大学数学基礎解説

文献あり

豊穣圏の導入第1回: 集合の圏は有限積をもつ

圏論

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導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．また，この記事を通して，以下の記法を用いる (主に [1] で扱われているものを採用している):

空集合 (empty set) を $\emptyset$ で表す．
$x, y$ に対して， $x$ と $y$ の対 (pair) $(x, y)$ を $(x, y) := {{x}, {x, y}}$ で定める． $x, x^{'}, y, y^{'}$ に対して， $(x, y) = (x^{'}, y^{'})$ ならば， $x = x^{'}$ かつ $y = y^{'}$ が成り立つことが知られている．
圏 (category) $C$ に対して， $X$ が $C$ の対象 (object) であることを，記号 $\in$ を用いて $X \in C$ で表す．
圏 $C$ と $X, Y \in C$ に対して， $X$ から $Y$ への $C$ での射 (morphism) の全体は集合であることを仮定して，この集合を $C (X, Y)$ で表す．すなわち，以下で扱う圏は全て 局所小圏 (locally small category) である．
圏 $C$ に対して， $X, Y \in C$ であり， $f$ が $X$ から $Y$ への射であるとき，「( $C$ の) 射 $f : X \to Y$ に対して...」などの略記を用いることがある．
通常の定義とは異なるが，圏 $C$ と $Z, Y, X \in C$ に対して， $C$ での合成 (composition) $\circ$ を $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ から $C (X, Z)$ への写像として定義する．
圏 $C$ と $C$ での射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して， $C$ での射 $\circ (g, f) : X \to Z$ を $g$ と $f$ の $C$ での合成 (composition) とよび， $g \circ f$ や $g f$ で表す．
圏 $C$ と $X \in C$ に対して， $X$ の $C$ での恒等射 (identity) を $1_{X}$ で表す．

集合の圏

集合の圏の構成

集合の圏

圏 $Set$ を以下で定める:

$Set$ の対象とは，集合のことである．
$Set$ の対象 $X$ と $Y$ に対して， $X$ から $Y$ への $Set$ での射とは， $X$ から $Y$ への写像のことである．すなわち，集合 $Set (X, Y)$ を， $X$ から $Y$ への写像の全体と定める．
$Set$ での射 $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して， $g$ と $f$ の合成 $g f : X \to Z$ を，各 $x \in X$ に対して $(g f) (x) := g (f (x))$ で定める．すなわち， $Set$ の対象 $Z$ と $Y$ と $X$ に対して，写像 $\circ : Set (Y, Z) \times Set (X, Y) \to Set (X, Z), (g, f) \mapsto \circ (g, f)$ を，各 $g \in Set (Y, Z)$ と $f \in Set (X, Y)$ と $x \in X$ に対して $(\circ (g, f)) (x) := g (f (x))$ で定める．

$Set$ は圏をなす．
実際， $Set$ の各対象 $X$ に対して， $Set$ での射 $1_{X} : X \to X$ が，各 $x \in X$ に対して $1_{X} (x) := x$ で定まる． $Set$ での任意の射 $f : X \to Y$ に対して， $(1_{Y} f) (x) = 1_{Y} (f (x)) = f (x)$ 及び $(f 1_{X}) (x) = f (1_{X} (x)) = f (x)$ が各 $x \in X$ に対して成り立つので， $1_{Y} f = f = f 1_{X}$ である．
また， $Set$ での任意の射 $h : Z \to W$ と $g : Y \to Z$ と $f : X \to Y$ に対して，
$(h (g f)) (x) = h ((g f) (x)) = h (g (f (x))) = (h g) (f (x)) = ((h g) f) (x),$
が各 $x \in X$ に対して成り立つので， $h (g f) = (h g) f$ である．
ゆえに， $Set$ は圏をなし，各 $X \in Set$ に対して， $1_{X}$ は $X$ の $Set$ での恒等射である．
圏 $Set$ を集合の圏 (category of sets)とよぶ．

集合の全体は"集合としては定義出来ない"ことが知られている．そのため，上で定めた圏 $Set$ は小圏 (small category) ではない．しかし，ここでは グロタンディーク宇宙 (Grothendieck universe) や 強到達不能基数 (strongly inaccessible cardinal) などの道具を用いて圏の大きさに制限を設けることはせずに，集合全体の"集まり"なども集合のように扱うことにする．詳しくは [2, §1.2.15] や [2, §A.1] の冒頭を参照されたい．

