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豊穣圏の導入第3回: 豊穣圏をどのように定義すればよいか

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前回の記事 [ 7 ] では，モノイダル圏の定義を復習して，対称モノイダル圏，随伴，モノイダル閉圏などを定義して， $Set$ が対称モノイダル閉圏であることを示した．
この記事では，モノイダル圏 $V$ に対して，豊穣圏の理論で扱われる $V$ -圏や $V$ -関手が，圏や関手の自然な拡張になっていることを観察する．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．
また，この記事を通して，以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

圏 $C$ に対して， $C$ の対象全体の"集まり"を $ob C$ で表す．

第1回の記事 [ 5 ] からは，定義 1 を用いており，これを定義 1.1 で表している．

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは，定義 2 と定義 12 を用いており，これらを定義 2.a.2 と定義 2.a.12 で表している．

第2回 (後半) の記事 [ 7 ] からは，定義 1，定義 2，定義 3，定義 4，命題 2 を用いており，これらを定義 2.b.1，定義 2.b.2，定義 2.b.3，定義 2.b.4，命題 2.b.2 で表している．

$V$ -圏と $V$ -関手

本節ではモノイダル圏 (定義 2.a.12) $V$ を固定する．

$V$ -圏

通常の圏の定義は，集合の圏 $Set$ (定義 1.1) を用いて以下のように表される:

集合の"集まり" $ob C$ ，
各 $X, Y \in ob C$ に対して $C (X, Y) \in Set$ ，
各 $X, Y, Z \in ob C$ に対して $Set$ での射
$\circ_{X, Y, Z} : C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z), (g, f) \mapsto \circ_{X, Y, Z} ((g, f)) =: g \circ_{X, Y, Z} f,$
各 $X \in ob C$ に対して $1_{X} \in C (X, X)$ ，

が与えられたとき，組 $C = (ob C, {C (X, Y)}_{X, Y \in ob C}, {\circ_{X, Y, Z}}_{X, Y, Z \in ob C}, {1_{X}}_{X \in ob C})$ が圏であることは，以下が成り立つことと同値である:
(1) 任意の $X, Y \in ob C$ と $f \in C (X, Y)$ に対して， $1_{Y} \circ_{X, Y, Y} f = f = f \circ_{X, X, Y} 1_{X}$ である．
(2) 任意の $W, X, Y, Z \in ob C$ と $h \in C (Y, Z)$ と $g \in C (X, Y)$ と $f \in C (W, X)$ に対して， $h \circ_{W, Y, Z} (g \circ_{W, X, Y} f) = (h \circ_{X, Y, Z} g) \circ_{W, X, Z} f$ である．

$V$ -圏は，命題 1 における $Set$ を $V$ に取り換えたものとしてナイーブには定義される．しかし，一般のモノイダル圏では「対象の"元"を取る」という $Set$ など一部の圏に特有の操作が行えないので，定義を拡張するには少し工夫が必要になる．

命題 2.b.2 で構成したモノイダル圏 $Set = (Set, \otimes, I, a, l, r)$ の単位対象は $I = {\emptyset}$ であった (定義 2.b.2)．これは以下をみたす:

集合 $A$ に対して， $A$ から $Set (I, A)$ への写像 $ρ^{A}$ が，各 $a \in A$ に対して $(ρ^{A} (a)) (\emptyset) := a$ で定まり，これは $A$ から $Set (I, A)$ への全単射である．

$A = \emptyset$ である場合は， $I = {\emptyset}$ は空集合でないことから， $I$ から $A$ への写像は存在せず， $Set (I, A) = \emptyset$ が成り立つ．ゆえに， $A$ から $Set (I, A)$ への写像 $ρ^{A}$ が $ρ^{A} := 1_{\emptyset}$ で定まる． $ρ_{A} ρ_{A} = 1_{\emptyset} 1_{\emptyset} = 1_{\emptyset}$ だから，これは $A$ から $Set (I, A)$ への全単射になっている．以下では， $A \neq \emptyset$ である場合について議論を行う．

$Set (I, A)$ から $A$ への写像 $σ^{A}$ が，各 $f \in Set (I, A)$ に対して， $σ^{A} (f) := f (\emptyset)$ で定まる．
$a \in A$ を任意に取るとき，
$(σ^{A} ρ^{A}) (a) = σ^{A} (ρ^{A} (a)) = (ρ^{A} (a)) (\emptyset) = a = 1_{A} (a),$
であり， $σ^{A} ρ^{A} = 1_{A}$ が成り立つ．

