豊穣圏の導入 第2回: 集合の圏は対称モノイダル閉圏をなす (前半)

前回の記事 [ 4 ] では，集合の圏$\set$を構成して，$\set$が終対象と積をもつことを確認した．この記事では，モノイダル圏を定義することを目標とする．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．
また，この記事を通して，以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

• 正の整数$n$と$x_i$ ($1\le i\le n$) に対して，$\{x_i\}_{1\le i\le n}$を以下で定義する:
  (a) $n=1$である場合は，$\{x_i\}_{1\le i\le1}:=x_1$と定める．
  (b) 正の整数$N$に対して，$\{x_i\}_{1\le i\le N+1}:=(\{x_i\}_{1\le i\le N},x_{N+1})$と定める．
  $x_1$と$x_2$に対して，$\{x_i\}_{1\le i\le 2}=(\{x_i\}_{1\le i\le1},x_2)=(x_1,x_2)$が成り立つ．
  $x_1$と$x_2$と$x_3$に対して，$\{x_i\}_{1\le i\le3}$を$(x_1,x_2,x_3)$で表す．また，正の整数$n$と$x_i$ ($1\le i\le n$) に対して，$\{x_i\}_{1\le i\le n}$を$\{x_i\}_i$と略記することがある．
  正の整数$n$と$x_i$と$y_i$ ($1\le i\le n$) に対して，$\{x_i\}_i=\{y_i\}_i$ならば，$1\le i\le n$をみたす各$i$に対して$x_i=y_i$であることが知られている．

第1回の記事 [ 4 ] からは，定義 1 と命題 1 を用いており，これらを定義 1.1 及び命題 1.1 で表している．

準備

モノイダル構造やモノイダル圏を定義するための準備として，ここでは関手や自然変換などの概念を導入して，それらの基本的な性質について述べる．

圏の積

正の整数$n$に対して，$\prod_i\cat{C}_i$は圏をなす．実際，$\prod_i\cat{C}_i$の各対象$\{X_i\}_i$を取るとき，$X_i$の$\cat{C}_i$での恒等射$\id{X_i}$ ($1\le i\le n$) に対して，$\{\id{X_i}\}_i$は$\{X_i\}_i$から$\{X_i\}_i$への$\prod_i\cat{C}_i$での射である．$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して，
$$\{\id{Y_i}\}_i\{f_i\}_i=\{\id{Y_i}f_i\}_i=\{f_i\}_i=\{f_i\,\id{X_i}\}_i=\{f_i\}_i\{\id{X_i}\}_i,$$
である．
また，$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{h_i\}_i}{\{Z_i\}_i}{\{W_i\}_i}$と$\func{\{g_i\}_i}{\{Y_i\}_i}{\{Z_i\}_i}$と$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して，
$$\{h_i\}_i(\{g_i\}_i\{f_i\}_i)=\{h_i\}_i\{g_if_i\}_i=\{h_i(g_if_i)\}_i=\{(h_ig_i)f_i\}_i=\{h_ig_i\}_i\{f_i\}_i=(\{h_i\}_i\{g_i\}_i)\{f_i\}_i,$$
である．
ゆえに，正の整数$n$に対して，$\prod_i{C}_i$は圏をなし，各$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して，$\{\id{X_i}\}_i$は$\{X_i\}_i$の$\prod_i\cat{C}_i$での恒等射である．

圏$\cat{C}$に対して$\cat{C}_i=\cat{C}$ ($1\le i\le n$) である場合は，$\prod_i\cat{C}_i$を$\cat{C}^n$で表す．

関手

圏$\cat{C}$を取るとき，$\id{\cat{C}}$は$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である．実際，任意の$X\in\cat{C}$に対して，$\id{\cat{C}}(\id{X})=\id{X}=\id{\id{\cat{C}}X}$である．
また，$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$と$\func{f}{X}{Y}$に対して，$\id{\cat{C}}(gf)=gf=\id{\cat{C}}(g)\,\id{\cat{C}}(f)$である．
関手$\func{\id{\cat{C}}}{\cat{C}}{\cat{C}}$を$\cat{C}$の恒等関手 (identity functor) という．

