文献あり

豊穣圏の導入第4回: Underlying Category について (後半) (2)

$V$ -圏の underlying category について (続き)

Underlying Category

$V = (V, \otimes, a, I, l, r)$ をモノイダル圏とする．

$V$ から $Set$ への関手 $V (I, -)$ を以下で定める:
(1) $X \in V$ に対して，集合 $V (I, -) X$ を $V (I, -) X := V (I, X)$ で定める．
(2) $V$ での射 $f : X \to Y$ に対して， $V (I, -) X = V (I, X)$ から $V (I, -) Y = V (I, Y)$ への写像 $V (I, -) (f)$ を，各 $g \in V (I, -) X$ に対して $(V (I, -) (f)) (g) := f g$ で定めて， $V (I, -) (f)$ を $V (I, f)$ で表す．

$V (I, -)$ は $V$ から $Set$ への関手である．

実際， $X \in V$ を取るとき，任意の $g \in V (I, X)$ に対して $V (I, 1_{X}) (g) = 1_{X} g = g = 1_{V (I, X)} (g)$ だから， $V (I, 1_{X}) = 1_{V (I, X)}$ である．
また， $V$ での射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ を取るとき，任意の $h \in V (I, X)$ に対して，
$V (I, g f) (h) = (g f) h = g (f h) = V (I, g) (f h) = V (I, g) (V (I, f) (h)) = (V (I, g) V (I, f)) (h),$
だから， $V (I, g f) = V (I, g) V (I, f)$ である．

$Set = (Set, \otimes^{'}, a^{'}, I^{'}, l^{'}, r^{'})$ を命題 2.b.2 で構成したモノイダル圏とする．

$X, Y \in V$ を取る．
定義 2.b.1 より $V (I, X) \otimes^{'} V (I, Y) = V (I, X) \times V (I, Y)$ である．

$X, Y \in V$ に対して， $V (I, X) \otimes^{'} V (I, Y) = V (I, X) \times V (I, Y)$ から $V (I, X \otimes Y)$ への写像 $μ_{X, Y}$ を，各 $f \in V (I, X)$ と $g \in V (I, Y)$ に対して $μ_{X, Y} ((f, g)) := (f \otimes g) (l_{I})^{- 1}$ で定める:
$I μ_{X, Y} ((f, g)) (l_{I})^{- 1} I \otimes I f \otimes g X \otimes Y$
写像の族 ${μ_{X, Y}}_{X, Y \in V}$ を $μ$ で表す．

定義 2.b.2 より $I^{'} = {\emptyset}$ である．

$I^{'} = {\emptyset}$ から $V (I, I)$ への写像 $e$ を $e (\emptyset) := 1_{I}$ で定める

$l_{I} = r_{I}$ である．

この命題の証明は付録で述べる．

$(V (I, -), μ, e)$ は $V$ から $Set$ への lax モノイダル関手である．

$V$ での射 $f : X \to X^{'}$ と $g : Y \to Y^{'}$ を任意に取る．
定義 2.b.1 より $V (I, X) \otimes^{'} V (I, Y) = V (I, X) \times V (I, Y)$ である．
また， $\otimes$ は $V^{2}$ から $V$ への関手だから， $(f h) \otimes (g k) = (f \otimes g) (h \otimes k)$ である．
ゆえに，任意の $h \in V (I, X)$ と $k \in V (I, Y)$ に対して，
$\begin{aligned} (μ_{X^{'}, Y^{'}} (V (I, f) \otimes^{'} V (I, g))) ((h, k)) & = μ_{X^{'}, Y^{'}} ((V (I, f) \otimes^{'} V (I, g)) ((h, k))) \\ = μ_{X^{'}, Y^{'}} ((V (I, f) (h), V (I, g) (k)) & (定義 2.b.1) \\ = μ_{X^{'}, Y^{'}} ((f h, g k)) & (定義 1, (2)) \\ = ((f h) \otimes (g k)) (l_{I})^{- 1} & (定義 2) \\ = (f \otimes g) (h \otimes k) (l_{I})^{- 1} \\ = V (I, f \otimes g) ((h \otimes k) (l_{I})^{- 1}) & (定義 1, (2)) \\ = V (I, f \otimes g) (μ_{X, Y} ((h, k))) & (定義 2) \\ = (V (I, f \otimes g) μ_{X, Y}) ((h, k)), \end{aligned}$
であり， $μ_{X^{'}, Y^{'}} (V (I, f) \otimes^{'} V (I, g)) = V (I, f \otimes g) μ_{X, Y}$ である．

