豊穣圏の導入 第2回: 集合の圏は対称モノイダル閉圏をなす (後半)

前回の記事 [ 6 ] では，関手や自然変換などの概念を導入して，モノイダル圏を定義した．
この記事では，集合の圏$\mathbf{\text{Set}}$が対称モノイダル閉圏であることを証明する．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．

第1回の記事 [ 5 ] からは，定義 1，命題 3，定義 4，命題 6 を用いており，これらを定義 1.1，命題 1.3，定義 1.4，命題 1.6 で表している．

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは，定義 3，命題 1，命題 2，定義 6，命題 6，定義 11，定義 12 を用いており，これを定義 2.a.3，命題 2.a.1，命題 2.a.2，定義 2.a.6，命題 2.a.6，定義 2.a.11，定義 2.a.12 で表している．

集合の圏はモノイダル圏である

準備

まず，定義 1.1 で構成した集合の圏$\mathbf{\text{Set}}$がモノイダル圏であることを示す．正確には，

• ${\mathbf{\text{Set}}}^2$から$\mathbf{\text{Set}}$への関手$\otimes$，
• 集合$I$，
• ${\otimes }_l$から${\otimes }_r$への自然同型$a$，
• ${}_I\otimes$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然同型$l$，
• ${\otimes }_I$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然同型$r$，

であって，$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$がモノイダル圏であるものが存在する，すなわち$\mathbf{\text{Set}}$上のモノイダル構造$(\otimes ,I,a,l,r)$が存在することを示す．

以下では，$\mathbf{\text{Set}}$での同型射のことを全単射 (bijection) とよぶことにする．

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] の §3.2 の冒頭での計算から，以下が成り立つ:

• 集合$X_i$ ($1⩽i⩽3$) に対して，${\otimes }_l(X_1,X_2,X_3)=(X_1\otimes X_2)\otimes X_3$であり，${\otimes }_r(X_1,X_2,X_3)=X_1\otimes (X_2\otimes X_3)$である．
• 写像$f_i:X_i\to Y_i$ ($1⩽i⩽3$) に対して，${\otimes }_l(X_1,X_2,X_3)=(X_1\otimes X_2)\otimes X_3$から${\otimes }_l(Y_1,Y_2,Y_3)=(Y_1\otimes Y_2)\otimes Y_3$への写像${\otimes }_l((f_1,f_2,f_3))$は$(f_1\otimes f_2)\otimes f_3$に等しく，${\otimes }_r(X_1,X_2,X_3)=X_1\otimes (X_2\otimes X_3)$から${\otimes }_r(Y_1,Y_2,Y_3)=Y_1\otimes (Y_2\otimes Y_3)$への写像${\otimes }_r((f_1,f_2,f_3))$は$f_1\otimes (f_2\otimes f_3)$に等しい．

一方で，集合$I$に対して，以下が成り立つ:

• 集合$X$に対して，定義 2.a.11, (1) より$({}_I\otimes )X=\otimes (I,X)=I\otimes X$であり，定義 2.a.11, (2) より$({\otimes }_I)X=\otimes (X,I)=X\otimes I$である．
• 写像$f:X\to Y$に対して，定義 2.a.11, (1) より$({}_I\otimes )X=I\otimes X$から$({}_I\otimes )Y=I\otimes Y$への写像$({}_I\otimes )(f)$は$\otimes (1_I,f)=1_I\otimes f$に等しく，定義 2.a.11, (2) より$({\otimes }_I)X=X\otimes I$から$({\otimes }_I)Y=Y\otimes I$への写像$({\otimes }_I)(f)$は$\otimes (f,1_I)=f\otimes 1_I$に等しい．

ゆえに，$a$, $l$, $r$が自然同型であるということは，次のように換言される:

• $a$が${\otimes }_l$から${\otimes }_r$への自然同型であるとは，命題 2.a.6 より$a$が${\otimes }_l$から${\otimes }_r$への自然変換であり，各集合$X$と$Y$と$Z$に対して，$a_{X,Y,Z}$が${\otimes }_l(X,Y,Z)=(X\otimes Y)\otimes Z$から${\otimes }_r(X,Y,Z)=X\otimes (Y\otimes Z)$への全単射であることであり，これは定義 2.a.3 より$a$が${\otimes }_l(X,Y,Z)=(X\otimes Y)\otimes Z$から${\otimes }_r(X,Y,Z)=X\otimes (Y\otimes Z)$への全単射$a_{X,Y,Z}$ ($X,Y,Z\in \mathbf{\text{Set}}$) の族$\{a_{X,Y,Z}:(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z){\}}_{X,Y,Z\in \mathbf{\text{Set}}}$であり，任意の写像$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$と$h:Z\to Z^{\prime }$に対して，$a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}{\otimes }_l((f,g,h))={\otimes }_r((f,g,h))a_{X,Y,Z}$である，すなわち$a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}((f\otimes g)\otimes h)=(f\otimes (g\otimes h))a_{X,Y,Z}$をみたすことである:
  $$(X\otimes Y)\otimes Z{a}_{X,Y,Z}(f\otimes g)\otimes hX\otimes (Y\otimes Z)f\otimes (g\otimes h)(X^{\prime }\otimes Y^{\prime })\otimes Z^{\prime }{a}_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}{X}^{\prime }\otimes (Y^{\prime }\otimes Z^{\prime })$$

