豊穣圏の導入 第4回: Underlying Category について (後半) (2)
$\cat{V}$-圏の underlying category について (続き)
Underlying Category
$\cat{V}=(\cat{V},\otimes,a,I,l,r)$をモノイダル圏とする．
$\cat{V}$から$\set$への関手$\mor{\cat{V}}{I}{-}$を以下で定める:
(1) $X\in\cat{V}$に対して，集合$\mor{\cat{V}}{I}{-}X$を$\mor{\cat{V}}{I}{-}X:=\mor{\cat{V}}{I}{X}$で定める．
(2) $\cat{V}$での射$\func{f}{X}{Y}$に対して，$\mor{\cat{V}}{I}{-}X=\mor{\cat{V}}{I}{X}$から$\mor{\cat{V}}{I}{-}Y=\mor{\cat{V}}{I}{Y}$への写像$\mor{\cat{V}}{I}{-}(f)$を，各$g\in\mor{\cat{V}}{I}{-}X$に対して$(\mor{\cat{V}}{I}{-}(f))(g):=fg$で定めて，$\mor{\cat{V}}{I}{-}(f)$を$\mor{\cat{V}}{I}{f}$で表す．
$\mor{\cat{V}}{I}{-}$は$\cat{V}$から$\set$への関手である．
実際，$X\in\cat{V}$を取るとき，任意の$g\in\mor{\cat{V}}{I}{X}$に対して$\mor{\cat{V}}{I}{\id{X}}(g)=\id{X}\,g=g=\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}(g)$だから，$\mor{\cat{V}}{I}{\id{X}}=\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}$である．
また，$\cat{V}$での射$\func{g}{Y}{Z}$と$\func{f}{X}{Y}$を取るとき，任意の$h\in\mor{\cat{V}}{I}{X}$に対して，
$$\textstyle\mor{\cat{V}}{I}{gf}(h)=(gf)h=g(fh)=\mor{\cat{V}}{I}{g}(fh)=\mor{\cat{V}}{I}{g}(\mor{\cat{V}}{I}{f}(h))=(\mor{\cat{V}}{I}{g}\mor{\cat{V}}{I}{f})(h),$$
だから，$\mor{\cat{V}}{I}{gf}=\mor{\cat{V}}{I}{g}\mor{\cat{V}}{I}{f}$である．
$\set=(\set,\otimes',a',I',l',r')$を命題 2.b.2 で構成したモノイダル圏とする．
$X,Y\in\cat{V}$を取る．
定義 2.b.1 より$\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{Y}=\mor{\cat{V}}{I}{X}\times\mor{\cat{V}}{I}{Y}$である．
$X,Y\in\cat{V}$に対して，$\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{Y}=\mor{\cat{V}}{I}{X}\times\mor{\cat{V}}{I}{Y}$から$\mor{\cat{V}}{I}{X\otimes Y}$への写像$\mu_{X,Y}$を，各$f\in\mor{\cat{V}}{I}{X}$と$g\in\mor{\cat{V}}{I}{Y}$に対して$\mu_{X,Y}((f,g)):=(f\otimes g)(l_I)^{-1}$で定める:
$$\xymatrix{I\ar[rd]_-{\mu_{X,Y}((f,g))}\ar[r]^-{(l_I)^{-1}}&{I\otimes I}\ar[d]^-{f\otimes g}\\
&{X\otimes Y}}$$
写像の族$\{\mu_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{V}}$を$\mu$で表す．
定義 2.b.2 より$I'=\{\es\}$である．
$I'=\{\es\}$から$\mor{\cat{V}}{I}{I}$への写像$e$を$e(\es):=\id{I}$で定める
$l_I=r_I$である．
この命題の証明は付録で述べる．
$(\mor{\cat{V}}{I}{-},\mu,e)$は$\cat{V}$から$\set$への lax モノイダル関手である．
$\cat{V}$での射$\func{f}{X}{X'}$と$\func{g}{Y}{Y'}$を任意に取る．
定義 2.b.1 より$\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{Y}=\mor{\cat{V}}{I}{X}\times\mor{\cat{V}}{I}{Y}$である．
また，$\otimes$は$\cat{V}^2$から$\cat{V}$への関手だから，$(fh)\otimes(gk)=(f\otimes g)(h\otimes k)$である．
ゆえに，任意の$h\in\mor{\cat{V}}{I}{X}$と$k\in\mor{\cat{V}}{I}{Y}$に対して，
\begin{align}
\textstyle(\mu_{X',Y'}(\mor{\cat{V}}{I}{f}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{g}))((h,k))
&\,\textstyle=\mu_{X',Y'}((\mor{\cat{V}}{I}{f}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{g})((h,k)))\\
&\,\textstyle=\mu_{X',Y'}((\mor{\cat{V}}{I}{f}(h),\mor{\cat{V}}{I}{g}(k))&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mu_{X',Y'}((fh,gk))&(\text{定義 1, (2)})\\
&\,\textstyle=((fh)\otimes(gk))(l_I)^{-1}&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=(f\otimes g)(h\otimes k)(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{f\otimes g}((h\otimes k)(l_I)^{-1})&(\text{定義 1, (2)})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{f\otimes g}(\mu_{X,Y}((h,k)))&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=(\mor{\cat{V}}{I}{f\otimes g}\mu_{X,Y})((h,k)),
\end{align}
であり，$\mu_{X',Y'}(\mor{\cat{V}}{I}{f}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{g})=\mor{\cat{V}}{I}{f\otimes g}\mu_{X,Y}$である．
$X,Y,Z\in\cat{V}$を任意に取る．