また， $f \in Set (I, A)$ を任意に取るとき，
$((ρ^{A} σ^{A}) (f)) (\emptyset) = (ρ^{A} (σ^{A} (f))) (\emptyset) = σ^{A} (f) = f (\emptyset) = (1_{Set (I, A)} (f)) (\emptyset),$
だから，任意の $f \in Set (I, A)$ に対して $(ρ^{A} σ^{A}) (f) = 1_{Set (I, A)} (f)$ であり， $ρ^{A} σ^{A} = 1_{Set (I, A)}$ が成り立つ．

ゆえに， $ρ^{A} : A \to Set (I, A)$ は全単射である．

命題 2 より，圏 $C$ と $X \in ob C$ に対して，全単射 $ρ^{C (X, X)} : C (X, X) \to Set (I, C (X, X))$ が定まるため， $C (X, X)$ の元を与えるということは， $I$ から $C (X, X)$ への $Set$ での射を与えるということであると解釈される．

また，モノイダル圏 $Set$ のテンソル積 $\otimes$ は，各 $A, B \in Set$ に対して $A \otimes B = A \times B$ をみたす (定義 2.b.1)．

従って，圏 $C$ は以下のもので構成されていると思える:

集合の"集まり" $ob C$ ，
各 $X, Y \in ob C$ に対して $C (X, Y) \in Set$ ，
各 $X, Y, Z \in ob C$ に対して $Set$ での射**
$\circ_{X, Y, Z} : C (Y, Z) \otimes C (X, Y) \to C (X, Z),$ **
各 $X \in ob C$ に対して $Set$ での射 $j_{X} : I \to C (X, X)$ ．

続いては，命題 1 にある条件 (1), (2) を書き換えていく．

集合の"集まり" $ob C$ ，
各 $X, Y \in ob C$ に対して $C (X, Y) \in Set$ ，
各 $X, Y, Z \in ob C$ に対して $Set$ での射
$\circ_{X, Y, Z} : C (Y, Z) \otimes C (X, Y) \to C (X, Z),$
各 $X \in ob C$ に対して $Set$ での射 $j_{X} : I \to C (X, X)$ ，

の組 $C = (ob C, {C (X, Y)}_{X, Y \in ob C}, {\circ_{X, Y, Z}}_{X, Y, Z \in ob C}, {j_{X}}_{X \in ob C})$ が与えられているとする．各 $X, Y, Z \in ob C$ と $h \in C (Y, Z)$ と $g \in C (X, Y)$ に対して， $\circ_{X, Y, Z} ((g, f))$ を $g \circ_{X, Y, Z} f$ で表し，各 $X \in ob C$ に対して， $(ρ^{C (X, X)})^{- 1} (j_{X})$ を $1_{X}$ で表す．このとき，以下が成り立つ:
(1) $X, Y \in ob C$ に対して，以下は同値である:
(a) 任意の $f \in C (X, Y)$ に対して， $1_{Y} \circ_{X, Y, Y} f = f = f \circ_{X, X, Y} 1_{X}$ である．
(b) $l_{C (X, Y)} = \circ_{X, Y, Y} (j_{Y} \otimes 1_{C (X, Y)})$ かつ $r_{C (X, Y)} = \circ_{X, X, Y} (1_{C (X, Y)} \otimes j_{X})$ である．
(2) $W, X, Y, Z \in ob C$ に対して，以下は同値である:
(a) 任意の $h \in C (Y, Z)$ と $g \in C (X, Y)$ と $f \in C (W, X)$ に対して， $h \circ_{W, Y, Z} (g \circ_{W, X, Y} f) = (h \circ_{X, Y, Z} g) \circ_{W, X, Z} f$ である．
(b) 以下の等式が成り立つ:
$\circ_{W, X, Z} (\circ_{X, Y, Z} \otimes 1_{C (W, X)}) = \circ_{W, Y, Z} (1_{C (Y, Z)} \otimes \circ_{W, X, Y}) a_{C (Y, Z), C (X, Y), C (W, X)} .$