集合の圏 $Set$ は良い性質をたくさんもつことが知られているが，ここでは以下の二つのみを紹介する:

$Set$ が終対象をもつこと (命題 3)．
$Set$ が積をもつこと (命題 6)．

ここでは，[ 3 , Tag 002I ] にある product ではなく，[ 3 , Tag 001S ] にある product of pairs のことを積 (product) とよんでいることに注意されたい．

準備

終対象と積を導入する前に，同型射について述べておこう．
$C$ を圏とする．

$X, Y \in C$ とする． $f$ が $X$ から $Y$ への同型射 (isomorphism) であるとは， $f$ が $X$ から $Y$ への射であり， $g f = 1_{X}$ かつ $f g = 1_{Y}$ をみたす射 $g : Y \to X$ が存在することをいう． $f$ が $X$ から $Y$ への同型射であることを， $f : X \to Y$ が同型射であるという．

射 $f : X \to Y$ と $g : Y \to X$ に対して， $g f = 1_{X}$ であることは，
$X f 1_{X} Y g X$
という図式 (diagram) が可換 (commutative)であると表される．同様に， $f g = 1_{Y}$ であることは，図式
$Y g 1_{Y} X f Y$
が可換であると表される．図式及びその可換性の正確な定義は述べないが，以下ではしばしば図式の可換性という形式で，条件を記述することがある．

$f : X \to Y$ を射とする．射 $g, g^{'} : Y \to X$ に対して， $g f = 1_{X}$ かつ $f g^{'} = 1_{Y}$ ならば， $g = g^{'}$ である．

$g = g 1_{Y} = g f g^{'} = 1_{X} g^{'} = g^{'},$
よりわかる．

射 $f : X \to Y$ を取る．射 $g, g^{'} : Y \to X$ が $g f = 1_{X}$ かつ $f g = 1_{Y}$ ，及び $g^{'} f = 1_{X}$ かつ $f g^{'} = 1_{Y}$ をみたすならば，特に $g f = 1_{X}$ かつ $f g^{'} = 1_{Y}$ であり，命題 1 より $g = g^{'}$ が成り立つ．ゆえに， $f : X \to Y$ が同型射ならば， $g f = 1_{X}$ かつ $f g = 1_{Y}$ をみたす射 $g : Y \to X$ が一意に存在することがわかる．これを $f$ の逆 (inverse) とよび， $f^{- 1}$ で表す．

集合の圏は終対象をもつ

終対象

$C$ を圏として， $X \in C$ とする． $X$ が終対象 (terminal object) であるとは，任意の $Y \in C$ に対して， $Y$ から $X$ への射が一意に存在することをいう．

$C$ を圏として， $X, X^{'} \in C$ とする． $X$ と $X^{'}$ が終対象ならば， $X$ から $X^{'}$ への同型射が一意に存在する．

$X$ から $X^{'}$ への同型射が存在すること: $X^{'}$ は $C$ の終対象だから，射 $f : X \to X^{'}$ が取れる．また， $X$ は $C$ の終対象だから，射 $g : X^{'} \to X$ が取れる．
$g f$ と $1_{X}$ は $X$ から $X$ への射であり， $X$ が終対象であることから， $g f = 1_{X}$ を得る．また， $f g$ と $1_{X^{'}}$ は $X^{'}$ から $X^{'}$ への射であり， $X^{'}$ が終対象であることから， $f g = 1_{X^{'}}$ を得る．
ゆえに， $f$ は $X$ から $X^{'}$ への同型射である．
$X$ から $X^{'}$ への同型射が一意であること: $X^{'}$ が終対象であり， $X$ から $X^{'}$ への同型射は $X$ から $X^{'}$ への射であることから，任意の同型射 $f^{'} : X \to X^{'}$ に対して， $f^{'} = f$ である．

