リーマン予想による約数関数の漸近公式(とラマヌジャンの定理)

$$f(x)=\log\frac{1-x^{-s(r+1)}}{1-x^{-sr}},\quad\pi(x)=\sum_{p\leq x}1$$
とおいたとき、$y_r$の定義から
$$f(y_r)=\log y_r^\ep=\ep\log y_r$$
となることに注意すると アーベルの総和公式 から
\begin{eqnarray} \log\Pi_r(x_r)&=&\sum_{p\leq x_r}f(p) \\&=&\pi(x_r)f(x_r)-\int^{x_r}_{x_0}\pi(t)f'(t)dt \\&=&\e\pi(x_r)\log x_r-\int^{x_r}_{x_0}\pi(t)f'(t)dt \end{eqnarray}
が成り立つ(ただし$x_0=x_r(\e_0)\leq x_1(\e_0)=2$とした)。ここで$t=y_r(\ep)$と変数変換すると
\begin{eqnarray} f'(t)dt&=&f'(y_r)y_r'd\ep=(f(y_r))'d\ep=(\log y_r^\ep)'d\ep \\&=&\l(\e\frac{y'_r}{y_r}+\log y_r\r)d\ep=\frac\e{t}dt+\log y_r\;d\ep \end{eqnarray}
なので
$$\log\Pi_r(x_r) =\e\pi(x_r)\log x_r-\int^{x_r}_{x_0}\frac{\ep\pi(t)}{t}dt-\int^\e_{\e_0}\pi(y_r)\log y_r\;d\ep$$
がわかる。

　再びアーベルの総和公式から
$$\vt(x)=\pi(x)\log x-\int^x_{x_0}\frac{\pi(t)}tdt$$
であることに注意すると
\begin{eqnarray} \log\frac{\Pi_r(x_r)}{e^{\e\vt(x_r)}} &=&\int^{x_r}_{x_0}\frac{\e\pi(t)}{t}dt-\int^{x_r}_{x_0}\frac{\ep\pi(t)}{t}dt-\int^\e_{\e_0}\pi(y_r)\log y_r\;d\ep \\&=&\int^{x_r}_{x_0}\int^\e_\ep\frac{\pi(t)}{t}d\ep'dt-\int^\e_{\e_0}\pi(y_r)\log y_r\;d\ep \\&=&\int^\e_{\e_0}\l(\int^{y_r}_{x_0}\frac{\pi(t)}{t}dt-y_r\log y_r\r)d\ep \\&=&-\int^\e_{\e_0}\vt(y_r)d\ep \end{eqnarray}
を得る。

$$g(\e)=\log\l(n^\e\prod^\infty_{r=1}\frac{\Pi_r(x_r)}{e^{\e\vt(x_r)}}\r) =\e\log n-\sum^\infty_{r=1}\int^\e_{\e_0}\vt(y_r)d\ep$$
とおいたとき、$x_r$は$\e$について単調減少であることに注意すると
$$g'(\e)=\log n-\sum^\infty_{r=1}\vt(x_r)$$
は単調増加であり、また
$$N(\e)=\exp(\sum^\infty_{r=1}\vt(x_r))$$
とおくと$N(\e)$は$\e$が減少するにつれて全ての優高度合成数を小さい順に渡る( 前々回の記事 参照)ので
$$N(\e+\ep)< n\leq N(\e)\;(\forall\ep>0)$$
となるような$\e$を考えると$\e=\e_n$であることがわかる。
　すなわち$g'(\e)=\log(n/N(\e))$は$\e=\e_n$の前後で符号を変え、$g(\e)$は$\e=\e_n$において最小値を取ることになり、主張を得る。

