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大学数学基礎解説
文献あり

豊穣圏の導入 第2回: 集合の圏は対称モノイダル閉圏をなす (前半)

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$$\newcommand{btl}[1]{\boxtimes_l^{#1}} \newcommand{btr}[1]{\boxtimes_r^{#1}} \newcommand{cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{es}[0]{\emptyset} \newcommand{func}[3]{{#1}\,\colon{#2}\to{#3}} \newcommand{ge}[0]{\geqslant} \newcommand{id}[1]{1_{#1}} \newcommand{le}[0]{\leq} \newcommand{le}[0]{\leqslant} \newcommand{mor}[3]{{#1}({#2},{#3})} \newcommand{set}[0]{\textbf{Set}} $$

前回の記事 [ 4 ] では,集合の圏$\set$を構成して,$\set$が終対象と積をもつことを確認した.この記事では,モノイダル圏を定義することを目標とする.

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像,空集合など) に親しみがあり,圏の定義を知っていることを仮定する.
また,この記事を通して,以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

  • 正の整数$n$$x_i$ ($1\le i\le n$) に対して,$\{x_i\}_{1\le i\le n}$を以下で定義する:
    (a) $n=1$である場合は,$\{x_i\}_{1\le i\le1}:=x_1$と定める.
    (b) 正の整数$N$に対して,$\{x_i\}_{1\le i\le N+1}:=(\{x_i\}_{1\le i\le N},x_{N+1})$と定める.
    $x_1$$x_2$に対して,$\{x_i\}_{1\le i\le 2}=(\{x_i\}_{1\le i\le1},x_2)=(x_1,x_2)$が成り立つ.
    $x_1$$x_2$$x_3$に対して,$\{x_i\}_{1\le i\le3}$$(x_1,x_2,x_3)$で表す.また,正の整数$n$$x_i$ ($1\le i\le n$) に対して,$\{x_i\}_{1\le i\le n}$$\{x_i\}_i$と略記することがある.
    正の整数$n$$x_i$$y_i$ ($1\le i\le n$) に対して,$\{x_i\}_i=\{y_i\}_i$ならば,$1\le i\le n$をみたす各$i$に対して$x_i=y_i$であることが知られている.

第1回の記事 [ 4 ] からは,定義 1 と命題 1 を用いており,これらを定義 1.1 及び命題 1.1 で表している.

準備

モノイダル構造やモノイダル圏を定義するための準備として,ここでは関手や自然変換などの概念を導入して,それらの基本的な性質について述べる.

圏の積

$n$を正の整数として,$\cat{C}_i$ ($1\le i\le n$) を圏とする.圏$\prod_i\cat{C}_i$を以下で定義する:

  1. $\prod_i\cat{C}_i$の対象とは,$\cat{C}_i$の対象$X_i$ ($1\le i\le n$) の組$\{X_i\}_i$のことである.
  2. $\prod_i\cat{C}_i$の対象$\{X_i\}_i$$\{Y_i\}_i$に対して,$\{X_i\}_i$から$\{Y_i\}_i$への$\prod_i\cat{C}_i$での射とは,$\cat{C}_i$での射$\func{f_i}{X_i}{Y_i}$ ($1\le i\le n$) の組$\{f_i\}_i$のことである.
  3. $\prod_i\cat{C}_i$での射$\func{\{g_i\}_i}{\{Y_i\}_i}{\{Z_i\}_i}$$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して,$\{g_i\}_i$$\{f_i\}_i$$\prod_i\cat{C}_i$での合成$\{g_i\}_i\{f_i\}_i$を,$g_i$$f_i$$\cat{C}_i$での合成$g_if_i$ ($1\le i\le n$) に対して,$\{g_i\}_i\{f_i\}_i=\{g_if_i\}_i$で定める.

正の整数$n$に対して,$\prod_i\cat{C}_i$は圏をなす.実際,$\prod_i\cat{C}_i$の各対象$\{X_i\}_i$を取るとき,$X_i$$\cat{C}_i$での恒等射$\id{X_i}$ ($1\le i\le n$) に対して,$\{\id{X_i}\}_i$$\{X_i\}_i$から$\{X_i\}_i$への$\prod_i\cat{C}_i$での射である.$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して,
$$\{\id{Y_i}\}_i\{f_i\}_i=\{\id{Y_i}f_i\}_i=\{f_i\}_i=\{f_i\,\id{X_i}\}_i=\{f_i\}_i\{\id{X_i}\}_i,$$
である.
また,$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{h_i\}_i}{\{Z_i\}_i}{\{W_i\}_i}$$\func{\{g_i\}_i}{\{Y_i\}_i}{\{Z_i\}_i}$$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して,
$$\{h_i\}_i(\{g_i\}_i\{f_i\}_i)=\{h_i\}_i\{g_if_i\}_i=\{h_i(g_if_i)\}_i=\{(h_ig_i)f_i\}_i=\{h_ig_i\}_i\{f_i\}_i=(\{h_i\}_i\{g_i\}_i)\{f_i\}_i,$$
である.
ゆえに,正の整数$n$に対して,$\prod_i{C}_i$は圏をなし,各$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して,$\{\id{X_i}\}_i$$\{X_i\}_i$$\prod_i\cat{C}_i$での恒等射である.

$\cat{C}$に対して$\cat{C}_i=\cat{C}$ ($1\le i\le n$) である場合は,$\prod_i\cat{C}_i$$\cat{C}^n$で表す.

