大学数学基礎解説

文献あり

豊穣圏の導入第2回: 集合の圏は対称モノイダル閉圏をなす (前半)

圏論,モノイダル圏

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前回の記事 [ 4 ] では，集合の圏 $Set$ を構成して， $Set$ が終対象と積をもつことを確認した．この記事では，モノイダル圏を定義することを目標とする．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．
また，この記事を通して，以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

正の整数 $n$ と $x_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) に対して， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ n}$ を以下で定義する:
(a) $n = 1$ である場合は， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ 1} := x_{1}$ と定める．
(b) 正の整数 $N$ に対して， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ N + 1} := ({x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ N}, x_{N + 1})$ と定める．
$x_{1}$ と $x_{2}$ に対して， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ 2} = ({x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ 1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{2})$ が成り立つ．
$x_{1}$ と $x_{2}$ と $x_{3}$ に対して， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ 3}$ を $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ で表す．また，正の整数 $n$ と $x_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) に対して， ${x_{i}}_{1 ⩽ i ⩽ n}$ を ${x_{i}}_{i}$ と略記することがある．
正の整数 $n$ と $x_{i}$ と $y_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) に対して， ${x_{i}}_{i} = {y_{i}}_{i}$ ならば， $1 ⩽ i ⩽ n$ をみたす各 $i$ に対して $x_{i} = y_{i}$ であることが知られている．

第1回の記事 [ 4 ] からは，定義 1 と命題 1 を用いており，これらを定義 1.1 及び命題 1.1 で表している．

準備

モノイダル構造やモノイダル圏を定義するための準備として，ここでは関手や自然変換などの概念を導入して，それらの基本的な性質について述べる．

圏の積

$n$ を正の整数として， $C_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) を圏とする．圏 $\prod_{i} C_{i}$ を以下で定義する:

$\prod_{i} C_{i}$ の対象とは， $C_{i}$ の対象 $X_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) の組 ${X_{i}}_{i}$ のことである．
$\prod_{i} C_{i}$ の対象 ${X_{i}}_{i}$ と ${Y_{i}}_{i}$ に対して， ${X_{i}}_{i}$ から ${Y_{i}}_{i}$ への $\prod_{i} C_{i}$ での射とは， $C_{i}$ での射 $f_{i} : X_{i} \to Y_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) の組 ${f_{i}}_{i}$ のことである．
$\prod_{i} C_{i}$ での射 ${g_{i}}_{i} : {Y_{i}}_{i} \to {Z_{i}}_{i}$ と ${f_{i}}_{i} : {X_{i}}_{i} \to {Y_{i}}_{i}$ に対して， ${g_{i}}_{i}$ と ${f_{i}}_{i}$ の $\prod_{i} C_{i}$ での合成 ${g_{i}}_{i} {f_{i}}_{i}$ を， $g_{i}$ と $f_{i}$ の $C_{i}$ での合成 $g_{i} f_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) に対して， ${g_{i}}_{i} {f_{i}}_{i} = {g_{i} f_{i}}_{i}$ で定める．

正の整数 $n$ に対して， $\prod_{i} C_{i}$ は圏をなす．実際， $\prod_{i} C_{i}$ の各対象 ${X_{i}}_{i}$ を取るとき， $X_{i}$ の $C_{i}$ での恒等射 $1_{X_{i}}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) に対して， ${1_{X_{i}}}_{i}$ は ${X_{i}}_{i}$ から ${X_{i}}_{i}$ への $\prod_{i} C_{i}$ での射である． $\prod_{i} C_{i}$ での任意の射 ${f_{i}}_{i} : {X_{i}}_{i} \to {Y_{i}}_{i}$ に対して，
${1_{Y_{i}}}_{i} {f_{i}}_{i} = {1_{Y_{i}} f_{i}}_{i} = {f_{i}}_{i} = {f_{i} 1_{X_{i}}}_{i} = {f_{i}}_{i} {1_{X_{i}}}_{i},$
である．
また， $\prod_{i} C_{i}$ での任意の射 ${h_{i}}_{i} : {Z_{i}}_{i} \to {W_{i}}_{i}$ と ${g_{i}}_{i} : {Y_{i}}_{i} \to {Z_{i}}_{i}$ と ${f_{i}}_{i} : {X_{i}}_{i} \to {Y_{i}}_{i}$ に対して，
${h_{i}}_{i} ({g_{i}}_{i} {f_{i}}_{i}) = {h_{i}}_{i} {g_{i} f_{i}}_{i} = {h_{i} (g_{i} f_{i})}_{i} = {(h_{i} g_{i}) f_{i}}_{i} = {h_{i} g_{i}}_{i} {f_{i}}_{i} = ({h_{i}}_{i} {g_{i}}_{i}) {f_{i}}_{i},$
である．
ゆえに，正の整数 $n$ に対して， $\prod_{i} C_{i}$ は圏をなし，各 ${X_{i}}_{i} \in \prod_{i} C_{i}$ に対して， ${1_{X_{i}}}_{i}$ は ${X_{i}}_{i}$ の $\prod_{i} C_{i}$ での恒等射である．

圏 $C$ に対して $C_{i} = C$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) である場合は， $\prod_{i} C_{i}$ を $C^{n}$ で表す．

関手

共変関手

$C$ と $D$ を圏とする．

各 $X \in C$ に対して， $F (X)$ や $F X$ で表される $D$ の対象が一意に定まるような対応 $\underset{―}{F}$ ，
各 $X, Y \in C$ に対して， $C (X, Y)$ から $D (F X, F Y)$ への写像 $F_{X, Y}$ ，

