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大学数学基礎解説
文献あり

豊穣圏の導入 第3回: 豊穣圏をどのように定義すればよいか

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$$\newcommand{btl}[1]{\boxtimes_l^{#1}} \newcommand{btr}[1]{\boxtimes_r^{#1}} \newcommand{cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{ecat}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{eps}[0]{\epsilon} \newcommand{es}[0]{\emptyset} \newcommand{func}[3]{{#1}\,\colon{#2}\to{#3}} \newcommand{ge}[0]{\geqslant} \newcommand{id}[1]{1_{#1}} \newcommand{le}[0]{\leqslant} \newcommand{mor}[3]{{#1}({#2},{#3})} \newcommand{ob}[1]{\operatorname{ob}{#1}} \newcommand{set}[0]{\textbf{Set}} $$

前回の記事 [ 7 ] では,モノイダル圏の定義を復習して,対称モノイダル圏,随伴,モノイダル閉圏などを定義して,$\set$が対称モノイダル閉圏であることを示した.
この記事では,モノイダル圏$\cat{V}$に対して,豊穣圏の理論で扱われる$\cat{V}$-圏や$\cat{V}$-関手が,圏や関手の自然な拡張になっていることを観察する.

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像,空集合など) に親しみがあり,圏の定義を知っていることを仮定する.
また,この記事を通して,以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

  • $\cat{C}$に対して,$\cat{C}$の対象全体の"集まり"を$\ob{\cat{C}}$で表す.

第1回の記事 [ 5 ] からは,定義 1 を用いており,これを定義 1.1 で表している.

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは,定義 2 と定義 12 を用いており,これらを定義 2.a.2 と定義 2.a.12 で表している.

第2回 (後半) の記事 [ 7 ] からは,定義 1,定義 2,定義 3,定義 4,命題 2 を用いており,これらを定義 2.b.1,定義 2.b.2,定義 2.b.3,定義 2.b.4,命題 2.b.2 で表している.

$\cat{V}$-圏と$\cat{V}$-関手

本節ではモノイダル圏 (定義 2.a.12) $\cat{V}$を固定する.

$\cat{V}$-圏

通常の圏の定義は,集合の圏$\set$ (定義 1.1) を用いて以下のように表される:

  • 集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$

  • $X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$

  • $X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射
    $$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\times\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},(g,f)\mapsto\circ_{X,Y,Z}((g,f))=:g\circ_{X,Y,Z}f,$$

  • $X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\id{X}\in\mor{\cat{C}}{X}{X}$

が与えられたとき,組$\cat{C}=(\ob{\cat{C}},\{\mor{\cat{C}}{X}{Y}\}_{X,Y\in\ob{\cat{C}}},\{\circ_{X,Y,Z}\}_{X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}},\{\id{X}\}_{X\in\ob{\cat{C}}})$が圏であることは,以下が成り立つことと同値である:
(1) 任意の$X,Y\in\ob{\cat{C}}$$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$\id{Y}\circ_{X,Y,Y}f=f=f\circ_{X,X,Y}\id{X}$である.
(2) 任意の$W,X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して,$h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f)=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f$である.

$\cat{V}$-圏は,命題 1 における$\set$$\cat{V}$に取り換えたものとしてナイーブには定義される.しかし,一般のモノイダル圏では「対象の"元"を取る」という$\set$など一部の圏に特有の操作が行えないので,定義を拡張するには少し工夫が必要になる.

命題 2.b.2 で構成したモノイダル圏$\set=(\set,\otimes,I,a,l,r)$の単位対象は$I=\{\es\}$であった (定義 2.b.2).これは以下をみたす:

集合$A$に対して,$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への写像$\rho^A$が,各$a\in A$に対して$(\rho^A(a))(\es):=a$で定まり,これは$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への全単射である.