関手$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$と$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$を取るとき，$GF$は$\cat{C}$から$\cat{E}$への関手である．実際，$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$と$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$が関手であることから，任意の$X\in\cat{C}$に対して，
$$(GF)(\id{X})=G(F(\id{X}))=G(\id{FX})=\id{G(FX)}=\id{(GF)X},$$
である．
また，$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$と$\func{G}{\cat{D}}{\cat{E}}$が関手であることから，$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$と$\func{f}{X}{Y}$に対して，
$$(GF)(gf)=G(F(gf))=G(F(g)F(f))=G(F(g))G(F(f))=(GF)(g)(GF)(f),$$
である．
関手$\func{GF}{\cat{C}}{\cat{E}}$を$G$と$F$の合成 (composition) とよぶ．

関手$\func{F_i}{\cat{C}_i}{\cat{D}_i}$ ($1\le i\le n$) を取るとき，$\prod_iF_i$は$\prod_i\cat{C}_i$から$\prod_i\cat{D}_i$への関手である．実際，$\func{F_i}{\cat{C_i}}{\cat{D_i}}$ ($1\le i\le n$) が関手であることから，任意の$\{X_i\}_i\in\prod_i\cat{C}_i$に対して，
$$\textstyle\bigl(\prod_iF_i\bigr)\bigl(\id{\{X_i\}_i}\bigr)=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{\id{X_i}\}_i)=\{F_i(\id{X_i})\}_i=\{\id{F_iX_i}\}_i=\id{\{F_iX_i\}_i}=\id{(\prod_iF_i)\{X_i\}_i},$$
である．
また，$\func{F_i}{\cat{C_i}}{\cat{D_i}}$ ($1\le i\le n$) が関手であることから，$\prod_i\cat{C}_i$での任意の射$\func{\{g_i\}_i}{\{Y_i\}_i}{\{Z_i\}_i}$と$\func{\{f_i\}_i}{\{X_i\}_i}{\{Y_i\}_i}$に対して，
\begin{align} \textstyle\bigl(\prod_iF_i\bigr)\bigl(\{g_i\}_i\{f_i\}_i\bigr) &\textstyle=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{g_if_i\}_i) =\{F_i(g_if_i)\}_i\\ &\textstyle=\{F_i(g_i)F_i(f_i)\}_i=\{F_i(g_i)\}_i\{F_i(f_i)\}_i=\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{g_i\})\bigl(\prod_iF_i\bigr)(\{f_i\}), \end{align}
である．

$n=2$の場合は$\prod_iF_i$を$F_1\times F_2$で表す．

自然変換

関手$\func{F}{\cat{C}}{\cat{D}}$に対して，$\id{F}$は$F$から$F$への自然変換である．実際，$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して，
$$(\id{F})_YF(f)=\id{FY}F(f)=F(f)=F(f)\,\id{FX}=F(f)(\id{F})_X,$$
である:
$$\xymatrix{FX\ar[r]^{(\id{F})_X}\ar[d]_{F(f)}&FX\ar[d]^{F(f)}\\ FY\ar[r]_{(\id{F})_Y}&FY}$$
$\id{F}$を$F$の恒等変換 (identity transformation) とよぶ．