• $l$が${}_I\otimes$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然同型であるとは，定義 2.a.3 と命題 2.a.6 より$l$が${}_I\otimes$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然変換であり，各集合$X$に対して，$l_X$が$({}_I\otimes )X=I\otimes X$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}X=X$への全単射であることであり，これは定義 2.a.3 と定義 2.a.6 より$l$が$I\otimes X$から$X$への全単射$l_X$ ($X\in \mathbf{\text{Set}}$) の族$\{l_X:I\otimes X\to X{\}}_{X\in \mathbf{\text{Set}}}$であり，任意の写像$f:X\to Y$に対して，$l_Y({}_I\otimes )(f)=1_{\mathbf{\text{Set}}}(f)l_X$，すなわち$l_Y(1_I\otimes f)=f{l}_X$をみたすことである:
  $$I\otimes X{l}_X{1}_I\otimes fXfI\otimes Y{l}_{Y}Y$$

• $r$が${\otimes }_I$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然同型であるとは，定義 2.a.3 と命題 2.a.6 より$r$が${\otimes }_I$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}$への自然変換であり，各集合$X$に対して，$r_X$が$({\otimes }_I)X=X\otimes I$から$1_{\mathbf{\text{Set}}}X=X$への全単射であることであり，これは定義 2.a.3 と定義 2.a.6 より$r$が$X\otimes I$から$X$への全単射$r_X$ ($X\in \mathbf{\text{Set}}$) の族$\{r_X:X\otimes I\to X{\}}_{X\in \mathbf{\text{Set}}}$であり，任意の写像$f:X\to Y$に対して，$r_Y({\otimes }_I)(f)=1_{\mathbf{\text{Set}}}(f)r_X$，すなわち$r_Y(f\otimes 1_I)=f{r}_X$をみたすことである:
  $$X\otimes I{r}_{X}f\otimes 1_{I}XfY\otimes I{r}_{Y}Y$$

従って，$\mathcal{V}=\mathbf{\text{Set}}$である場合は，モノイダル圏の定義 (定義 2.a.12) は以下のように書き換えられる:

関手$\otimes$と集合$I$の構成

第1回の記事 [ 5 ] で導入したように，集合$X$と$Y$に対して，$X$と$Y$の積とよばれる集合$X\times Y$と写像$p_{X,Y}:X\times Y\to X$と$q_{X,Y}:X\times Y\to Y$が定まり，$(X\times Y,p_{X,Y},q_{X,Y})$は$\mathbf{\text{Set}}$での (定義 1.4 の意味での) 積をなすのであった (命題 1.6)．この積を用いて関手$\otimes$を定める．

$\otimes$は${\mathbf{\text{Set}}}^2$から$\mathbf{\text{Set}}$への関手である．

実際，集合$X$と$Y$を任意に取るとき，
$$(\otimes (1_{(X,Y)}))((x,y))=(\otimes ((1_X,1_Y)))((x,y))=(1_X(x),1_Y(y))=(x,y)=1_{\otimes (X,Y)}((x,y)),$$
が各$(x,y)\in X\times Y$に対して成り立つので，$\otimes (1_{(X,Y)})=1_{\otimes (X,Y)}$である．

また，写像$f^{\prime }:X^{\prime }\to X^{″}$と$g^{\prime }:Y^{\prime }\to Y^{″}$と$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$を任意に取るとき，
$$\begin{array}{rl}(\otimes ((f^{\prime },g^{\prime })(f,g)))((x,y))& =(\otimes ((f^{\prime }f,g^{\prime }g)))((x,y))=((f^{\prime }f)(x),(g^{\prime }g)(y))=(f^{\prime }(f(x)),g^{\prime }(g(y)))\\ & =(\otimes (f^{\prime },g^{\prime }))((f(x),g(y)))=(\otimes (f^{\prime },g^{\prime }))((\otimes (f,g))((x,y)))\\ & =(\otimes (f^{\prime },g^{\prime })\otimes (f,g))((x,y)),\end{array}$$
が各$(x,y)\in X\times Y$に対して成り立つので，$\otimes ((f^{\prime },g^{\prime })(f,g))=\otimes ((f^{\prime },g^{\prime }))\otimes ((f,g))$である．

以下では，集合$X$と$Y$に対して，集合$\otimes (X,Y)$を$X\otimes Y$で表し，写像$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$に対して，写像$\otimes (f,g)$を$f\otimes g$で表す．

写像$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$と$(x,y)\in X\otimes Y$に対して，$(f\otimes g)((x,y))=(\otimes (f,g))((x,y))=(f(x),g(y))$である．

また，$\otimes$が関手であることから，任意の集合$X$と$Y$に対して，
$$1_X\otimes 1_Y=\otimes (1_X,1_Y)=\otimes (1_{(X,Y)})=1_{\otimes (X,Y)}=1_{X\otimes Y},$$
であり，任意の写像$f^{\prime }:X^{\prime }\to X^{″}$と$g^{\prime }:Y^{\prime }\to Y^{″}$と$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$に対して，
$$(f^{\prime }f)\otimes (g^{\prime }g)=\otimes (f^{\prime }f,g^{\prime }g)=\otimes ((f^{\prime },g^{\prime })(f,g))=\otimes (f^{\prime },g^{\prime })\otimes (f,g)=(f^{\prime }\otimes g^{\prime })(f\otimes g),$$
である．

命題 1.3 より$\{\mathrm{\varnothing }\}$は$\mathbf{\text{Set}}$の終対象である．

全単射$a_{X,Y,Z}$と$l_X$と$r_X$の構成

集合$X$と$Y$と$Z$を取るとき，$a_{X,Y,Z}$は$(X\otimes Y)\otimes Z$から$X\otimes (Y\otimes Z)$への全単射である．