が与えられているとき，組 $F = (\underset{―}{F}, {F_{X, Y}}_{X, Y \in C})$ が $C$ から $D$ への共変関手 (covariant functor) であるとは，以下が成り立つことをいう:

任意の $X \in C$ に対して， $F_{X, X} (1_{X}) = 1_{F X}$ である．
$C$ での任意の射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して， $F_{X, Z} (g f) = F_{Y, Z} (g) F_{X, Y} (f)$ である:
$X f g f Y g F X F_{X, Y} (f) F_{X, Z} (g f) F Y F_{Y, Z} (g) Z F Z$
ここで，左辺の $g f$ は $g$ と $f$ の $C$ での合成を，右辺の $F_{Y, Z} (g) F_{X, Y} (f)$ は $F_{Y, Z} (g)$ と $F_{X, Y} (f)$ の $D$ での合成を表している．

共変関手のことを，以下では関手 (functor) とよぶことにする． $F$ が $C$ から $D$ への関手であることを， $F : C \to D$ が関手であるという．また，関手 $F = (\underset{―}{F}, {F_{X, Y}}_{X, Y \in C}) : C \to D$ に対して， $\underset{―}{F}$ と $F_{X, Y}$ ( $X, Y \in C$ ) をいずれも $F$ と略記する．

恒等関手

$C$ を圏とする． $C$ から $C$ への関手 $1_{C}$ を以下で定める:
(1) 各 $X \in C$ に対して， $C$ の対象 $1_{C} X$ を $1_{C} X := X$ と定める．
(2) $C$ での各射 $f : X \to Y$ に対して， $1_{C} X = X$ から $1_{C} Y = Y$ への $C$ での射 $1_{C} (f)$ を $1_{C} (f) := f$ で定める．

圏 $C$ を取るとき， $1_{C}$ は $C$ から $C$ への関手である．実際，任意の $X \in C$ に対して， $1_{C} (1_{X}) = 1_{X} = 1_{1_{C} X}$ である．
また， $C$ での任意の射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して， $1_{C} (g f) = g f = 1_{C} (g) 1_{C} (f)$ である．
関手 $1_{C} : C \to C$ を $C$ の恒等関手 (identity functor) という．

関手の合成

$G : D \to E$ と $F : C \to D$ を関手とする． $C$ から $E$ への関手 $G F$ を以下で定める:
(1) 各 $X \in C$ に対して， $E$ の対象 $(G F) X$ を $(G F) X := G (F X)$ と定める．
(2) $C$ での各射 $f : X \to Y$ に対して， $(G F) X = G (F X)$ から $(G F) Y = G (F Y)$ への $E$ での射 $(G F) (f)$ を $(G F) (f) := G (F (f))$ で定める．

関手 $G : D \to E$ と $F : C \to D$ を取るとき， $G F$ は $C$ から $E$ への関手である．実際， $F : C \to D$ と $G : D \to E$ が関手であることから，任意の $X \in C$ に対して，
$(G F) (1_{X}) = G (F (1_{X})) = G (1_{F X}) = 1_{G (F X)} = 1_{(G F) X},$
である．
また， $F : C \to D$ と $G : D \to E$ が関手であることから， $C$ での任意の射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して，
$(G F) (g f) = G (F (g f)) = G (F (g) F (f)) = G (F (g)) G (F (f)) = (G F) (g) (G F) (f),$
である．
関手 $G F : C \to E$ を $G$ と $F$ の合成 (composition) とよぶ．

関手 $F : C \to D$ に対して， $1_{D} F = F = F 1_{C}$ が成り立つ．

任意の $X \in C$ に対して， $(1_{D} F) X = 1_{D} (F X) = F X$ 及び $(F 1_{C}) X = F (1_{C} X) = F X$ である．
また， $C$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して， $(1_{D} F) (f) = 1_{D} (F (f)) = F (f)$ 及び $(F 1_{C}) (f) = F (1_{C} (f)) = F (f)$ である．
ゆえに， $1_{D} F = F = F 1_{C}$ が成り立つ．

関手 $H : D \to E$ と $G : C \to D$ と $F : B \to C$ に対して， $H (G F) = (H G) F$ が成り立つ．

任意の $X \in B$ に対して，
$(H (G F)) X = H ((G F) X) = H (G (F X)) = (H G) (F X) = ((H G) F) X,$
である．
また， $B$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して，
$(H (G F)) (f) = H ((G F) (f)) = H (G (F (f))) = (H G) (F (f)) = ((H G) F) (f),$
である．
ゆえに， $H (G F) = (H G) F$ が成り立つ．

命題 2 の証明から，関手 $H : D \to E$ と $G : C \to D$ と $F : B \to C$ に対して， $B$ から $E$ への関手 $H G F$ が，各 $X \in B$ に対して $(H G F) X := H (G (F X))$ 及び， $C$ の各射 $f : X \to Y$ に対して $(H G F) (f) := H (G (F (f)))$ で定まることがわかる．

関手の積

$n$ を正の整数として， $F_{i} : C_{i} \to D_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) を関手とする． $\prod_{i} C_{i}$ から $\prod_{i} D_{i}$ への関手 $\prod_{i} F_{i}$ を以下で定める:
(1) 各 ${X_{i}}_{i} \in \prod_{i} C_{i}$ に対して， $\prod_{i} D_{i}$ の対象 $(\prod_{i} F_{i}) {X_{i}}_{i}$ を $(\prod_{i} F_{i}) {X_{i}} := {F_{i} X_{i}}_{i}$ で定める．
(2) $\prod_{i} C_{i}$ での各射 ${f_{i}}_{i} : {X_{i}}_{i} \to {Y_{i}}_{i}$ に対して， $(\prod_{i} F_{i}) {X_{i}}_{i} = {F_{i} X_{i}}_{i}$ から $(\prod_{i} F_{i}) {Y_{i}}_{i} = {F_{i} Y_{i}}_{i}$ への $\prod_{i} D_{i}$ での射 $(\prod_{i} F_{i}) ({f_{i}}_{i})$ を $(\prod_{i} F_{i}) ({f_{i}}_{i}) := {F_{i} (f_{i})}_{i}$ で定める．