関手$\func{H,G,F}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\beta}{G}{H}$と$\func{\alpha}{F}{G}$を取るとき，$\beta\cdot\alpha$は$F$から$H$への自然変換である．実際，$\func{\alpha}{F}{G}$と$\func{\beta}{G}{H}$が自然変換であることから，$\cat{C}$での任意の射$\func{f}{X}{Y}$に対して，$\alpha_YF(f)=G(f)\alpha_X$かつ$\beta_YG(f)=H(f)\beta_X$であり，
$$(\beta\cdot\alpha)_YF(f)=\beta_Y\alpha_YF(f)=\beta_YG(f)\alpha_X=H(f)\beta_X\alpha_X=H(f)(\beta\cdot\alpha)_X,$$
である:
$$\xymatrix{FX\ar@/^1.5pc/[rr]^{(\beta\cdot\alpha)_X}\ar[r]^{\alpha_X}\ar[d]_{F(f)}&GX\ar[r]^{\beta_X}\ar[d]|{G(f)}&HX\ar[d]^{H(f)}\\ FY\ar[r]_{\alpha_Y}\ar@/_1.5pc/[rr]_{(\beta\cdot\alpha)_Y}&FY\ar[r]_{\beta_Y}&HY}$$
$\beta\cdot\alpha$を$\beta$と$\alpha$の垂直合成 (horizontal composition) とよぶ．

関手$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$を取る．自然変換$\func{\beta,\beta'}{G}{H}$が$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$，及び$\beta'\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$をみたすならば，特に$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta'=\id{G}$であり，命題 5 より$\beta=\beta'$が成り立つ．ゆえに，$\func{\alpha}{F}{G}$が自然同型ならば，$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が一意に存在することがわかる．これを$\alpha$の逆 (inverse) とよび，$\alpha^{-1}$で表す．

関手$\func{F,G}{\cat{C}}{\cat{D}}$と自然変換$\func{\alpha}{F}{G}$を取る．$\alpha$が$F$から$G$への自然同型ならば，命題 5 の直後に述べたように，$\beta\cdot\alpha=\id{F}$かつ$\alpha\cdot\beta=\id{G}$をみたす自然変換$\func{\beta}{G}{F}$が一意に存在する．命題 6 を用いると，これは以下のように示すことも出来る:

モノイダル圏

モノイダル構造とモノイダル圏の定義

圏$\cat{C}$を取るとき，$\btl{\cat{C}}$は$\cat{C}^3$から$\cat{C}^2\times\cat{C}$への関手である．実際，任意の$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して，
\begin{align} \btl{\cat{C}}(\id{(X_1,X_2,X_3)})&=\btr{\cat{C}}((\id{X_1},\id{X_2},\id{X_3}))=((\id{X_1},\id{X_2}),\id{X_3})\\ &=(\id{(X_1,X_2)},\id{X_3})=\id{((X_1,X_2),X_3)}=\id{\btl{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)}, \end{align}
である．
また，$\cat{C}^3$での任意の射$\func{(g_1,g_2,g_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}{(Z_1,Z_2,Z_3)}$と$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して，
\begin{align} \btl{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3)(f_1,f_2,f_3)) &=\btl{\cat{C}}((g_1f_1,g_2f_2,g_3f_3)) =((g_1f_1,g_2f_2),g_3f_3) =((g_1,g_2)(f_1,f_2),g_3f_3)\\ &=((g_1,g_2),g_3)((f_1,f_2),f_3) =\btl{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3))\btl{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)), \end{align}
である．
一方で，$\btr{\cat{C}}$は$\cat{C}^3$から$\cat{C}\times\cat{C}^2$への関手である．実際，任意の$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{C}^3$に対して，
\begin{align} \btr{\cat{C}}(\id{(X_1,X_2,X_3)})&=\btr{\cat{C}}((\id{X_1},\id{X_2},\id{X_3}))=(\id{X_1},(\id{X_2},\id{X_3}))\\ &=(\id{X_1},\id{(X_2,X_3)})=\id{(X_1,(X_2,X_3))}=\id{\btr{\cat{C}}(X_1,X_2,X_3)}, \end{align}
である．
また，$\cat{C}^3$での任意の射$\func{(g_1,g_2,g_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}{(Z_1,Z_2,Z_3)}$と$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して，
\begin{align} \btr{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3)(f_1,f_2,f_3)) &=\btr{\cat{C}}((g_1f_1,g_2f_2,g_3f_3)) =(g_1f_1,(g_2f_2,g_3f_3)) =(g_1f_1,(g_2,g_3)(f_2,f_3))\\ &=(g_1,(g_2,g_3))(f_1,(f_2,f_3)) =\btr{\cat{C}}((g_1,g_2,g_3))\btr{\cat{C}}((f_1,f_2,f_3)), \end{align}
である．