$f \in C (X, Y)$ に対して，定義 2.b.4, (1) より $l_{C (X, Y)} ((\emptyset, f)) = f$ であり，
$\begin{aligned} (\circ_{X, Y, Y} (j_{Y} \otimes 1_{C (X, Y)})) ((\emptyset, f)) & = \circ_{X, Y, Y} ((j_{Y} \otimes 1_{C (X, Y)}) ((\emptyset, f))) \\ = \circ_{X, Y, Y} ((j_{Y} (\emptyset), 1_{C (X, Y)} (f))) & (定義 2.b.1) \\ = \circ_{X, Y, Y} ((j_{Y} (\emptyset), f)) \\ = \circ_{X, Y, Y} (σ^{C (Y, Y)} (j_{Y}), f)) & (命題 2) \\ = \circ_{X, Y, Y} ((ρ^{C (Y, Y)})^{- 1} (j_{Y}), f)) & (命題 2) \\ = \circ_{X, Y, Y} ((1_{Y}, f)) \\ = 1_{Y} \circ_{X, Y, Y} f, \end{aligned}$
であり，定義 2.b.4, (2) より $r_{C (X, Y)} ((f, \emptyset)) = f$ であり，
$\begin{aligned} (\circ_{X, X, Y} (1_{C (X, Y)} \otimes j_{X})) ((f, \emptyset)) & = \circ_{X, X, Y} ((1_{C (X, Y)} \otimes j_{X}) ((f, \emptyset))) \\ = \circ_{X, X, Y} ((1_{C (X, Y)} (f), j_{X} (\emptyset))) & (定義 2.b.1) \\ = \circ_{X, X, Y} ((f, j_{X} (\emptyset))) \\ = \circ_{X, X, Y} ((f, σ^{C (X, X)} (j_{X}))) & (命題 2) \\ = \circ_{X, X, Y} ((f, (ρ^{C (X, X)})^{- 1} (j_{X}))) & (命題 2) \\ = \circ_{X, X, Y} ((f, 1_{X})) \\ = f \circ_{X, X, Y} 1_{X}, \end{aligned}$
だから，(a) と (b) は同値である．
$h \in C (Y, Z)$ と $g \in C (X, Y)$ と $f \in C (W, X)$ に対して，
$\begin{aligned} (\circ_{W, X, Z} (\circ_{X, Y, Z} \otimes 1_{C (W, X)})) (((h, g), f)) \\ = \circ_{W, X, Z} ((\circ_{X, Y, Z} \otimes 1_{C (W, X)}) (((h, g), f))) \\ = \circ_{W, X, Z} ((\circ_{X, Y, Z} ((h, g)), 1_{C (W, X)} (f))) & (定義 2.b.1) \\ = \circ_{W, X, Z} ((\circ_{X, Y, Z} ((h, g)), f)) \\ = \circ_{W, X, Z} ((h \circ_{X, Y, Z} g, f)) \\ = (h \circ_{X, Y, Z} g) \circ_{W, X, Z} f, \end{aligned}$
であり，
$\begin{aligned} (\circ_{W, Y, Z} (1_{C (Y, Z)} \otimes \circ_{W, X, Y}) a_{C (Y, Z), C (X, Y), C (W, X)}) (((h, g), f)) \\ = \circ_{W, Y, Z} ((1_{C (Y, Z)} \otimes \circ_{W, X, Y}) (a_{C (Y, Z), C (X, Y), C (W, X)} (((h, g), f)))) \\ = \circ_{W, Y, Z} ((1_{C (Y, Z)} \otimes \circ_{W, X, Y}) ((h, (g, f)))) & (定義 2.b.3) \\ = \circ_{W, Y, Z} ((1_{C (Y, Z)} (h), \circ_{W, X, Y} ((g, f)))) & (定義 2.b.1) \\ = \circ_{W, Y, Z} ((h, \circ_{W, X, Y} ((g, f)))) \\ = \circ_{W, Y, Z} ((h, g \circ_{W, X, Y} f)) \\ = h \circ_{W, Y, Z} (g \circ_{W, X, Y} f), \end{aligned}$
だから，(a) と (b) は同値である．

以上の議論から，圏の定義を， $Set$ のモノイダル圏としての構造のみを用いて書き表すことが出来た．

圏と対等な概念である $Set$ -圏が以下で定義される:

Set

-圏

集合の"集まり" $ob A$ ，
各 $A, B \in ob A$ に対して $Set$ の対象 $A (A, B)$ ，
各 $A, B, C \in ob A$ に対して $A (B, C) \otimes A (A, B)$ から $A (A, C)$ への $Set$ での射 $M_{A, B, C}$ ，
各 $A \in ob A$ に対して $I$ から $A (A, A)$ への $Set$ での射 $j_{A}$ ，

が与えられているとき，組 $A = (ob A, {A (A, B)}_{A, B \in ob A}, {M_{A, B, C}}_{A, B, C \in ob A}, {j_{A}}_{A \in ob A})$ が $Set$ -圏 ( $Set$ -category) であるとは，以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の $A, B \in ob A$ に対して， $l_{A (A, B)} = M_{A, B, B} (j_{B} \otimes 1_{A (A, B)})$ かつ $r_{A (A, B)} = M_{A, A, B} (1_{A (A, B)} \otimes j_{A})$ である:
$A (B, B) \otimes A (A, B) M_{A, B, B} A (A, B) I \otimes A (A, B) j_{B} \otimes 1_{A (A, B)} l_{A (A, B)} A (A, B) \otimes A (A, A) M_{A, A, B} A (A, B) A (A, B) \otimes I 1_{A (A, B)} \otimes j_{A} r_{A (A, B)}$

任意の $A, B, C, D \in ob A$ に対して，以下の等式が成り立つ:
$M_{A, B, D} (M_{B, C, D} \otimes 1_{A (A, B)}) = M_{A, C, D} (1_{A (C, D)} \otimes M_{A, B, C}) a_{A (C, D), A (B, C), A (A, B)} .$
$(A (C, D) \otimes A (B, C)) \otimes A (A, B) a_{A (C, D), A (B, C), A (A, B)} M_{B, C, D} \otimes 1_{A (A, B)} A (C, D) \otimes (A (B, C) \otimes A (A, B)) 1_{A (C, D)} \otimes M_{A, B, C} A (B, D) \otimes A (A, B) M_{A, B, D} A (C, D) \otimes A (A, C) M_{A, C, D} A (A, D)$

$Set$ -圏の定義において， $Set$ を一般のモノイダル圏 $V$ に取り換えることで， $V$ -圏が定義される．

V

-圏

集合の"集まり" $ob A$ ，
各 $A, B \in ob A$ に対して $V$ の対象 $A (A, B)$ ，
各 $A, B, C \in ob A$ に対して $A (B, C) \otimes A (A, B)$ から $A (A, C)$ への $V$ での射 $M_{A, B, C}$ ，
各 $A \in ob A$ に対して $I$ から $A (A, A)$ への $V$ での射 $j_{A}$ ，

が与えられているとき，組 $A = (ob A, {A (A, B)}_{A, B \in ob A}, {M_{A, B, C}}_{A, B, C \in ob A}, {j_{A}}_{A \in ob A})$ が $V$ -圏 ( $V$ -category) であるとは，以下が成り立つことをいう:
(1) 任意の $A, B \in ob A$ に対して， $l_{A (A, B)} = M_{A, B, B} (j_{B} \otimes 1_{A (A, B)})$ かつ $r_{A (A, B)} = M_{A, A, B} (1_{A (A, B)} \otimes j_{A})$ である:
$A (B, B) \otimes A (A, B) M_{A, B, B} A (A, B) I \otimes A (A, B) j_{B} \otimes 1_{A (A, B)} l_{A (A, B)} A (A, B) \otimes A (A, A) M_{A, A, B} A (A, B) A (A, B) \otimes I 1_{A (A, B)} \otimes j_{A} r_{A (A, B)}$

任意の $A, B, C, D \in ob A$ に対して，以下の等式が成り立つ:
$M_{A, B, D} (M_{B, C, D} \otimes 1_{A (A, B)}) = M_{A, C, D} (1_{A (C, D)} \otimes M_{A, B, C}) a_{A (C, D), A (B, C), A (A, B)} .$
$(A (C, D) \otimes A (B, C)) \otimes A (A, B) a_{A (C, D), A (B, C), A (A, B)} M_{B, C, D} \otimes 1_{A (A, B)} A (C, D) \otimes (A (B, C) \otimes A (A, B)) 1_{A (C, D)} \otimes M_{A, B, C} A (B, D) \otimes A (A, B) M_{A, B, D} A (C, D) \otimes A (A, C) M_{A, C, D} A (A, D)$