${\emptyset}$ は $Set$ の終対象である．

集合 $Y$ を任意に取る．
(1) $Y$ から ${\emptyset}$ への写像が存在すること: 写像 $f : Y \to {\emptyset}$ が，各 $y \in Y$ に対して $f (y) := \emptyset$ で定まる．
(2) $Y$ から ${\emptyset}$ への写像が一意であること: 写像 $f^{'} : Y \to {\emptyset}$ を任意に取る．各 $y \in Y$ に対して， $f^{'} (y) \in {\emptyset}$ だから， $f^{'} (y) = \emptyset = f (y)$ であり， $f^{'} = f$ である．

ゆえに， $Set$ は終対象をもつ．

集合の圏は積をもつ

積

$C$ を圏として， $X, Y \in C$ とする． $Z \in C$ と射 $p_{X, Y} : Z \to X$ と $q_{X, Y} : Z \to Y$ に対して，組 $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ が $X$ と $Y$ の積 (product) であるとは，任意の $W \in C$ と任意の射 $f : W \to X$ と $g : W \to Y$ に対して， $p_{X, Y} h = f$ かつ $q_{X, Y} h = g$ をみたす射 $h : W \to Z$ が一意に存在することをいう:
$W f g h X Y Z p_{X, Y} q_{X, Y}$

$C$ を圏として， $X, Y, Z \in C$ として， $p_{X, Y} : Z \to X$ と $q_{X, Y} : Z \to Y$ を射として， $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ は $X$ と $Y$ の積であるとする．射 $f : Z \to Z$ が $p_{X, Y} f = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y} f = q_{X, Y}$ をみたすならば， $f = 1_{Z}$ である．

$p_{X, Y} 1_{Z} = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y} 1_{Z} = q_{X, Y}$ であり， $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ が $X$ と $Y$ の積であることから， $f = 1_{Z}$ を得る．

$C$ を圏として， $X, Y, Z, Z^{'} \in C$ として， $p_{X, Y} : Z \to X$ と $q_{X, Y} : Z \to Y$ と $p_{X, Y}^{'} : Z^{'} \to X$ と $q_{X, Y}^{'} : Z^{'} \to Y$ を射とする． $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ と $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ が $X$ と $Y$ の積ならば， $p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ をみたす $Z$ から $Z^{'}$ への同型射 $h$ が一意に存在する:
$Z p_{X, Y} q_{X, Y} h X Y Z^{'} p_{X, Y}^{'} q_{X, Y}^{'}$

$p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ をみたす $Z$ から $Z^{'}$ への同型射 $h$ が存在すること: $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ は $X$ と $Y$ の積だから， $p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ をみたす射 $h : Z \to Z^{'}$ が取れる:
$Z p_{X, Y} q_{X, Y} h X Y Z^{'} p_{X, Y}^{'} q_{X, Y}^{'}$
また， $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ は $X$ と $Y$ の積だから， $p_{X, Y} i = p_{X, Y}^{'}$ かつ $q_{X, Y} i = q_{X, Y}^{'}$ をみたす射 $i : Z^{'} \to Z$ が取れる:
$Z^{'} p_{X, Y}^{'} q_{X, Y}^{'} i X Y Z p_{X, Y} q_{X, Y}$
このとき， $p_{X, Y} i h = p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ 及び $q_{X, Y} i h = q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ であり， $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ が $X$ と $Y$ の積であることから，補題 4 より $i h = 1_{Z}$ を得る．また， $p_{X, Y}^{'} h i = p_{X, Y} i = p_{X, Y}^{'}$ 及び $q_{X, Y}^{'} h i = q_{X, Y} i = q_{X, Y}^{'}$ であり， $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ が $X$ と $Y$ の積であることから，補題 4 より $h i = 1_{Z^{'}}$ を得る．ゆえに， $h$ は $Z$ から $Z^{'}$ への同型射である．
$h$ の定め方から， $p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ が成り立つ．
$p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ をみたす $Z$ から $Z^{'}$ への同型射 $h$ が一意であること: $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ が $X$ と $Y$ の積であり， $Z$ から $Z^{'}$ への同型射は $Z$ から $Z^{'}$ への射であることから， $p_{X, Y}^{'} h^{'} = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h^{'} = q_{X, Y}$ をみたす任意の同型射 $h^{'} : Z \to Z^{'}$ に対して， $h^{'} = h$ である．