定義 2.b.1 より$\textstyle(\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{Y})\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{Z}=(\mor{\cat{V}}{I}{X}\times\mor{\cat{V}}{I}{Y})\times\mor{\cat{V}}{I}{Z}$である．
$f\in\mor{\cat{V}}{I}{X}$と$g\in\mor{\cat{V}}{I}{Y}$と$h\in\mor{\cat{V}}{I}{Z}$を任意に取る．
$\otimes$は$\cat{V}^2$から$\cat{V}$への関手だから，以下が成り立つ:
- $(f\,\id{I})\otimes(\id{Y}\,g)=(f\otimes\id{Y})(\id{I}\otimes g),$
- $((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes(h\,\id{I})=((f\otimes g)\otimes h)((l_I)^{-1}\otimes\id{I}),$
- $(\id{I}\,\id{I})\otimes((l_I)^{-1}l_I)=(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})(\id{I}\otimes l_I),$
- $(r_I\otimes\id{I})((l_I)^{-1}\otimes\id{I})=(r_I(l_I)^{-1})\otimes(\id{I}\,\id{I}),$
- $(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})=(f\,\id{I})\otimes((g\otimes h)(l_I)^{-1}),$
- $\id{I\otimes(I\otimes I)}=\id{I}\otimes\id{I\otimes I},$
- $\id{I\otimes I}\otimes\id{I}=\id{(I\otimes I)\otimes I}.$
また，$\cat{V}$がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (1) と同様の議論により$a_{X,Y,Z}((f\otimes g)\otimes h)=(f\otimes(g\otimes h))a_{I,I,I}$であり，命題 2.b.1, (2) と同様の議論により$l_Y(\id{I}\otimes g)=gl_I$であり，命題 2.b.1, (5) と同様の議論により$(\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I}=r_I\otimes\id{I}$である．
ゆえに，
\begin{align}
&\,\,\,\,\,\textstyle(\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}\mu_{X\otimes Y,Z}(\mu_{X,Y}\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{Z}}))(((f,g),h))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}(\mu_{X\otimes Y,Z}((\mu_{X,Y}\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{Z}})(((f,g),h))))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}(\mu_{X\otimes Y,Z}((\mu_{X,Y}((f,g)),\id{\mor{\cat{V}}{I}{Z}}(h))))&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}(\mu_{X\otimes Y,Z}((\mu_{X,Y}((f,g)),h)))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}(\mu_{X\otimes Y,Z}(((f\otimes g)(l_I)^{-1},h)))&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}((((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes h)(l_I)^{-1})&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=a_{X,Y,Z}(((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes h)(l_I)^{-1}&(\text{定義 1})\\
&\,\textstyle=a_{X,Y,Z}(((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes h)(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=a_{X,Y,Z}(((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes h)(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=a_{X,Y,Z}(((f\otimes g)(l_I)^{-1})\otimes(h\,\id{I}))(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=a_{X,Y,Z}((f\otimes g)\otimes h)((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))\,\id{I\otimes(I\otimes I)}a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes\id{I\otimes I})a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))((\id{I}\,\id{I})\otimes\id{I\otimes I})a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))((\id{I}\,\id{I})\otimes((l_I)^{-1}l_I))a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})(\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I}((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})(r_I\otimes\id{I})((l_I)^{-1}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})((r_I(l_I)^{-1})\otimes(\id{I}\,\id{I}))(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})((r_I(l_I)^{-1})\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})((l_I(l_I)^{-1})\otimes\id{I})(l_I)^{-1}&(\text{命題 