$V$ -圏 $A = (ob A, {A (A, B)}_{A, B \in ob A}, {M_{A, B, C}}_{A, B, C \in ob A}, {j_{A}}_{A \in ob A})$ に対して， $ob A$ の元を $A$ の対象 (object) とよび， $A$ が $A$ の対象であることを，記号 $\in$ を用いて $A \in A$ で表し， $A, B, C \in A$ に対して， $V$ での射 $M_{A, B, C}$ を合成則 (composition law) とよび， $A \in A$ に対して， $V$ での射 $j_{A}$ を単位元 (identity element) とよぶ．

$V$ -関手

$V$ -関手を定義する前に，関手の定義 (定義 2.a.2) を集合の圏 $Set$ を用いて書き表しておく:

$C$ と $D$ を圏とする．

各 $X \in C$ に対して， $F X \in D$ が一意に定まるような対応 $\underset{―}{F}$ ，
各 $X, Y \in C$ に対して， $C (X, Y)$ から $D (F X, F Y)$ への $Set$ での射 $F_{X, Y}$ ，

が与えられているとき，組 $F = (\underset{―}{F}, {F_{X, Y}}_{X, Y \in C})$ が $C$ から $D$ への関手であることは，以下が成り立つことと同値である:

任意の $X \in C$ に対して， $F_{X, X} (1_{X}) = 1_{F X}$ である．
任意の $g \in C (Y, Z)$ と $f \in C (X, Y)$ に対して， $F_{X, Z} (g \circ_{X, Y, Z} f) = F_{Y, Z} (g) \circ_{F X, F Y, F Z} F_{X, Y} (f)$ である．

$C$ と $D$ を圏とする．

各 $X \in C$ に対して， $F X \in D$ が一意に定まるような対応 $\underset{―}{F}$ ，
各 $X, Y \in C$ に対して， $C (X, Y)$ から $D (F X, F Y)$ への $Set$ での射 $F_{X, Y}$ ，

が与えられているとする．各 $X, Y, Z \in ob C$ と $h \in C (Y, Z)$ と $g \in C (X, Y)$ に対して， $\circ_{X, Y, Z} ((g, f))$ を $g \circ_{X, Y, Z} f$ で表し，各 $X \in C$ に対して， $ρ^{C (X, X)} (1_{X})$ を $j_{X}$ で表す．組 $F = (\underset{―}{F}, {F_{X, Y}}_{X, Y \in C})$ が $C$ から $D$ への関手であることは，以下が成り立つことと同値である:

$X \in C$ に対して，以下は同値である:
(a) $F_{X, X} (1_{X}) = 1_{F X}$ である．
(b) $F_{X, X} j_{X} = j_{F X}$ である．
$X, Y, Z \in C$ に対して，以下は同値である:
(a) 任意の $g \in C (Y, Z)$ と $f \in C (X, Y)$ に対して， $F_{X, Z} (g \circ_{X, Y, Z} f) = F_{Y, Z} (g) \circ_{F X, F Y, F Z} F_{X, Y} (f)$ である．
(b) $\circ_{F X, F Y, F Z} (F_{Y, Z} \otimes F_{X, Y}) = F_{X, Z} \circ_{X, Y, Z}$ である．

$\begin{aligned} (F_{X, X} j_{X}) (\emptyset) & = F_{X, X} (j_{X} (\emptyset)) \\ = F_{X, X} (σ^{C (X, X)} (j_{X})) & (命題 2) \\ = F_{X, X} (σ^{C (X, X)} (ρ^{C (X, X)} (1_{X}))) \\ = F_{X, X} ((σ^{C (X, X)} ρ^{C (X, X)}) (1_{X})) \\ = F_{X, X} (1_{C (X, X)} (1_{X})) & (命題 2) \\ = F_{X, X} (1_{X}), \end{aligned}$
であり，
$\begin{aligned} j_{F X} (\emptyset) & = σ^{C (F X, F X)} (j_{F X}) & (命題 2) \\ = σ^{C (F X, F X)} (ρ^{C (F X, F X)} (1_{F X})) \\ = (σ^{C (F X, F X)} ρ^{C (F X, F X)}) (1_{F X}) \\ = 1_{C (F X, F X)} (1_{F X}) & (命題 2) \\ = 1_{F X}, \end{aligned}$
だから，(a) と (b) は同値である．
$g \in C (Y, Z)$ と $f \in C (X, Y)$ に対して，
$\begin{aligned} (\circ_{F X, F Y, F Z} (F_{Y, Z} \otimes F_{X, Y})) ((g, f)) & = \circ_{F X, F Y, F Z} ((F_{Y, Z} \otimes F_{X, Y}) ((g, f))) \\ = \circ_{F X, F Y, F Z} ((F_{Y, Z} (g), F_{X, Y} (f))) & (定義 2.b.1) \\ = F_{Y, Z} (g) \circ_{F X, F Y, F Z} F_{X, Y} (f), \end{aligned}$
であり，
$(F_{X, Z} \circ_{X, Y, Z}) ((g, f)) = F_{X, Z} (\circ_{X, Y, Z} ((g, f))) = F_{X, Z} (\circ_{X, Y, Z} ((g, f))),$
だから，(a) と (b) は同値である．