　定理2,4より$n\leq N_n$に注意すると
$$\s_{-s}(n)\leq\l(\frac n{N_n}\r)^\e\s_{-s}(N_n)\leq\s_{-s}(N_n)=\S_{-s}(n)$$
が成り立ち、$2$つの不等号は共に$n=N_n$、つまり$n$が優高度合成数であるときに等号が成り立つ。(また第$2$の等号が成り立つのはその時に限る)

\begin{eqnarray} (x_r^r)^\e&=&\l(\frac{1-x_r^{-s(r+1)}}{1-x_r^{-sr}}\r)^r =\l(1+\frac{x_r-1}{x_r^{sr}-x_r^s}\r)^r \\&>&1+\frac{r}{\sum^r_{k=1}x_r^{ks}} \geq1+\frac1{x_r^{rs}} \end{eqnarray}
つまり$h(x)=x^\e-(1+x^{-s})$とおくと
$$h(x_r^r)>0=h(x_1)$$
が成り立つので$h(x)$の単調性( 前々回の記事 の補題3参照)から$x_r>x_1^\frac1r$がわかる。
　また$x_1^\e=1+x_1^{-s}$を$\e$について解くと
$$\e=\frac{\log(1+x_1^{-s})}{\log x_1}$$
がわかるので$x_r=x_1^{t_r/r}\;(1< t_r< r)$とおくと
$$x_r^\e=(1+x_1^{-s})^{t_r/r}=\frac{1-x_1^{-st_r(1+\frac1r)}}{1-x_1^{-st_r}}$$
となる。この両辺の対数をとって整理していくと、
\begin{eqnarray} \frac{t_r}r x_1^{-s}+O(x_1^{-2s})&=&x_1^{-st_r}-x_1^{-st_r(1+\frac1r)}+O(x_1^{-2st_r}) \\x_1^{s(t_r-1)}&=&\frac r{t_r}(1-x_1^{-st_r/r})(1+O\l(x_1^{-s(2-t_r)}\r)) \\s(t_r-1)\log x_1&=&\log r-\log t_r+O(x_1^{-st_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)}) \\t_r&=&1+\frac{\log r}{s\log x_1}-\frac{\log t_r}{s\log x_1}+\frac{O(x_1^{-st_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)})}{s\log x_1} \end{eqnarray}
ここでこの左辺は$r$未満であり、$x_1\to\infty$において発散しえないので、
$$O(x_1^{-st_r/r})+O(x_1^{-s(2-t_r)})=O(x^{-\ep})\quad(\exists\ep>0)$$
としてよく($t_r\to1$もわかるので$t_r\neq2$とした)、また右辺の$\log r-\log t_r$も$O(1)$とすると
$$\log t_r=\log\l(1+O\l(\frac1{\log x_1}\r)\r)=O\l(\frac1{\log x_1}\r)$$
となるので
\begin{eqnarray} t_r&=&1+\frac{\log r}{s\log x_1}-\frac{\log t_r}{s\log x_1}+O\l(\frac{x^{-\ep}}{\log x_1}\r) \\&=&1+\frac{\log r}{s\log x_1}+O\l(\frac1{\log^2x_1}\r) \end{eqnarray}
と評価できる。よって
$$x_r=x_1^{t_r/r}=(r^{1/s}x_1)^{1/r}x_1^{O(1/\log^2 x_1)} =(r^{1/s}x_1)^{1/r}(1+O\l(\frac1{\log x_1}\r))$$
を得る。

　 前々回の記事 より
$$e_1=\bigg\lfloor\frac{\log(\frac{2^\e-2^{-s}}{2^\e-1})}{s\log2}\bigg\rfloor$$
について$r>e_1$ならば$x_r<2$が成り立っており、$\e\to0$において
$$\log\l(\frac{2^\e-2^{-s}}{2^\e-1}\r) =\log\l(\frac{O(1)}{\e\log 2+O(\e^2)}\r)=-\log\e+O(1)$$
より$\e=\log(1+x_1^{-s})/\log x_1=(x_1^{-s}+O(x_1^{-2s}))/\log x_1$から
$$e_1=-\frac{\log\e}{s\log2}+O(1) =\frac{\log x_1}{\log2}+\frac{\log\log x_1}{s\log2}+O(1)$$
と評価できるので
\begin{eqnarray} \log N &=&\sum^{e_1}_{r=1}\vt(x_r) \\&=&\vt(x_1)+(x_2+O(\sqrt x_2\log^2 x_2))+O(x_3)+O(e_1x_4) \\&=&\vt(x_1)+x_2+O(x_1^\frac13)+O(x^\frac14\log x_1) \\&=&\vt(x_1)+x_2+O(x_1^\frac13) \end{eqnarray}
を得る。

