\right))=O\left(\frac{1}{\log x_1}\right)$$
となるので
$$\begin{array}{rcl}{t}_r& =& 1+\frac{\log r}{s\log x_1}-\frac{\log t_r}{s\log x_1}+O\left(\frac{x^{-ϵ}}{\log x_1}\right)\\ & =& 1+\frac{\log r}{s\log x_1}+O\left(\frac{1}{{\log }^2{x}_1}\right)\end{array}$$
と評価できる。よって
$$x_r=x_1^{t_r/r}=(r^{1/s}{x}_1{)}^{1/r}{x}_1^{O(1/{\log }^2{x}_1)}=(r^{1/s}{x}_1{)}^{1/r}(1+O\left(\frac{1}{\log x_1}\right))$$
を得る。

　 前々回の記事 より
$$e_1=\lfloor \frac{\log \left(\frac{2^{\epsilon }-2^{-s}}{2^{\epsilon }-1}\right)}{s\log 2}\rfloor$$
について$r>e_1$ならば$x_r<2$が成り立っており、$\epsilon \to 0$において
$$\log \left(\frac{2^{\epsilon }-2^{-s}}{2^{\epsilon }-1}\right)=\log \left(\frac{O(1)}{\epsilon \log 2+O({\epsilon }^2)}\right)=-\log \epsilon +O(1)$$
より$\epsilon =\log (1+x_1^{-s})/\log x_1=(x_1^{-s}+O(x_1^{-2s}))/\log x_1$から
$$e_1=-\frac{\log \epsilon }{s\log 2}+O(1)=\frac{\log x_1}{\log 2}+\frac{\log \log x_1}{s\log 2}+O(1)$$
と評価できるので
$$\begin{array}{rcl}\log N& =& \sum _{r=1}^{e_1}\vartheta (x_r)\\ & =& \vartheta (x_1)+(x_2+O({\sqrt{x}}_2{\log }^2{x}_2))+O(x_3)+O(e_1{x}_4)\\ & =& \vartheta (x_1)+x_2+O(x_1^{\frac{1}{3}})+O(x^{\frac{1}{4}}\log x_1)\\ & =& \vartheta (x_1)+x_2+O(x_1^{\frac{1}{3}})\end{array}$$
を得る。

　$N>N^{\prime }$を連続する巨大過剰数とすると$N/N^{\prime }$は素数か半素数であることが知られているので、$n$未満で最大の優高度合成数を$N_n^{\prime }$、$N_n$の最大の素因数を$P_1$とおくと
$$\frac{N_n}{n}<\frac{N_n}{N_n^{\prime }}<P_1^2\le x_1^2=O({\log }^2{N}_n)$$
を得る($P_1\le x_1$については 前々回の記事 の定理8参照)。

　$s\ne 1$において 前回の記事 の定理7の式を
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})=-\log |\zeta (s)|+O(x^{1-s})$$
と評価したとき、$sr,s(r+1)\ne 1$において
$$\begin{array}{rcl}\log {\mathrm{\Pi }}_r(x_r)& =& \log \prod _{p\le x_r}(1-p^{-s(r+1)})-\log \prod _{p\le x_r}(1-p^{-sr})\\ & =& \log |\zeta (sr)|-\log |\zeta (s(r+1))|+O(x_r^{1-sr})\\ & =& \log |\zeta (sr)|-\log |\zeta (s(r+1))|+O(x_1^{\frac{1}{r}-s})\end{array}$$
つまり
$${\mathrm{\Pi }}_r(x_r)=\frac{|\zeta (sr)|}{|\zeta (s(r+1))|}{e}^{O(x_1^{\frac{1}{r}-s})}$$
と評価できる。
　また 前回の記事 の定理4系の式を
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-1})=O(\log \log x)$$
と評価したとき、$sr=1$であるとすると
$$\begin{array}{rcl}& & \log ({\mathrm{\Pi }}_{r-1}(x_{r-1}){\mathrm{\Pi }}_r(x_r))\\ & =& (\log |\zeta (s(r-1))|+O(\log \log x_{r-1})+O(x_{r-1}^{1-s(r-1)}))\\ & & +(-\log |\zeta (s(r+1))|+O(\log \log x_r)+O(x_r^{1-s(r+1)}))\\ & =& \log |\zeta (s(r-1))|-\log |\zeta (s(r+1))|+O(x_1^{\frac{1}{r-1}-s})\end{array}$$
つまり
$${\mathrm{\Pi }}_{r-1}(x_{r-1}){\mathrm{\Pi }}_r(x_r)=\frac{|\zeta (s(r-1))|}{|\zeta (s(r+1))|}{e}^{O(x_1^{\frac{1}{r-1}-s})}$$
と評価できる。
　以上より$3s\ne 1$ならば
$$\prod _{r=3}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Pi }}_r(x_r)=|\zeta (3s)|O(x_1^{\frac{1}{3}-s})$$
であり、$3s=1$ならば
$$\prod _{r=3}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Pi }}_r(x_r)=e^{O(\log \log x_1)}$$
であることがわかるので主張を得る。