$A=\es$である場合は,$I=\{\es\}$は空集合でないことから,$I$から$A$への写像は存在せず,$\mor{\set}{I}{A}=\es$が成り立つ.ゆえに,$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への写像$\rho^A$$\rho^A:=\id{\es}$で定まる.$\rho_A\rho_A=\id{\es}\id{\es}=\id{\es}$だから,これは$A$から$\mor{\set}{I}{A}$への全単射になっている.以下では,$A\ne\es$である場合について議論を行う.

$\mor{\set}{I}{A}$から$A$への写像$\sigma^A$が,各$f\in\mor{\set}{I}{A}$に対して,$\sigma^A(f):=f(\es)$で定まる.
$a\in A$を任意に取るとき,
$$\textstyle(\sigma^A\rho^A)(a)=\sigma^A(\rho^A(a))=(\rho^A(a))(\es)=a=\id{A}(a),$$
であり,$\sigma^A\rho^A=\id{A}$が成り立つ.

また,$f\in\mor{\set}{I}{A}$を任意に取るとき,
$$\textstyle((\rho^A\sigma^A)(f))(\es)=(\rho^A(\sigma^A(f)))(\es)=\sigma^A(f)=f(\es)=(\id{\mor{\set}{I}{A}}(f))(\es),$$
だから,任意の$f\in\mor{\set}{I}{A}$に対して$(\rho^A\sigma^A)(f)=\id{\mor{\set}{I}{A}}(f)$であり,$\rho^A\sigma^A=\id{\mor{\set}{I}{A}}$が成り立つ.

ゆえに,$\func{\rho^A}{A}{\mor{\set}{I}{A}}$は全単射である.

命題 2 より,圏$\cat{C}$$X\in\ob{\cat{C}}$に対して,全単射$\func{\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}{\mor{\set}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}}$が定まるため,$\mor{\cat{C}}{X}{X}$の元を与えるということは,$I$から$\mor{\cat{C}}{X}{X}$への$\set$での射を与えるということであると解釈される.

また,モノイダル圏$\set$のテンソル積$\otimes$は,各$A,B\in\set$に対して$A\otimes B=A\times B$をみたす (定義 2.b.1).

従って,圏$\cat{C}$は以下のもので構成されていると思える:

  • 集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$
  • $X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$
  • $X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射**
    $$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\otimes\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},$$**
  • $X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射$\func{j_X}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}$

続いては,命題 1 にある条件 (1), (2) を書き換えていく.

  • 集合の"集まり" $\ob{\cat{C}}$

  • $X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して$\mor{\cat{C}}{X}{Y}\in\set$

  • $X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射
    $$\textstyle\func{\circ_{X,Y,Z}}{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}\otimes\mor{\cat{C}}{X}{Y}}{\mor{\cat{C}}{X}{Z}},$$

  • $X\in\ob{\cat{C}}$に対して$\set$での射$\func{j_X}{I}{\mor{\cat{C}}{X}{X}}$

の組$\cat{C}=(\ob{\cat{C}},\{\mor{\cat{C}}{X}{Y}\}_{X,Y\in\ob{\cat{C}}},\{\circ_{X,Y,Z}\}_{X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}},\{j_X\}_{X\in\ob{\cat{C}}})$が与えられているとする.各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$\circ_{X,Y,Z}((g,f))$$g\circ_{X,Y,Z}f$で表し,各$X\in\ob{\cat{C}}$に対して,$(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})^{-1}(j_X)$$\id{X}$で表す.このとき,以下が成り立つ:
(1) $X,Y\in\ob{\cat{C}}$に対して,以下は同値である:
(a) 任意の$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$\id{Y}\circ_{X,Y,Y}f=f=f\circ_{X,X,Y}\id{X}$である.
(b) $l_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}=\circ_{X,Y,Y}(j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}})$かつ$r_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}=\circ_{X,X,Y}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X)$である.
(2) $W,X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$に対して,以下は同値である:
(a) 任意の$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して,$h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f)=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f$である.
(b) 以下の等式が成り立つ:
$$\textstyle\circ_{W,X,Z}(\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}})=\circ_{W,Y,Z}(\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}}.$$