1})\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})(\id{I\otimes I}\otimes\id{I})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})\,\id{(I\otimes I)\otimes I}(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes(g\otimes h))(\id{I}\otimes(l_I)^{-1})(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=((f\,\id{I})\otimes((g\otimes h)(l_I)^{-1}))(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=(f\otimes((g\otimes h)(l_I)^{-1}))(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=\mu_{X,Y\otimes Z}((f,(g\otimes h)(l_I)^{-1})))&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=\mu_{X,Y\otimes Z}((f,\mu_{Y,Z}((g,h))))&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=\mu_{X,Y\otimes Z}((\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}(f),\mu_{Y,Z}((g,h))))\\
&\,\textstyle=\mu_{X,Y\otimes Z}((\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'\mu_{Y,Z})((f,(g,h))))&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mu_{X,Y\otimes Z}((\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'\mu_{Y,Z})(a_{\mor{\cat{V}}{I}{X},\mor{\cat{V}}{I}{Y},\mor{\cat{V}}{I}{Z}}(((f,g),h))))&(\text{定義 2.b.3})\\
&\,\textstyle=(\mu_{X,Y\otimes Z}(\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'\mu_{Y,Z})a_{\mor{\cat{V}}{I}{X},\mor{\cat{V}}{I}{Y},\mor{\cat{V}}{I}{Z}})(((f,g),h)),
\end{align}
であり，
$$\textstyle\mor{\cat{V}}{I}{a_{X,Y,Z}}\mu_{X\otimes Y,Z}(\mu_{X,Y}\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{Z}})=\mu_{X,Y\otimes Z}(\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'\mu_{Y,Z})a_{\mor{\cat{V}}{I}{X},\mor{\cat{V}}{I}{Y},\mor{\cat{V}}{I}{Z}},$$
である．
$X\in\cat{V}$を任意に取る．
\begin{align}
\textstyle I'\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{X}
&\,\textstyle=I'\times\mor{\cat{V}}{I}{X}&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\{\es\}\times\mor{\cat{V}}{I}{X},&(\text{定義 2.b.2})
\end{align}
である．任意の$(\es,f)\in I'\otimes'\mor{\cat{V}}{I}{X}$に対して，$\cat{V}$がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (2) と同様の議論により$l_X(\id{I}\otimes f)=fl_I$であり，
\begin{align}
\textstyle(\mor{\cat{V}}{I}{l_X}\mu_{I,X}(e\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}))((\es,f))
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{l_X}(\mu_{I,X}((e\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}})((\es,f))))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{l_X}(\mu_{I,X}((e(\es),\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}(f))))&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{l_X}(\mu_{I,X}((e(\es),f)))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{l_X}(\mu_{I,X}((\id{I},f)))&(\text{定義 3})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{l_X}((\id{I}\otimes f)(l_I)^{-1})&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=l_X(\id{I}\otimes f)(l_I)^{-1}&(\text{定義 1, (2)})\\
&\,\textstyle=fl_I(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=f\,\id{I}\\
&\,\textstyle=f\\
&\,\textstyle=l_{\mor{\cat{V}}{I}{X}}((\es,f)),&(\text{定義 2.b.4, (1)})
\end{align}
だから，$\mor{\cat{V}}{I}{l_X}\mu_{I,X}(e\otimes'\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}})=l_{\mor{\cat{V}}{I}{X}}$である．
$X\in\cat{V}$を任意に取る．
\begin{align}
\textstyle\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'I'