実際，任意の$((x,y),z)\in (X\otimes Y)\otimes Z$に対して，
$$\begin{array}{rl}(a_{X,Y,Z}^{\prime }{a}_{X,Y,Z})(((x,y),z))& =a_{X,Y,Z}^{\prime }(a_{X,Y,Z}(((x,y),z)))=a_{X,Y,Z}^{\prime }((x,(y,z)))\\ & =((x,y),z)=1_{(X\otimes Y)\otimes Z}(((x,y),z)),\end{array}$$
だから，$a_{X,Y,Z}^{\prime }{a}_{X,Y,Z}=1_{(X\otimes Y)\otimes Z}$であり，任意の$(x,(y,z))\in X\otimes (Y\otimes Z)$に対して，
$$\begin{array}{rl}(a_{X,Y,Z}{a}_{X,Y,Z}^{\prime })((x,(y,z)))& =a_{X,Y,Z}(a_{X,Y,Z}^{\prime }((x,(y,z))))=a_{X,Y,Z}(((x,y),z))\\ & =(x,(y,z))=1_{X\otimes (Y\otimes Z)}((x,(y,z))),\end{array}$$
だから，$a_{X,Y,Z}{a}_{X,Y,Z}^{\prime }=1_{X\otimes (Y\otimes Z)}$である．ゆえに，$a_{X,Y,Z}$は$(X\otimes Y)\otimes Z$から$X\otimes (Y\otimes Z)$への全単射であり，$a_{X,Y,Z}^{-1}=a_{X,Y,Z}^{\prime }$をみたす．

集合$X$を取るとき，$l_X$は$I\otimes X$から$X$への全単射であり，$r_X$は$X\otimes I$から$X$への全単射である．

実際，任意の$(\mathrm{\varnothing },x)\in I\otimes X$に対して，
$$(l_X^{\prime }{l}_X)((\mathrm{\varnothing },x))=l_X^{\prime }(l_X((\mathrm{\varnothing },x)))=l_X^{\prime }(x)=(\mathrm{\varnothing },x)=1_{I\otimes X}((\mathrm{\varnothing },x)),$$
だから，$l_X^{\prime }{l}_X=1_{I\otimes X}$であり，任意の$x\in X$に対して，
$$(l_X{l}_X^{\prime })(x)=l_X(l_X^{\prime }(x))=l_X((\mathrm{\varnothing },x))=x=1_X(x),$$
だから，$l_X{l}_X^{\prime }=1_X$である．ゆえに，$l_X$は$I\otimes X$から$X$への全単射であり，$l_X^{-1}=l_X^{\prime }$をみたす．

また，任意の$(x,\mathrm{\varnothing })\in X\otimes I$に対して，
$$(r_X^{\prime }{r}_X)((x,\mathrm{\varnothing }))=r_X^{\prime }(r_X((x,\mathrm{\varnothing })))=r_X^{\prime }(x)=(x,\mathrm{\varnothing })=1_{X\otimes I}((x,\mathrm{\varnothing })),$$
だから，$r_X^{\prime }{r}_X=1_{X\otimes I}$であり，任意の$x\in X$に対して，
$$(r_X{r}_X^{\prime })(x)=r_X(r_X^{\prime }(x))=r_X((x,\mathrm{\varnothing }))=x=1_X(x),$$
だから，$r_X{r}_X^{\prime }=1_X$である．ゆえに，$r_X$は$X\otimes I$から$X$への全単射であり，$r_X^{-1}=r_X^{\prime }$をみたす．

集合の圏はモノイダル圏をなす

この小節では，以下の命題を証明する:

$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$が命題 1, (1) をみたすこと

写像$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$と$h:Z\to Z^{\prime }$を任意に取る．任意の$((x,y),z)\in (X\otimes Y)\otimes Z$に対して，
$$\begin{array}{rl}(a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}((f\otimes g)\otimes h))(((x,y),z))& =a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}(((f\otimes g)\otimes h)(((x,y),z)))\\ & =a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}(((f\otimes g)((x,y)),h(z)))& (\text{定義 1})\\ & =a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}(((f(x),g(y)),h(z)))& (\text{定義 1})\\ & =(f(x),(g(y),h(z)))& (\text{定義 3})\\ & =(f(x),(g\otimes h)((y,z)))& (\text{定義 1})\\ & =(f\otimes (g\otimes h))((x,(y,z)))& (\text{定義 1})\\ & =(f\otimes (g\otimes h))(a_{X,Y,Z}(((x,y),z)))& (\text{定義 3})\\ & =(f\otimes (g\otimes h))a_{X,Y,Z})(((x,y),z)),\end{array}$$
だから，$a_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}((f\otimes g)\otimes h)=(f\otimes (g\otimes h))a_{X,Y,Z}$である:
$$(X\otimes Y)\otimes Z{a}_{X,Y,Z}(f\otimes g)\otimes hX\otimes (Y\otimes Z)f\otimes (g\otimes h)(X^{\prime }\otimes Y^{\prime })\otimes Z^{\prime }{a}_{X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }}{X}^{\prime }\otimes (Y^{\prime }\otimes Z^{\prime })$$

$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$が命題 1, (2) をみたすこと

写像$f:X\to Y$を任意に取る．任意の$(\mathrm{\varnothing },x)\in I\otimes X$に対して，
$$\begin{array}{rl}(l_Y(1_I\otimes f))((\mathrm{\varnothing },x))& =l_Y((1_I\otimes f)((\mathrm{\varnothing },x)))\\ & =l_Y((1_I(\mathrm{\varnothing }),f(x)))& (\text{定義 1})\\ & =l_Y((\mathrm{\varnothing },f(x)))\\ & =f(x)& (\text{定義 4, (1)})\\ & =f(l_X((\mathrm{\varnothing },x)))& (\text{定義 4, (1)})\\ & =(f{l}_X)((\mathrm{\varnothing },x)),\end{array}$$
だから，$l_Y(1_I\otimes f)=f{l}_X$である:
$$I\otimes X{l}_X{1}_I\otimes fXfI\otimes Y{l}_{Y}Y$$