関手

共変関手

$\cat{C}$$\cat{D}$を圏とする.

  • $X\in\cat{C}$に対して,$F(X)$$FX$で表される$\cat{D}$の対象が一意に定まるような対応$\underline{F}$
  • $X,Y\in\cat{C}$に対して,$\mor{\cat{C}}{X}{Y}$から$\mor{\cat{D}}{FX}{FY}$への写像$F_{X,Y}$

が与えられているとき,組$F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})$$\cat{C}$から$\cat{D}$への共変関手 (covariant functor) であるとは,以下が成り立つことをいう:

  1. 任意の$X\in\cat{C}$に対して,$F_{X,X}(\id{X})=\id{FX}$である.
  2. $\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$$\func{f}{X}{Y}$に対して,$F_{X,Z}(gf)=F_{Y,Z}(g)F_{X,Y}(f)$である:
    $$\xymatrix{X\ar[r]^f\ar[rd]_{gf}&Y\ar[d]^g&&FX\ar[r]^{F_{X,Y}(f)}\ar[rd]_{F_{X,Z}(gf)}&FY\ar[d]^{F_{Y,Z}(g)}\\ &Z&&&FZ}$$
    ここで,左辺の$gf$$g$$f$$\cat{C}$での合成を,右辺の$F_{Y,Z}(g)F_{X,Y}(f)$$F_{Y,Z}(g)$$F_{X,Y}(f)$$\cat{D}$での合成を表している.

共変関手のことを,以下では関手 (functor) とよぶことにする.$F$$\cat{C}$から$\cat{D}$への関手であることを,$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$が関手であるという.また,関手$\func{F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})}{\cat{C}}{\cat{D}}$に対して,$\underline{F}$$F_{X,Y}$ ($X,Y\in\cat{C}$) をいずれも$F$と略記する.

恒等関手

$\cat{C}$を圏とする.$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手$\id{\cat{C}}$を以下で定める:
(1) 各$X\in\cat{C}$に対して,$\cat{C}$の対象$\id{\cat{C}}X$$\id{\cat{C}}X:=X$と定める.
(2) $\cat{C}$での各射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$\id{\cat{C}}X=X$から$\id{\cat{C}}Y=Y$への$\cat{C}$での射$\id{\cat{C}}(f)$$\id{\cat{C}}(f):=f$で定める.

$\cat{C}$を取るとき,$\id{\cat{C}}$$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である.実際,任意の$X\in\cat{C}$に対して,$\id{\cat{C}}(\id{X})=\id{X}=\id{\id{\cat{C}}X}$である.
また,$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$$\func{f}{X}{Y}$に対して,$\id{\cat{C}}(gf)=gf=\id{\cat{C}}(g)\,\id{\cat{C}}(f)$である.
関手$\func{\id{\cat{C}}}{\cat{C}}{\cat{C}}$$\cat{C}$恒等関手 (identity functor) という.

関手の合成

$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手とする.$\cat{C}$から$\cat{E}$への関手$GF$を以下で定める:
(1) 各$X\in\cat{C}$に対して,$\cat{E}$の対象$(GF)X$$(GF)X:=G(FX)$と定める.
(2) $\cat{C}$での各射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$(GF)X=G(FX)$から$(GF)Y=G(FY)$への$\cat{E}$での射$(GF)(f)$$(GF)(f):=G(F(f))$で定める.

関手$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$を取るとき,$GF$$\cat{C}$から$\cat{E}$への関手である.実際,$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$が関手であることから,任意の$X\in\cat{C}$に対して,
$$(GF)(\id{X})=G(F(\id{X}))=G(\id{FX})=\id{G(FX)}=\id{(GF)X},$$
である.
また,$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$が関手であることから,$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$$\func{f}{X}{Y}$に対して,
$$(GF)(gf)=G(F(gf))=G(F(g)F(f))=G(F(g))G(F(f))=(GF)(g)(GF)(f),$$
である.
関手$\func{GF}{\cat{C}}{\cat{E}}$$G$$F$合成 (composition) とよぶ.

関手$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$に対して,$\id{\cat{D}}F=F=F\,\id{\cat{C}}$が成り立つ.

任意の$X\in\cat{C}$に対して,$(\id{\cat{D}}F)X=\id{\cat{D}}(FX)=FX$及び$(F\,\id{\cat{C}})X=F(\id{\cat{C}}X)=FX$である.
また,$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$(\id{\cat{D}}F)(f)=\id{\cat{D}}(F(f))=F(f)$及び$(F\,\id{\cat{C}})(f)=F(\id{\cat{C}}(f))=F(f)$である.
ゆえに,$\id{\cat{D}}F=F=F\,\id{\cat{C}}$が成り立つ.

関手$\func{H}{\cat{D}}{\cat{E}}$$\func{G}{\cat{C}}{\cat{D}}$$\func{F}{\cat{B}}{\cat{C}}$に対して,$H(GF)=(HG)F$が成り立つ.

任意の$X\in\cat{B}$に対して,
$$(H(GF))X=H((GF)X)=H(G(FX))=(HG)(FX)=((HG)F)X,$$
である.
また,$\cat{B}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,
$$(H(GF))(f)=H((GF)(f))=H(G(F(f)))=(HG)(F(f))=((HG)F)(f),$$
である.
ゆえに,$H(GF)=(HG)F$が成り立つ.

