豊穣圏の導入 第3回: 豊穣圏をどのように定義すればよいか
前回の記事 [
7
] では，モノイダル圏の定義を復習して，対称モノイダル圏，随伴，モノイダル閉圏などを定義して，$\set$が対称モノイダル閉圏であることを示した．
この記事では，モノイダル圏$\cat{V}$に対して，豊穣圏の理論で扱われる$\cat{V}$-圏や$\cat{V}$-関手が，圏や関手の自然な拡張になっていることを観察する．
導入
素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．
また，この記事を通して，以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):
- 圏$\cat{C}$に対して，$\cat{C}$の対象全体の"集まり"を$\ob{\cat{C}}$で表す．
第1回の記事 [ 5 ] からは，定義 1 を用いており，これを定義 1.1 で表している．
第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは，定義 2 と定義 12 を用いており，これらを定義 2.a.2 と定義 2.a.12 で表している．
第2回 (後半) の記事 [ 7 ] からは，定義 1，定義 2，定義 3，定義 4，命題 2 を用いており，これらを定義 2.b.1，定義 2.b.2，定義 2.b.3，定義 2.b.4，命題 2.b.2 で表している．
$\cat{V}$-圏と$\cat{V}$-関手
本節ではモノイダル圏 (定義 2.a.12) $\cat{V}$を固定する．
$\cat{V}$-圏
通常の圏の定義は，集合の圏$\set$ (定義 1.1) を用いて以下のように表される:
集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$，
各$X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$，
各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射
$$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\times\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},(g,f)\mapsto\circ_{X,Y,Z}((g,f))=:g\circ_{X,Y,Z}f,$$各$X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\id{X}\in\mor{\cat{C}}{X}{X}$，
が与えられたとき，組$\cat{C}=(\ob{\cat{C}},\{\mor{\cat{C}}{X}{Y}\}_{X,Y\in\ob{\cat{C}}},\{\circ_{X,Y,Z}\}_{X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}},\{\id{X}\}_{X\in\ob{\cat{C}}})$が圏であることは，以下が成り立つことと同値である:
(1) 任意の$X,Y\in\ob{\cat{C}}$と$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$\id{Y}\circ_{X,Y,Y}f=f=f\circ_{X,X,Y}\id{X}$である．
(2) 任意の$W,X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$と$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$と$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して，$h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f)=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f$である．
$\cat{V}$-圏は，命題 1 における$\set$を$\cat{V}$に取り換えたものとしてナイーブには定義される．しかし，一般のモノイダル圏では「対象の"元"を取る」という$\set$など一部の圏に特有の操作が行えないので，定義を拡張するには少し工夫が必要になる．
命題 2.b.2 で構成したモノイダル圏$\set=(\set,\otimes,I,a,l,r)$の単位対象は$I=\{\es\}$であった (定義 2.b.2)．これは以下をみたす:
集合$A$に対して，$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への写像$\rho^A$が，各$a\in A$に対して$(\rho^A(a))(\es):=a$で定まり，これは$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への全単射である．
$A=\es$である場合は，$I=\{\es\}$は空集合でないことから，$I$から$A$への写像は存在せず，$\mor{\set}{I}{A}=\es$が成り立つ．ゆえに，$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への写像$\rho^A$が$\rho^A:=\id{\es}$で定まる．$\rho_A\rho_A=\id{\es}\id{\es}=\id{\es}$だから，これは$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への全単射になっている．以下では，$A\ne\es$である場合について議論を行う．
$\mor{\set}{I}{A}$から$A$への写像$\sigma^A$が，各$f\in\mor{\set}{I}{A}$に対して，$\sigma^A(f):=f(\es)$で定まる．
$a\in A$を任意に取るとき，
$$\textstyle(\sigma^A\rho^A)(a)=\sigma^A(\rho^A(a))=(\rho^A(a))(\es)=a=\id{A}(a),$$
であり，$\sigma^A\rho^A=\id{A}$が成り立つ．
また，$f\in\mor{\set}{I}{A}$を任意に取るとき，
$$\textstyle((\rho^A\sigma^A)(f))(\es)=(\rho^A(\sigma^A(f)))(\es)=\sigma^A(f)=f(\es)=(\id{\mor{\set}{I}{A}}(f))(\es),$$
だから，任意の$f\in\mor{\set}{I}{A}$に対して$(\rho^A\sigma^A)(f)=\id{\mor{\set}{I}{A}}(f)$であり，$\rho^A\sigma^A=\id{\mor{\set}{I}{A}}$が成り立つ．
ゆえに，$\func{\rho^A}{A}{\mor{\set}{I}{A}}$は全単射である．
命題 2 より，圏$\cat{C}$と$X\in\ob{\cat{C}}$に対して，全単射$\func{\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}{\mor{\set}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}}$が定まるため，$\mor{\cat{C}}{X}{X}$の元を与えるということは，$I$から$\mor{\cat{C}}{X}{X}$への$\set$での射を与えるということであると解釈される．
また，モノイダル圏$\set$のテンソル積$\otimes$は，各$A,B\in\set$に対して$A\otimes B=A\times B$をみたす (定義 2.b.1)．
従って，圏$\cat{C}$は以下のもので構成されていると思える:
- 集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$，
- 各$X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$，
- 各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射**
$$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\otimes\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},$$** - 各$X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射$\func{j_X}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}$．
続いては，命題 1 にある条件 (1), (2) を書き換えていく．
集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$，
各$X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$，
各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射