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{X}\times I'&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{X}\times\{\es\},&(\text{定義 2.b.2})
\end{align}
である．任意の$(f,\es)\in\mor{\cat{V}}{I}{X}\otimes'I'$に対して，$\cat{V}$がモノイダル圏であることから，命題 2.b.1, (3) と同様の議論により$r_X(f\otimes\id{I})=fr_I$であり，
\begin{align}
\textstyle(\mor{\cat{V}}{I}{r_X}\mu_{X,I}(\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'e))((f,\es))
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{r_X}(\mu_{X,I}((\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'e)((f,\es))))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{r_X}(\mu_{X,I}((\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}(f),e(\es))))&(\text{定義 2.b.1})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{r_X}(\mu_{X,I}((f,e(\es))))\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{r_X}(\mu_{X,I}((f,\id{I}))&(\text{定義 3})\\
&\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{r_X}((f\otimes\id{I})(l_I)^{-1})&(\text{定義 2})\\
&\,\textstyle=r_X(f\otimes\id{I})(l_I)^{-1}&(\text{定義 1, (2)})\\
&\,\textstyle=fr_I(l_I)^{-1}\\
&\,\textstyle=fr_I(r_I)^{-1}&(\text{命題 1})\\
&\,\textstyle=f\,\id{I}\\
&\,\textstyle=f\\
&\,\textstyle=r_{\mor{\cat{V}}{I}{X}}((f,\es)),&(\text{定義 2.b.4, (2)})
\end{align}
だから，$\mor{\cat{V}}{I}{r_X}\mu_{X,I}(\id{\mor{\cat{V}}{I}{X}}\otimes'e)=r_{\mor{\cat{V}}{I}{X}}$である．
従って，命題 4.a.1 より$(\mor{\cat{V}}{I}{-},\mu,e)$は$\cat{V}$から$\set$への lax モノイダル関手である．
Lax モノイダル関手$\func{(\mor{\cat{V}}{I}{-},\mu,e)}{\cat{V}}{\set}$を$\mor{\cat{V}}{I}{-}$で表す．
$\ecat{A}$を$\cat{V}$-圏とする．
命題 3 で定めた lax モノイダル関手$\func{\mor{\cat{V}}{I}{-}}{\cat{V}}{\set}$に対して，定義 4.a.2 より$\set$-圏$\mor{\cat{V}}{I}{-}\ecat{A}$が定まる．これを$\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}$で表すとき，定義 4.a.2 より以下が成り立つ:
- $\ob{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}=\ob{\ecat{A}}$である．
- $A,B\in\ecat{A}$に対して，$\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}=\mor{\cat{V}}{I}{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$である．
また，
$$\textstyle\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}=(\ob{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}},\{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}\}_{A,B\in\ecat{A}},\{M'_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ecat{A}},\{j'_A\}_{A\in\ecat{A}})$$
と表せば，
- $A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$M'_{A,B,C}=\mor{\cat{V}}{I}{M_{A,B,C}}\mu_{\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$である．
- $A\in\ecat{A}$に対して，$j'_A=\mor{\cat{V}}{I}{j_A}e$である．
これを踏まえて，$\ecat{A}$の underlying category を定義する．
命題 3.2 の証明で，集合$X$に対して写像$\func{\sigma^X}{\mor{\set}{I'}{X}}{X}$を，各写像$\func{f}{I'}{X}$に対して$\sigma^X(f):=f(\es)$で定めたことを思い出そう．
$\ecat{A}$を$\cat{V}$-圏とする．$\set$-圏$\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}$に対して，圏$\ecat{A}_0$を以下で定める:
$\ecat{A}_0$の対象とは，$\ecat{A}$の対象のことである．
$A,B\in\ecat{A}$に対して，$A$から$B$への$\ecat{A}_0$での射とは，$I$から$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$への$\cat{V}$での射のことである．
$\ecat{A}_0$での射$\func{g}{B}{C}$と$\func{f}{A}{B}$に対して，$g$と$f$の$\ecat{A}_0$での合成$gf$を$gf:=M'_{A,B,C}((g,f))$で定める．
\begin{align} \textstyle gf &\,\textstyle=M'_{A,B,C}((g,f))\\ &\,\textstyle=(\mor{\cat{V}}{I}{M_{A,B,C}}\mu_{\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}})((g,f))\\ &\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{M_{A,B,C}}(\mu_{\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}((g,f)))\\ &\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{M_{A,B,C}}(g\otimes f)(l_I)^{-1}&(\text{定義 2})\\ &\,\textstyle=M_{A,B,C}(g\otimes f)(l_I)^{-1},&(\text{定義 1}) \end{align}