命題 2 の証明から,関手$\func{H}{\cat{D}}{\cat{E}}$$\func{G}{\cat{C}}{\cat{D}}$$\func{F}{\cat{B}}{\cat{C}}$に対して,$\cat{B}$から$\cat{E}$への関手$HGF$が,各$X\in\cat{B}$に対して$(HGF)X:=H(G(FX))$及び,$\cat{C}$の各射$\func{f}{X}{Y}$に対して$(HGF)(f):=H(G(F(f)))$で定まることがわかる.

関手の積

$n$を正の整数として,$\func{F_i}{\cat{C}_i}{\cat{D}_i}$ ($1\le i\le n$) を関手とする.$\prod_i\cat{C}_i$から$\prod_i\cat{D}_i$への関手$\prod_iF_i$を以下で定める:
(1) 各$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して,$\prod_i\cat{D}_i$の対象$\bigl(\prod_iF_i\bigr)\{X_i\}_i$$\bigl(\prod_iF_i\bigr)\{X_i\}:=\{F_iX_i\}_i$で定める.
(2) $\prod_i\cat{C}_i$での各射$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して,$\bigl(\prod_iF_i\bigr)\{X_i\}_i=\{F_iX_i\}_i$から$\bigl(\prod_iF_i\bigr)\{Y_i\}_i=\{F_iY_i\}_i$への$\prod_i\cat{D}_i$での射$\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{f_i\}_i)$$\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{f_i\}_i):=\{F_i(f_i)\}_i$で定める.

関手$\func{F_i}{\cat{C}_i}{\cat{D}_i}$ ($1\le i\le n$) を取るとき,$\prod_iF_i$$\prod_i\cat{C}_i$から$\prod_i\cat{D}_i$への関手である.実際,$\func{F_i}{\cat{C_i}}{\cat{D_i}}$ ($1\le i\le n$) が関手であることから,任意の$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して,
$$\textstyle\bigl(\prod_iF_i\bigr)\bigl(\id{\{X_i\}_i}\bigr)=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{\id{X_i}\}_i)=\{F_i(\id{X_i})\}_i=\{\id{F_iX_i}\}_i=\id{\{F_iX_i\}_i}=\id{(\prod_iF_i)\{X_i\}_i},$$
である.
また,$\func{F_i}{\cat{C_i}}{\cat{D_i}}$ ($1\le i\le n$) が関手であることから,$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{g_i\}_i}{\{Y_i\}_i}{\{Z_i\}_i}$$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して,
\begin{align} \textstyle\bigl(\prod_iF_i\bigr)\bigl(\{g_i\}_i\{f_i\}_i\bigr) &\textstyle=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{g_if_i\}_i) =\{F_i(g_if_i)\}_i\\ &\textstyle=\{F_i(g_i)F_i(f_i)\}_i=\{F_i(g_i)\}_i\{F_i(f_i)\}_i=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{g_i\})\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{f_i\}), \end{align}
である.

$n=2$の場合は$\prod_iF_i$$F_1\times F_2$で表す.

自然変換

自然変換

$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手とする.$\cat{D}$での射の族$\alpha=\{\func{\alpha_X}{FX}{GX}\}_{X\in\cat{C}}$$F$から$G$への自然変換 (natural transformation) であるとは,$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$\alpha_YF(f)=G(f)\alpha_X$が成り立つことをいう:
$$\xymatrix{FX\ar[r]^{\alpha_X}\ar[d]_{F(f)}&GX\ar[d]^{G(f)}\\ FY\ar[r]_{\alpha_Y}&GY}$$
$\alpha$$F$から$G$への自然変換であることを,$\func{\alpha}{F}{G}$が自然変換であるという.
関手$\func{F,G}{\prod_i\cat{C}_i}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して,$\alpha_{\{X_i\}_i}$$\alpha_{X_1,\dots,X_n}$で表す.

恒等変換

$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手とする.$F$から$F$への自然変換$\id{F}$を,各$X\in\cat{C}$に対して,$FX$から$FX$への$\cat{C}$での射$(\id{F})_X$$FX$$\cat{C}$での恒等射$\id{FX}$とすることで定める.

関手$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$に対して,$\id{F}$$F$から$F$への自然変換である.実際,$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,
$$(\id{F})_YF(f)=\id{FY}F(f)=F(f)=F(f)\,\id{FX}=F(f)(\id{F})_X,$$
である:
$$\xymatrix{FX\ar[r]^{(\id{F})_X}\ar[d]_{F(f)}&FX\ar[d]^{F(f)}\\ FY\ar[r]_{(\id{F})_Y}&FY}$$
$\id{F}$$F$恒等変換 (identity transformation) とよぶ.