$X, Y, Z \in V$ を任意に取る．
定義 2.b.1 より $(V (I, X) \otimes^{'} V (I, Y)) \otimes^{'} V (I, Z) = (V (I, X) \times V (I, Y)) \times V (I, Z)$ である．
$f \in V (I, X)$ と $g \in V (I, Y)$ と $h \in V (I, Z)$ を任意に取る．
$\otimes$ は $V^{2}$ から $V$ への関手だから，以下が成り立つ:

$(f 1_{I}) \otimes (1_{Y} g) = (f \otimes 1_{Y}) (1_{I} \otimes g),$
$((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes (h 1_{I}) = ((f \otimes g) \otimes h) ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}),$
$(1_{I} 1_{I}) \otimes ((l_{I})^{- 1} l_{I}) = (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) (1_{I} \otimes l_{I}),$
$(r_{I} \otimes 1_{I}) ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) = (r_{I} (l_{I})^{- 1}) \otimes (1_{I} 1_{I}),$
$(f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) = (f 1_{I}) \otimes ((g \otimes h) (l_{I})^{- 1}),$
$1_{I \otimes (I \otimes I)} = 1_{I} \otimes 1_{I \otimes I},$
$1_{I \otimes I} \otimes 1_{I} = 1_{(I \otimes I) \otimes I} .$