  1. $f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,定義 2.b.4, (1) より$l_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}((\es,f))=f$であり,
    \begin{align} \textstyle(\circ_{X,Y,Y}(j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}))((\es,f))&\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y\otimes\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}})((\es,f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y(\es),\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((j_Y(\es),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{Y}{Y}}(j_Y),f))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((\rho^{\mor{\cat{C}}{Y}{Y}})^{-1}(j_Y),f))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,Y,Y}((\id{Y},f))\\ &\,\textstyle=\id{Y}\circ_{X,Y,Y} f, \end{align}
    であり,定義 2.b.4, (2) より$r_{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}((f,\es))=f$であり,
    \begin{align} \textstyle(\circ_{X,X,Y}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X))((f,\es)) &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}\otimes j_X)((f,\es)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((\id{\mor{\cat{C}}{X}{Y}}(f),j_X(\es)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,j_X(\es)))\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(j_X)))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})^{-1}(j_X)))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\circ_{X,X,Y}((f,\id{X}))\\ &\,\textstyle=f\circ_{X,X,Y}\id{X}, \end{align}
    だから,(a) と (b) は同値である.
  2. $h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$$f\in\mor{\cat{C}}{W}{X}$に対して,
    \begin{align} &\,\,\,\,\,\textstyle(\circ_{W,X,Z}(\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}}))(((h,g),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}\otimes\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}})(((h,g),f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}((h,g)),\id{\mor{\cat{C}}{W}{X}}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((\circ_{X,Y,Z}((h,g)),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,X,Z}((h\circ_{X,Y,Z}g,f))\\ &\,\textstyle=(h\circ_{X,Y,Z}g)\circ_{W,X,Z}f, \end{align}
    であり,
    \begin{align} &\,\,\,\,\,\textstyle(\circ_{W,Y,Z}(\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}})(((h,g),f))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})(a_{\mor{\cat{C}}{Y}{Z},\mor{\cat{C}}{X}{Y},\mor{\cat{C}}{W}{X}}(((h,g),f))))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}\otimes\circ_{W,X,Y})((h,(g,f))))&(\text{定義 2.b.3})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((\id{\mor{\cat{C}}{Y}{Z}}(h),\circ_{W,X,Y}((g,f))))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((h,\circ_{W,X,Y}((g,f))))\\ &\,\textstyle=\circ_{W,Y,Z}((h,g\circ_{W,X,Y}f))\\ &\,\textstyle=h\circ_{W,Y,Z}(g\circ_{W,X,Y}f), \end{align}
    だから,(a) と (b) は同値である.

以上の議論から,圏の定義を,$\set$のモノイダル圏としての構造のみを用いて書き表すことが出来た.

圏と対等な概念である$\set$-圏が以下で定義される:

$\set$-圏
  • 集合の"集まり" $\ob{\ecat{A}}$
  • $A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\set$の対象$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$
  • $A,B,C\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{A}{C}$への$\set$での射$M_{A,B,C}$
  • $A\in\ob{\ecat{A}}$に対して$I$から$\mor{\ecat{A}}{A}{A}$への$\set$での射$j_A$

が与えられているとき,組$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$$\set$-圏 ($\set$-category) であるとは,以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して,$l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})$かつ$r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,A,B}(\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes j_A)$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{M_{A,B,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\ {I\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[u]^-{j_B\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[ru]_-{l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\\ {\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[r]^-{M_{A,A,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\ {\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes I}\ar[u]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes\,j_A}\ar[ru]_-{r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}}$$

  1. 任意の$A,B,C,D\in\ob{\ecat{A}}$に対して,以下の等式が成り立つ:
    $$\textstyle M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})=M_{A,C,D}(\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C})a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}.$$
    $$\xymatrix{{(\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{B}{C})\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[d]_-{M_{B,C,D}\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes(\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B})}\ar[d]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C}}\\ {\mor{\ecat{A}}{B}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rd]_-{M_{A,B,D}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[ld]^-{M_{A,C,D}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{A}{D}}}$$

$\set$-圏の定義において,$\set$を一般のモノイダル圏$\cat{V}$に取り換えることで,$\cat{V}$-圏が定義される.