定義 1 にも現れたが，集合 $X$ と $Y$ に対して， $X$ と $Y$ の積 (product) とは， $X \times Y := {(x, y) : x \in X, y \in Y}$ で定まる集合 $X \times Y$ のことである．ただし， ${(x, y) : x \in X, y \in Y}$ とは ${z : z = (x, y) をみたす x \in X と y \in Y が存在する}$ の略記である．集合 $X$ と $Y$ に対して，写像 $p_{X, Y} : X \times Y \to X$ と $q_{X, Y} : X \times Y \to Y$ が，各 $(x, y) \in X \times Y$ に対して $p_{X, Y} ((x, y)) := x$ と $q_{X, Y} ((x, y)) := y$ で定まる．

集合 $X$ と $Y$ に対して， $(X \times Y, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ は $X$ と $Y$ の $Set$ での積である．

集合 $W$ と写像 $f : W \to X$ と $g : W \to Y$ を任意に取る．

$p_{X, Y} h = f$ かつ $q_{X, Y} h = g$ をみたす写像 $h : W \to X \times Y$ が存在すること: 写像 $h : W \to X \times Y$ が，各 $w \in W$ に対して $h (w) := (f (w), g (w))$ で定まる． $(p_{X, Y} h) (w) = p_{X, Y} (h (w)) = p_{X, Y} ((f (w), g (w))) = f (w)$ 及び $(q_{X, Y} h) (w) = q_{X, Y} (h (w)) = q_{X, Y} ((f (w), g (w))) = g (w)$ が各 $w \in W$ に対して成り立つので， $p_{X, Y} h = f$ かつ $q_{X, Y} h = g$ である．
$p_{X, Y} h = f$ かつ $q_{X, Y} h = g$ をみたす写像 $h : W \to X \times Y$ が一意であること: $p_{X, Y} h^{'} = f$ かつ $q_{X, Y} h^{'} = g$ をみたす写像 $h^{'} : W \to X \times Y$ を任意に取る．各 $w \in W$ に対して， $h^{'} (w) \in X \times Y$ だから， $h^{'} (w) = (x_{w}, y_{w})$ をみたす $x_{w} \in X$ と $y_{w} \in Y$ が存在して，
$\begin{aligned} h^{'} (w) & = (x_{w}, y_{w}) = (p_{X, Y} ((x_{w}, y_{w})), q_{X, Y} ((x_{w}, y_{w}))) \\ = (p_{X, Y} (h^{'} (w)), q_{X, Y} (h^{'} (w))) = ((p_{X, Y} h^{'}) (w), (q_{X, Y} h^{'}) (w)) = (f (w), g (w)) = h (w), \end{aligned}$
であり， $h^{'} = h$ である．

ゆえに， $Set$ は積をもつ．

まとめ

この記事では，集合の圏 $Set$ を構成して， $Set$ が終対象と積をもつことを確認した．一般に，圏 $C$ が終対象と積をもつとき， $C$ は有限積をもつ (have finite products) ということがある([ 3 , Tag 001R ])．
有限積をもつ圏は自然な「モノイダル構造」をもつことが知られている．次の記事では，モノイダル構造や「モノイダル圏」を定義して， $Set$ 上のモノイダル構造を構成する．また， $Set$ 上のモノイダル構造が「対称モノイダル閉構造」であることを示す．