$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$が命題 1, (3) をみたすこと

写像$f:X\to Y$を任意に取る．任意の$(x,\mathrm{\varnothing })\in X\otimes I$に対して，
$$\begin{array}{rl}(r_Y(f\otimes 1_I))((x,\mathrm{\varnothing }))& =r_Y((f\otimes 1_I)((x,\mathrm{\varnothing })))\\ & =r_Y((f(x),1_I(\mathrm{\varnothing })))& (\text{定義 1})\\ & =r_Y((f(x),\mathrm{\varnothing }))\\ & =f(x)& (\text{定義 4, (2)})\\ & =f(r_X((x,\mathrm{\varnothing })))& (\text{定義 4, (2)})\\ & =(f{r}_X)((x,\mathrm{\varnothing })),\end{array}$$
だから，$r_Y(f\otimes 1_I)=f{r}_X$である:
$$X\otimes I{r}_{X}f\otimes 1_{I}XfY\otimes I{r}_{Y}Y$$

$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$が命題 1, (4) をみたすこと

集合$X$と$Y$と$Z$と$W$を任意に取る．任意の$(((w,x),y),z)\in ((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z$に対して，
$$\begin{array}{rl}& ((1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}(a_{W,X,Y}\otimes 1_Z))((((w,x),y),z))\\ & =(1_W\otimes a_{X,Y,Z})(a_{W,X\otimes Y,Z}((a_{W,X,Y}\otimes 1_Z)((((w,x),y),z))))\\ & =(1_W\otimes a_{X,Y,Z})(a_{W,X\otimes Y,Z}((a_{W,X,Y}(((w,x),y)),1_Z(z))))& (\text{定義 1})\\ & =(1_W\otimes a_{X,Y,Z})(a_{W,X\otimes Y,Z}((a_{W,X,Y}(((w,x),y)),z)))\\ & =(1_W\otimes a_{X,Y,Z})(a_{W,X\otimes Y,Z}(((w,(x,y)),z)))& (\text{定義 3})\\ & =(1_W\otimes a_{X,Y,Z})((w,((x,y),z)))& (\text{定義 3})\\ & =(1_W(w),a_{X,Y,Z}(((x,y),z)))& (\text{定義 1})\\ & =(w,a_{X,Y,Z}(((x,y),z)))\\ & =(w,(x,(y,z)))& (\text{定義 3})\\ & =a_{W,X,Y\otimes Z}((w,x),(y,z))& (\text{定義 3})\\ & =a_{W,X,Y\otimes Z}(a_{W\otimes X,Y,Z}((((w,x),y),z)))& (\text{定義 3})\\ & =(a_{W,X,Y\otimes Z}{a}_{W\otimes X,Y,Z})((((w,x),y),z)),\end{array}$$
だから，等式
$$(1_W\otimes a_{X,Y,Z})a_{W,X\otimes Y,Z}(a_{W,X,Y}\otimes 1_Z)=a_{W,X,Y\otimes Z}{a}_{W\otimes X,Y,Z}$$
が成立する．すなわち，以下の図式は可換である:
$$(W\otimes X)\otimes (Y\otimes Z)a_{W,X,Y\otimes Z}((W\otimes X)\otimes Y)\otimes Z{a}_{W,X,Y}\otimes 1_Z{a}_{W\otimes X,Y,Z}W\otimes (X\otimes (Y\otimes Z))(W\otimes (X\otimes Y))\otimes Z{a}_{W,X\otimes Y,Z}W\otimes ((X\otimes Y)\otimes Z)1_W\otimes a_{X,Y,Z}$$

$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$が命題 1, (5) をみたすこと

集合$X$と$Y$を任意に取る．定義 2 より$I=\{\mathrm{\varnothing }\}$だから，
$$\begin{array}{rl}(X\otimes I)\otimes Y& =\{((x,i),y):x\in X,i\in I,y\in Y\}\\ & =\{((x,i),y):x\in X,i\in \{\mathrm{\varnothing }\},y\in Y\}=\{((x,\mathrm{\varnothing }),y):x\in X,y\in Y\},\end{array}$$
である．任意の$((x,\mathrm{\varnothing }),y)\in (X\otimes I)\otimes Y$に対して，
$$\begin{array}{rl}(r_X\otimes 1_Y)(((x,\mathrm{\varnothing }),y))& =(r_X((x,\mathrm{\varnothing })),1_Y(y))\\ & =(r_X((x,\mathrm{\varnothing })),y)\\ & =(x,y)& (\text{定義 4, (2)})\\ & =(1_X(x),y)\\ & =(1_X(x),l_Y((\mathrm{\varnothing },y)))& (\text{定義 4, (1)})\\ & =(1_X\otimes l_Y)((x,(\mathrm{\varnothing },y)))& (\text{定義 1})\\ & =(1_X\otimes l_Y)(a_{X,I,Y}(((x,\mathrm{\varnothing }),y)))& (\text{定義 3})\\ & =((1_X\otimes l_Y)a_{X,I,Y})(((x,\mathrm{\varnothing }),y)),\end{array}$$
だから，$r_X\otimes 1_Y=(1_X\otimes l_Y)a_{X,I,Y}$である:
$$(X\otimes I)\otimes Y{a}_{X,I,Y}{r}_X\otimes 1_{Y}X\otimes (I\otimes Y)1_X\otimes l_{Y}X\otimes Y$$

従って，命題 1 より$(\mathbf{\text{Set}},\otimes ,I,a,l,r)$がモノイダル圏であることが示された．以下では，このモノイダル圏を$\mathbf{\text{Set}}$と略記する．

集合の圏は対称モノイダル圏である

第1回の記事で，積と終対象をもつ圏が自然なモノイダル構造をもつことについて言及したが，実は命題 2 で与えた$\mathbf{\text{Set}}$上のモノイダル構造は，$\mathbf{\text{Set}}$の積と終対象から自然に定まるモノイダル構造に一致している．