$\cat{V}$-圏
  • 集合の"集まり" $\ob{\ecat{A}}$
  • $A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\cat{V}$の対象$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$
  • $A,B,C\in\ob{\ecat{A}}$に対して$\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{A}{C}$への$\cat{V}$での射$M_{A,B,C}$
  • $A\in\ob{\ecat{A}}$に対して$I$から$\mor{\ecat{A}}{A}{A}$への$\cat{V}$での射$j_A$

が与えられているとき,組$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$$\cat{V}$-圏 ($\cat{V}$-category) であるとは,以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の$A,B\in\ob{\ecat{A}}$に対して,$l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})$かつ$r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=M_{A,A,B}(\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes j_A)$である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{M_{A,B,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\ {I\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[u]^-{j_B\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[ru]_-{l_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\\ {\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[r]^-{M_{A,A,B}}&{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\ {\mor{\ecat{A}}{A}{B}\otimes I}\ar[u]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\otimes\,j_A}\ar[ru]_-{r_{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}}$$

  1. 任意の$A,B,C,D\in\ob{\ecat{A}}$に対して,以下の等式が成り立つ:
    $$\textstyle M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})=M_{A,C,D}(\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C})a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}.$$
    $$\xymatrix{{(\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{B}{C})\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{a_{\mor{\ecat{A}}{C}{D},\mor{\ecat{A}}{B}{C},\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}\ar[d]_-{M_{B,C,D}\otimes\,\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes(\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B})}\ar[d]^-{\id{\mor{\ecat{A}}{C}{D}}\otimes M_{A,B,C}}\\ {\mor{\ecat{A}}{B}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rd]_-{M_{A,B,D}}&&{\mor{\ecat{A}}{C}{D}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[ld]^-{M_{A,C,D}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{A}{D}}}$$

$\cat{V}$-圏$\ecat{A}=(\ob{\ecat{A}},\{\mor{\ecat{A}}{A}{B}\}_{A,B\in\ob{\ecat{A}}},\{M_{A,B,C}\}_{A,B,C\in\ob{\ecat{A}}},\{j_A\}_{A\in\ob{\ecat{A}}})$に対して,$\ob{\ecat{A}}$の元を$\ecat{A}$対象 (object) とよび,$A$$\ecat{A}$の対象であることを,記号$\in$を用いて$A\in\ecat{A}$で表し,$A,B,C\in\ecat{A}$に対して,$\cat{V}$での射$M_{A,B,C}$合成則 (composition law) とよび,$A\in\ecat{A}$に対して,$\cat{V}$での射$j_A$単位元 (identity element) とよぶ.

$\cat{V}$-関手

$\cat{V}$-関手を定義する前に,関手の定義 (定義 2.a.2) を集合の圏$\set$を用いて書き表しておく:

$\cat{C}$$\cat{D}$を圏とする.

  • $X\in\cat{C}$に対して,$FX\in\cat{D}$が一意に定まるような対応$\underline{F}$
  • $X,Y\in\cat{C}$に対して,$\mor{\cat{C}}{X}{Y}$から$\mor{\cat{D}}{FX}{FY}$への$\set$での射$F_{X,Y}$

が与えられているとき,組$F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})$$\cat{C}$から$\cat{D}$への関手であることは,以下が成り立つことと同値である:

  1. 任意の$X\in\cat{C}$に対して,$F_{X,X}(\id{X})=\id{FX}$である.
  2. 任意の$g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$F_{X,Z}(g\circ_{X,Y,Z}f)=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f)$である.

$\cat{C}$$\cat{D}$を圏とする.