$Set$ -圏の間の関手に相当する $Set$ -関手は以下で定義される:

Set

-関手

$A$ と $B$ を $Set$ -圏とする．

各 $A \in A$ に対して， $T (A)$ や $T A$ で表される $B$ の対象が一意に定まるような対応 $\underset{―}{T}$ ，
各 $A, B \in A$ に対して， $A (A, B)$ から $B (T A, T B)$ への $Set$ での射 $T_{A, B}$ ，

が与えられているとき，組 $T = (\underset{―}{T}, {T_{A, B}}_{A, B \in A})$ が $A$ から $B$ への $Set$ -関手 ( $Set$ -functor) であるとは，以下が成り立つことをいう:

任意の $A \in A$ に対して， $T_{A, A} j_{A} = j_{T A}$ である:
$A (A, A) T_{A, A} I j_{A} j_{T A} B (T A, T A)$
任意の $A, B, C \in A$ に対して， $M_{T A, T B, T C} (T_{B, C} \otimes T_{A, B}) = T_{A, C} M_{A, B, C}$ である:
$A (B, C) \otimes A (A, B) M_{A, B, C} T_{B, C} \otimes T_{A, B} A (A, C) T_{A, C} B (T B, T C) \otimes B (T A, T B) M_{T A, T B, T C} B (T A, T C)$

$Set$ -関手圏の定義において， $Set$ を一般のモノイダル圏 $V$ に取り換えることで， $V$ -関手が定義される．

V

-関手

$A$ と $B$ を $V$ -圏とする．

各 $A \in A$ に対して， $T (A)$ や $T A$ で表される $B$ の対象が一意に定まるような対応 $\underset{―}{T}$ ，
各 $A, B \in A$ に対して， $A (A, B)$ から $B (T A, T B)$ への $V$ での射 $T_{A, B}$ ，

が与えられているとき，組 $T = (\underset{―}{T}, {T_{A, B}}_{A, B \in A})$ が $A$ から $B$ への $V$ -関手 ( $V$ -functor) であるとは，以下が成り立つことをいう:

任意の $A \in A$ に対して， $T_{A, A} j_{A} = j_{T A}$ である:
$A (A, A) T_{A, A} I j_{A} j_{T A} B (T A, T A)$
任意の $A, B, C \in A$ に対して， $M_{T A, T B, T C} (T_{B, C} \otimes T_{A, B}) = T_{A, C} M_{A, B, C}$ である:
$A (B, C) \otimes A (A, B) M_{A, B, C} T_{B, C} \otimes T_{A, B} A (A, C) T_{A, C} B (T B, T C) \otimes B (T A, T B) M_{T A, T B, T C} B (T A, T C)$

$T$ が $A$ から $B$ への $V$ -関手であることを， $T : A \to B$ が $V$ -関手であるという．また， $V$ -関手 $T = (\underset{―}{T}, {T_{A, B}}_{A, B \in A}) : A \to B$ に対して， $\underset{―}{T}$ を $T$ と略記する．

恒等

V

-関手

$A$ を $V$ -圏とする． $A$ から $A$ への $V$ -関手 $1_{A}$ を以下で定める:
(1) 各 $A \in A$ に対して， $A$ の対象 $1_{A} A$ を $1_{A} A := A$ と定める．
(2) 各 $A, B \in A$ に対して， $A (A, B)$ から $A (1_{A} A, 1_{A} B) = A (A, B)$ への $V$ での射 $(1_{A})_{A, B}$ を $(1_{A})_{A, B} := 1_{A (A, B)}$ で定める．