積と終対象をもつ圏$\mathcal{C}$に対して自然に定まるモノイダル構造は「対称性」をもつことが知られている．本節では，$\mathbf{\text{Set}}$上のモノイダル構造$(\otimes ,I,a,l,r)$が「対称性」をもつことを示す．

対称モノイダル圏の定義

対称モノイダル圏とは，対称を備えたモノイダル圏のことである:

集合の圏は対称モノイダル圏である

以下では$c$が$\mathbf{\text{Set}}$上の対称性であることを示すことで，命題 3 を証明する．

$c$が定義 6, (1) をみたすこと

写像$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$を任意に取る．任意の$(x,y)\in X\otimes Y$に対して，
$$\begin{array}{rl}(c_{X^{\prime },Y^{\prime }}(f\otimes g))((x,y))& =c_{X^{\prime },Y^{\prime }}((f\otimes g)((x,y)))\\ & =c_{X^{\prime },Y^{\prime }}((f(x),g(y)))& (\text{定義 1})\\ & =(g(y),f(x))& (\text{定義 8})\\ & =(g\otimes f)((y,x))& (\text{定義 1})\\ & =(g\otimes f)(c_{X,Y}((x,y)))& (\text{定義 8})\\ & =((g\otimes f)c_{X,Y})((x,y)),\end{array}$$
だから，$c_{X^{\prime },Y^{\prime }}(f\otimes g)=(g\otimes f)c_{X,Y}$である:
$$X\otimes Y{c}_{X,Y}f\otimes gY\otimes Xg\otimes f{X}^{\prime }\otimes Y^{\prime }{c}_{X^{\prime },Y^{\prime }}{Y}^{\prime }\otimes X^{\prime }$$

$c$が定義 6, (2) をみたすこと

集合$X$と$Y$を任意に取る．任意の$(x,y)\in X\otimes Y$に対して，
$$\begin{array}{rl}(c_{Y,X}{c}_{X,Y})((x,y))& =c_{Y,X}(c_{X,Y}((x,y)))\\ & =c_{Y,X}((y,x))& (\text{定義 8})\\ & =(x,y)& (\text{定義 8})\\ & =1_{X\otimes Y}(x,y),\end{array}$$
だから，$c_{Y,X}{c}_{X,Y}=1_{X\otimes Y}$である:
$$X\otimes Y{c}_{X,Y}{1}_{X\otimes Y}Y\otimes X{c}_{Y,X}X\otimes Y$$

$c$が定義 6, (3) をみたすこと

集合$X$と$Y$と$Z$を任意に取る．任意の$((x,y),z)\in (X\otimes Y)\otimes Z$に対して，
$$\begin{array}{rl}& ((1_Y\otimes c_{X,Z})a_{Y,X,Z}(c_{X,Y}\otimes 1_Z))(((x,y),z))\\ & =(1_Y\otimes c_{X,Z})(a_{Y,X,Z}(c_{X,Y}\otimes 1_Z)(((x,y),z)))\\ & =(1_Y\otimes c_{X,Z})(a_{Y,X,Z}((c_{X,Y}((x,y)),1_Z(z))))& (\text{定義 1})\\ & =(1_Y\otimes c_{X,Z})(a_{Y,X,Z}((c_{X,Y}((x,y)),z)))\\ & =(1_Y\otimes c_{X,Z})(a_{Y,X,Z}(((y,x),z)))& (\text{定義 8})\\ & =(1_Y\otimes c_{X,Z})((y,(x,z)))& (\text{定義 3})\\ & =(1_Y(y),c_{X,Z}((x,z)))& (\text{定義 1})\\ & =(y,c_{X,Z}((x,z)))\\ & =(y,(z,x))& (\text{定義 8})\\ & =a_{Y,Z,X}(((y,z),x))& (\text{定義 3})\\ & =a_{Y,Z,X}(c_{X,Y\otimes Z}((x,(y,z))))& (\text{定義 8})\\ & =a_{Y,Z,X}(c_{X,Y\otimes Z}(a_{X,Y,Z}(((x,y),z))))& (\text{定義 3})\\ & =(a_{Y,Z,X}{c}_{X,Y\otimes Z}{a}_{X,Y,Z})(((x,y),z)),\end{array}$$
だから，$(1_Y\otimes c_{X,Z})a_{Y,X,Z}(c_{X,Y}\otimes 1_Z)=a_{Y,Z,X}{c}_{X,Y\otimes Z}{a}_{X,Y,Z}$である:
$$(X\otimes Y)\otimes Z{a}_{X,Y,Z}{c}_{X,Y}\otimes 1_{Z}X\otimes (Y\otimes Z)c_{X,Y\otimes Z}(Y\otimes Z)\otimes X{a}_{Y,Z,X}(Y\otimes X)\otimes Z{a}_{Y,X,Z}Y\otimes (X\otimes Z)1_Y\otimes c_{X,Z}Y\otimes (Z\otimes X)$$

$c$が定義 6, (4) をみたすこと

集合$X$を任意に取る．任意の$(\mathrm{\varnothing },x)\in I\otimes X$に対して，
$$\begin{array}{rlr}{l}_X((\mathrm{\varnothing },x))& =x& (\text{定義 4, (1)})\\ & =r_X((x,\mathrm{\varnothing }))& (\text{定義 4, (2)})\\ & =r_X(c_{I,X}((\mathrm{\varnothing },x)))& (\text{定義 8})\\ & =(r_X{c}_{I,X})((\mathrm{\varnothing },x)),\end{array}$$
だから，$l_X=r_X{c}_{I,X}$である:
$$I\otimes X{c}_{I,X}{l}_{X}X\otimes I{r}_{X}X$$

従って，$c$が$\mathbf{\text{Set}}$上の対称性であり，$(\mathbf{\text{Set}},c)$が対称モノイダル圏であることが示された．以下では，この対称モノイダル圏を$\mathbf{\text{Set}}$と略記する．