また， $V$ がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (1) と同様の議論により $a_{X, Y, Z} ((f \otimes g) \otimes h) = (f \otimes (g \otimes h)) a_{I, I, I}$ であり，命題 2.b.1, (2) と同様の議論により $l_{Y} (1_{I} \otimes g) = g l_{I}$ であり，命題 2.b.1, (5) と同様の議論により $(1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I} = r_{I} \otimes 1_{I}$ である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (V (I, a_{X, Y, Z}) μ_{X \otimes Y, Z} (μ_{X, Y} \otimes^{'} 1_{V (I, Z)})) (((f, g), h)) \\ = V (I, a_{X, Y, Z}) (μ_{X \otimes Y, Z} ((μ_{X, Y} \otimes^{'} 1_{V (I, Z)}) (((f, g), h)))) \\ = V (I, a_{X, Y, Z}) (μ_{X \otimes Y, Z} ((μ_{X, Y} ((f, g)), 1_{V (I, Z)} (h)))) & (定義 2.b.1) \\ = V (I, a_{X, Y, Z}) (μ_{X \otimes Y, Z} ((μ_{X, Y} ((f, g)), h))) \\ = V (I, a_{X, Y, Z}) (μ_{X \otimes Y, Z} (((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}, h))) & (定義 2) \\ = V (I, a_{X, Y, Z}) ((((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes h) (l_{I})^{- 1}) & (定義 2) \\ = a_{X, Y, Z} (((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes h) (l_{I})^{- 1} & (定義 1) \\ = a_{X, Y, Z} (((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes h) (l_{I})^{- 1} \\ = a_{X, Y, Z} (((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes h) (l_{I})^{- 1} \\ = a_{X, Y, Z} (((f \otimes g) (l_{I})^{- 1}) \otimes (h 1_{I})) (l_{I})^{- 1} \\ = a_{X, Y, Z} ((f \otimes g) \otimes h) ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) 1_{I \otimes (I \otimes I)} a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes 1_{I \otimes I}) a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) ((1_{I} 1_{I}) \otimes 1_{I \otimes I}) a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) ((1_{I} 1_{I}) \otimes ((l_{I})^{- 1} l_{I})) a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) (1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I} ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) (r_{I} \otimes 1_{I}) ((l_{I})^{- 1} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) ((r_{I} (l_{I})^{- 1}) \otimes (1_{I} 1_{I})) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) ((r_{I} (l_{I})^{- 1}) \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) ((l_{I} (l_{I})^{- 1}) \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} & (命題 1) \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) (1_{I \otimes I} \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) 1_{(I \otimes I) \otimes I} (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes (g \otimes h)) (1_{I} \otimes (l_{I})^{- 1}) (l_{I})^{- 1} \\ = ((f 1_{I}) \otimes ((g \otimes h) (l_{I})^{- 1})) (l_{I})^{- 1} \\ = (f \otimes ((g \otimes h) (l_{I})^{- 1})) (l_{I})^{- 1} \\ = μ_{X, Y \otimes Z} ((f, (g \otimes h) (l_{I})^{- 1}))) & (定義 2) \\ = μ_{X, Y \otimes Z} ((f, μ_{Y, Z} ((g, h)))) & (定義 2) \\ = μ_{X, Y \otimes Z} ((1_{V (I, X)} (f), μ_{Y, Z} ((g, h)))) \\ = μ_{X, Y \otimes Z} ((1_{V (I, X)} \otimes^{'} μ_{Y, Z}) ((f, (g, h)))) & (定義 2.b.1) \\ = μ_{X, Y \otimes Z} ((1_{V (I, X)} \otimes^{'} μ_{Y, Z}) (a_{V (I, X), V (I, Y), V (I, Z)} (((f, g), h)))) & (定義 2.b.3) \\ = (μ_{X, Y \otimes Z} (1_{V (I, X)} \otimes^{'} μ_{Y, Z}) a_{V (I, X), V (I, Y), V (I, Z)}) (((f, g), h)), \end{aligned}$
であり，
$V (I, a_{X, Y, Z}) μ_{X \otimes Y, Z} (μ_{X, Y} \otimes^{'} 1_{V (I, Z)}) = μ_{X, Y \otimes Z} (1_{V (I, X)} \otimes^{'} μ_{Y, Z}) a_{V (I, X), V (I, Y), V (I, Z)},$
である．

$X \in V$ を任意に取る．
$\begin{aligned} I^{'} \otimes^{'} V (I, X) & = I^{'} \times V (I, X) & (定義 2.b.1) \\ = {\emptyset} \times V (I, X), & (定義 2.b.2) \end{aligned}$
である．任意の $(\emptyset, f) \in I^{'} \otimes^{'} V (I, X)$ に対して， $V$ がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (2) と同様の議論により $l_{X} (1_{I} \otimes f) = f l_{I}$ であり，
$\begin{aligned} (V (I, l_{X}) μ_{I, X} (e \otimes^{'} 1_{V (I, X)})) ((\emptyset, f)) & = V (I, l_{X}) (μ_{I, X} ((e \otimes^{'} 1_{V (I, X)}) ((\emptyset, f)))) \\ = V (I, l_{X}) (μ_{I, X} ((e (\emptyset), 1_{V (I, X)} (f)))) & (定義 2.b.1) \\ = V (I, l_{X}) (μ_{I, X} ((e (\emptyset), f))) \\ = V (I, l_{X}) (μ_{I, X} ((1_{I}, f))) & (定義 3) \\ = V (I, l_{X}) ((1_{I} \otimes f) (l_{I})^{- 1}) & (定義 2) \\ = l_{X} (1_{I} \otimes f) (l_{I})^{- 1} & (定義 1, (2)) \\ = f l_{I} (l_{I})^{- 1} \\ = f 1_{I} \\ = f \\ = l_{V (I, X)} ((\emptyset, f)), & (定義 2.b.4, (1)) \end{aligned}$
だから， $V (I, l_{X}) μ_{I, X} (e \otimes^{'} 1_{V (I, X)}) = l_{V (I, X)}$ である．