　$N>N'$を連続する巨大過剰数とすると$N/N'$は素数か半素数であることが知られているので、$n$未満で最大の優高度合成数を$N'_n$、$N_n$の最大の素因数を$P_1$とおくと
$$\frac{N_n}{n}<\frac{N_n}{N'_n}< P_1^2\leq x_1^2=O(\log^2N_n)$$
を得る($P_1\leq x_1$については 前々回の記事 の定理8参照)。

　$s\neq1$において 前回の記事 の定理7の式を
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s})=-\log|\z(s)|+O(x^{1-s})$$
と評価したとき、$sr,s(r+1)\neq1$において
\begin{eqnarray} \log\Pi_r(x_r)&=&\log\prod_{p\leq x_r}(1-p^{-s(r+1)})-\log\prod_{p\leq x_r}(1-p^{-sr}) \\&=&\log|\z(sr)|-\log|\z(s(r+1))|+O(x_r^{1-sr}) \\&=&\log|\z(sr)|-\log|\z(s(r+1))|+O(x_1^{\frac1r-s}) \end{eqnarray}
つまり
$$\Pi_r(x_r)=\farc{|\z(sr)|}{|\z(s(r+1))|}e^{O(x_1^{\frac1r-s})}$$
と評価できる。
　また 前回の記事 の定理4系の式を
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-1})=O(\log\log x)$$
と評価したとき、$sr=1$であるとすると
\begin{eqnarray} &&\log\big(\Pi_{r-1}(x_{r-1})\Pi_r(x_r)\big) \\&=&(\log|\z(s(r-1))|+O(\log\log x_{r-1})+O(x_{r-1}^{1-s(r-1)})) \\&&\quad+(-\log|\z(s(r+1))|+O(\log\log x_r)+O(x_r^{1-s(r+1)})) \\&=&\log|\z(s(r-1))|-\log|\z(s(r+1))|+O(x_1^{\frac1{r-1}-s}) \end{eqnarray}
つまり
$$\Pi_{r-1}(x_{r-1})\Pi_r(x_r)=\frac{|\z(s(r-1))|}{|\z(s(r+1))|}e^{O(x_1^{\frac1{r-1}-s})}$$
と評価できる。
　以上より$3s\neq 1$ならば
$$\prod^\infty_{r=3}\Pi_r(x_r)=|\z(3s)|O(x_1^{\frac13-s})$$
であり、$3s=1$ならば
$$\prod^\infty_{r=3}\Pi_r(x_r)=e^{O(\log\log x_1)}$$
であることがわかるので主張を得る。

　 前回の記事 の定理7の式
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) =-\log|\z(s)|-\Li(x^{1-s})+O\l(\frac{x^{1-s}}{\log^2x}\r)$$
および$x_2=O(x_1^{\frac12})$を使うと、$3s\neq1$のとき、
$$\log(\Pi_2(x_2)|\z(3)|e^{O(x_1^{\frac13-s})}) =\log|\z(2s)|+\Li(x_2^{1-2s})+O\Bigg(\frac{x_1^{\frac12-s}}{\log^2x_1}\Bigg)$$
と評価でき、また$3s=1$のときも結局
$$\log(\Pi_2(x_2)e^{O(\log\log x_1)}) =\log|\z(2s)|+\Li(x_2^{1-2s})+O\Bigg(\frac{x_1^{\frac12-s}}{\log^2x_1}\Bigg)$$
と評価できる。
　また
$$\sum^m_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks})-\sum^m_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-2ks}) =\sum^m_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}k\Li(\vt(x)^{1-ks})+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r)$$
に注意すると 前回の記事 の定理4
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s})=-\log|\z(s)|-\sum^m_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks})+\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-s}+S_s(x)}{\log x} +O\Bigg(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\Bigg)$$
から
\begin{eqnarray} \log\Pi_1(x_1) &=&\log|\z(s)|-\log|\z(2s)|+\sum^m_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\Li(\vt(x_1)^{1-ks}) \\&&\quad-\frac12\Li(x_1^{\frac12-s})+\frac{x_1^{\frac12-s}+S_s(x_1)}{\log x_1} +O\Bigg(\frac{x_1^{\frac12-s}}{\log^2x_1}\Bigg) \end{eqnarray}
が成り立つので補題7と合わせて主張を得る。

$$\log N=\vt(x_1)+O(x_1^\frac12)=x_1+O(x_1^\frac12\log^2x_1)$$
より$O(\log N)$と$O(x_1)$は相互に交換可能であることに注意する。