集合の圏は対称モノイダル閉圏である

ここでは，第2回の目標であった，集合の圏が「対称モノイダル閉圏」をなすことを証明する．対称モノイダル閉圏とは，対称モノイダル圏かつ「閉モノイダル圏」であるようなモノイダル圏のことを指す．

閉モノイダル圏を定義する前に，随伴について述べておく．

随伴

$F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$を関手として，$\alpha :F\to G$を自然変換として，$H:\mathcal{D}\to {\mathcal{D}}^{\prime }$と$E:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$を関手とする．

このとき，$H\alpha$は$HF$から$HG$への自然変換であり，$\alpha E$は$FE$から$GE$への自然変換である．

実際，$\mathcal{C}$での射$f:X\to Y$を任意に取るとき，$\alpha :F\to G$が自然変換であることから${\alpha }_{Y}F(f)=G(f){\alpha }_X$であり，$H:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$が関手であることから$H({\alpha }_Y)H(F(f))=H({\alpha }_{Y}F(f))$かつ$H(G(f){\alpha }_X)=H(G(f))H({\alpha }_X)$であり，

$$\begin{array}{rl}(H\alpha {)}_Y(HF)(f)& =H({\alpha }_Y)H(F(f))=H({\alpha }_{Y}F(f))=H(G(f){\alpha }_X)\\ & =H(G(f))H({\alpha }_X)=H(G(f))(H\alpha {)}_X=(HG)(f)(H\alpha {)}_X,\end{array}$$
である:
$$(HF)X(H\alpha {)}_X(HF)(f)(HG)X(HG)(f)(HF)Y(H\alpha {)}_Y(HG)Y$$

また，${\mathcal{C}}^{\prime }$での射$f^{\prime }:X^{\prime }\to Y^{\prime }$を任意に取るとき，$\alpha :F\to G$が自然変換であることから${\alpha }_{E{Y}^{\prime }}F(E(f^{\prime }))=G(E(f^{\prime })){\alpha }_{E{X}^{\prime }}$であり，
$$\begin{array}{rl}(\alpha E{)}_{Y^{\prime }}(FE)(f^{\prime })& =(\alpha E{)}_{Y^{\prime }}F(E(f^{\prime }))={\alpha }_{E{Y}^{\prime }}F(E(f^{\prime }))\\ & =G(E(f^{\prime })){\alpha }_{E{X}^{\prime }}=G(E(f^{\prime }))(\alpha E{)}_{X^{\prime }}=(GE)(f^{\prime })(\alpha E{)}_{X^{\prime }},\end{array}$$
である:
$$(FE)X^{\prime }(\alpha E{)}_{X^{\prime }}(FE)(f^{\prime })(GE)X^{\prime }(GE)(f^{\prime })(FE)Y^{\prime }(\alpha E{)}_{Y^{\prime }}(GE)Y^{\prime }$$

随伴の定義

随伴の定義 (定義 10) の解説

$F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$を関手とする．このとき，$\mathcal{C}$から$\mathcal{C}$への関手$GF$と$\mathcal{D}$から$\mathcal{D}$への関手$FG$が定まる．$\eta$を$1_{\mathcal{C}}X$から$(GF)X$への$\mathcal{C}$での射${\eta }_X$ ($X\in \mathcal{C}$) の族$\{{\eta }_X:1_{\mathcal{C}}X\to (GF)X{\}}_{X\in \mathcal{C}}$として，$ϵ$を$(FG)Z$から$1_{\mathcal{D}}Z$ への$\mathcal{D}$での射${ϵ}_Z$ ($Z\in \mathcal{D}$) の族$\{{ϵ}_Z:(FG)Z\to 1_{\mathcal{D}}Z{\}}_{Z\in \mathcal{D}}$とする．

$X\in \mathcal{C}$に対して，$1_{\mathcal{C}}X=X$かつ$(GF)X=G(FX)$だから，${\eta }_X$は$X$から$G(FX)$への$\mathcal{C}$での射である．$\eta$が$1_{\mathcal{C}}$から$GF$への自然変換であるとは，$\mathcal{C}$での任意の射$f:X\to X^{\prime }$に対して，${\eta }_{X^{\prime }}{1}_{\mathcal{C}}(f)=(GF)(f){\eta }_X$であることである．$\mathcal{C}$での射$f:X\to X^{\prime }$に対して，$1_{\mathcal{C}}(f)=f$かつ$(GF)(f)=G(F(f))$だから，これは，$\mathcal{C}$での任意の射$f:X\to X^{\prime }$に対して，${\eta }_{X^{\prime }}f=G(F(f)){\eta }_X$であることと同値である:
$$X{\eta }_{X}fG(FX)G(F(f))X^{\prime }{\eta }_{X^{\prime }}G(F{X}^{\prime })$$

$Z\in \mathcal{D}$に対して，$1_{\mathcal{D}}Z=Z$かつ$(FG)Z=F(GZ)$だから，${ϵ}_Z$は$F(GZ)$から$Z$への$\mathcal{D}$での射である．$ϵ$が$FG$から$1_{\mathcal{D}}$への自然変換であるとは，$\mathcal{D}$での任意の射$h:Z\to Z^{\prime }$に対して，${ϵ}_{Z^{\prime }}(FG)(h)=1_{\mathcal{D}}(h){ϵ}_Z$であることである．$\mathcal{D}$での射$h:Z\to Z^{\prime }$に対して，$1_{\mathcal{D}}(h)=h$かつ$(FG)(h)=F(G(h))$だから，これは，$\mathcal{D}$での任意の射$h:Z\to Z^{\prime }$に対して，${ϵ}_{Z^{\prime }}F(G(h))=h{ϵ}_Z$であることと同値である:
$$F(GZ){ϵ}_{Z}F(G(h))ZhF(G{Z}^{\prime }){ϵ}_{Z^{\prime }}{Z}^{\prime }$$