　 前回の記事 の定理7の式
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})=-\log |\zeta (s)|-\mathrm{Li}(x^{1-s})+O\left(\frac{x^{1-s}}{{\log }^{2}x}\right)$$
および$x_2=O(x_1^{\frac{1}{2}})$を使うと、$3s\ne 1$のとき、
$$\log ({\mathrm{\Pi }}_2(x_2)|\zeta (3)|e^{O(x_1^{\frac{1}{3}-s})})=\log |\zeta (2s)|+\mathrm{Li}(x_2^{1-2s})+O(\frac{x_1^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^2{x}_1})$$
と評価でき、また$3s=1$のときも結局
$$\log ({\mathrm{\Pi }}_2(x_2)e^{O(\log \log x_1)})=\log |\zeta (2s)|+\mathrm{Li}(x_2^{1-2s})+O(\frac{x_1^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^2{x}_1})$$
と評価できる。
　また
$$\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-ks})-\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-2ks})=\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-ks})+O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x}\right)$$
に注意すると 前回の記事 の定理4
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})=-\log |\zeta (s)|-\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-ks})+\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{\frac{1}{2}-s})-\frac{x^{\frac{1}{2}-s}+S_s(x)}{\log x}+O(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x})$$
から
$$\begin{array}{rcl}\log {\mathrm{\Pi }}_1(x_1)& =& \log |\zeta (s)|-\log |\zeta (2s)|+\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x_1{)}^{1-ks})\\ & & -\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x_1^{\frac{1}{2}-s})+\frac{x_1^{\frac{1}{2}-s}+S_s(x_1)}{\log x_1}+O(\frac{x_1^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^2{x}_1})\end{array}$$
が成り立つので補題7と合わせて主張を得る。

$$\log N=\vartheta (x_1)+O(x_1^{\frac{1}{2}})=x_1+O(x_1^{\frac{1}{2}}{\log }^2{x}_1)$$
より$O(\log N)$と$O(x_1)$は相互に交換可能であることに注意する。

$\mathrm{Li}(\vartheta (x_1{)}^{1-ks})$の変形

$$\begin{array}{rcl}\vartheta (x_1{)}^{\alpha }& =& (\log N-x_2+O(x_1^{\frac{1}{3}}){)}^{\alpha }\\ & =& (\log N{)}^{\alpha }(1-x_2(\log N{)}^{-1}+O(x_1^{\frac{1}{3}}(\log N{)}^{-1}){)}^{\alpha }\\ & =& (\log N{)}^{\alpha }(1-\alpha x_2(\log N{)}^{-1}+O(x_1^{\frac{1}{3}}(\log N{)}^{-1})+O(x_2^2(\log N{)}^{-2}))\\ & =& (\log N{)}^{\alpha }-\alpha x_2(\log N{)}^{\alpha -1}+O((\log N{)}^{\frac{1}{3}+\alpha -1})\end{array}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Li}(\vartheta (x_1{)}^{1-ks})& =& -k{\int }_{\mathrm{\infty }}^s\frac{\vartheta (x_1{)}^{1-kt}}{1-kt}dt\\ & =& -k{\int }_{\mathrm{\infty }}^s(\frac{(\log N{)}^{1-kt}}{1-kt}-x_2(\log N{)}^{-kt}+\frac{O((\log N{)}^{\frac{1}{3}-kt})}{1-kt})dt\\ & =& \mathrm{Li}((\log N{)}^{1-ks})-\frac{x_2(\log N{)}^{-ks}}{\log \log N}+O(\mathrm{Li}((\log N{)}^{\frac{1}{3}-ks}))\\ & =& \mathrm{Li}((\log N{)}^{1-ks})-\frac{x_2(\log N{)}^{-ks}}{\log \log N}+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)\end{array}$$
と評価できる。