$\Li(\vt(x_1)^{1-ks})$の変形

\begin{eqnarray} \vt(x_1)^\a&=&(\log N-x_2+O(x_1^\frac13))^\a \\&=&(\log N)^\a\big(1-x_2(\log N)^{-1}+O(x_1^\frac13(\log N)^{-1})\big)^\a \\&=&(\log N)^\a\big(1-\a x_2(\log N)^{-1}+O(x_1^\frac13(\log N)^{-1})+O(x_2^2(\log N)^{-2})\big) \\&=&(\log N)^\a-\a x_2(\log N)^{\a-1}+O((\log N)^{\frac13+\a-1}) \end{eqnarray}
に注意すると
\begin{eqnarray} \Li(\vt(x_1)^{1-ks}) &=&-k\int^s_\infty\frac{\vt(x_1)^{1-kt}}{1-kt}dt \\&=&-k\int^s_\infty\l(\frac{(\log N)^{1-kt}}{1-kt}-x_2(\log N)^{-kt}+\frac{O((\log N)^{\farc13-kt})}{1-kt}\r)dt \\&=&\Li((\log N)^{1-ks})-\frac{x_2(\log N)^{-ks}}{\log\log N}+O\Big(\Li((\log N)^{\frac13-ks})\Big) \\&=&\Li((\log N)^{1-ks})-\frac{x_2(\log N)^{-ks}}{\log\log N}+O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r) \end{eqnarray}
と評価できる。

$\Li(x_1^{\farc12-s})$の変形

\begin{align} x_1^{\frac12-s} &=(\log N)^{\frac12-s}\big(1+O(x_1^{-\frac12}\log^2x_1)\big)^{\frac12-s}\\ &=(\log N)^{\frac12-s}+O(x_1^{-s}\log^2x_1) \end{align}
に注意すると
\begin{eqnarray} \Li(x_1^{\frac12-s}) &=&-\int^s_\infty\frac{(\log N)^{\frac12-t}+O(x_1^{-t}\log^2x_1)}{\frac12-t}dt \\&=&\Li((\log N)^{\frac12-s})+O(\Li(x^{\frac12-s})x_1^{-\frac12}\log^2x_1) \\&=&\Li((\log N)^{\frac12-s})+O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r) \end{eqnarray}
と評価できる。

$S_s(x_1)$の変形

\begin{eqnarray} S_s(x_1)-S_s(\log N) &=&-s\int^{x_1}_{\log N}\l(\sum_\rho\frac{t^{\rho-s-1}}{\rho}\r)dt \\&=&(x_1-\log N)O(x_1^{-s-\frac12}\log^2x_1) \\&=&O(x_1^{-s}\log^4x_1) \end{eqnarray}
と評価できる。

$1/\log x_1$の変形

$$\frac1{\log x_1}=\frac1{\log\log N+O(x^{-\frac12}\log^2 x_1)} =\farc1{\log\log N}(1+O(x_1^{-\frac12}\log x_1))$$
と評価できる。

　以上の評価と定理8を合わせることで主張を得る。

$s\neq\frac12$のとき

\begin{eqnarray} x_2&=&2^{\frac1{2s}}x_1^{\frac12}+O\bigg(\frac{x_1^\frac12}{\log x_1}\bigg) \\&=&2^{\frac1{2s}}(\log N)^{\frac12}+O\l(\frac{(\log N)^\frac12}{\log\log N}\r) \\\Li((\log N)^{\frac12-s}) &=&\farc{(\log N)^{\frac12-s}}{(\frac12-s)\log\log N} +O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r) \\\Li(x_2^{1-2s}) &=&\frac{x_2^{1-2s}}{(1-2s)\log x_2}+O\l(\frac{x_2^{1-2s}}{\log^2x_2}\r) \\&=&\farc{2^{\frac1{2s}}(\log N)^{\frac12-s}}{(1-2s)\log\log N} +O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r) \\\frac{x_2(\log\log N)^{-s}}{\log\log N} &=&\frac{2^{\frac1{2s}}(\log\log N)^{\frac12-s}}{\log\log N} +O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r) \end{eqnarray}
より定理9からわかる。ただし$s<\frac12$のとき、
$$\log|\z(s)|=O(1)=O\l(\frac{(\log N)^{\frac12-s}}{(\log\log N)^2}\r)$$
であり、$s>\frac12$のとき$m=1$であることに注意する。