以下では，$\eta :1_{\mathcal{C}}\to GF$と$ϵ:FG\to 1_{\mathcal{D}}$を自然変換とする．

このとき，$(FG)F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$から$1_{\mathcal{D}}F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$への自然変換$ϵF$が定まり，$F{1}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$から$F(GF):\mathcal{C}\to \mathcal{D}$への自然変換$F\eta$が定まる．命題 2.a.1 より$F{1}_{\mathcal{C}}=F$かつ$1_{\mathcal{D}}F=F$であり，命題 2.a.2 より$F(GF)=(FG)F=FGF$だから，$ϵF$と$F\eta$の垂直合成$(ϵF)\cdot (F\eta )$が$F$から$F$への自然変換として定まる．
$(ϵF)\cdot (F\eta )=1_F$であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$$FF\eta 1_{F}FGFϵFF$$

一方で，$G(FG):\mathcal{D}\to \mathcal{C}$から$G{1}_{\mathcal{D}}:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$への自然変換$Gϵ$が定まり，$1_{\mathcal{C}}G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$から$(GF)G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$への自然変換$\eta G$が定まる．命題 2.a.1 より$G{1}_{\mathcal{D}}=G$かつ$1_{\mathcal{C}}G=G$であり，命題 2.a.2 より$(GF)G=G(FG)=GFG$だから，$Gϵ$と$\eta G$の垂直合成$(Gϵ)\cdot (\eta G)$が$G$から$G$への自然変換として定まる．
$(Gϵ)\cdot (\eta G)=1_G$であるということは，以下の図式が可換であるということを意味している:
$$G\eta G{1}_{G}GFGGϵG$$

各$X\in \mathcal{C}$に対して，定義 10 より$(ϵF{)}_X(F\eta {)}_X={ϵ}_{FX}(F\eta {)}_X={ϵ}_{FX}F({\eta }_X)$であり，$(1_F{)}_X=1_{FX}$だから，$(ϵF)\cdot (F\eta )=1_F$であるということは，補題 4 より任意の$X\in \mathcal{C}$に対して${ϵ}_{FX}F({\eta }_X)=1_{FX}$が成り立つことと同値である:
$$FXF({\eta }_X)1_{FX}(FGF)X{ϵ}_{FX}FX$$

また，各$Z\in \mathcal{D}$に対して，定義 10 より$(Gϵ{)}_Z(\eta G{)}_Z=G({ϵ}_Z){\eta }_{GZ}$であり，$(1_G{)}_Z=1_{GZ}$だから，$(Gϵ)\cdot (\eta G)=1_G$であるということは，補題 4 より任意の$Z\in \mathcal{D}$に対して$G({ϵ}_Z){\eta }_{GZ}=1_{GZ}$が成り立つことと同値である:
$$GZ{\eta }_{GZ}{1}_{GZ}(GFG)ZG({ϵ}_Z)GZ$$

以上の議論から，随伴の定義 (定義 10) は以下のように書き換えられる:

閉モノイダル圏の定義

集合の圏は対称モノイダル閉圏である

集合$Y$を任意に取る．

$G^Y$は$\mathbf{\text{Set}}$から$\mathbf{\text{Set}}$への関手である．

実際，集合$Z$を任意に取るとき，任意の$g\in (G^Y)X$に対して，$((G^Y)(1_Z))(g)=1_{Z}g=g=1_{\mathbf{\text{Set}}(Y,Z)}(g)$だから，$(G^Y)(1_Z)=1_{\mathbf{\text{Set}}(Y,Z)}$である．

また，写像$h^{\prime }:Z^{\prime }\to Z^{″}$と$h:Z\to Z^{\prime }$を任意に取るとき，任意の$g\in (G^Y)Z$に対して，
$$\begin{array}{rl}((G^Y)(h^{\prime }h))(g)& =(h^{\prime }h)g=h^{\prime }(hg)=((G^Y)(h^{\prime }))(hg)\\ & =((G^Y)(h^{\prime }))(((G^Y)(h))(g))=((G^Y)(h^{\prime })(G^Y)(h))(g),\end{array}$$
だから，$(G^Y)(h^{\prime }h)=(G^Y)(h^{\prime })(G^Y)(h)$である．

$({\eta }^Y,{ϵ}^Y)$が命題 5, (1) をみたすこと

写像$f:X\to X^{\prime }$を任意に取る．任意の$x\in X$と$y\in Y$に対して，
$$\begin{array}{rl}& ((({\eta }^Y{)}_{X^{\prime }}f)(x))(y)\\ & =(({\eta }^Y{)}_{X^{\prime }}(f(x)))(y)\\ & =(f(x),y)& (\text{定義 14, (1)})\\ & =(f(x),1_Y(y))\\ & =(f\otimes 1_Y)((x,y))& (\text{定義 1})\\ & =(\otimes ((f,1_Y)))((x,y))\\ & =(({\otimes }_Y)(f))((x,y))& (\text{定義 2.a.11, (2)})\\ & =(({\otimes }_Y)(f))((({\eta }^Y{)}_X(x))(y))& (\text{定義 14, (1)})\\ & =(({\otimes }_Y)(f)({\eta }^Y{)}_X(x))(y)\\ & =((G^Y)(({\otimes }_Y)(f))(({\eta }^Y{)}_X(x)))(y)& (\text{定義 13})\\ & =(((G^Y)(({\otimes }_Y)(f))({\eta }^Y{)}_X)(x))(y),\end{array}$$
だから，$({\eta }^Y{)}_{X^{\prime }}f=(G^Y)(({\otimes }_Y)(f))({\eta }^Y{)}_X$である:
$$X({\eta }^Y{)}_{X}f(G^Y)(({\otimes }_Y)X)(G^Y)(({\otimes }_Y)(f))X^{\prime }({\eta }^Y{)}_{X^{\prime }}(G^Y)(({\otimes }_Y)X^{\prime })$$