関手 $F_{i} : C_{i} \to D_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) を取るとき， $\prod_{i} F_{i}$ は $\prod_{i} C_{i}$ から $\prod_{i} D_{i}$ への関手である．実際， $F_{i} : C_{i} \to D_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) が関手であることから，任意の ${X_{i}}_{i} \in \prod_{i} C_{i}$ に対して，
$(\prod_{i} F_{i}) (1_{{X_{i}}_{i}}) = (\prod_{i} F_{i}) ({1_{X_{i}}}_{i}) = {F_{i} (1_{X_{i}})}_{i} = {1_{F_{i} X_{i}}}_{i} = 1_{{F_{i} X_{i}}_{i}} = 1_{(\prod_{i} F_{i}) {X_{i}}_{i}},$
である．
また， $F_{i} : C_{i} \to D_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) が関手であることから， $\prod_{i} C_{i}$ での任意の射 ${g_{i}}_{i} : {Y_{i}}_{i} \to {Z_{i}}_{i}$ と ${f_{i}}_{i} : {X_{i}}_{i} \to {Y_{i}}_{i}$ に対して，
$\begin{aligned} (\prod_{i} F_{i}) ({g_{i}}_{i} {f_{i}}_{i}) & = (\prod_{i} F_{i}) ({g_{i} f_{i}}_{i}) = {F_{i} (g_{i} f_{i})}_{i} \\ = {F_{i} (g_{i}) F_{i} (f_{i})}_{i} = {F_{i} (g_{i})}_{i} {F_{i} (f_{i})}_{i} = (\prod_{i} F_{i}) ({g_{i}}) (\prod_{i} F_{i}) ({f_{i}}), \end{aligned}$
である．

$n = 2$ の場合は $\prod_{i} F_{i}$ を $F_{1} \times F_{2}$ で表す．

自然変換

$F, G : C \to D$ を関手とする． $D$ での射の族 $α = {α_{X} : F X \to G X}_{X \in C}$ が $F$ から $G$ への自然変換 (natural transformation) であるとは， $C$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して， $α_{Y} F (f) = G (f) α_{X}$ が成り立つことをいう:
$F X α_{X} F (f) G X G (f) F Y α_{Y} G Y$
$α$ が $F$ から $G$ への自然変換であることを， $α : F \to G$ が自然変換であるという．
関手 $F, G : \prod_{i} C_{i} \to D$ と自然変換 $α : F \to G$ と ${X_{i}}_{i} \in \prod_{i} C_{i}$ に対して， $α_{{X_{i}}_{i}}$ を $α_{X_{1}, \dots, X_{n}}$ で表す．

恒等変換

$F : C \to D$ を関手とする． $F$ から $F$ への自然変換 $1_{F}$ を，各 $X \in C$ に対して， $F X$ から $F X$ への $C$ での射 $(1_{F})_{X}$ を $F X$ の $C$ での恒等射 $1_{F X}$ とすることで定める．

関手 $F : C \to D$ に対して， $1_{F}$ は $F$ から $F$ への自然変換である．実際， $C$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して，
$(1_{F})_{Y} F (f) = 1_{F Y} F (f) = F (f) = F (f) 1_{F X} = F (f) (1_{F})_{X},$
である:
$F X (1_{F})_{X} F (f) F X F (f) F Y (1_{F})_{Y} F Y$
$1_{F}$ を $F$ の恒等変換 (identity transformation) とよぶ．

自然変換の垂直合成

$H, G, F : C \to D$ を関手として， $β : G \to H$ と $α : F \to G$ を自然変換とする． $F$ から $H$ への自然変換 $β \cdot α$ を，各 $X \in C$ に対して， $F X$ から $H X$ への $C$ での射 $(β \cdot α)_{X}$ を $(β \cdot α)_{X} := β_{X} α_{X}$ とすることで定める:
$F X α_{X} (β \cdot α)_{X} G X β_{X} H X$

関手 $H, G, F : C \to D$ と自然変換 $β : G \to H$ と $α : F \to G$ を取るとき， $β \cdot α$ は $F$ から $H$ への自然変換である．実際， $α : F \to G$ と $β : G \to H$ が自然変換であることから， $C$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して， $α_{Y} F (f) = G (f) α_{X}$ かつ $β_{Y} G (f) = H (f) β_{X}$ であり，
$(β \cdot α)_{Y} F (f) = β_{Y} α_{Y} F (f) = β_{Y} G (f) α_{X} = H (f) β_{X} α_{X} = H (f) (β \cdot α)_{X},$
である:
$F X (β \cdot α)_{X} α_{X} F (f) G X β_{X} G (f) H X H (f) F Y α_{Y} (β \cdot α)_{Y} F Y β_{Y} H Y$
$β \cdot α$ を $β$ と $α$ の垂直合成 (horizontal composition) とよぶ．

関手 $F, G : C \to D$ と自然変換 $α : F \to G$ に対して， $1_{G} \cdot α = α = α \cdot 1_{F}$ が成り立つ．