自然変換の垂直合成

$\func{H,G,F}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手として,$\func{\beta}{G}{H}$$\func{\alpha}{F}{G}$を自然変換とする.$F$から$H$への自然変換$\beta\cdot\alpha$を,各$X\in\cat{C}$に対して,$FX$から$HX$への$\cat{C}$での射$(\beta\cdot\alpha)_X$$(\beta\cdot\alpha)_X:=\beta_X\alpha_X$とすることで定める:
$$\xymatrix{FX\ar[r]^{\alpha_X}\ar[rd]_{(\beta\cdot\alpha)_X}&GX\ar[d]^{\beta_X}\\ &HX}$$

関手$\func{H,G,F}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\beta}{G}{H}$$\func{\alpha}{F}{G}$を取るとき,$\beta\cdot\alpha$$F$から$H$への自然変換である.実際,$\func{\alpha}{F}{G}$$\func{\beta}{G}{H}$が自然変換であることから,$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$\alpha_YF(f)=G(f)\alpha_X$かつ$\beta_YG(f)=H(f)\beta_X$であり,
$$(\beta\cdot\alpha)_YF(f)=\beta_Y\alpha_YF(f)=\beta_YG(f)\alpha_X=H(f)\beta_X\alpha_X=H(f)(\beta\cdot\alpha)_X,$$
である:
$$\xymatrix{FX\ar@/^1.5pc/[rr]^{(\beta\cdot\alpha)_X}\ar[r]^{\alpha_X}\ar[d]_{F(f)}&GX\ar[r]^{\beta_X}\ar[d]|{G(f)}&HX\ar[d]^{H(f)}\\ FY\ar[r]_{\alpha_Y}\ar@/_1.5pc/[rr]_{(\beta\cdot\alpha)_Y}&FY\ar[r]_{\beta_Y}&HY}$$
$\beta\cdot\alpha$$\beta$$\alpha$垂直合成 (horizontal composition) とよぶ.

関手$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$に対して,$\id{G}\cdot\alpha=\alpha=\alpha\cdot\id{F}$が成り立つ.

任意の$X\in\cat{C}$に対して,$(\id{G}\cdot\alpha)_X=(\id{G})_X\alpha_X=\id{GX}\alpha_X=\alpha_X$かつ$(\alpha\cdot\id{F})_X=\alpha_X\,(\id{F})_X=\alpha_X\,\id{FX}=\alpha_X$である.

関手$\func{K,H,G,F}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\gamma}{H}{K}$$\func{\beta}{G}{H}$$\func{\alpha}{F}{G}$に対して,$\gamma\cdot(\beta\cdot\alpha)=(\gamma\cdot\beta)\cdot\alpha$が成り立つ.

任意の$X\in\cat{C}$に対して,
$$(\gamma\cdot(\beta\cdot\alpha))_X=\gamma_X(\beta\cdot\alpha)_X=\gamma_X\beta_X\alpha_X=(\gamma\cdot\beta)_X\alpha_X=((\gamma\cdot\beta)\cdot\alpha)_X,$$
である.

自然同型

$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手とする.$\alpha$$F$から$G$への自然同型 (natural isomorphism) であるとは,$\alpha$$F$から$G$への自然変換であり,$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が存在することをいう.$\alpha$$F$から$G$への自然同型であることを,$\func{\alpha}{F}{G}$が自然同型であるという.

$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手として,$\func{\alpha}{F}{G}$を自然変換とする.自然変換$\func{\beta,\beta'}{G}{F}$に対して,$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$ならば,$\beta=\beta'$である.

$$\beta=\beta\cdot\id{G}=\beta\cdot(\alpha\cdot\beta')=(\beta\cdot\alpha)\cdot\beta'=\id{G}\cdot\beta'=\beta',$$
よりわかる.ただし,1 番目と 5 番目の等号には命題 3 を,3 番目の等号には命題 4 を用いた.

関手$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$を取る.自然変換$\func{\beta,\beta'}{G}{H}$$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$,及び$\beta'\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$をみたすならば,特に$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$であり,命題 5 より$\beta=\beta'$が成り立つ.ゆえに,$\func{\alpha}{F}{G}$が自然同型ならば,$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が一意に存在することがわかる.これを$\alpha$ (inverse) とよび,$\alpha^{-1}$で表す.

$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$を関手とする.$\cat{D}$での射の族$\alpha=\{\func{\alpha_X}{FX}{GX}\}_{X\in\cat{C}}$に対して,以下は同値である:
(1) $\alpha$$F$から$G$への自然同型である.
(2) $\alpha$$F$から$G$への自然変換であり,各$X\in\cat{C}$に対して,$\alpha_X$$FX$から$GX$への$\cat{D}$での同型射である.

(1)$\Rightarrow$(2): (1) が成り立つならば,$\alpha$$F$から$G$への自然変換であり,$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が取れる.任意の$X\in\cat{C}$に対して,$\beta_X\alpha_X=(\beta\cdot\alpha)_X=(\id{F})_X=\id{FX}$かつ$\alpha_X\beta_X=(\alpha\cdot\beta)_X=(\id{G})_X=\id{GX}$だから,(2) が成り立つ.
(2)$\Rightarrow$(1): (2) が成り立つならば,各$X\in\cat{C}$に対して,$\beta'_X\alpha_X=\id{FX}$かつ$\alpha_X\beta'_X=\id{GX}$をみたす$\cat{D}$での射$\func{\beta'_X}{GX}{FX}$が取れて,$\cat{D}$での射の族$\beta':=\{\func{\beta'_X}{GX}{FX}\}_{X\in\cat{C}}$が定まる.$\func{\alpha}{F}{G}$が自然変換であることから,$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$\alpha_YF(f)=G(f)\alpha_X$であり,
$$\beta'_YG(f)=\beta'_YG(f)\,\id{GX}=\beta'_YG(f)\alpha_X\beta'_X=\beta'_Y\alpha_YF(f)\beta'_X=\id{FY}F(f)\beta'_X=F(f)\beta'_X,$$
である:
$$\xymatrix{GX\ar@/^1.75pc/[rr]^{\id{GX}}\ar[r]^{\beta'_X}&FX\ar[r]^{\alpha_X}\ar[d]_{F(f)}&GX\ar[d]^{G(f)}\\ &FY\ar[r]_{\alpha_Y}\ar@/_1.75pc/[rr]_{\id{FY}}&GY\ar[r]_{\beta'_Y}&FY}$$
ゆえに,$\beta'$$G$から$F$への自然変換である.任意の$X\in\cat{C}$に対して,$(\beta'\cdot\alpha)_X=\beta'_X\alpha_X=\id{FX}=(\id{F})_X$かつ$(\alpha\cdot\beta')_X=\alpha_X\beta'_X=\id{GX}=(\id{G})_X$だから,$\beta'\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$であり,(1) が成り立つ.