  • $X\in\cat{C}$に対して,$FX\in\cat{D}$が一意に定まるような対応$\underline{F}$
  • $X,Y\in\cat{C}$に対して,$\mor{\cat{C}}{X}{Y}$から$\mor{\cat{D}}{FX}{FY}$への$\set$での射$F_{X,Y}$

が与えられているとする.各$X,Y,Z\in\ob{\cat{C}}$$h\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$g\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$\circ_{X,Y,Z}((g,f))$$g\circ_{X,Y,Z}f$で表し,各$X\in\cat{C}$に対して,$\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X})$$j_X$で表す.組$F=(\underline{F},\{F_{X,Y}\}_{X,Y\in\cat{C}})$$\cat{C}$から$\cat{D}$への関手であることは,以下が成り立つことと同値である:

  1. $X\in\cat{C}$に対して,以下は同値である:
    (a) $F_{X,X}(\id{X})=\id{FX}$である.
    (b) $F_{X,X}j_X=j_{FX}$である.
  2. $X,Y,Z\in\cat{C}$に対して,以下は同値である:
    (a) 任意の$g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,$F_{X,Z}(g\circ_{X,Y,Z}f)=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f)$である.
    (b) $\circ_{FX,FY,FZ}(F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y})=F_{X,Z}\,\circ_{X,Y,Z}$である.
  1. \begin{align} (F_{X,X}j_X)(\es)&\,\textstyle=F_{X,X}(j_X(\es))\\ &\,\textstyle=F_{X,X}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(j_X))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=F_{X,X}(\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X})))\\ &\,\textstyle=F_{X,X}((\sigma^{\mor{\cat{C}}{X}{X}}\rho^{\mor{\cat{C}}{X}{X}})(\id{X}))\\ &\,\textstyle=F_{X,X}(\id{\mor{\cat{C}}{X}{X}}(\id{X}))&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=F_{X,X}(\id{X}), \end{align}
    であり,
    \begin{align} j_{FX}(\es) &\,\textstyle=\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(j_{FX})&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\rho^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\id{FX}))\\ &\,\textstyle=(\sigma^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}\rho^{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}})(\id{FX})\\ &\,\textstyle=\id{\mor{\cat{C}}{FX}{FX}}(\id{FX})&(\text{命題 2})\\ &\,\textstyle=\id{FX}, \end{align}
    だから,(a) と (b) は同値である.
  2. $g\in\mor{\cat{C}}{Y}{Z}$$f\in\mor{\cat{C}}{X}{Y}$に対して,
    \begin{align} (\circ_{FX,FY,FZ}(F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y}))((g,f)) &\,\textstyle=\circ_{FX,FY,FZ}((F_{Y,Z}\otimes F_{X,Y})((g,f)))\\ &\,\textstyle=\circ_{FX,FY,FZ}((F_{Y,Z}(g),F_{X,Y}(f)))&(\text{定義 2.b.1})\\ &\,\textstyle=F_{Y,Z}(g)\circ_{FX,FY,FZ}F_{X,Y}(f), \end{align}
    であり,
    $$\textstyle(F_{X,Z}\,\circ_{X,Y,Z})((g,f))=F_{X,Z}(\circ_{X,Y,Z}((g,f)))=F_{X,Z}(\circ_{X,Y,Z}((g,f))),$$
    だから,(a) と (b) は同値である.

$\set$-圏の間の関手に相当する$\set$-関手は以下で定義される:

$\set$-関手

$\ecat{A}$$\ecat{B}$$\set$-圏とする.

  • $A\in\ecat{A}$に対して,$T(A)$$TA$で表される$\ecat{B}$の対象が一意に定まるような対応$\underline{T}$
  • $A,B\in\ecat{A}$に対して,$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}$への$\set$での射$T_{A,B}$

が与えられているとき,組$T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})$$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\set$-関手 ($\set$-functor) であるとは,以下が成り立つことをいう:

  1. 任意の$A\in\ecat{A}$に対して,$T_{A,A}j_A=j_{TA}$である:
    $$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{TA}}\\ &{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}}$$

  2. 任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して,$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}\,M_{A,B,C}$である:
    $$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rr]_-{M_{TA,TB,TC}}&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}}$$

$\set$-関手圏の定義において,$\set$を一般のモノイダル圏$\cat{V}$に取り換えることで,$\cat{V}$-関手が定義される.