$$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\otimes\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},$$各$X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射$\func{j_X}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}$，
の組$\cat{C}=(\ob{\cat{C}},\{\mor{\cat{C}}{X}{Y}\}_{X,Y\in\ob{\cat{C}}},\{\circ_{X,Y,Z}\}_{X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}},\{j_X\}_{X\in\ob{\cat{C}}})$が与えられているとする．各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$と$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$\circ_{X,Y,Z}((g,f))$を$g\circ_{X,Y,Z}f$で表し，各$X\in\ob{\cat{C}}$に対して，$(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})^{-1}(j_X)$を$\id{X}$で表す．このとき，以下が成り立つ:
(1) $X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して，以下は同値である:
(a) 任意の$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$\id{Y}\circ_{X,Y,Y}f=f=f\circ_{X,X,Y}\id{X}$である．
(b) $l_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}=\circ_{X,Y,Y}(j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}})$かつ$r_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}=\circ_{X,X,Y}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X)$である．
(2) $W,X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して，以下は同値である:
(a) 任意の$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$と$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して，$h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f)=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f$である．
(b) 以下の等式が成り立つ:
$$\textstyle\circ_{W,X,Z}(\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}})=\circ_{W,Y,Z}(\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}}.$$
- $f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，定義 2.b.4, (1) より$l_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}((\es,f))=f$であり，
\begin{align} \textstyle(\circ_{X,Y,Y}(j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}))((\es,f))&\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}})((\es,f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y(\es),\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y(\es),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{Y}{Y}}(j_Y),f))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((\rho^{\mor{\cat{C}}{Y}{Y}})^{-1}(j_Y),f))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((\id{Y},f))\\ &\,\textstyle=\id{Y}\circ_{X,Y,Y} f, \end{align}
であり，定義 2.b.4, (2) より$r_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}((f,\es))=f$であり，
\begin{align} \textstyle(\circ_{X,X,Y}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X))((f,\es)) &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X)((f,\es)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}(f),j_X(\es)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,j_X(\es)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(j_X)))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})^{-1}(j_X)))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,\id{X}))\\ &\,\textstyle=f\circ_{X,X,Y}\id{X}, \end{align}
だから，(a) と (b) は同値である． - $h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$と$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して，
\begin{align} &\,\,\,\,\,\textstyle(\circ_{W,X,Z}(\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}}))(((h,g),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}})(((h,g),f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}((h,g)),\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}((h,g)),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((h\circ_{X,Y,Z}g,f))\\ &\,\textstyle=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f, \end{align}
であり，
\begin{align} &\,\,\,\,\,\textstyle(\circ_{W,Y,Z}(\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}})(((h,g),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})(a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}}(((h,g),f))))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})((h,(g,f))))&(\text{定義 2.b.3})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}(h),\circ_{W,X,Y}((g,f))))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((h,\circ_{W,X,Y}((g,f))))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((h,g\circ_{W,X,Y}f))\\ &\,\textstyle=h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f), \end{align}