任意の $X \in C$ に対して， $(1_{G} \cdot α)_{X} = (1_{G})_{X} α_{X} = 1_{G X} α_{X} = α_{X}$ かつ $(α \cdot 1_{F})_{X} = α_{X} (1_{F})_{X} = α_{X} 1_{F X} = α_{X}$ である．

関手 $K, H, G, F : C \to D$ と自然変換 $γ : H \to K$ と $β : G \to H$ と $α : F \to G$ に対して， $γ \cdot (β \cdot α) = (γ \cdot β) \cdot α$ が成り立つ．

任意の $X \in C$ に対して，
$(γ \cdot (β \cdot α))_{X} = γ_{X} (β \cdot α)_{X} = γ_{X} β_{X} α_{X} = (γ \cdot β)_{X} α_{X} = ((γ \cdot β) \cdot α)_{X},$
である．

自然同型

$F, G : C \to D$ を関手とする． $α$ が $F$ から $G$ への自然同型 (natural isomorphism) であるとは， $α$ が $F$ から $G$ への自然変換であり， $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ をみたす自然変換 $β : G \to F$ が存在することをいう． $α$ が $F$ から $G$ への自然同型であることを， $α : F \to G$ が自然同型であるという．

$F, G : C \to D$ を関手として， $α : F \to G$ を自然変換とする．自然変換 $β, β^{'} : G \to F$ に対して， $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β^{'} = 1_{G}$ ならば， $β = β^{'}$ である．

$β = β \cdot 1_{G} = β \cdot (α \cdot β^{'}) = (β \cdot α) \cdot β^{'} = 1_{G} \cdot β^{'} = β^{'},$
よりわかる．ただし，1 番目と 5 番目の等号には命題 3 を，3 番目の等号には命題 4 を用いた．

関手 $F, G : C \to D$ と自然変換 $α : F \to G$ を取る．自然変換 $β, β^{'} : G \to H$ が $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ ，及び $β^{'} \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β^{'} = 1_{G}$ をみたすならば，特に $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β^{'} = 1_{G}$ であり，命題 5 より $β = β^{'}$ が成り立つ．ゆえに， $α : F \to G$ が自然同型ならば， $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ をみたす自然変換 $β : G \to F$ が一意に存在することがわかる．これを $α$ の逆 (inverse) とよび， $α^{- 1}$ で表す．

$F, G : C \to D$ を関手とする． $D$ での射の族 $α = {α_{X} : F X \to G X}_{X \in C}$ に対して，以下は同値である:
(1) $α$ は $F$ から $G$ への自然同型である．
(2) $α$ は $F$ から $G$ への自然変換であり，各 $X \in C$ に対して， $α_{X}$ は $F X$ から $G X$ への $D$ での同型射である．

(1) $\Rightarrow$ (2): (1) が成り立つならば， $α$ は $F$ から $G$ への自然変換であり， $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ をみたす自然変換 $β : G \to F$ が取れる．任意の $X \in C$ に対して， $β_{X} α_{X} = (β \cdot α)_{X} = (1_{F})_{X} = 1_{F X}$ かつ $α_{X} β_{X} = (α \cdot β)_{X} = (1_{G})_{X} = 1_{G X}$ だから，(2) が成り立つ．
(2) $\Rightarrow$ (1): (2) が成り立つならば，各 $X \in C$ に対して， $β_{X}^{'} α_{X} = 1_{F X}$ かつ $α_{X} β_{X}^{'} = 1_{G X}$ をみたす $D$ での射 $β_{X}^{'} : G X \to F X$ が取れて， $D$ での射の族 $β^{'} := {β_{X}^{'} : G X \to F X}_{X \in C}$ が定まる． $α : F \to G$ が自然変換であることから， $C$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して， $α_{Y} F (f) = G (f) α_{X}$ であり，
$β_{Y}^{'} G (f) = β_{Y}^{'} G (f) 1_{G X} = β_{Y}^{'} G (f) α_{X} β_{X}^{'} = β_{Y}^{'} α_{Y} F (f) β_{X}^{'} = 1_{F Y} F (f) β_{X}^{'} = F (f) β_{X}^{'},$
である:
$G X 1_{G X} β_{X}^{'} F X α_{X} F (f) G X G (f) F Y α_{Y} 1_{F Y} G Y β_{Y}^{'} F Y$
ゆえに， $β^{'}$ は $G$ から $F$ への自然変換である．任意の $X \in C$ に対して， $(β^{'} \cdot α)_{X} = β_{X}^{'} α_{X} = 1_{F X} = (1_{F})_{X}$ かつ $(α \cdot β^{'})_{X} = α_{X} β_{X}^{'} = 1_{G X} = (1_{G})_{X}$ だから， $β^{'} \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β^{'} = 1_{G}$ であり，(1) が成り立つ．

関手 $F, G : C \to D$ と自然変換 $α : F \to G$ を取る． $α$ が $F$ から $G$ への自然同型ならば，命題 5 の直後に述べたように， $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ をみたす自然変換 $β : G \to F$ が一意に存在する．命題 6 を用いると，これは以下のように示すことも出来る:

$α$ は $F$ から $G$ への自然同型であるとする． $β \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β = 1_{G}$ ，及び $β^{'} \cdot α = 1_{F}$ かつ $α \cdot β^{'} = 1_{G}$ をみたす自然変換 $β, β^{'} : G \to F$ を取る．このとき，任意の $X \in C$ に対して， $β_{X} \cdot α_{X} = (β \cdot α)_{X} = (1_{F})_{X} = 1_{F X}$ かつ $α_{X} \cdot β_{X} = (α \cdot β)_{X} = (1_{G})_{X} = 1_{G X}$ ，及び $β_{X}^{'} \cdot α_{X} = (β^{'} \cdot α)_{X} = (1_{F})_{X} = 1_{F X}$ かつ $α_{X} \cdot β_{X}^{'} = (α \cdot β^{'})_{X} = (1_{G})_{X} = 1_{G X}$ が成り立つ．また，命題 6, (1) $\Rightarrow$ (2) より，各 $X \in C$ に対して， $α_{X}$ は $F X$ から $G X$ への同型射である．命題 1.1 の直後の議論から，任意の $X \in C$ に対して $β_{X} = β_{X}^{'}$ であり， $β = β^{'}$ を得る．

モノイダル圏

モノイダル構造とモノイダル圏の定義

$C$ を圏とする． $C^{3}$ から $C^{2} \times C$ への関手 $⊠_{l}^{C}$ と $C^{3}$ から $C \times C^{2}$ への関手 $⊠_{r}^{C}$ を以下で定める:
(1) 各 $(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in C^{3}$ に対して， $C^{2} \times C$ の対象 $⊠_{l}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ を $⊠_{l}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) := ((X_{1}, X_{2}), X_{3})$ で定めて， $C^{3}$ での各射 $(f_{1}, f_{2}, f_{3}) : (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \to (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3})$ に対して， $⊠_{l}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = ((X_{1}, X_{2}), X_{3})$ から $⊠_{l}^{C} (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) = ((Y_{1}, Y_{2}), Y_{3})$ への $C^{2} \times C$ での射 $⊠_{l}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3}))$ を $⊠_{l}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) := ((f_{1}, f_{2}), f_{3})$ で定める．
(2) 各 $(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in C^{3}$ に対して， $C \times C^{2}$ の対象 $⊠_{r}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ を $⊠_{r}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) := (X_{1}, (X_{2}, X_{3}))$ で定めて， $C^{3}$ での各射 $(f_{1}, f_{2}, f_{3}) : (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \to (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3})$ に対して， $⊠_{r}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = (X_{1}, (X_{2}, X_{3}))$ から $⊠_{r}^{C} (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) = (Y_{1}, (Y_{2}, Y_{3}))$ への $C \times C^{2}$ での射 $⊠_{r}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3}))$ を $⊠_{r}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) := (f_{1}, (f_{2}, f_{3}))$ で定める．

圏 $C$ を取るとき， $⊠_{l}^{C}$ は $C^{3}$ から $C^{2} \times C$ への関手である．実際，任意の $(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in C^{3}$ に対して，
$\begin{aligned} ⊠_{l}^{C} (1_{(X_{1}, X_{2}, X_{3})}) & = ⊠_{r}^{C} ((1_{X_{1}}, 1_{X_{2}}, 1_{X_{3}})) = ((1_{X_{1}}, 1_{X_{2}}), 1_{X_{3}}) \\ = (1_{(X_{1}, X_{2})}, 1_{X_{3}}) = 1_{((X_{1}, X_{2}), X_{3})} = 1_{⊠_{l}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3})}, \end{aligned}$
である．
また， $C^{3}$ での任意の射 $(g_{1}, g_{2}, g_{3}) : (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) \to (Z_{1}, Z_{2}, Z_{3})$ と $(f_{1}, f_{2}, f_{3}) : (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \to (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3})$ に対して，
$\begin{aligned} ⊠_{l}^{C} ((g_{1}, g_{2}, g_{3}) (f_{1}, f_{2}, f_{3})) & = ⊠_{l}^{C} ((g_{1} f_{1}, g_{2} f_{2}, g_{3} f_{3})) = ((g_{1} f_{1}, g_{2} f_{2}), g_{3} f_{3}) = ((g_{1}, g_{2}) (f_{1}, f_{2}), g_{3} f_{3}) \\ = ((g_{1}, g_{2}), g_{3}) ((f_{1}, f_{2}), f_{3}) = ⊠_{l}^{C} ((g_{1}, g_{2}, g_{3})) ⊠_{l}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})), \end{aligned}$
である．
一方で， $⊠_{r}^{C}$ は $C^{3}$ から $C \times C^{2}$ への関手である．実際，任意の $(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in C^{3}$ に対して，
$\begin{aligned} ⊠_{r}^{C} (1_{(X_{1}, X_{2}, X_{3})}) & = ⊠_{r}^{C} ((1_{X_{1}}, 1_{X_{2}}, 1_{X_{3}})) = (1_{X_{1}}, (1_{X_{2}}, 1_{X_{3}})) \\ = (1_{X_{1}}, 1_{(X_{2}, X_{3})}) = 1_{(X_{1}, (X_{2}, X_{3}))} = 1_{⊠_{r}^{C} (X_{1}, X_{2}, X_{3})}, \end{aligned}$
である．
また， $C^{3}$ での任意の射 $(g_{1}, g_{2}, g_{3}) : (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) \to (Z_{1}, Z_{2}, Z_{3})$ と $(f_{1}, f_{2}, f_{3}) : (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \to (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3})$ に対して，
$\begin{aligned} ⊠_{r}^{C} ((g_{1}, g_{2}, g_{3}) (f_{1}, f_{2}, f_{3})) & = ⊠_{r}^{C} ((g_{1} f_{1}, g_{2} f_{2}, g_{3} f_{3})) = (g_{1} f_{1}, (g_{2} f_{2}, g_{3} f_{3})) = (g_{1} f_{1}, (g_{2}, g_{3}) (f_{2}, f_{3})) \\ = (g_{1}, (g_{2}, g_{3})) (f_{1}, (f_{2}, f_{3})) = ⊠_{r}^{C} ((g_{1}, g_{2}, g_{3})) ⊠_{r}^{C} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})), \end{aligned}$
である．