$C\in\cat{C}$を取るとき，${}_CF$は$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である．実際，$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから，任意の$X\in\cat{C}$に対して，
$$({}_CF)(\id{X})=F((\id{C},\id{X}))=F(\id{(C,X)})=\id{F(C,X)}=\id{({}_CF)X},$$
である．また，$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから，$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$と$\func{f}{X}{Y}$に対して，
\begin{align} ({}_CF)(gf)&=F((\id{C},gf))=F((\id{C}\,\id{C},gf))\\ &=F((\id{C},g)(\id{C},f))=F((\id{C},g))F((\id{C},f))=({}_CF)(g)({}_CF)(f), \end{align}
である．
一方で，$F_C$は$\cat{C}$から$\cat{C}$への関手である．実際，$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから，任意の$X\in\cat{C}$に対して，
$$(F_C)(\id{X})=F((\id{X},\id{C}))=F(\id{(X,C)})=\id{F(X,C)}=\id{(F_C)X},$$
である．また，$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$が関手であることから，$\cat{C}$での任意の射$\func{g}{Y}{Z}$と$\func{f}{X}{Y}$に対して，
\begin{align} (F_C)(gf)&=F((gf,\id{C}))=F((gf,\id{C}\,\id{C}))\\ &=F((g,\id{C})(f,\id{C}))=F((g,\id{C}))F((f,\id{C}))=(F_C)(g)(F_C)(f), \end{align}
である．

モノイダル圏の定義 (定義 12) の解説

$\cat{V}=(\cat{V},\otimes,I,a,l,r)$をモノイダル圏とする．
$(X_1,X_2,X_3)\in\cat{V}^3$に対して，
\begin{align} \otimes_l(X_1,X_2,X_3) &=(\otimes(\otimes\times\id{\cat{V}})\btl{\cat{V}})(X_1,X_2,X_3)&(\text{定義 11, (3)})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(\btl{\cat{V}}(X_1,X_2,X_3)))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})((X_1,X_2),X_3))&(\text{定義 10, (1)})\\ &=\otimes(\otimes(X_1,X_2),\id{\cat{V}}X_3)&(\text{定義 5})\\ &=\otimes(\otimes(X_1,X_2),X_3)&(\text{定義 3})\\ &=\otimes(X_1\otimes X_2,X_3)\\ &=(X_1\otimes X_2)\otimes X_3, \end{align}
及び
\begin{align} \otimes_r(X_1,X_2,X_3) &=(\otimes(\id{\cat{V}}\times\otimes)\btr{\cat{V}})(X_1,X_2,X_3)&(\text{定義 11, (4)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(\btr{\cat{V}}(X_1,X_2,X_3)))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(X_1,(X_2,X_3)))&(\text{定義 10, (2)})\\ &=\otimes(\id{\cat{V}}X_1,\otimes(X_2,X_3))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes(X_1,\otimes(X_2,X_3))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes(X_1,X_2\otimes X_3)\\ &=X_1\otimes(X_2\otimes X_3), \end{align}
である．
また，$\cat{V}^3$での射$\func{(f_1,f_2,f_3)}{(X_1,X_2,X_3)}{(Y_1,Y_2,Y_3)}$に対して，
\begin{align} \otimes_l((f_1,f_2,f_3)) &=(\otimes(\otimes\times\id{\cat{V}})\btl{\cat{V}})((f_1,f_2,f_3))&(\text{定義 11, (3)})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(\btl{\cat{V}}((f_1,f_2,f_3))))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\otimes\times\id{\cat{V}})(((f_1,f_2),f_3)))&(\text{定義 10, (1)})\\ &=\otimes((\otimes((f_1,f_2)),\id{\cat{V}}(f_3)))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes((\otimes((f_1,f_2)),f_3))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes((f_1\otimes f_2,f_3))\\ &=(f_1\otimes f_2)\otimes f_3, \end{align}
及び
\begin{align} \otimes_r((f_1,f_2,f_3)) &=(\otimes(\id{\cat{V}}\times\otimes)\btr{\cat{V}})((f_1,f_2,f_3))&(\text{定義 11, (4)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)(\btr{\cat{V}}((f_1,f_2,f_3))))&(\text{定義 4})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}\times\otimes)((f_1,(f_2,f_3))))&(\text{定義 10, (2)})\\ &=\otimes((\id{\cat{V}}(f_1),\otimes((f_2,f_3))))&(\text{定義 5})\\ &=\otimes((f_1,\otimes((f_2,f_3))))&(\text{定義 3})\\ &=\otimes((f_1,f_2\otimes f_3))\\ &=f_1\otimes(f_2\otimes f_3), \end{align}
である．