だから，(a) と (b) は同値である．
以上の議論から，圏の定義を，$\set$のモノイダル圏としての構造のみを用いて書き表すことが出来た．
圏と対等な概念である$\set$-圏が以下で定義される:
- 集合の"集まり" $\ob{\ecat{A}}$，
- 各$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\set$の対象$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$，
- 各$A,B,C\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{A}{C}$への$\set$での射$M_{A,B,C}$，
- 各$A\in\ob{\ecat{A}}$に対して$I$から$\mor{\ecat{A}}{A}{A}$への$\set$での射$j_A$，
が与えられているとき，組$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$が$\set$-圏 ($\set$-category) であるとは，以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して，$l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})$かつ$r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,A,B}(\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes j_A)$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{M_{A,B,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\
{I\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[u]^-{j_B\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[ru]_-{l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\\
{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[r]^-{M_{A,A,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\
{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes I}\ar[u]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes\,j_A}\ar[ru]_-{r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}}$$
- 任意の$A,B,C,D\in\ob{\ecat{A}}$に対して，以下の等式が成り立つ:
$$\textstyle M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})=M_{A,C,D}(\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C})a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}.$$
$$\xymatrix{{(\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{B}{C})\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[d]_-{M_{B,C,D}\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes(\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B})}\ar[d]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C}}\\ {\mor{\ecat{A}}{B}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rd]_-{M_{A,B,D}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[ld]^-{M_{A,C,D}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{A}{D}}}$$
$\set$-圏の定義において，$\set$を一般のモノイダル圏$\cat{V}$に取り換えることで，$\cat{V}$-圏が定義される．
- 集合の"集まり" $\ob{\ecat{A}}$，
- 各$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\cat{V}$の対象$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$，
- 各$A,B,C\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{A}{C}$への$\cat{V}$での射$M_{A,B,C}$，
- 各$A\in\ob{\ecat{A}}$に対して$I$から$\mor{\ecat{A}}{A}{A}$への$\cat{V}$での射$j_A$，
が与えられているとき，組$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$が$\cat{V}$-圏 ($\cat{V}$-category) であるとは，以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して，$l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})$かつ$r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,A,B}(\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes j_A)$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{M_{A,B,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\
{I\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[u]^-{j_B\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[ru]_-{l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\\
{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[r]^-{M_{A,A,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\
{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes I}\ar[u]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes\,j_A}\ar[ru]_-{r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}}$$
- 任意の$A,B,C,D\in\ob{\ecat{A}}$に対して，以下の等式が成り立つ:
$$\textstyle M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})=M_{A,C,D}(\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C})a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}.$$
$$\xymatrix{{(\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{B}{C})\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[d]_-{M_{B,C,D}\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes(\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B})}\ar[d]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C}}\\ {\mor{\ecat{A}}{B}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rd]_-{M_{A,B,D}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[ld]^-{M_{A,C,D}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{A}{D}}}$$