$C$ を圏として， $C \in C$ として， $F : C^{2} \to C$ を関手とする．

$C$ から $C$ への関手 $_{C} F$ を以下で定める．各 $X \in C$ に対して， $C$ の対象 $(_{C} F) X$ を $(_{C} F) X := F (C, X)$ で定めて， $C$ での各射 $f : X \to Y$ に対して， $(_{C} F) X = F (C, X)$ から $(_{C} F) Y = F (C, Y)$ への $C$ での射 $(_{C} F) (f)$ を $(_{C} F (f)) := F ((1_{C}, f))$ で定める．
$C$ から $C$ への関手 $F_{C}$ を以下で定める．各 $X \in C$ に対して， $C$ の対象 $(F_{C}) X$ を $(F_{C}) X := F (X, C)$ で定めて， $C$ での各射 $f : X \to Y$ に対して， $(F_{C}) X = F (X, C)$ から $(F_{C}) Y = F (Y, C)$ への $C$ での射 $(F_{C}) (f)$ を $(F_{C}) (f) := F ((f, 1_{C}))$ で定める．
関手 $F \times 1_{C} : C^{2} \times C \to C \times C = C^{2}$ が定まり， $F$ と $F \times 1_{C}$ と $⊠_{l}^{C}$ に対して， $C^{3}$ から $C$ への関手 $F_{l}$ を $F_{l} := F (F \times 1_{C}) ⊠_{l}^{C}$ で定める:
$C^{2} \times C F \times 1_{C} C \times C = C^{2} F C^{3} ⊠_{l}^{C} F_{l} C$
関手 $1_{C} \times F : C \times C^{2} \to C \times C = C^{2}$ が定まり， $F$ と $1_{C} \times F$ と $⊠_{r}^{C}$ に対して， $C^{3}$ から $C$ への関手 $F_{r}$ を $F_{r} := F (1_{C} \times F) ⊠_{r}^{C}$ で定める:
$C \times C^{2} 1_{C} \times F C \times C = C^{2} F C^{3} ⊠_{r}^{C} F_{r} C$

$C \in C$ を取るとき， $_{C} F$ は $C$ から $C$ への関手である．実際， $F : C^{2} \to C$ が関手であることから，任意の $X \in C$ に対して，
$(_{C} F) (1_{X}) = F ((1_{C}, 1_{X})) = F (1_{(C, X)}) = 1_{F (C, X)} = 1_{(_{C} F) X},$
である．また， $F : C^{2} \to C$ が関手であることから， $C$ での任意の射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して，
$\begin{aligned} (_{C} F) (g f) & = F ((1_{C}, g f)) = F ((1_{C} 1_{C}, g f)) \\ = F ((1_{C}, g) (1_{C}, f)) = F ((1_{C}, g)) F ((1_{C}, f)) = (_{C} F) (g) (_{C} F) (f), \end{aligned}$
である．
一方で， $F_{C}$ は $C$ から $C$ への関手である．実際， $F : C^{2} \to C$ が関手であることから，任意の $X \in C$ に対して，
$(F_{C}) (1_{X}) = F ((1_{X}, 1_{C})) = F (1_{(X, C)}) = 1_{F (X, C)} = 1_{(F_{C}) X},$
である．また， $F : C^{2} \to C$ が関手であることから， $C$ での任意の射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して，
$\begin{aligned} (F_{C}) (g f) & = F ((g f, 1_{C})) = F ((g f, 1_{C} 1_{C})) \\ = F ((g, 1_{C}) (f, 1_{C})) = F ((g, 1_{C})) F ((f, 1_{C})) = (F_{C}) (g) (F_{C}) (f), \end{aligned}$
である．

モノイダル圏

圏 $V$ ，
$V^{2}$ から $V$ への関手 $\otimes$ ，
$V$ の対象 $I$ ，
$\otimes_{l}$ から $\otimes_{r}$ への自然同型 $a$ ，
$_{I} \otimes$ から $1_{C}$ への自然同型 $l$ ，
$\otimes_{I}$ から $1_{C}$ への自然同型 $r$ ，

が与えられているとき，組 $(V, \otimes, I, a, l, r)$ がモノイダル圏 (monoidal category) であるとは，以下をみたすことをいう:

任意の $X, Y, Z, W \in V$ に対して，次の等式が成り立つ:
$\otimes ((1_{W}, a_{X, Y, Z})) a_{W, \otimes (X, Y), Z} \otimes ((a_{W, X, Y}, 1_{Z})) = a_{W, X, \otimes (Y, Z)} a_{\otimes (W, X), Y, Z} .$
任意の $X, Y \in V$ に対して， $\otimes ((r_{X}, 1_{Y})) = \otimes ((1_{X}, l_{Y})) a_{X, I, Y}$ である．

モノイダル圏 $(V, \otimes, I, a, l, r)$ を $V$ と略記して， $\otimes$ を $V$ のテンソル積 (tensor product) とよび， $I$ を $V$ の単位対象 (unit object) とよび，組 $(\otimes, I, a, l, r)$ を $V$ 上のモノイダル構造 (monoidal structure) とよぶ．
モノイダル圏 $V$ を取るとき， $(X_{1}, X_{2}) \in V^{2}$ に対して， $\otimes (X_{1}, X_{2})$ を $X_{1} \otimes X_{2}$ で表し， $V^{2}$ での射 $(f_{1}, f_{2}) : (X_{1}, X_{2}) \to (Y_{1}, Y_{2})$ に対して， $\otimes ((f_{1}, f_{2}))$ を $f_{1} \otimes f_{2}$ で表す．