$V$ -圏 $A$ を取るとき， $1_{A}$ は $A$ から $A$ への $V$ -関手である．実際，任意の $A \in A$ に対して， $(1_{A})_{A, A} j_{A} = 1_{A (A, A)} j_{A} = j_{A} = j_{1_{A} A}$ である:

$A (A, A) T_{A, A} I j_{A} j_{1_{A} A} A (1_{A} A, 1_{A} A)$

また，任意の $A, B, C \in A$ に対して， $\otimes : V^{2} \to V$ が関手であることから，第2回 (後半) [ 7 ] の §2.2 で述べたように， $1_{A (B, C)} \otimes 1_{A (A, B)} = 1_{A (B, C) \otimes A (A, B)}$ であり，
$\begin{aligned} M_{1_{A} A, 1_{A} B, 1_{A} C} ((1_{A})_{B, C} \otimes (1_{A})_{A, B}) & = M_{A, B, C} ((1_{A})_{B, C} \otimes (1_{A})_{A, B}) \\ = M_{A, B, C} (1_{A (B, C)} \otimes 1_{A (A, B)}) \\ = M_{A, B, C} 1_{A (B, C) \otimes A (A, B)} \\ = M_{A, B, C} \\ = 1_{A (A, C)} M_{A, B, C} \\ = (1_{A})_{A, C} M_{A, B, C}, \end{aligned}$
である:
$A (B, C) \otimes A (A, B) M_{A, B, C} (1_{A})_{B, C} \otimes (1_{A})_{A, B} A (A, C) (1_{A})_{A, C} A (1_{A} B, 1_{A} C) \otimes A (1_{A} A, 1_{A} B) M_{1_{A} A, 1_{A} B, 1_{A} C} A (1_{A} A, 1_{A} C)$

$V$ -関手 $1_{A}$ を $A$ の恒等 $V$ -関手 (identity $V$ -functor) という．

V

-関手の合成

$A$ と $B$ と $C$ を $V$ -圏として， $S : B \to C$ と $T : A \to B$ を $V$ -関手とする． $A$ から $C$ への $V$ -関手 $S T$ を以下で定める:
(1) 各 $A \in A$ に対して， $C$ の対象 $(S T) A$ を $(S T) A := S (T A)$ と定める．
(2) 各 $A, B \in A$ に対して， $A (A, B)$ から $C ((S T) A, (S T) B) = C (S (T A), S (T B))$ への $V$ での射 $(S T)_{A, B}$ を $(S T)_{A, B} := S_{T A, T B} T_{A, B}$ で定める:
$A (A, B) T_{A, B} (S T)_{A, B} B (T A, T B) S_{T A, T B} C (S (T A), S (T B))$

$V$ -関手 $T : A \to B$ と $S : B \to C$ を取るとき， $S T$ は $A$ から $C$ への $V$ -関手である．実際，任意の $A \in A$ に対して， $T : A \to B$ が $V$ -関手であることから $T_{A, A} j_{A} = j_{T A}$ であり， $S : B \to C$ が $V$ -関手であることから $S_{T A, T A} j_{T A} = j_{S (T A)}$ だから，
$(S T)_{A, A} j_{A} = S_{T A, T A} T_{A, A} j_{A} = S_{T A, T A} j_{T A} = j_{S (T A)} = j_{(S T) A},$
である:
$A (A, A) T_{A, A} (S T)_{A} I j_{A} j_{S (T A)} j_{T A} B (T A, T A) S_{T A} C (S (T A), S (T A))$