$\cat{V}$-圏$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$に対して，$\ob{\ecat{A}}$の元を$\ecat{A}$の対象 (object) とよび，$A$が$\ecat{A}$の対象であることを，記号$\in$を用いて$A\in\ecat{A}$で表し，$A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$\cat{V}$での射$M_{A,B,C}$を合成則 (composition law) とよび，$A\in\ecat{A}$に対して，$\cat{V}$での射$j_A$を単位元 (identity element) とよぶ．
$\cat{V}$-関手
$\cat{V}$-関手を定義する前に，関手の定義 (定義 2.a.2) を集合の圏$\set$を用いて書き表しておく:
$\cat{C}$と$\cat{D}$を圏とする．
- 各$X\in\cat{C}$に対して，$FX\in\cat{D}$が一意に定まるような対応$\underline{F}$，
- 各$X,Y\in\cat{C}$に対して，$\mor{\cat{C}}{X}{Y}$から$\mor{\cat{D}}{FX}{FY}$への$\set$での射$F_{X,Y}$，
が与えられているとき，組$F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})$が$\cat{C}$から$\cat{D}$への関手であることは，以下が成り立つことと同値である:
- 任意の$X\in\cat{C}$に対して，$F_{X,X}(\id{X})=\id{FX}$である．
- 任意の$g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$F_{X,Z}(g\circ_{X,Y,Z}f)=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f)$である．
$\cat{C}$と$\cat{D}$を圏とする．
- 各$X\in\cat{C}$に対して，$FX\in\cat{D}$が一意に定まるような対応$\underline{F}$，
- 各$X,Y\in\cat{C}$に対して，$\mor{\cat{C}}{X}{Y}$から$\mor{\cat{D}}{FX}{FY}$への$\set$での射$F_{X,Y}$，
が与えられているとする．各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$と$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$\circ_{X,Y,Z}((g,f))$を$g\circ_{X,Y,Z}f$で表し，各$X\in\cat{C}$に対して，$\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X})$を$j_X$で表す．組$F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})$が$\cat{C}$から$\cat{D}$への関手であることは，以下が成り立つことと同値である:
- $X\in\cat{C}$に対して，以下は同値である:
(a) $F_{X,X}(\id{X})=\id{FX}$である．
(b) $F_{X,X}j_X=j_{FX}$である． - $X,Y,Z\in\cat{C}$に対して，以下は同値である:
(a) 任意の$g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，$F_{X,Z}(g\circ_{X,Y,Z}f)=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f)$である．
(b) $\circ_{FX,FY,FZ}(F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y})=F_{X,Z}\,\circ_{X,Y,Z}$である．
- \begin{align}
(F_{X,X}j_X)(\es)&\,\textstyle=F_{X,X}(j_X(\es))\\
&\,\textstyle=F_{X,X}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(j_X))&(\text{命題 2})\\
&\,\textstyle=F_{X,X}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X})))\\
&\,\textstyle=F_{X,X}((\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})(\id{X}))\\
&\,\textstyle=F_{X,X}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X}))&(\text{命題 2})\\
&\,\textstyle=F_{X,X}(\id{X}),
\end{align}
であり，
\begin{align} j_{FX}(\es) &\,\textstyle=\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(j_{FX})&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\rho^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\id{FX}))\\ &\,\textstyle=(\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}\rho^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}})(\id{FX})\\ &\,\textstyle=\id{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\id{FX})&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\id{FX}, \end{align}
だから，(a) と (b) は同値である． - $g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$と$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して，
\begin{align} (\circ_{FX,FY,FZ}(F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y}))((g,f)) &\,\textstyle=\circ_{FX,FY,FZ}((F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y})((g,f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{FX,FY,FZ}((F_{Y,Z}(g),F_{X,Y}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f), \end{align}
であり，
$$\textstyle(F_{X,Z}\,\circ_{X,Y,Z})((g,f))=F_{X,Z}(\circ_{X,Y,Z}((g,f)))=F_{X,Z}(\circ_{X,Y,Z}((g,f))),$$
だから，(a) と (b) は同値である．
$\set$-圏の間の関手に相当する$\set$-関手は以下で定義される:
$\ecat{A}$と$\ecat{B}$を$\set$-圏とする．
- 各$A\in\ecat{A}$に対して，$T(A)$や$TA$で表される$\ecat{B}$の対象が一意に定まるような対応$\underline{T}$，
- 各$A,B\in\ecat{A}$に対して，$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}$への$\set$での射$T_{A,B}$，
が与えられているとき，組$T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})$が$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\set$-関手 ($\set$-functor) であるとは，以下が成り立つことをいう:
任意の$A\in\ecat{A}$に対して，$T_{A,A}j_A=j_{TA}$である:
$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{TA}}\\ &{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}}$$任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}\,M_{A,B,C}$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rr]_-{M_{TA,TB,TC}}&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}}$$
$\set$-関手圏の定義において，$\set$を一般のモノイダル圏$\cat{V}$に取り換えることで，$\cat{V}$-関手が定義される．
$\ecat{A}$と$\ecat{B}$を$\cat{V}$-圏とする．
- 各$A\in\ecat{A}$に対して，$T(A)$や$TA$で表される$\ecat{B}$の対象が一意に定まるような対応$\underline{T}$，
- 各$A,B\in\ecat{A}$に対して，$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}$への$\cat{V}$での射$T_{A,B}$，
が与えられているとき，組$T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})$が$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\cat{V}$-関手 ($\cat{V}$-functor) であるとは，以下が成り立つことをいう:
任意の$A\in\ecat{A}$に対して，$T_{A,A}j_A=j_{TA}$である:
$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{TA}}\\ &{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}}$$任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}\,M_{A,B,C}$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rr]_-{M_{TA,TB,TC}}&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}}$$
$T$が$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\cat{V}$-関手であることを，$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$が$\cat{V}$-関手であるという．また，$\cat{V}$-関手$\func{T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して，$\underline{T}$を$T$と略記する．
$\ecat{A}$を$\cat{V}$-圏とする．$\ecat{A}$から$\ecat{A}$への$\cat{V}$-関手$\id{\ecat{A}}$を以下で定める:
(1) 各$A\in\ecat{A}$に対して，$\ecat{A}$の対象$\id{\ecat{A}}A$を$\id{\ecat{A}}A:=A$と定める．
(2) 各$A,B\in\ecat{A}$に対して，$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}B}=\mor{\ecat{A}}{A}{B}$への$\cat{V}$での射$(\id{\ecat{A}})_{A,B}$を$(\id{\ecat{A}})_{A,B}:=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$で定める．
$\cat{V}$-圏$\ecat{A}$を取るとき，$\id{\ecat{A}}$は$\ecat{A}$から$\ecat{A}$への$\cat{V}$-関手である．実際，任意の$A\in\ecat{A}$に対して，$(\id{\ecat{A}})_{A,A}j_A=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}j_A=j_A=j_{\id{\ecat{A}}A}$である:
$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{\id{\ecat{A}}A}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}A}}}$$
また，任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$\func{\otimes}{\cat{V}^2}{\cat{V}}$が関手であることから，第2回 (後半) [
7
] の §2.2 で述べたように，$\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\,\otimes\,\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$であり，
\begin{align}
\textstyle M_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B,\id{\ecat{A}}C}((\id{\ecat{A}})_{B,C}\otimes(\id{\ecat{A}})_{A,B})
&\,\textstyle=M_{A,B,C}((\id{\ecat{A}})_{B,C}\otimes(\id{\ecat{A}})_{A,B})\\
&\,\textstyle=M_{A,B,C}(\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})\\
&\,\textstyle=M_{A,B,C}\,\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\,\otimes\,\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\
&\,\textstyle=M_{A,B,C}\\
&\,\textstyle=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}M_{A,B,C}\\
&\,\textstyle=(\id{\ecat{A}})_{A,C}M_{A,B,C},
\end{align}
である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{(\id{\ecat{A}})_{B,C}\,\otimes\,(\id{\ecat{A}})_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{(\id{\ecat{A}})_{A,C}}\\
{\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}B}{\id{\ecat{A}}C}\otimes\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}B}}\ar[rr]_-{M_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B,\id{\ecat{A}}C}}&&{\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}C}}}$$
$\cat{V}$-関手$\id{\ecat{A}}$を$\ecat{A}$の恒等$\cat{V}$-関手 (identity $\cat{V}$-functor) という．
$\ecat{A}$と$\ecat{B}$と$\ecat{C}$を$\cat{V}$-圏として，$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$と$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$を$\cat{V}$-関手とする．$\ecat{A}$から$\ecat{C}$への$\cat{V}$-関手$ST$を以下で定める:
(1) 各$A\in\ecat{A}$に対して，$\ecat{C}$の対象$(ST)A$を$(ST)A:=S(TA)$と定める．
(2) 各$A,B\in\ecat{A}$に対して，$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{C}}{(ST)A}{(ST)B}=\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}$への$\cat{V}$での射$(ST)_{A,B}$を$(ST)_{A,B}:=S_{TA,TB}T_{A,B}$で定める:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{T_{A,B}}\ar[rd]_(.4){(ST)_{A,B}}&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[d]^-{S_{TA,TB}}\\
&{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}}}$$