付録: 命題 5 の別証明

以下では，命題 5 の別証明を与える．この証明は，準備は少し大変かもしれないが，見通しがよいと思う．

命題 5，再掲

$C$ を圏として， $X, Y \in C$ とする．

圏 $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ を以下で定める:
(1) $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ の対象とは， $Z \in C$ と $C$ での射 $p : Z \to X$ と $q : Z \to Y$ の組 $(Z, p, q)$ のことである．
(2) $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ の対象 $(Z, p, q)$ と $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ に対して， $(Z, p, q)$ から $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射とは， $p^{'} f = p$ かつ $q^{'} f = q$ をみたす $C$ での射 $f : Z \to Z^{'}$ のことである:
$Z p q f X Y Z^{'} p^{'} q^{'}$
すなわち，集合 $C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z, p, q), (Z^{'}, p^{'}, q^{'}))$ を，
$C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z, p, q), (Z^{'}, p^{'}, q^{'})) := {f \in C (Z, Z^{'}) : p^{'} f = p, q^{'} f = q} .$
で定める．
(3) $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射 $g : (Z, p, q) \to (Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ と $f : (Z^{″}, p^{″}, q^{″}) \to (Z, p, q)$ に対して， $g$ と $f$ の $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での合成 $g \circ f$ を， $g$ と $f$ の $C$ での合成 $g f$ として定める．すなわち， $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ の対象 $(Z^{″}, p^{″}, q^{″})$ と $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ と $(Z, p, q)$ に対して，写像
$\begin{aligned} \circ : C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z, p, q), (Z^{'}, & p^{'}, q^{'})) \times C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z^{″}, p^{″}, q^{″}), (Z, p, q)) \\ \to C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z^{″}, p^{″}, q^{″}), (Z^{'}, p^{'}, q^{'})), (g, f) \mapsto g \circ f \end{aligned}$
を，各 $g \in C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z, p, q), (Z^{'}, p^{'}, q^{'}))$ と $f \in C_{X \leftarrow ∙ \to Y} ((Z^{″}, p^{″}, q^{″}), (Z, p, q))$ に対して $\circ ((g, f)) := g f$ で定める．

$C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射 $g : (Z, p, q) \to (Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ と $f : (Z^{″}, p^{″}, q^{″}) \to (Z, p, q)$ を取る．このとき， $g \circ f$ が $(Z^{″}, p^{″}, q^{″})$ から $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射であることは，以下のように示される．
まず， $g$ は $(Z, p, q)$ から $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射だから， $g$ は $Z$ から $Z^{'}$ への $C$ での射であり， $p^{'} g = p$ かつ $q^{'} g = q$ をみたす:
$Z p q g X Y Z^{'} p^{'} q^{'}$
また， $f$ は $(Z^{″}, p^{″}, q^{″})$ から $(Z, p, q)$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射だから， $f$ は $Z^{″}$ から $Z$ への $C$ での射であり， $p f = p^{″}$ かつ $q f = q^{″}$ をみたす:
$Z^{″} p^{″} q^{″} f X Y Z p q$
このとき， $g$ と $f$ の $C$ での合成 $g f$ が $Z^{″}$ から $Z^{'}$ への $C$ での射として定まり， $p^{'} g f = p f = p^{″}$ 及び $q^{'} g f = q f = q^{″}$ をみたす:
$Z^{″} f p^{″} q^{″} X Z p q g Y Z^{'} p^{'} q^{'}$
これは， $g \circ f = g f$ が $(Z^{″}, p^{″}, q^{″})$ から $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射であることを示している．

$C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ は圏をなす．実際， $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ の各対象 $(Z, p, q)$ に対して， $Z$ の $C$ での恒等射 $1_{Z}$ は， $Z$ から $Z$ への $C$ での射であり， $p 1_{Z} = p$ かつ $q 1_{Z} = q$ をみたす:
$Z p q 1_{Z} X Y Z p q$
ゆえに， $1_{Z}$ は $(Z, p, q)$ から $(Z, p, q)$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射である． $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での任意の射 $f : (Z, p, q) \to (Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ に対して， $1_{Z^{'}} \circ f = 1_{Z^{'}} f = f = f 1_{Z} = f \circ 1_{Z}$ である．
また， $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での任意の射 $h : (Z^{″}, p^{″}, q^{″}) \to (Z^{‴}, p^{‴}, q^{‴})$ と $g : (Z^{'}, p^{'}, q^{'}) \to (Z^{″}, p^{″}, q^{″})$ と $f : (Z, p, q) \to (Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ に対して，
$h \circ (g \circ f) = h (g \circ f) = h (g f) = (h g) f = (h \circ g) f = (h \circ g) \circ f,$
である．
ゆえに， $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ は圏をなし，各 $(Z, p, q) \in C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ に対して， $1_{Z}$ は $(Z, p, q)$ の $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での恒等射である．