また，任意の $A, B, C \in A$ に対して， $\otimes : V^{2} \to V$ が関手であることから，第2回 (後半) [ 7 ] の §2.2 で述べたように， $((S_{T B, T C} T_{B, C}) \otimes (S_{T A, T B} T_{A, B})) = (S_{T B, T C} \otimes S_{T A, T B}) (T_{B, C} \otimes T_{A, B})$ であり， $S : B \to C$ が $V$ -関手であることから $M_{S (T A), S (T B), S (T C)} (S_{T B, T C} \otimes S_{T A, T B}) = S_{T A, T C} M_{T A, T B, T C}$ であり， $T : A \to B$ が $V$ -関手であることから $M_{T A, T B, T C} (T_{B, C} \otimes T_{A, B}) = T_{A, C} M_{A, B, C}$ だから，
$\begin{aligned} M_{(S T) A, (S T) B, (S T) C} ((S T)_{B, C} \otimes (S T)_{A, B}) \\ = M_{S (T A), S (T B), S (T C)} ((S T)_{B, C} \otimes (S T)_{A, B}) \\ = M_{S (T A), S (T B), S (T C)} ((S_{T B, T C} T_{B, C}) \otimes (S_{T A, T B} T_{A, B})) \\ = M_{S (T A), S (T B), S (T C)} (S_{T B, T C} \otimes S_{T A, T B}) (T_{B, C} \otimes T_{A, B}) \\ = S_{T A, T C} M_{T A, T B, T C} (T_{B, C} \otimes T_{A, B}) \\ = S_{T A, T C} T_{A, C} M_{A, B, C} \\ = (S T)_{A, C} M_{A, B, C}, \end{aligned}$
である:
$A (B, C) \otimes A (A, B) M_{A, B, C} T_{B, C} \otimes T_{A, B} (S T)_{B, C} \otimes (S T)_{A, B} A (A, C) T_{A, C} (S T)_{A, C} B (T B, T C) \otimes B (T A, T B) M_{T A, T B, T C} S_{T B, T C} \otimes S_{T A, T B} B (T A, T C) S_{T A, T C} C (S (T B), S (T C)) \otimes C (S (T A), S (T B)) M_{S (T A), S (T B), S (T C)} C (S (T A), S (T C))$

$V$ -関手 $S T : A \to C$ を $S$ と $T$ の合成 (composition) とよぶ．

$V$ -関手 $T : A \to B$ に対して， $1_{B} T = T = T 1_{A}$ が成り立つ．

任意の $A \in A$ に対して， $(1_{B} T) A = 1_{B} (T A) = T A$ 及び $(T 1_{A}) A = T (1_{A} A) = T A$ である．

また，任意の $A, B \in A$ に対して， $(1_{B} T)_{A, B} = (1_{B})_{T A, T B} T_{A, B} = 1_{B (T A, T B)} T_{A, B} = T_{A, B}$ 及び
$(T 1_{A})_{A, B} = T_{1_{A} A, 1_{A} B} (1_{A})_{A, B} = T_{A, B} (1_{A})_{A, B} = T_{A, B} 1_{A (A, B)} = T_{A, B},$
である．

ゆえに， $1_{B} T = T = T 1_{A}$ が成り立つ．

$V$ -関手 $R : C \to D$ と $S : B \to C$ と $T : A \to B$ に対して， $R (S T) = (R S) T$ が成り立つ．

任意の $A \in A$ に対して，
$(R (S T)) A = R ((S T) A) = R (S (T A)) = (R S) (T A) = ((R S) T) A,$
である．

また，任意の $A, B \in A$ に対して，
$\begin{aligned} (R (S T))_{A, B} & = R_{(S T) A, (S T) B} (S T)_{A, B} = R_{S (T A), S (T B)} (S T)_{A, B} \\ = R_{S (T A), S (T B)} S_{T A, T B} T_{A, B} = (R S)_{T A, T B} T_{A, B} = ((R S) T)_{A, B}, \end{aligned}$
である．

ゆえに， $R (S T) = (R S) T$ が成り立つ．

まとめ

この記事では，モノイダル圏 $V$ に対して，圏や関手の定義を $Set$ のモノイダル構造などを用いて書き表すことで，それらの自然な拡張として $V$ -圏や $V$ -関手を定義して，通常の関手と同様の性質が成り立つことを見た．
次の記事では，モノイダル圏 $V$ と $W$ に対して， $V$ から $W$ への「Lax モノイダル関手」が $V$ -圏を $W$ -圏に写すことを証明して， $V$ -圏の「underlying category」とよばれる圏について説明する．

追記

2022/3/3 23:06 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 8 ] を加えた．
2022/3/3 23:06 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 9 ] を加えた．
2022/3/3 23:40 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 10 ] を加えた．
2022/3/3 23:40 §1 の一部を削除した．

参考文献

[1]

G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005

[2]

J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009

[3]

J. Lurie, Kerodon, 閲覧日 2022年2月20日, https://kerodon.net/

[4]

alg_d, 壱大整域，圏論, 閲覧日 2022年2月22日, http://alg-d.com/math/kan_extension/

[5]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023