$\cat{V}$-関手$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$と$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$を取るとき，$ST$は$\ecat{A}$から$\ecat{C}$への$\cat{V}$-関手である．実際，任意の$A\in\ecat{A}$に対して，$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$が$\cat{V}$-関手であることから$T_{A,A}j_A=j_{TA}$であり，$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$が$\cat{V}$-関手であることから$S_{TA,TA}j_{TA}=j_{S(TA)}$だから，
$$\textstyle(ST)_{A,A}j_A=S_{TA,TA}T_{A,A}j_A=S_{TA,TA}j_{TA}=j_{S(TA)}=j_{(ST)A},$$
である:
$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\ar@/^4pc/[dddd]^-{(ST)_A}\\\\
I\ar[ruu]^-{j_A}\ar[rdd]_-{j_{S(TA)}}\ar[r]|-{j_{TA}}&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}\ar[dd]^-{S_{TA}}\\\\
&{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TA)}}}$$
また，任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して，$\func{\otimes}{\cat{V}^2}{\cat{V}}$が関手であることから，第2回 (後半) [
7
] の §2.2 で述べたように，$((S_{TB,TC}T_{B,C})\otimes(S_{TA,TB}T_{A,B}))=(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})(T_{B,C}\otimes T_{A,B})$であり，$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$が$\cat{V}$-関手であることから$M_{S(TA),S(TB),S(TC)}(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})=S_{TA,TC}M_{TA,TB,TC}$であり，$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$が$\cat{V}$-関手であることから$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}M_{A,B,C}$だから，
\begin{align}
&\,\,\,\,\,\,\,\textstyle M_{(ST)A,(ST)B,(ST)C}((ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B})\\
&\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}((ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B})\\
&\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}((S_{TB,TC}T_{B,C})\otimes(S_{TA,TB}T_{A,B}))\\
&\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})(T_{B,C}\otimes T_{A,B})\\
&\,\textstyle=S_{TA,TC}M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})\\
&\,\textstyle=S_{TA,TC}T_{A,C}M_{A,B,C}\\
&\,\textstyle=(ST)_{A,C}M_{A,B,C},
\end{align}
である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rrr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}\ar@/_8pc/[dd]|-{(ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B}}&&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\ar@/^4pc/[dd]|-{(ST)_{A,C}}\\
{\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rrr]|-{M_{TA,TB,TC}}\ar[d]_-{S_{TB,TC}\,\otimes\,S_{TA,TB}}&&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}\ar[d]^-{S_{TA,TC}}\\
{\mor{\ecat{C}}{S(TB)}{S(TC)}\otimes\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}}\ar[rrr]_-{M_{S(TA),S(TB),S(TC)}}&&&{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TC)}}}$$
$\cat{V}$-関手$\func{ST}{\ecat{A}}{\ecat{C}}$を$S$と$T$の合成 (composition) とよぶ．
$\cat{V}$-関手$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して，$\id{\ecat{B}}T=T=T\,\id{\ecat{A}}$が成り立つ．
任意の$A\in\ecat{A}$に対して，$(\id{\ecat{B}}T)A=\id{\ecat{B}}(TA)=TA$及び$(T\,\id{\ecat{A}})A=T(\id{\ecat{A}}A)=TA$である．
また，任意の$A,B\in\ecat{A}$に対して，$(\id{\ecat{B}}T)_{A,B}=(\id{\ecat{B}})_{TA,TB}T_{A,B}=\id{\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}T_{A,B}=T_{A,B}$及び
$$\textstyle(T\,\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B}(\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{A,B}(\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{A,B}\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=T_{A,B},$$
である．
ゆえに，$\id{\ecat{B}}T=T=T\,\id{\ecat{A}}$が成り立つ．
$\cat{V}$-関手$\func{R}{\ecat{C}}{\ecat{D}}$と$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$と$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して，$R(ST)=(RS)T$が成り立つ．
任意の$A\in\ecat{A}$に対して，
$$\textstyle(R(ST))A=R((ST)A)=R(S(TA))=(RS)(TA)=((RS)T)A,$$
である．
また，任意の$A,B\in\ecat{A}$に対して，
\begin{align}
\textstyle(R(ST))_{A,B}
&\,\textstyle=R_{(ST)A,(ST)B}(ST)_{A,B}=R_{S(TA),S(TB)}(ST)_{A,B}\\
&\,\textstyle=R_{S(TA),S(TB)}S_{TA,TB}T_{A,B}=(RS)_{TA,TB}T_{A,B}=((RS)T)_{A,B},
\end{align}
である．
ゆえに，$R(ST)=(RS)T$が成り立つ．
まとめ
この記事では，モノイダル圏$\cat{V}$に対して，圏や関手の定義を$\set$のモノイダル構造などを用いて書き表すことで，それらの自然な拡張として$\cat{V}$-圏や$\cat{V}$-関手を定義して，通常の関手と同様の性質が成り立つことを見た．
次の記事では，モノイダル圏$\cat{V}$と$\cat{W}$に対して，$\cat{V}$から$\cat{W}$への「Lax モノイダル関手」が$\cat{V}$-圏を$\cat{W}$-圏に写すことを証明して，$\cat{V}$-圏の「underlying category」とよばれる圏について説明する．