$(Z, p, q), (Z^{'}, p^{'}, q^{'}) \in C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ として， $h : Z \to Z^{'}$ を $C$ での射とする．このとき，以下は同値である:
(i) $h$ は $(Z, p, q)$ から $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での同型射である．
(ii) $h$ は $Z$ から $Z^{'}$ への $C$ での同型射であり， $p^{'} h = p$ かつ $q^{'} h = q$ をみたす:
$Z p q h X Y Z^{'} p^{'} q^{'}$

(i) $\Rightarrow$ (ii): (i) が成り立つならば， $i \circ h = 1_{(Z, p, q)}$ かつ $h \circ i = 1_{(Z^{'}, p^{'}, q^{'})}$ をみたす $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射 $i : (Z^{'}, p^{'}, q^{'}) \to (Z, p, q)$ が取れる．定義 5, (2) より $i$ は $Z$ から $Z^{'}$ への $C$ での射である．また，定義 5, (3) と $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ が圏をなすことの議論から， $i h = i \circ h = 1_{(Z, p, q)} = 1_{Z}$ 及び $h i = h \circ i = 1_{(Z^{'}, p^{'}, q^{'})} = 1_{Z^{'}}$ が成り立つ．ゆえに，(ii) が成り立つ．
(ii) $\Rightarrow$ (i): (ii) が成り立つならば， $j h = 1_{Z}$ かつ $h j = 1_{Z^{'}}$ をみたす $C$ での射 $j : Z^{'} \to Z$ が取れる． $p j = p^{'} h j = p^{'} 1_{Z^{'}} = p^{'}$ 及び $q j =, q^{'} h j = q^{'} 1_{Z^{'}} = q^{'}$ だから，定義 5, (2) より $j$ は $(Z^{'}, p^{'}, q^{'})$ から $(Z, p, q)$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での射である:
$Z^{'} j p^{'} 1_{Z^{'}} Z^{'} j q^{'} X Z p h Z h q Y Z^{'} p^{'} Z^{'} q^{'}$
また，定義 5, (3) と $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ が圏をなすことの議論から， $j \circ h = j h = 1_{Z} = 1_{(Z, p, q)}$ 及び $h \circ j = h j = 1_{Z^{'}} = 1_{(Z^{'}, p^{'}, q^{'})}$ が成り立つ．ゆえに，(i) が成り立つ．

我々が示したいのは，以下の主張であった:

$Z, Z^{'} \in C$ として， $p_{X, Y} : Z \to X$ と $q_{X, Y} : Z \to Y$ と $p_{X, Y}^{'} : Z^{'} \to X$ と $q_{X, Y}^{'} : Z^{'} \to Y$ を $C$ での射とする． $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ と $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ が $X$ と $Y$ の $C$ での積ならば， $p_{X, Y}^{'} h = p_{X, Y}$ かつ $q_{X, Y}^{'} h = q_{X, Y}$ をみたす $Z$ から $Z^{'}$ への $C$ での同型射 $h$ が一意に存在する:
$Z p_{X, Y} q_{X, Y} h X Y Z^{'} p_{X, Y}^{'} q_{X, Y}^{'}$

$(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y}), (Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'}) \in C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ である． $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ と $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ が $X$ と $Y$ の $C$ での積ならば，定義 5, (2) よりこれらは $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ の終対象であり，命題 2 より $(Z, p_{X, Y}, q_{X, Y})$ から $(Z^{'}, p_{X, Y}^{'}, q_{X, Y}^{'})$ への $C_{X \leftarrow ∙ \to Y}$ での同型射が一意に存在して，補題 8 より主張が成立する．

追記

2022/2/19 21:40 命題 1 の証明を修正した．
2022/2/20 15:36 参考文献に第2回 (前半) の記事 [ 5 ] を加えた．
2022/2/23 22:28 参考文献に第2回 (後半) の記事 [ 6 ] を加えた．
2022/2/26 14:55 参考文献に第3回の記事 [ 7 ] を加えた．
2022/3/3 22:56 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 8 ] を加えた．
2022/3/3 22:56 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 9 ] を加えた．
2022/3/3 23:32 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 10 ] を加えた．

参考文献

[1]

G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005

[2]

J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009

[3]

The Stacks Project Authors, Stacks Project, 閲覧日 2022年2月19日, https://stacks.math.columbia.edu/

[4]

nLab, 閲覧日 2022年2月19日, https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

[5]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023