定義 12, (1) について

$X,Y,Z,W\in\cat{V}$を取る．
$\otimes((\id{W},a_{X,Y,Z}))=1_W\otimes a_{X,Y,Z}$は
$$\otimes(W,\otimes_l(X,Y,Z))=\otimes(W,(X\otimes Y)\otimes Z)=W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z),$$
から
$$\otimes(W,\otimes_r(X,Y,Z))=\otimes(W,X\otimes(Y\otimes Z))=W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z)),$$
への射であり，$a_{W,\otimes(X,Y),Z}=a_{W,X\otimes Y,Z}$は
$$\otimes_l(W,\otimes(X,Y),Z)=\otimes_l(W,X\otimes Y,Z)=(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z,$$
から
$$\otimes_r(W,\otimes(X,Y),Z)=\otimes_r(W,X\otimes Y,Z)=W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z),$$
への射であり，$\otimes((a_{W,X,Y},\id{Z}))=a_{W,X,Y}\otimes\id{Z}$は
$$\otimes(\otimes_l(W,X,Y),Z)=\otimes((W\otimes X)\otimes Y,Z)=((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z,$$
から
$$\otimes(\otimes_r(W,X,Y),Z)=\otimes(W\otimes(X\otimes Y),Z)=(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z,$$
への射だから，$1_W\otimes a_{X,Y,Z}$と$a_{W,X\otimes Y,Z}$と$a_{W,X,Y}\otimes\id{Z}$の合成$(1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}(a_{W,X,Y}\otimes\id{Z})$が$((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z$から$W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))$への射として定まる．
また，$a_{W,X,\otimes(Y,Z)}=a_{W,X,Y\otimes Z}$は
$$\otimes_l(W,X,\otimes(Y,Z))=\otimes_l(W,X,Y\otimes Z)=(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z),$$
から
$$\otimes_r(W,X,\otimes(Y,Z))=\otimes_r(W,X,Y\otimes Z)=W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z)),$$
への射であり，$a_{\otimes(W,X),Y,Z}=a_{W\otimes X,Y,Z}$は
$$\otimes_l(\otimes(W,X),Y,Z)=\otimes_l(W\otimes X,Y,Z)=((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z,$$
から
$$\otimes_r(\otimes(W,X),Y,Z)=\otimes_r(W\otimes X,Y,Z)=(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z),$$
への射だから，$a_{W,X,Y\otimes Z}$と$a_{W\otimes X,Y,Z}$の合成$a_{W,X,Y\otimes Z}a_{W\otimes X,Y,Z}$が$((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z$から$W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))$への射として定まる．
$$\otimes((\id{W},a_{X,Y,Z}))a_{W,\otimes(X,Y),Z}\!\!\otimes\!((a_{W,X,Y},\id{Z}))=a_{W,X,\otimes(Y,Z)}a_{\otimes(W,X),Y,Z}$$
である，すなわち
$$(1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}\!(a_{W,X,Y}\otimes\id{Z})=a_{W,X,Y\otimes Z}a_{W\otimes X,Y,Z}$$
であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$$\xymatrix{&{(W\otimes X)\otimes(Y\otimes Z)}\ar[rd]^{a_{W,X,Y\otimes Z}}\\ {((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z}\ar[d]_{a_{W,X,Y}\otimes\,\id{Z}}\ar[ru]^{a_{W\otimes X,Y,Z}}&&{W\otimes(X\otimes(Y\otimes Z))}\\ {(W\otimes(X\otimes Y))\otimes Z}\ar[rr]_-{a_{W,X\otimes Y,Z}}&&{W\otimes((X\otimes Y)\otimes Z)}\ar[u]_{1_W\otimes\,a_{X,Y,Z}}}$$