である:
$$\xymatrix{I\ar[r]^-{(l_I)^{-1}}\ar[d]_-{gf}&{I\otimes I}\ar[d]^-{g\otimes f}\\ {\mor{\ecat{A}}{A}{C}}&{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[l]^-{M_{A,B,C}}}$$$A\in\ecat{A}_0$に対して，$A$の$\ecat{A}_0$での恒等射$\id{A}$を$\id{A}:=\sigma^{\mor{\cat{V}}{I}{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}}(j'_A)$で定める．
\begin{align} \textstyle\id{A} &\,\textstyle=\sigma^{\mor{\cat{V}}{I}{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}}(j'_A)\\ &\,\textstyle=j'_A(\es)&(\text{命題 3.2})\\ &\,\textstyle=(\mor{\cat{V}}{I}{j_A}e)(\es)\\ &\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{j_A}(e(\es))\\ &\,\textstyle=\mor{\cat{V}}{I}{j_A}(\id{I})&(\text{定義 3})\\ &\,\textstyle=j_A,&(\text{定義 1}) \end{align}
である．
$\ecat{A}_0$は圏をなす．
実際，$\ecat{A}_0$の射$\func{f}{A}{B}$を任意に取るとき，$\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}$が$\set$-圏をなすことから，定義 3.1, (1) (または定義 3.2, (1)) より$l'_{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}}=M'_{A,B,B}(j'_B\otimes'\id{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}})$かつ$r'_{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}}=M'_{A,A,B}(\id{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}}\otimes'j'_A)$であり，命題 3.3, (1) の証明と同様の議論により$\id{B}f=f\,\id{A}$である．
また，$\ecat{A}_0$の射$\func{g}{B}{C}$と$\func{f}{A}{B}$を任意に取るとき，$\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}$が$\set$-圏をなすことから，定義 3.1, (2) (または定義 3.2, (2)) より
$$\textstyle M'_{A,B,D}(M'_{B,C,D}\otimes\id{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}})=M'_{A,C,D}(\id{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{C}{D}}\otimes M'_{A,B,C})a'_{\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{C}{D},\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{B}{C},\mor{\mor{\cat{V}}{I}{\ecat{A}}}{A}{B}},$$
であり，命題 3.3, (2) の証明と同様の議論により$h(gf)=(hg)f$である．
$\ecat{A}_0$を$\ecat{A}$のunderlying categoryとよぶ．
まとめ
この記事の (1) では恒等 lax モノイダル関手と lax モノイダル関手の合成を定義して，それらと豊穣圏に関する性質を証明した．また，(2) ではモノイダル圏$\cat{V}$に対して lax モノイダル関手$\func{\mor{\cat{V}}{I}{-}}{\cat{V}}{\set}$を構成して，それを用いて $\cat{V}$-圏の underlying category とよばれる圏を自然に構成した．
付録: 命題 1 の証明
$\cat{V}=(\cat{V},\otimes,a,I,l,r)$をモノイダル圏とする．ここでは，nLab [ 5 ] の monoidal catgory の記事 を参考にして，以下の命題の証明を与える:
$l_I=r_I$である．
以下では，命題 2.b.1 と類似の結果を何度も引用するが，それらは ($\cat{V}=\set$でない場合でも) 命題 2.b.1 と同様の議論を行うことによって得られることを注意しておく．このとき，
\begin{align}
\textstyle l_I
&\,\textstyle=l_I\,\id{I\otimes I}\\
&\,\textstyle=l_Ir_{I\otimes I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(l_I\otimes\id{I})(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (3)})\\
&\,\textstyle=r_I(l_I\otimes\id{I})\id{(I\otimes I)\otimes I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(l_I\otimes\id{I})l_{(I\otimes I)\otimes I}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_I\otimes\id{I}))(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (2)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_I\otimes\id{I}))\id{I\otimes((I\otimes I)\otimes I)}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_I\otimes\id{I}))a_{I,I\otimes I,I}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_I\otimes\id{I}))a_{I,I\otimes I,I}\id{(I\otimes(I\otimes