ここでは [1, p.7] におけるモノイダル圏の定義を採用したが，モノイダル構造という用語は [ 3, Tag 00CC ] で与えられていたものを借用した．

モノイダル圏の定義 (定義 12) の解説

$V = (V, \otimes, I, a, l, r)$ をモノイダル圏とする．
$(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in V^{3}$ に対して，
$\begin{aligned} \otimes_{l} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) & = (\otimes (\otimes \times 1_{V}) ⊠_{l}^{V}) (X_{1}, X_{2}, X_{3}) & (定義 11, (3)) \\ = \otimes ((\otimes \times 1_{V}) (⊠_{l}^{V} (X_{1}, X_{2}, X_{3}))) & (定義 4) \\ = \otimes ((\otimes \times 1_{V}) ((X_{1}, X_{2}), X_{3})) & (定義 10, (1)) \\ = \otimes (\otimes (X_{1}, X_{2}), 1_{V} X_{3}) & (定義 5) \\ = \otimes (\otimes (X_{1}, X_{2}), X_{3}) & (定義 3) \\ = \otimes (X_{1} \otimes X_{2}, X_{3}) \\ = (X_{1} \otimes X_{2}) \otimes X_{3}, \end{aligned}$
及び
$\begin{aligned} \otimes_{r} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) & = (\otimes (1_{V} \times \otimes) ⊠_{r}^{V}) (X_{1}, X_{2}, X_{3}) & (定義 11, (4)) \\ = \otimes ((1_{V} \times \otimes) (⊠_{r}^{V} (X_{1}, X_{2}, X_{3}))) & (定義 4) \\ = \otimes ((1_{V} \times \otimes) (X_{1}, (X_{2}, X_{3}))) & (定義 10, (2)) \\ = \otimes (1_{V} X_{1}, \otimes (X_{2}, X_{3})) & (定義 5) \\ = \otimes (X_{1}, \otimes (X_{2}, X_{3})) & (定義 3) \\ = \otimes (X_{1}, X_{2} \otimes X_{3}) \\ = X_{1} \otimes (X_{2} \otimes X_{3}), \end{aligned}$
である．
また， $V^{3}$ での射 $(f_{1}, f_{2}, f_{3}) : (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \to (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3})$ に対して，
$\begin{aligned} \otimes_{l} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) & = (\otimes (\otimes \times 1_{V}) ⊠_{l}^{V}) ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) & (定義 11, (3)) \\ = \otimes ((\otimes \times 1_{V}) (⊠_{l}^{V} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})))) & (定義 4) \\ = \otimes ((\otimes \times 1_{V}) (((f_{1}, f_{2}), f_{3}))) & (定義 10, (1)) \\ = \otimes ((\otimes ((f_{1}, f_{2})), 1_{V} (f_{3}))) & (定義 5) \\ = \otimes ((\otimes ((f_{1}, f_{2})), f_{3})) & (定義 3) \\ = \otimes ((f_{1} \otimes f_{2}, f_{3})) \\ = (f_{1} \otimes f_{2}) \otimes f_{3}, \end{aligned}$
及び
$\begin{aligned} \otimes_{r} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) & = (\otimes (1_{V} \times \otimes) ⊠_{r}^{V}) ((f_{1}, f_{2}, f_{3})) & (定義 11, (4)) \\ = \otimes ((1_{V} \times \otimes) (⊠_{r}^{V} ((f_{1}, f_{2}, f_{3})))) & (定義 4) \\ = \otimes ((1_{V} \times \otimes) ((f_{1}, (f_{2}, f_{3})))) & (定義 10, (2)) \\ = \otimes ((1_{V} (f_{1}), \otimes ((f_{2}, f_{3})))) & (定義 5) \\ = \otimes ((f_{1}, \otimes ((f_{2}, f_{3})))) & (定義 3) \\ = \otimes ((f_{1}, f_{2} \otimes f_{3})) \\ = f_{1} \otimes (f_{2} \otimes f_{3}), \end{aligned}$
である．