関手$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$を取る.$\alpha$$F$から$G$への自然同型ならば,命題 5 の直後に述べたように,$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が一意に存在する.命題 6 を用いると,これは以下のように示すことも出来る:

$\alpha$$F$から$G$への自然同型であるとする.$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$,及び$\beta'\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta,\beta'}{G}{F}$を取る.このとき,任意の$X\in\cat{C}$に対して,$\beta_X\cdot\alpha_X=(\beta\cdot\alpha)_X=(\id{F})_X=\id{FX}$かつ$\alpha_X\cdot\beta_X=(\alpha\cdot\beta)_X=(\id{G})_X=\id{GX}$,及び$\beta'_X\cdot\alpha_X=(\beta'\cdot\alpha)_X=(\id{F})_X=\id{FX}$かつ$\alpha_X\cdot\beta'_X=(\alpha\cdot\beta')_X=(\id{G})_X=\id{GX}$が成り立つ.また,命題 6, (1)$\Rightarrow$(2) より,各$X\in\cat{C}$に対して,$\alpha_X$$FX$から$GX$への同型射である.命題 1.1 の直後の議論から,任意の$X\in\cat{C}$に対して$\beta_X=\beta'_X$であり,$\beta=\beta'$を得る.

モノイダル圏

モノイダル構造とモノイダル圏の定義

$\cat{C}$を圏とする.$\cat{C}^3$から$\cat{C}^2\times\cat{C}$への関手$\btl{\cat{C}}$$\cat{C}^3$から$\cat{C}\times\cat{C}^2$への関手$\btr{\cat{C}}$を以下で定める:
(1) 各$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して,$\cat{C}^2\times\cat{C}$の対象$\btl{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)$$\btl{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3):=((X_1,X_2),X_3)$で定めて,$\cat{C}^3$での各射$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して,$\btl{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)=((X_1,X_2),X_3)$から$\btl{\cat{C}}(Y_1,Y_2,Y_3)=((Y_1,Y_2),Y_3)$への$\cat{C}^2\times\cat{C}$での射$\btl{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3))$$\btl{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)):=((f_1,f_2),f_3)$で定める.
(2) 各$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して,$\cat{C}\times\cat{C}^2$の対象$\btr{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)$$\btr{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3):=(X_1,(X_2,X_3))$で定めて,$\cat{C}^3$での各射$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して,$\btr{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)=(X_1,(X_2,X_3))$から$\btr{\cat{C}}(Y_1,Y_2,Y_3)=(Y_1,(Y_2,Y_3))$への$\cat{C}\times\cat{C}^2$での射$\btr{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3))$$\btr{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)):=(f_1,(f_2,f_3))$で定める.

$\cat{C}$を取るとき,$\btl{\cat{C}}$$\cat{C}^3$から$\cat{C}^2\times\cat{C}$への関手である.実際,任意の$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して,
\begin{align} \btl{\cat{C}}(\id{(X_1,X_2,X_3)})&=\btr{\cat{C}}((\id{X_1},\id{X_2},\id{X_3}))=((\id{X_1},\id{X_2}),\id{X_3})\\ &=(\id{(X_1,X_2)},\id{X_3})=\id{((X_1,X_2),X_3)}=\id{\btl{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)}, \end{align}
である.
また,$\cat{C}^3$での任意の射$\func{(g_1,g_2,g_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}{(Z_1,Z_2,Z_3)}$$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して,
\begin{align} \btl{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3)(f_1,f_2,f_3)) &=\btl{\cat{C}}((g_1f_1,g_2f_2,g_3f_3)) =((g_1f_1,g_2f_2),g_3f_3) =((g_1,g_2)(f_1,f_2),g_3f_3)\\ &=((g_1,g_2),g_3)((f_1,f_2),f_3) =\btl{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3))\btl{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)), \end{align}
である.
一方で,$\btr{\cat{C}}$$\cat{C}^3$から$\cat{C}\times\cat{C}^2$への関手である.実際,任意の$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して,
\begin{align} \btr{\cat{C}}(\id{(X_1,X_2,X_3)})&=\btr{\cat{C}}((\id{X_1},\id{X_2},\id{X_3}))=(\id{X_1},(\id{X_2},\id{X_3}))\\ &=(\id{X_1},\id{(X_2,X_3)})=\id{(X_1,(X_2,X_3))}=\id{\btr{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)}, \end{align}
である.
また,$\cat{C}^3$での任意の射$\func{(g_1,g_2,g_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}{(Z_1,Z_2,Z_3)}$$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して,
\begin{align} \btr{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3)(f_1,f_2,f_3)) &=\btr{\cat{C}}((g_1f_1,g_2f_2,g_3f_3)) =(g_1f_1,(g_2f_2,g_3f_3)) =(g_1f_1,(g_2,g_3)(f_2,f_3))\\ &=(g_1,(g_2,g_3))(f_1,(f_2,f_3)) =\btr{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3))\btr{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)), \end{align}
である.