I))\otimes I}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_I\otimes\id{I}))a_{I,I\otimes I,I}(a_{I,I,I}\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}((\id{I}\otimes l_I)\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (1)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}(((\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I})\otimes(\id{I}\,\id{I}))(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{$\otimes$は関手である})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}(((\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I})\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}((r_I\otimes\id{I})\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (5)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(r_I\otimes(\id{I}\otimes\id{I}))a_{I\otimes I,I,I}(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (1)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(r_I\otimes\id{I\otimes I})a_{I\otimes I,I,I}(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{$\otimes$は関手である})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})a_{I,I,I\otimes I}a_{I\otimes I,I,I}(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (5)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})(\id{I}\otimes a_{I,I,I})a_{I,I\otimes I,I}(a_{I,I,I}\otimes\id{I})(a_{I,I,I}\otimes\id{I})^{-1}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (4)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})(\id{I}\otimes a_{I,I,I})a_{I,I\otimes I,I}\id{(I\otimes(I\otimes I))\otimes I}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})(\id{I}\otimes a_{I,I,I})a_{I,I\otimes I,I}(a_{I,I\otimes I,I})^{-1}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})(\id{I}\otimes a_{I,I,I})\id{I\otimes((I\otimes I)\otimes I)}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_{I\otimes I})(\id{I}\otimes a_{I,I,I})(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}((\id{I}\,\id{I})\otimes(l_{I\otimes I}a_{I,I,I}))(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{$\otimes$は関手である})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}(\id{I}\otimes(l_{I\otimes I}a_{I,I,I}))(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}l_{(I\otimes I)\otimes I}(l_{(I\otimes I)\otimes I})^{-1}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (2)})\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}\id{(I\otimes I)\otimes I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I\id{I\otimes I}\,l_{I\otimes I}a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(l_I)^{-1}l_Il_{I\otimes I}a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(l_I)^{-1}l_I(\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (2)})\\
&\,\textstyle=r_I\id{I\otimes I}(\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(\id{I}\otimes l_I)a_{I,I,I}(r_{I\otimes I})^{-1}\\
&\,\textstyle=r_I(r_I\otimes\id{I})(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (5)})\\
&\,\textstyle=r_Ir_{I\otimes I}(r_{I\otimes I})^{-1}&(\text{命題 2.b.1, (3)})\\
&\,\textstyle=r_I\,\id{I\otimes I}\\
&\,\textstyle=r_I,
\end{align}
となって，示された．
全体のまとめ
筆者は豊穣圏を初めて扱ったので，誤った議論や誤植がたくさん見つかるかもしれません．ご指摘やご質問はコメント欄に書き込んでいただくか，私の Twitter アカウント ( @shot__math ) にリプライや DM を送って頂けると嬉しいです．
定義や記法は主に Kelly [1] の §1.1 から§1.5 を参考にしました．また，Lurie [2] の §A.1.3 と §A.1.4 も参考にしました．ただし，第4回 (後半) では [1] でなく Lurie [3] の §2.1 を主に参照しました．
最後に，本記事を最後まで読んで頂きありがとうございました．