$\cat{V}$-関手

$\ecat{A}$$\ecat{B}$$\cat{V}$-圏とする.

  • $A\in\ecat{A}$に対して,$T(A)$$TA$で表される$\ecat{B}$の対象が一意に定まるような対応$\underline{T}$
  • $A,B\in\ecat{A}$に対して,$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}$への$\cat{V}$での射$T_{A,B}$

が与えられているとき,組$T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})$$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\cat{V}$-関手 ($\cat{V}$-functor) であるとは,以下が成り立つことをいう:

  1. 任意の$A\in\ecat{A}$に対して,$T_{A,A}j_A=j_{TA}$である:
    $$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{TA}}\\ &{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}}$$

  2. 任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して,$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}\,M_{A,B,C}$である:
    $$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rr]_-{M_{TA,TB,TC}}&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}}$$

$T$$\ecat{A}$から$\ecat{B}$への$\cat{V}$-関手であることを,$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$$\cat{V}$-関手であるという.また,$\cat{V}$-関手$\func{T=(\underline{T},\{T_{A,B}\}_{A,B\in\ecat{A}})}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して,$\underline{T}$$T$と略記する.

恒等$\cat{V}$-関手

$\ecat{A}$$\cat{V}$-圏とする.$\ecat{A}$から$\ecat{A}$への$\cat{V}$-関手$\id{\ecat{A}}$を以下で定める:
(1) 各$A\in\ecat{A}$に対して,$\ecat{A}$の対象$\id{\ecat{A}}A$$\id{\ecat{A}}A:=A$と定める.
(2) 各$A,B\in\ecat{A}$に対して,$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}B}=\mor{\ecat{A}}{A}{B}$への$\cat{V}$での射$(\id{\ecat{A}})_{A,B}$$(\id{\ecat{A}})_{A,B}:=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$で定める.

$\cat{V}$-圏$\ecat{A}$を取るとき,$\id{\ecat{A}}$$\ecat{A}$から$\ecat{A}$への$\cat{V}$-関手である.実際,任意の$A\in\ecat{A}$に対して,$(\id{\ecat{A}})_{A,A}j_A=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}j_A=j_A=j_{\id{\ecat{A}}A}$である:

$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\\ I\ar[ru]^-{j_A}\ar[rd]_-{j_{\id{\ecat{A}}A}}\\ &{\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}A}}}$$

また,任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して,$\func{\otimes}{\cat{V}^2}{\cat{V}}$が関手であることから,第2回 (後半) [ 7 ] の §2.2 で述べたように,$\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\,\otimes\,\mor{\ecat{A}}{A}{B}}$であり,
\begin{align} \textstyle M_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B,\id{\ecat{A}}C}((\id{\ecat{A}})_{B,C}\otimes(\id{\ecat{A}})_{A,B}) &\,\textstyle=M_{A,B,C}((\id{\ecat{A}})_{B,C}\otimes(\id{\ecat{A}})_{A,B})\\ &\,\textstyle=M_{A,B,C}(\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}}\otimes\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}})\\ &\,\textstyle=M_{A,B,C}\,\id{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\,\otimes\,\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\\ &\,\textstyle=M_{A,B,C}\\ &\,\textstyle=\id{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}M_{A,B,C}\\ &\,\textstyle=(\id{\ecat{A}})_{A,C}M_{A,B,C}, \end{align}
である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{(\id{\ecat{A}})_{B,C}\,\otimes\,(\id{\ecat{A}})_{A,B}}&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{(\id{\ecat{A}})_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}B}{\id{\ecat{A}}C}\otimes\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}B}}\ar[rr]_-{M_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B,\id{\ecat{A}}C}}&&{\mor{\ecat{A}}{\id{\ecat{A}}A}{\id{\ecat{A}}C}}}$$

$\cat{V}$-関手$\id{\ecat{A}}$$\ecat{A}$恒等$\cat{V}$-関手 (identity $\cat{V}$-functor) という.