定義 12, (1) について

$X, Y, Z, W \in V$ を取る．
$\otimes ((1_{W}, a_{X, Y, Z})) = 1_{W} \otimes a_{X, Y, Z}$ は
$\otimes (W, \otimes_{l} (X, Y, Z)) = \otimes (W, (X \otimes Y) \otimes Z) = W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z),$
から
$\otimes (W, \otimes_{r} (X, Y, Z)) = \otimes (W, X \otimes (Y \otimes Z)) = W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)),$
への射であり， $a_{W, \otimes (X, Y), Z} = a_{W, X \otimes Y, Z}$ は
$\otimes_{l} (W, \otimes (X, Y), Z) = \otimes_{l} (W, X \otimes Y, Z) = (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z,$
から
$\otimes_{r} (W, \otimes (X, Y), Z) = \otimes_{r} (W, X \otimes Y, Z) = W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z),$
への射であり， $\otimes ((a_{W, X, Y}, 1_{Z})) = a_{W, X, Y} \otimes 1_{Z}$ は
$\otimes (\otimes_{l} (W, X, Y), Z) = \otimes ((W \otimes X) \otimes Y, Z) = ((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z,$
から
$\otimes (\otimes_{r} (W, X, Y), Z) = \otimes (W \otimes (X \otimes Y), Z) = (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z,$
への射だから， $1_{W} \otimes a_{X, Y, Z}$ と $a_{W, X \otimes Y, Z}$ と $a_{W, X, Y} \otimes 1_{Z}$ の合成 $(1_{W} \otimes a_{X, Y, Z}) a_{W, X \otimes Y, Z} (a_{W, X, Y} \otimes 1_{Z})$ が $((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z$ から $W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z))$ への射として定まる．
また， $a_{W, X, \otimes (Y, Z)} = a_{W, X, Y \otimes Z}$ は
$\otimes_{l} (W, X, \otimes (Y, Z)) = \otimes_{l} (W, X, Y \otimes Z) = (W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z),$
から
$\otimes_{r} (W, X, \otimes (Y, Z)) = \otimes_{r} (W, X, Y \otimes Z) = W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)),$
への射であり， $a_{\otimes (W, X), Y, Z} = a_{W \otimes X, Y, Z}$ は
$\otimes_{l} (\otimes (W, X), Y, Z) = \otimes_{l} (W \otimes X, Y, Z) = ((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z,$
から
$\otimes_{r} (\otimes (W, X), Y, Z) = \otimes_{r} (W \otimes X, Y, Z) = (W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z),$
への射だから， $a_{W, X, Y \otimes Z}$ と $a_{W \otimes X, Y, Z}$ の合成 $a_{W, X, Y \otimes Z} a_{W \otimes X, Y, Z}$ が $((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z$ から $W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z))$ への射として定まる．
$\otimes ((1_{W}, a_{X, Y, Z})) a_{W, \otimes (X, Y), Z} \otimes ((a_{W, X, Y}, 1_{Z})) = a_{W, X, \otimes (Y, Z)} a_{\otimes (W, X), Y, Z}$
である，すなわち
$(1_{W} \otimes a_{X, Y, Z}) a_{W, X \otimes Y, Z} (a_{W, X, Y} \otimes 1_{Z}) = a_{W, X, Y \otimes Z} a_{W \otimes X, Y, Z}$
であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$(W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z) a_{W, X, Y \otimes Z} ((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z a_{W, X, Y} \otimes 1_{Z} a_{W \otimes X, Y, Z} W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)) (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z a_{W, X \otimes Y, Z} W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z) 1_{W} \otimes a_{X, Y, Z}$

定義 12, (2) について

$X, Y \in V$ を取る．定義 11, (2) と定義 3 より， $\otimes ((r_{X}, 1_{Y})) = r_{X} \otimes 1_{Y}$ は
$\otimes ((\otimes_{I}) X, Y) = \otimes (\otimes (X, I), Y) = \otimes (X \otimes I, Y) = (X \otimes I) \otimes Y,$
から $\otimes (1_{V} X, Y) = \otimes (X, Y) = X \otimes Y$ への射である．
また，定義 11, (1) と定義 3 より， $\otimes ((1_{X}, l_{Y})) = 1_{X} \otimes l_{Y}$ は
$\otimes (X, (_{I} \otimes) Y) = \otimes (X, \otimes (I, Y)) = \otimes (X, I \otimes Y) = X \otimes (I \otimes Y),$
から $\otimes (X, 1_{V} Y) = \otimes (X, Y) = X \otimes Y$ への射であり， $a_{X, I, Y}$ は $\otimes_{l} (X, I, Y) = (X \otimes I) \otimes Y$ から $\otimes_{r} (X, I, Y) = X \otimes (I \otimes Y)$ への $V$ での射だから， $1_{X} \otimes l_{Y}$ と $a_{X, I, Y}$ の合成 $(1_{X} \otimes l_{Y}) a_{X, I, Y}$ が $(X \otimes I) \otimes Y$ から $X \otimes Y$ への射として定まる．
$\otimes ((r_{X}, 1_{Y})) = \otimes ((1_{X}, l_{Y})) a_{X, I, Y}$ である，すなわち $r_{X} \otimes 1_{Y} = (1_{X} \otimes l_{Y}) a_{X, I, Y}$ であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$(X \otimes I) \otimes Y a_{X, I, Y} r_{X} \otimes 1_{Y} X \otimes (I \otimes Y) 1_{X} \otimes l_{Y} X \otimes Y$

まとめ

この記事では，関手 $F : C^{2} \to C$ から $_{C} F$ と $F_{C}$ ( $C \in C$ ) 及び $F_{l}$ と $F_{r}$ という関手を構成して，それらを用いてモノイダル圏を定義した． $F$ に対して $F_{l}$ と $F_{r}$ を関手として直接構成する方法もあると思うが，関手の合成などの操作を用いることにした．その結果，少し遠回りな説明になってしまったかもしれない．
次の記事，すなわち第2回の後半では，定義 1.1 で構成した圏 $Set$ 上のモノイダル構造 $(\otimes, I, a, l, r)$ を与える．さらに， $(Set, \otimes, I, a, l, r)$ が「対称モノイダル閉圏」であることを示す．

追記

2022/2/22 23:45 定義 12 を修正した．それに伴い，§3.2 とまとめを修正した．
2022/2/23 22:30 参考文献に第2回 (後半) の記事 [ 5 ] を加えた．
2022/2/26 14:58 参考文献に第3回の記事 [ 6 ] を加えた．
2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 7 ] を加えた．
2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 8 ] を加えた．
2022/3/3 23:34 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 9 ] を加えた．
2022/3/3 23:35 §1 の一部を削除した．

参考文献

[1]

G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005

[2]

J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009

[3]

J. Lurie, Kerodon, 閲覧日 2022年2月20日, https://kerodon.net/

[4]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[5]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023