$\cat{C}$を圏として,$C\in\cat{C}$として,$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$を関手とする.

  1. $\cat{C}$から$\cat{C}$への関手${}_CF$を以下で定める.各$X\in\cat{C}$に対して,$\cat{C}$の対象$({}_CF)X$$({}_CF)X:=F(C,X)$で定めて,$\cat{C}$での各射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$({}_CF)X=F(C,X)$から$({}_CF)Y=F(C,Y)$への$\cat{C}$での射$({}_CF)(f)$$({}_CF(f)):=F((\id{C},f))$で定める.

  2. $\cat{C}$から$\cat{C}$への関手$F_C$を以下で定める.各$X\in\cat{C}$に対して,$\cat{C}$の対象$(F_C)X$$(F_C)X:=F(X,C)$で定めて,$\cat{C}$での各射$\func{f}{X}{Y}$に対して,$(F_C)X=F(X,C)$から$(F_C)Y=F(Y,C)$への$\cat{C}$での射$(F_C)(f)$$(F_C)(f):=F((f,\id{C}))$で定める.

  3. 関手$\func{F\times\id{\cat{C}}}{\cat{C}^2\times\cat{C}}{\cat{C}\times\cat{C}=\cat{C}^2}$が定まり,$F$$F\times\id{\cat{C}}$$\btl{\cat{C}}$に対して,$\cat{C}^3$から$\cat{C}$への関手$F_l$$F_l:=F(F\times\id{\cat{C}})\btl{\cat{C}}$で定める:
    $$\xymatrix{{\cat{C}^2\times\cat{C}}\ar[r]^-{F\times\id{\cat{C}}}&{\cat{C}\times\cat{C}=\cat{C}^2}\ar[d]^F\\ \cat{C}^3\ar[u]^{\btl{\cat{C}}}\ar[r]_{F_l}&\cat{C} }$$

  4. 関手$\func{\id{\cat{C}}\times F}{\cat{C}\times\cat{C}^2}{\cat{C}\times\cat{C}=\cat{C}^2}$が定まり,$F$$\id{\cat{C}}\times F$$\btr{\cat{C}}$に対して,$\cat{C}^3$から$\cat{C}$への関手$F_r$$F_r:=F(\id{\cat{C}}\times F)\btr{\cat{C}}$で定める:
    $$\xymatrix{{\cat{C}\times\cat{C}^2}\ar[r]^-{\id{\cat{C}}\times F}&{\cat{C}\times\cat{C}=\cat{C}^2}\ar[d]^F\\ \cat{C}^3\ar[u]^{\btr{\cat{C}}}\ar[r]_{F_r}&\cat{C} }$$

$C\in\cat{C}$を取るとき,${}_CF$$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である.実際,$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから,任意の$X\in\cat{C}$に対して,
$$({}_CF)(\id{X})=F((\id{C},\id{X}))=F(\id{(C,X)})=\id{F(C,X)}=\id{({}_CF)X},$$
である.また,$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから,$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$$\func{f}{X}{Y}$に対して,
\begin{align} ({}_CF)(gf)&=F((\id{C},gf))=F((\id{C}\,\id{C},gf))\\ &=F((\id{C},g)(\id{C},f))=F((\id{C},g))F((\id{C},f))=({}_CF)(g)({}_CF)(f), \end{align}
である.
一方で,$F_C$$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である.実際,$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから,任意の$X\in\cat{C}$に対して,
$$(F_C)(\id{X})=F((\id{X},\id{C}))=F(\id{(X,C)})=\id{F(X,C)}=\id{(F_C)X},$$
である.また,$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから,$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$$\func{f}{X}{Y}$に対して,
\begin{align} (F_C)(gf)&=F((gf,\id{C}))=F((gf,\id{C}\,\id{C}))\\ &=F((g,\id{C})(f,\id{C}))=F((g,\id{C}))F((f,\id{C}))=(F_C)(g)(F_C)(f), \end{align}
である.

モノイダル圏
  • $\cat{V}$
  • $\cat{V}^2$から$\cat{V}$への関手$\otimes$
  • $\cat{V}$の対象$I$
  • $\otimes_l$から$\otimes_r$への自然同型$a$
  • ${}_I\otimes$から$\id{\cat{C}}$への自然同型$l$
  • $\otimes_I$から$\id{\cat{C}}$への自然同型$r$

が与えられているとき,組$(\cat{V},\otimes,I,a,l,r)$モノイダル圏 (monoidal category) であるとは,以下をみたすことをいう:

  1. 任意の$X,Y,Z,W\in\cat{V}$に対して,次の等式が成り立つ:
    $$\otimes((\id{W},a_{X,Y,Z}))a_{W,\otimes(X,Y),Z}\!\!\otimes\!((a_{W,X,Y},\id{Z}))=a_{W,X,\otimes(Y,Z)}a_{\otimes(W,X),Y,Z}.$$

  2. 任意の$X,Y\in\cat{V}$に対して,$\otimes((r_X,\id{Y}))=\otimes((\id{X},l_Y))a_{X,I,Y}$である.