$\cat{V}$-関手の合成

$\ecat{A}$$\ecat{B}$$\ecat{C}$$\cat{V}$-圏として,$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$$\cat{V}$-関手とする.$\ecat{A}$から$\ecat{C}$への$\cat{V}$-関手$ST$を以下で定める:
(1) 各$A\in\ecat{A}$に対して,$\ecat{C}$の対象$(ST)A$$(ST)A:=S(TA)$と定める.
(2) 各$A,B\in\ecat{A}$に対して,$\mor{\ecat{A}}{A}{B}$から$\mor{\ecat{C}}{(ST)A}{(ST)B}=\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}$への$\cat{V}$での射$(ST)_{A,B}$$(ST)_{A,B}:=S_{TA,TB}T_{A,B}$で定める:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[r]^-{T_{A,B}}\ar[rd]_(.4){(ST)_{A,B}}&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[d]^-{S_{TA,TB}}\\ &{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}}}$$

$\cat{V}$-関手$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$を取るとき,$ST$$\ecat{A}$から$\ecat{C}$への$\cat{V}$-関手である.実際,任意の$A\in\ecat{A}$に対して,$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$$\cat{V}$-関手であることから$T_{A,A}j_A=j_{TA}$であり,$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$$\cat{V}$-関手であることから$S_{TA,TA}j_{TA}=j_{S(TA)}$だから,
$$\textstyle(ST)_{A,A}j_A=S_{TA,TA}T_{A,A}j_A=S_{TA,TA}j_{TA}=j_{S(TA)}=j_{(ST)A},$$
である:
$$\xymatrix{&{\mor{\ecat{A}}{A}{A}}\ar[dd]^-{T_{A,A}}\ar@/^4pc/[dddd]^-{(ST)_A}\\\\ I\ar[ruu]^-{j_A}\ar[rdd]_-{j_{S(TA)}}\ar[r]|-{j_{TA}}&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TA}}\ar[dd]^-{S_{TA}}\\\\ &{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TA)}}}$$

また,任意の$A,B,C\in\ecat{A}$に対して,$\func{\otimes}{\cat{V}^2}{\cat{V}}$が関手であることから,第2回 (後半) [ 7 ] の §2.2 で述べたように,$((S_{TB,TC}T_{B,C})\otimes(S_{TA,TB}T_{A,B}))=(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})(T_{B,C}\otimes T_{A,B})$であり,$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$$\cat{V}$-関手であることから$M_{S(TA),S(TB),S(TC)}(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})=S_{TA,TC}M_{TA,TB,TC}$であり,$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$$\cat{V}$-関手であることから$M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})=T_{A,C}M_{A,B,C}$だから,
\begin{align} &\,\,\,\,\,\,\,\textstyle M_{(ST)A,(ST)B,(ST)C}((ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B})\\ &\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}((ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B})\\ &\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}((S_{TB,TC}T_{B,C})\otimes(S_{TA,TB}T_{A,B}))\\ &\,\textstyle=M_{S(TA),S(TB),S(TC)}(S_{TB,TC}\otimes S_{TA,TB})(T_{B,C}\otimes T_{A,B})\\ &\,\textstyle=S_{TA,TC}M_{TA,TB,TC}(T_{B,C}\otimes T_{A,B})\\ &\,\textstyle=S_{TA,TC}T_{A,C}M_{A,B,C}\\ &\,\textstyle=(ST)_{A,C}M_{A,B,C}, \end{align}
である:
$$\xymatrix{{\mor{\ecat{A}}{B}{C}\otimes\mor{\ecat{A}}{A}{B}}\ar[rrr]^-{M_{A,B,C}}\ar[d]_-{T_{B,C}\,\otimes\,T_{A,B}}\ar@/_8pc/[dd]|-{(ST)_{B,C}\otimes(ST)_{A,B}}&&&{\mor{\ecat{A}}{A}{C}}\ar[d]^-{T_{A,C}}\ar@/^4pc/[dd]|-{(ST)_{A,C}}\\ {\mor{\ecat{B}}{TB}{TC}\otimes\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}\ar[rrr]|-{M_{TA,TB,TC}}\ar[d]_-{S_{TB,TC}\,\otimes\,S_{TA,TB}}&&&{\mor{\ecat{B}}{TA}{TC}}\ar[d]^-{S_{TA,TC}}\\ {\mor{\ecat{C}}{S(TB)}{S(TC)}\otimes\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TB)}}\ar[rrr]_-{M_{S(TA),S(TB),S(TC)}}&&&{\mor{\ecat{C}}{S(TA)}{S(TC)}}}$$