$s=\frac12$のとき

\begin{eqnarray} \log x_2^2&=&2\log2+\log\log N+O\l(\frac1{\log\log N}\r) \\\log\log x_2^2&=&\log\log\log N+\frac{2\log 2}{\log\log N}+O\l(\frac1{(\log\log N)^2}\r) \end{eqnarray}
と 前の記事 の結果から
\begin{eqnarray} &&\lim_{s\to\frac12}(\Li(x_2^{1-2s})-\frac{\Li((\log N)^{1-2s})+\Li((\log N)^{\frac12-s})}2) \\&=&\log\log x_2^2-\frac{\log\log(\log N)^2+\log\log\log N}2 \\&=&\frac{2\log 2}{\log\log N}-\frac12\log2+O\l(\frac1{(\log\log N)^2}\r) \end{eqnarray}
であることと$\z(\frac12)=-1.460\ldots$である(らしい)ことに注意すると定理9からわかる。

　 前の記事 の結果から
\begin{align} \lim_{s\to1}(\log|\z(s)|+\Li((\log N)^{1-s})) &=\lim_{s\to1}(-\log|s-1|+(\log|s-1|+\g+\log\log\log N))\\ &=\g+\log\log\log N \end{align}
であることに注意して定理10の式を$s\to1$とすると
$$\log\S_{-s}(n) =\g+\log\log\log N-\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt{\log N}\log\log N} +\frac{S_1(\log N)}{\log\log N}+\frac{O(1)}{\sqrt{\log N}(\log\log N)^2}$$
となるので
\begin{eqnarray} \S_{-1}(n) &=&e^\g\log\log N\exp\l(-\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt{\log N}\log\log N} +\frac{S_1(\log N)}{\log\log N}+\frac{O(1)}{\sqrt{\log N}(\log\log N)^2}\r) \\&=&e^\g\log\log N\l(1-\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt{\log N}\log\log N} +\frac{S_1(\log N)}{\log\log N}+\frac{O(1)}{\sqrt{\log N}(\log\log N)^2}\r) \\&=&e^\g\l(\log\log N-\frac{2(\sqrt 2-1)}{\sqrt{\log N}}+S_1(\log N) +\frac{O(1)}{\sqrt{\log N}\log\log N}\r) \end{eqnarray}
を得る。

　補題6から
\begin{align} \log n&=\log N+O(\log\log N)\\ \log\log n&=\log\log N+O\l(\frac{\log\log N}{\log N}\r) \end{align}
に注意すると$\s(n)=n\s_{-1}(n)$および定理4系と定理11から
\begin{eqnarray} &&\limsup_{n\to\infty}(\s(n)-e^\g n\log\log n)\cdot\frac{\sqrt{\log n}}{n} \\&\leq&\limsup_{n\to\infty}(\S_{-1}(n)-e^\g \log\log n)\sqrt{\log n} \\&\leq&\limsup_{n\to\infty}e^\g\l(-\frac{2(\sqrt 2-1)}{\sqrt{\log N}}+S_1(\log N) +\frac{O(1)}{\sqrt{\log N}\log\log N}\r)\sqrt{\log N} \\&\leq&e^\g(-2(\sqrt 2-1)+(2+\g-\log4\pi))=-e^\g(2\sqrt 2-4-\g+\log4\pi) \end{eqnarray}
を得る。ただしリーマン予想から$\ol\rho=1-\rho$であることに注意すると
$$\l|x^{\frac12}S_1(x)\r| =\l|\sum_\rho\frac{x^{\Im(\rho)}}{\rho(\rho-1)}\r| \leq\sum_\rho\frac1{|\rho|^2}=2+\g-\log4\pi$$
と評価できることを用いた(最後の等号については この記事 参照)。