$({\eta }^Y,{ϵ}^Y)$が命題 5, (2) をみたすこと

写像$h:Z\to Z^{\prime }$を任意に取る．任意の$(g,y)\in ({\otimes }_Y)((G^Y)Z)$に対して，
$$\begin{array}{rl}& (({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}({\otimes }_Y)((G^Y)(h)))((g,y))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}((({\otimes }_Y)((G^Y)(h)))((g,y)))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}((\otimes (((G^Y)(h),1_Y)))((g,y)))& (\text{定義 2.a.11, (2)})\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}(((G^Y)(h)\otimes 1_Y)((g,y)))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}((((G^Y)(h))(g),1_Y(y)))& (\text{定義 1})\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}((((G^Y)(h))(g),y))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}((hg,y))& (\text{定義 13})\\ & =(hg)(y)& (\text{定義 14, (2)})\\ & =h(g(y))\\ & =h(({ϵ}^Y{)}_Z((g,y)))& (\text{定義 14, (2)})\\ & =(h({ϵ}^Y{)}_Z)((g,y)),\end{array}$$
だから，$({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}({\otimes }_Y)((G^Y)(h))=h({ϵ}^Y{)}_Z$である:
$$({\otimes }_Y)((G^Y)Z)({ϵ}^Y{)}_Z({\otimes }_Y)((G^Y)(h))Zh({\otimes }_Y)((G^Y)Z^{\prime })({ϵ}^Y{)}_{Z^{\prime }}{Z}^{\prime }$$

$({\eta }^Y,{ϵ}^Y)$が命題 5, (3) をみたすこと

集合$X$を任意に取る．任意の$(x,y)\in ({\otimes }_Y)X$に対して，
$$\begin{array}{rl}(({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}({\otimes }_Y)(({\eta }^Y{)}_X))((x,y))& =({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}((({\otimes }_Y)(({\eta }^Y{)}_X))((x,y)))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}((\otimes ((({\eta }^Y{)}_X,1_Y)))((x,y)))& (\text{定義 2.a.11, (2)})\\ & =({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}((({\eta }^Y{)}_X\otimes 1_Y)((x,y)))\\ & =({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}((({\eta }^Y{)}_X(x),1_Y(y)))& (\text{定義 1})\\ & =({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}((({\eta }^Y{)}_X(x),y))\\ & =(({\eta }^Y{)}_X(x))(y)& (\text{定義 14, (2)})\\ & =(x,y)& (\text{定義 14, (1)})\\ & =1_{({\otimes }_Y)X}((x,y)),\end{array}$$
だから，$({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}({\otimes }_Y)(({\eta }^Y{)}_X)=1_{({\otimes }_Y)X}$である:
$$({\otimes }_Y)X({\otimes }_Y)(({\eta }^Y{)}_X)1_{({\otimes }_Y)X}(({\otimes }_Y)(G^Y)({\otimes }_Y))X({ϵ}^Y{)}_{({\otimes }_Y)X}({\otimes }_Y)X$$

$({\eta }^Y,{ϵ}^Y)$が命題 5, (4) をみたすこと

集合$Z$を任意に取る．任意の$g\in (G^Y)(Z)$と$y\in Y$に対して，
$$\begin{array}{rl}(((G^Y)(({ϵ}^Y{)}_Z)({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z})(g))(y)& =(((G^Y)(({ϵ}^Y{)}_Z))(({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z}(g)))(y)\\ & =(({ϵ}^Y{)}_Z({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z}(g))(y)& (\text{定義 13})\\ & =({ϵ}^Y{)}_Z((({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z}(g))(y))\\ & =({ϵ}^Y{)}_Z((g,y))& (\text{定義 14, (1)})\\ & =g(y)& (\text{定義 14, (2)})\\ & =(1_{(G^Y)Z}(g))(y),\end{array}$$
だから，$(G^Y)(({ϵ}^Y{)}_Z)({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z}=1_{(G^Y)Z}$である:
$$(G^Y)Z({\eta }^Y{)}_{(G^Y)Z}{1}_{(G^Y)Z}((G^Y)({\otimes }_Y)(G^Y))Z(G^Y)(({ϵ}^Y{)}_Z)(G^Y)Z$$

従って，命題 5 より，$({\eta }^Y,{ϵ}^Y)$が${\otimes }_Y$と$G^Y$の間の随伴であることが示されたので，補題 6 の証明が完了した．

まとめ

この記事では，$\mathbf{\text{Set}}$がモノイダル圏であることを示して，対称モノイダル圏を定義して，$\mathbf{\text{Set}}$が対称モノイダル圏であることを示して，随伴とそれに関連する概念を定義して，閉モノイダル圏及び対称モノイダル閉圏を定義して，$\mathbf{\text{Set}}$が対称モノイダル圏であることを示した．
次の記事では，モノイダル圏$\mathcal{V}$に対して「$\mathcal{V}$-圏」や「$\mathcal{V}$-関手」などを定義する．豊穣圏の理論は非常に複雑だが，豊穣圏自体は通常の圏の自然な拡張であり，$\mathbf{\text{Set}}$上の豊穣圏ともよばれる「$\mathbf{\text{Set}}$-圏」は通常の圏と対等な概念である．

追記

• 2022/2/24 11:28 定義 9 と定義 10 が重複していたので，定義 10 を削除した．
• 2022/2/26 14:59 参考文献に第3回の記事 [ 7 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:04 参考文献に第4回 (前半) の記事 [ 8 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:04 参考文献に第4回 (後半) (1) の記事 [ 9 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:37 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 10 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:37 §1 の一部を削除した．