$\cat{V}$-関手$\func{ST}{\ecat{A}}{\ecat{C}}$$S$$T$合成 (composition) とよぶ.

$\cat{V}$-関手$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して,$\id{\ecat{B}}T=T=T\,\id{\ecat{A}}$が成り立つ.

任意の$A\in\ecat{A}$に対して,$(\id{\ecat{B}}T)A=\id{\ecat{B}}(TA)=TA$及び$(T\,\id{\ecat{A}})A=T(\id{\ecat{A}}A)=TA$である.

また,任意の$A,B\in\ecat{A}$に対して,$(\id{\ecat{B}}T)_{A,B}=(\id{\ecat{B}})_{TA,TB}T_{A,B}=\id{\mor{\ecat{B}}{TA}{TB}}T_{A,B}=T_{A,B}$及び
$$\textstyle(T\,\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{\id{\ecat{A}}A,\id{\ecat{A}}B}(\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{A,B}(\id{\ecat{A}})_{A,B}=T_{A,B}\id{\mor{\ecat{A}}{A}{B}}=T_{A,B},$$
である.

ゆえに,$\id{\ecat{B}}T=T=T\,\id{\ecat{A}}$が成り立つ.

$\cat{V}$-関手$\func{R}{\ecat{C}}{\ecat{D}}$$\func{S}{\ecat{B}}{\ecat{C}}$$\func{T}{\ecat{A}}{\ecat{B}}$に対して,$R(ST)=(RS)T$が成り立つ.

任意の$A\in\ecat{A}$に対して,
$$\textstyle(R(ST))A=R((ST)A)=R(S(TA))=(RS)(TA)=((RS)T)A,$$
である.

また,任意の$A,B\in\ecat{A}$に対して,
\begin{align} \textstyle(R(ST))_{A,B} &\,\textstyle=R_{(ST)A,(ST)B}(ST)_{A,B}=R_{S(TA),S(TB)}(ST)_{A,B}\\ &\,\textstyle=R_{S(TA),S(TB)}S_{TA,TB}T_{A,B}=(RS)_{TA,TB}T_{A,B}=((RS)T)_{A,B}, \end{align}
である.

ゆえに,$R(ST)=(RS)T$が成り立つ.

まとめ

この記事では,モノイダル圏$\cat{V}$に対して,圏や関手の定義を$\set$のモノイダル構造などを用いて書き表すことで,それらの自然な拡張として$\cat{V}$-圏や$\cat{V}$-関手を定義して,通常の関手と同様の性質が成り立つことを見た.
次の記事では,モノイダル圏$\cat{V}$$\cat{W}$に対して,$\cat{V}$から$\cat{W}$への「Lax モノイダル関手」が$\cat{V}$-圏を$\cat{W}$-圏に写すことを証明して,$\cat{V}$-圏の「underlying category」とよばれる圏について説明する.

追記

  • 2022/3/3 23:06 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 8 ] を加えた.
  • 2022/3/3 23:06 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 9 ] を加えた.
  • 2022/3/3 23:40 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 10 ] を加えた.
  • 2022/3/3 23:40 §1 の一部を削除した.

参考文献

投稿日:2022226

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sh
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数学科に所属しています.修士一年生です.

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