定義 12, (2) について

$X,Y\in\cat{V}$を取る．定義 11, (2) と定義 3 より，$\otimes((r_X,\id{Y}))=r_X\otimes\id{Y}$は
$$\otimes((\otimes_I)X,Y)=\otimes(\otimes(X,I),Y)=\otimes(X\otimes I,Y)=(X\otimes I)\otimes Y,$$
から$\otimes(\id{\cat{V}}X,Y)=\otimes(X,Y)=X\otimes Y$への射である．
また，定義 11, (1) と定義 3 より，$\otimes((\id{X},l_Y))=\id{X}\otimes l_Y$は
$$\otimes(X,({}_I\otimes)Y)=\otimes(X,\otimes(I,Y))=\otimes(X,I\otimes Y)=X\otimes(I\otimes Y),$$
から$\otimes(X,\id{\cat{V}}Y)=\otimes(X,Y)=X\otimes Y$への射であり，$a_{X,I,Y}$は$\otimes_l(X,I,Y)=(X\otimes I)\otimes Y$から$\otimes_r(X,I,Y)=X\otimes(I\otimes Y)$への$\cat{V}$での射だから，$\id{X}\otimes l_Y$と$a_{X,I,Y}$の合成$(\id{X}\otimes l_Y)a_{X,I,Y}$が$(X\otimes I)\otimes Y$から$X\otimes Y$への射として定まる．
$\otimes((r_X,\id{Y}))=\otimes((\id{X},l_Y))a_{X,I,Y}$である，すなわち$r_X\otimes\id{Y}=(\id{X}\otimes l_Y)a_{X,I,Y}$であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$$\xymatrix{{(X\otimes I)\otimes Y}\ar[rr]^{a_{X,I,Y}}\ar[rdd]_{r_X\otimes\,\id{Y}}&&{X\otimes(I\otimes Y)}\ar[ldd]^{\id{X}\otimes\,l_Y}\\\\ &{X\otimes Y}}$$

まとめ

この記事では，関手$\func{F}{\cat{C}^2}{\cat{C}}$から${}_CF$と$F_C$ ($C\in\cat{C}$) 及び$F_l$と$F_r$という関手を構成して，それらを用いてモノイダル圏を定義した．$F$に対して$F_l$と$F_r$を関手として直接構成する方法もあると思うが，関手の合成などの操作を用いることにした．その結果，少し遠回りな説明になってしまったかもしれない．
次の記事，すなわち第2回の後半では，定義 1.1 で構成した圏$\set$上のモノイダル構造$(\otimes,I,a,l,r)$を与える．さらに，$(\set,\otimes,I,a,l,r)$が「対称モノイダル閉圏」であることを示す．

追記

• 2022/2/22 23:45 定義 12 を修正した．それに伴い，§3.2 とまとめを修正した．
• 2022/2/23 22:30 参考文献に第2回 (後半) の記事 [ 5 ] を加えた．
• 2022/2/26 14:58 参考文献に第3回の記事 [ 6 ] を加えた．
• 2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 7 ] を加えた．
• 2022/3/3 22:58 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 8 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:34 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 9 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:35 §1 の一部を削除した．