モノイダル圏 $(\cat{V},\otimes,I,a,l,r)$$\cat{V}$と略記して,$\otimes$$\cat{V}$テンソル積 (tensor product) とよび,$I$$\cat{V}$単位対象 (unit object) とよび,組$(\otimes,I,a,l,r)$$\cat{V}$上のモノイダル構造 (monoidal structure) とよぶ.
モノイダル圏$\cat{V}$を取るとき,$(X_1,X_2)\in\cat{V}^2$に対して,$\otimes(X_1,X_2)$$X_1\otimes X_2$で表し,$\cat{V}^2$での射$\func{(f_1,f_2)}{(X_1,X_2)}{(Y_1,Y_2)}$に対して,$\otimes((f_1,f_2))$$f_1\otimes f_2$で表す.

ここでは [1, p.7] におけるモノイダル圏の定義を採用したが,モノイダル構造という用語は [ 3, Tag 00CC ] で与えられていたものを借用した.

モノイダル圏の定義 (定義 12) の解説

$\cat{V}=(\cat{V},\otimes,I,a,l,r)$をモノイダル圏とする.
$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{V}^3$に対して,
\begin{align} \otimes_l(X_1,X_2,X_3) &=(\otimes(\otimes\times\id{\cat{V}})\btl{\cat{V}})(X_1,X_2,X_3)&(\text{定義 11, (3)})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(\btl{\cat{V}}(X_1,X_2,X_3)))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})((X_1,X_2),X_3))&(\text{定義 10, (1)})\\ &=\otimes(\otimes(X_1,X_2),\id{\cat{V}}X_3)&(\text{定義 5})\\ &=\otimes(\otimes(X_1,X_2),X_3)&(\text{定義 3})\\ &=\otimes(X_1\otimes X_2,X_3)\\ &=(X_1\otimes X_2)\otimes X_3, \end{align}
及び
\begin{align} \otimes_r(X_1,X_2,X_3) &=(\otimes(\id{\cat{V}}\times\otimes)\btr{\cat{V}})(X_1,X_2,X_3)&(\text{定義 11, (4)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(\btr{\cat{V}}(X_1,X_2,X_3)))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(X_1,(X_2,X_3)))&(\text{定義 10, (2)})\\ &=\otimes(\id{\cat{V}}X_1,\otimes(X_2,X_3))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes(X_1,\otimes(X_2,X_3))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes(X_1,X_2\otimes X_3)\\ &=X_1\otimes(X_2\otimes X_3), \end{align}
である.
また,$\cat{V}^3$での射$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して,
\begin{align} \otimes_l((f_1,f_2,f_3)) &=(\otimes(\otimes\times\id{\cat{V}})\btl{\cat{V}})((f_1,f_2,f_3))&(\text{定義 11, (3)})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(\btl{\cat{V}}((f_1,f_2,f_3))))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(((f_1,f_2),f_3)))&(\text{定義 10, (1)})\\ &=\otimes((\otimes((f_1,f_2)),\id{\cat{V}}(f_3)))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes((\otimes((f_1,f_2)),f_3))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes((f_1\otimes f_2,f_3))\\ &=(f_1\otimes f_2)\otimes f_3, \end{align}
及び
\begin{align} \otimes_r((f_1,f_2,f_3)) &=(\otimes(\id{\cat{V}}\times\otimes)\btr{\cat{V}})((f_1,f_2,f_3))&(\text{定義 11, (4)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(\btr{\cat{V}}((f_1,f_2,f_3))))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)((f_1,(f_2,f_3))))&(\text{定義 10, (2)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}(f_1),\otimes((f_2,f_3))))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes((f_1,\otimes((f_2,f_3))))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes((f_1,f_2\otimes f_3))\\ &=f_1\otimes(f_2\otimes f_3), \end{align}
である.