$\mathrm{Li}(x_1^{\frac{1}{2}-s})$の変形

$$\begin{array}{rl}{x}_1^{\frac{1}{2}-s}& =(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}(1+O(x_1^{-\frac{1}{2}}{\log }^2{x}_1){)}^{\frac{1}{2}-s}\\ & =(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}+O(x_1^{-s}{\log }^2{x}_1)\end{array}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Li}(x_1^{\frac{1}{2}-s})& =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^s\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-t}+O(x_1^{-t}{\log }^2{x}_1)}{\frac{1}{2}-t}dt\\ & =& \mathrm{Li}((\log N{)}^{\frac{1}{2}-s})+O(\mathrm{Li}(x^{\frac{1}{2}-s})x_1^{-\frac{1}{2}}{\log }^2{x}_1)\\ & =& \mathrm{Li}((\log N{)}^{\frac{1}{2}-s})+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)\end{array}$$
と評価できる。

$S_s(x_1)$の変形

$$\begin{array}{rcl}{S}_s(x_1)-S_s(\log N)& =& -s{\int }_{\log N}^{x_1}\left(\sum _{\rho }\frac{t^{\rho -s-1}}{\rho }\right)dt\\ & =& (x_1-\log N)O(x_1^{-s-\frac{1}{2}}{\log }^2{x}_1)\\ & =& O(x_1^{-s}{\log }^4{x}_1)\end{array}$$
と評価できる。

$1/\log x_1$の変形

$$\frac{1}{\log x_1}=\frac{1}{\log \log N+O(x^{-\frac{1}{2}}{\log }^2{x}_1)}=\frac{1}{\log \log N}(1+O(x_1^{-\frac{1}{2}}\log x_1))$$
と評価できる。

　以上の評価と定理8を合わせることで主張を得る。

$s\ne \frac{1}{2}$のとき

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& 2^{\frac{1}{2s}}{x}_1^{\frac{1}{2}}+O(\frac{x_1^{\frac{1}{2}}}{\log x_1})\\ & =& 2^{\frac{1}{2s}}(\log N{)}^{\frac{1}{2}}+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}}}{\log \log N}\right)\\ \mathrm{Li}((\log N{)}^{\frac{1}{2}-s})& =& \frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\frac{1}{2}-s)\log \log N}+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)\\ \mathrm{Li}(x_2^{1-2s})& =& \frac{x_2^{1-2s}}{(1-2s)\log x_2}+O\left(\frac{x_2^{1-2s}}{{\log }^2{x}_2}\right)\\ & =& \frac{2^{\frac{1}{2s}}(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(1-2s)\log \log N}+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)\\ \frac{x_2(\log \log N{)}^{-s}}{\log \log N}& =& \frac{2^{\frac{1}{2s}}(\log \log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{\log \log N}+O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)\end{array}$$
より定理9からわかる。ただし$s<\frac{1}{2}$のとき、
$$\log |\zeta (s)|=O(1)=O\left(\frac{(\log N{)}^{\frac{1}{2}-s}}{(\log \log N{)}^2}\right)$$
であり、$s>\frac{1}{2}$のとき$m=1$であることに注意する。

$s=\frac{1}{2}$のとき

$$\begin{array}{rcl}\log x_2^2& =& 2\log 2+\log \log N+O\left(\frac{1}{\log \log N}\right)\\ \log \log x_2^2& =& \log \log \log N+\frac{2\log 2}{\log \log N}+O\left(\frac{1}{(\log \log N{)}^2}\right)\end{array}$$
と 前の記事 の結果から
$$\begin{array}{rcl}& & \underset{s\to \frac{1}{2}}{lim}(\mathrm{Li}(x_2^{1-2s})-\frac{\mathrm{Li}((\log N{)}^{1-2s})+\mathrm{Li}((\log N{)}^{\frac{1}{2}-s})}{2})\\ & =& \log \log x_2^2-\frac{\log \log {(\log N)}^2+\log \log \log N}{2}\\ & =& \frac{2\log 2}{\log \log N}-\frac{1}{2}\log 2+O\left(\frac{1}{(\log \log N{)}^2}\right)\end{array}$$
であることと$\zeta (\frac{1}{2})=-1.460\dots$である(らしい)ことに注意すると定理9からわかる。