$X \in V$ を任意に取る．
$\begin{aligned} V (I, X) \otimes^{'} I^{'} & = V (I, X) \times I^{'} & (定義 2.b.1) \\ = V (I, X) \times {\emptyset}, & (定義 2.b.2) \end{aligned}$
である．任意の $(f, \emptyset) \in V (I, X) \otimes^{'} I^{'}$ に対して， $V$ がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (3) と同様の議論により $r_{X} (f \otimes 1_{I}) = f r_{I}$ であり，
$\begin{aligned} (V (I, r_{X}) μ_{X, I} (1_{V (I, X)} \otimes^{'} e)) ((f, \emptyset)) & = V (I, r_{X}) (μ_{X, I} ((1_{V (I, X)} \otimes^{'} e) ((f, \emptyset)))) \\ = V (I, r_{X}) (μ_{X, I} ((1_{V (I, X)} (f), e (\emptyset)))) & (定義 2.b.1) \\ = V (I, r_{X}) (μ_{X, I} ((f, e (\emptyset)))) \\ = V (I, r_{X}) (μ_{X, I} ((f, 1_{I})) & (定義 3) \\ = V (I, r_{X}) ((f \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1}) & (定義 2) \\ = r_{X} (f \otimes 1_{I}) (l_{I})^{- 1} & (定義 1, (2)) \\ = f r_{I} (l_{I})^{- 1} \\ = f r_{I} (r_{I})^{- 1} & (命題 1) \\ = f 1_{I} \\ = f \\ = r_{V (I, X)} ((f, \emptyset)), & (定義 2.b.4, (2)) \end{aligned}$
だから， $V (I, r_{X}) μ_{X, I} (1_{V (I, X)} \otimes^{'} e) = r_{V (I, X)}$ である．

従って，命題 4.a.1 より $(V (I, -), μ, e)$ は $V$ から $Set$ への lax モノイダル関手である．

Lax モノイダル関手 $(V (I, -), μ, e) : V \to Set$ を $V (I, -)$ で表す．

$A$ を $V$ -圏とする．
命題 3 で定めた lax モノイダル関手 $V (I, -) : V \to Set$ に対して，定義 4.a.2 より $Set$ -圏 $V (I, -) A$ が定まる．これを $V (I, A)$ で表すとき，定義 4.a.2 より以下が成り立つ:

$ob V (I, A) = ob A$ である．
$A, B \in A$ に対して， $V (I, A) (A, B) = V (I, A (A, B))$ である．

また，
$V (I, A) = (ob V (I, A), {V (I, A) (A, B)}_{A, B \in A}, {M_{A, B, C}^{'}}_{A, B, C \in A}, {j_{A}^{'}}_{A \in A})$
と表せば，

$A, B, C \in A$ に対して， $M_{A, B, C}^{'} = V (I, M_{A, B, C}) μ_{A (B, C), A (A, B)}$ である．
$A \in A$ に対して， $j_{A}^{'} = V (I, j_{A}) e$ である．

これを踏まえて， $A$ の underlying category を定義する．

命題 3.2 の証明で，集合 $X$ に対して写像 $σ^{X} : Set (I^{'}, X) \to X$ を，各写像 $f : I^{'} \to X$ に対して $σ^{X} (f) := f (\emptyset)$ で定めたことを思い出そう．

Underlying category

$A$ を $V$ -圏とする． $Set$ -圏 $V (I, A)$ に対して，圏 $A_{0}$ を以下で定める:

$A_{0}$ の対象とは， $A$ の対象のことである．
$A, B \in A$ に対して， $A$ から $B$ への $A_{0}$ での射とは， $I$ から $A (A, B)$ への $V$ での射のことである．
$A_{0}$ での射 $g : B \to C$ と $f : A \to B$ に対して， $g$ と $f$ の $A_{0}$ での合成 $g f$ を $g f := M_{A, B, C}^{'} ((g, f))$ で定める．
$\begin{aligned} g f & = M_{A, B, C}^{'} ((g, f)) \\ = (V (I, M_{A, B, C}) μ_{A (B, C), A (A, B)}) ((g, f)) \\ = V (I, M_{A, B, C}) (μ_{A (B, C), A (A, B)} ((g, f))) \\ = V (I, M_{A, B, C}) (g \otimes f) (l_{I})^{- 1} & (定義 2) \\ = M_{A, B, C} (g \otimes f) (l_{I})^{- 1}, & (定義 1) \end{aligned}$
である:
$I (l_{I})^{- 1} g f I \otimes I g \otimes f A (A, C) A (B, C) \otimes A (A, B) M_{A, B, C}$
$A \in A_{0}$ に対して， $A$ の $A_{0}$ での恒等射 $1_{A}$ を $1_{A} := σ^{V (I, A (A, A))} (j_{A}^{'})$ で定める．
$\begin{aligned} 1_{A} & = σ^{V (I, A (A, A))} (j_{A}^{'}) \\ = j_{A}^{'} (\emptyset) & (命題 3.2) \\ = (V (I, j_{A}) e) (\emptyset) \\ = V (I, j_{A}) (e (\emptyset)) \\ = V (I, j_{A}) (1_{I}) & (定義 3) \\ = j_{A}, & (定義 1) \end{aligned}$
である．

$A_{0}$ は圏をなす．

実際， $A_{0}$ の射 $f : A \to B$ を任意に取るとき， $V (I, A)$ が $Set$ -圏をなすことから，定義 3.1, (1) (または定義 3.2, (1)) より $l_{V (I, A) (A, B)}^{'} = M_{A, B, B}^{'} (j_{B}^{'} \otimes^{'} 1_{V (I, A) (A, B)})$ かつ $r_{V (I, A) (A, B)}^{'} = M_{A, A, B}^{'} (1_{V (I, A) (A, B)} \otimes^{'} j_{A}^{'})$ であり，命題 3.3, (1) の証明と同様の議論により $1_{B} f = f 1_{A}$ である．

また， $A_{0}$ の射 $g : B \to C$ と $f : A \to B$ を任意に取るとき， $V (I, A)$ が $Set$ -圏をなすことから，定義 3.1, (2) (または定義 3.2, (2)) より
$M_{A, B, D}^{'} (M_{B, C, D}^{'} \otimes 1_{V (I, A) (A, B)}) = M_{A, C, D}^{'} (1_{V (I, A) (C, D)} \otimes M_{A, B, C}^{'}) a_{V (I, A) (C, D), V (I, A) (B, C), V (I, A) (A, B)}^{'},$
であり，命題 3.3, (2) の証明と同様の議論により $h (g f) = (h g) f$ である．

$A_{0}$ を $A$ のunderlying categoryとよぶ．

まとめ

この記事の (1) では恒等 lax モノイダル関手と lax モノイダル関手の合成を定義して，それらと豊穣圏に関する性質を証明した．また，(2) ではモノイダル圏 $V$ に対して lax モノイダル関手 $V (I, -) : V \to Set$ を構成して，それを用いて $V$ -圏の underlying category とよばれる圏を自然に構成した．

付録: 命題 1 の証明

$V = (V, \otimes, a, I, l, r)$ をモノイダル圏とする．ここでは，nLab [ 5 ] の monoidal catgory の記事を参考にして，以下の命題の証明を与える:

命題 1，再掲

$l_{I} = r_{I}$ である．

以下では，命題 2.b.1 と類似の結果を何度も引用するが，それらは ( $V = Set$ でない場合でも) 命題 2.b.1 と同様の議論を行うことによって得られることを注意しておく．このとき，
$\begin{aligned} l_{I} & = l_{I} 1_{I \otimes I} \\ = l_{I} r_{I \otimes I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (l_{I} \otimes 1_{I}) (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (3)) \\ = r_{I} (l_{I} \otimes 1_{I}) 1_{(I \otimes I) \otimes I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (l_{I} \otimes 1_{I}) l_{(I \otimes I) \otimes I} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I} \otimes 1_{I})) (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (2)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I} \otimes 1_{I})) 1_{I \otimes ((I \otimes I) \otimes I)} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I} \otimes 1_{I})) a_{I, I \otimes I, I} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I} \otimes 1_{I})) a_{I, I \otimes I, I} 1_{(I \otimes (I \otimes I)) \otimes I} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I} \otimes 1_{I})) a_{I, I \otimes I, I} (a_{I, I, I} \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} ((1_{I} \otimes l_{I}) \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (1)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} (((1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I}) \otimes (1_{I} 1_{I})) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (\otimes は関手である) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} (((1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I}) \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} ((r_{I} \otimes 1_{I}) \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (5)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (r_{I} \otimes (1_{I} \otimes 1_{I})) a_{I \otimes I, I, I} (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (1)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (r_{I} \otimes 1_{I \otimes I}) a_{I \otimes I, I, I} (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (\otimes は関手である) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) a_{I, I, I \otimes I} a_{I \otimes I, I, I} (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (5)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) (1_{I} \otimes a_{I, I, I}) a_{I, I \otimes I, I} (a_{I, I, I} \otimes 1_{I}) (a_{I, I, I} \otimes 1_{I})^{- 1} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (4)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) (1_{I} \otimes a_{I, I, I}) a_{I, I \otimes I, I} 1_{(I \otimes (I \otimes I)) \otimes I} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) (1_{I} \otimes a_{I, I, I}) a_{I, I \otimes I, I} (a_{I, I \otimes I, I})^{- 1} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) (1_{I} \otimes a_{I, I, I}) 1_{I \otimes ((I \otimes I) \otimes I)} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I \otimes I}) (1_{I} \otimes a_{I, I, I}) (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} ((1_{I} 1_{I}) \otimes (l_{I \otimes I} a_{I, I, I})) (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (\otimes は関手である) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} (1_{I} \otimes (l_{I \otimes I} a_{I, I, I})) (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} l_{(I \otimes I) \otimes I} (l_{(I \otimes I) \otimes I})^{- 1} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (2)) \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} 1_{(I \otimes I) \otimes I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} 1_{I \otimes I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (l_{I})^{- 1} l_{I} l_{I \otimes I} a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (l_{I})^{- 1} l_{I} (1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (2)) \\ = r_{I} 1_{I \otimes I} (1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (1_{I} \otimes l_{I}) a_{I, I, I} (r_{I \otimes I})^{- 1} \\ = r_{I} (r_{I} \otimes 1_{I}) (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (5)) \\ = r_{I} r_{I \otimes I} (r_{I \otimes I})^{- 1} & (命題 2.b.1, (3)) \\ = r_{I} 1_{I \otimes I} \\ = r_{I}, \end{aligned}$
となって，示された．

全体のまとめ

筆者は豊穣圏を初めて扱ったので，誤った議論や誤植がたくさん見つかるかもしれません．ご指摘やご質問はコメント欄に書き込んでいただくか，私の Twitter アカウント ( @shot__math ) にリプライや DM を送って頂けると嬉しいです．

定義や記法は主に Kelly [1] の §1.1 から§1.5 を参考にしました．また，Lurie [2] の §A.1.3 と §A.1.4 も参考にしました．ただし，第4回 (後半) では [1] でなく Lurie [3] の §2.1 を主に参照しました．

最後に，本記事を最後まで読んで頂きありがとうございました．

参考文献

[1]

G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005

[2]

J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009

[3]

J. Lurie, Kerodon, 閲覧日 2022年2月20日, https://kerodon.net/

[4]

alg_d, 壱大整域，圏論, 閲覧日 2022年2月22日, http://alg-d.com/math/kan_extension/

[5]

nLab, 閲覧日 2022年2月19日, https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023