定義 12, (1) について

$X,Y,Z,W\in\cat{V}$を取る.
$\otimes((\id{W},a_{X,Y,Z}))=1_W\otimes a_{X,Y,Z}$
$$\otimes(W,\otimes_l(X,Y,Z))=\otimes(W,(X\otimes Y)\otimes Z)=W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z),$$
から
$$\otimes(W,\otimes_r(X,Y,Z))=\otimes(W,X\otimes(Y\otimes Z))=W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z)),$$
への射であり,$a_{W,\otimes(X,Y),Z}=a_{W,X\otimes Y,Z}$
$$\otimes_l(W,\otimes(X,Y),Z)=\otimes_l(W,X\otimes Y,Z)=(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z,$$
から
$$\otimes_r(W,\otimes(X,Y),Z)=\otimes_r(W,X\otimes Y,Z)=W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z),$$
への射であり,$\otimes((a_{W,X,Y},\id{Z}))=a_{W,X,Y}\otimes\id{Z}$
$$\otimes(\otimes_l(W,X,Y),Z)=\otimes((W\otimes X)\otimes Y,Z)=((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z,$$
から
$$\otimes(\otimes_r(W,X,Y),Z)=\otimes(W\otimes(X\otimes Y),Z)=(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z,$$
への射だから,$1_W\otimes a_{X,Y,Z}$$a_{W,X\otimes Y,Z}$$a_{W,X,Y}\otimes\id{Z}$の合成$(1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}(a_{W,X,Y}\otimes\id{Z})$$((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z$から$W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))$への射として定まる.
また,$a_{W,X,\otimes(Y,Z)}=a_{W,X,Y\otimes Z}$
$$\otimes_l(W,X,\otimes(Y,Z))=\otimes_l(W,X,Y\otimes Z)=(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z),$$
から
$$\otimes_r(W,X,\otimes(Y,Z))=\otimes_r(W,X,Y\otimes Z)=W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z)),$$
への射であり,$a_{\otimes(W,X),Y,Z}=a_{W\otimes X,Y,Z}$
$$\otimes_l(\otimes(W,X),Y,Z)=\otimes_l(W\otimes X,Y,Z)=((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z,$$
から
$$\otimes_r(\otimes(W,X),Y,Z)=\otimes_r(W\otimes X,Y,Z)=(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z),$$
への射だから,$a_{W,X,Y\otimes Z}$$a_{W\otimes X,Y,Z}$の合成$a_{W,X,Y\otimes Z}a_{W\otimes X,Y,Z}$$((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z$から$W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))$への射として定まる.
$$\otimes((\id{W},a_{X,Y,Z}))a_{W,\otimes(X,Y),Z}\!\!\otimes\!((a_{W,X,Y},\id{Z}))=a_{W,X,\otimes(Y,Z)}a_{\otimes(W,X),Y,Z}$$
である,すなわち
$$(1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}\!(a_{W,X,Y}\otimes\id{Z})=a_{W,X,Y\otimes Z}a_{W\otimes X,Y,Z}$$
であるということは,以下の図式が可換であるということを意味している:
$$\xymatrix{&{(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z)}\ar[rd]^{a_{W,X,Y\otimes Z}}\\ {((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z}\ar[d]_{a_{W,X,Y}\otimes\,\id{Z}}\ar[ru]^{a_{W\otimes X,Y,Z}}&&{W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))}\\ {(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z}\ar[rr]_-{a_{W,X\otimes Y,Z}}&&{W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z)}\ar[u]_{1_W\otimes\,a_{X,Y,Z}}}$$

定義 12, (2) について

$X,Y\in\cat{V}$を取る.定義 11, (2) と定義 3 より,$\otimes((r_X,\id{Y}))=r_X\otimes\id{Y}$
$$\otimes((\otimes_I)X,Y)=\otimes(\otimes(X,I),Y)=\otimes(X\otimes I,Y)=(X\otimes I)\otimes Y,$$
から$\otimes(\id{\cat{V}}X,Y)=\otimes(X,Y)=X\otimes Y$への射である.
また,定義 11, (1) と定義 3 より,$\otimes((\id{X},l_Y))=\id{X}\otimes l_Y$
$$\otimes(X,({}_I\otimes)Y)=\otimes(X,\otimes(I,Y))=\otimes(X,I\otimes Y)=X\otimes(I\otimes Y),$$
から$\otimes(X,\id{\cat{V}}Y)=\otimes(X,Y)=X\otimes Y$への射であり,$a_{X,I,Y}$$\otimes_l(X,I,Y)=(X\otimes I)\otimes Y$から$\otimes_r(X,I,Y)=X\otimes(I\otimes Y)$への$\cat{V}$での射だから,$\id{X}\otimes l_Y$$a_{X,I,Y}$の合成$(\id{X}\otimes l_Y)a_{X,I,Y}$$(X\otimes I)\otimes Y$から$X\otimes Y$への射として定まる.
$\otimes((r_X,\id{Y}))=\otimes((\id{X},l_Y))a_{X,I,Y}$である,すなわち$r_X\otimes\id{Y}=(\id{X}\otimes l_Y)a_{X,I,Y}$であるということは,以下の図式が可換であるということを意味している:
$$\xymatrix{{(X\otimes I)\otimes Y}\ar[rr]^{a_{X,I,Y}}\ar[rdd]_{r_X\otimes\,\id{Y}}&&{X\otimes(I\otimes Y)}\ar[ldd]^{\id{X}\otimes\,l_Y}\\\\ &{X\otimes Y}}$$

まとめ

この記事では,関手$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$から${}_CF$$F_C$ ($C\in\cat{C}$) 及び$F_l$$F_r$という関手を構成して,それらを用いてモノイダル圏を定義した.$F$に対して$F_l$$F_r$を関手として直接構成する方法もあると思うが,関手の合成などの操作を用いることにした.その結果,少し遠回りな説明になってしまったかもしれない.
次の記事,すなわち第2回の後半では,定義 1.1 で構成した圏$\set$上のモノイダル構造$(\otimes,I,a,l,r)$を与える.さらに,$(\set,\otimes,I,a,l,r)$が「対称モノイダル閉圏」であることを示す.

追記

  • 2022/2/22 23:45 定義 12 を修正した.それに伴い,§3.2 とまとめを修正した.
  • 2022/2/23 22:30 参考文献に第2回 (後半) の記事 [ 5 ] を加えた.
  • 2022/2/26 14:58 参考文献に第3回の記事 [ 6 ] を加えた.
  • 2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 7 ] を加えた.
  • 2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 8 ] を加えた.
  • 2022/3/3 23:34 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 9 ] を加えた.
  • 2022/3/3 23:35 §1 の一部を削除した.

参考文献

[1]
G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005
[2]
J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009
投稿日:2022220

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