豊穣圏の導入 第4回: Underlying Category について (前半)

前回の記事 [ 8 ] では，モノイダル圏$\mathcal{V}$に対して$\mathcal{V}$-圏や$\mathcal{V}$-関手を定義して，基本的な$\mathcal{V}$-関手を構成して，$\mathcal{V}$-関手の性質を述べた．
この記事では，モノイダル圏$\mathcal{V}$と$\mathcal{W}$に対して，$\mathcal{V}$から$\mathcal{W}$への lax モノイダル関手が "$\mathcal{V}$-圏を$\mathcal{W}$-圏に写す" ことを示す．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは，定義 5 を用いており，これを定義 2.a.5 で表している．

第3回の記事 [ 8 ] からは，定義 2 を用いており，これを定義 3.2 で表している．

$\mathcal{V}$-圏の underlying category について

$\mathcal{V}$をモノイダル圏とする．第3回の記事 [ 8 ] では，圏を自然に拡張した概念として$\mathcal{V}$-圏が定義された．

一方で，$\mathcal{V}$-圏$\mathcal{A}$に対して，$\mathcal{A}$の underlying category とよばれる圏がある意味で自然に構成される．ここでは，[ 3 , Tag 00BL ] を参考に underlying category の構成について述べる．

Lax モノイダル関手

Lax モノイダル関手の定義

定義 7 の解説

$\mathcal{V}$と$\mathcal{W}$をモノイダル圏として，$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$を関手とする．

$\otimes$は${\mathcal{W}}^2$から$\mathcal{W}$への関手であり，$F$は$\mathcal{V}$から$\mathcal{W}$への関手だから，$F\times F$は${\mathcal{V}}^2$から${\mathcal{W}}^2$への関手であり，$\otimes$と$F\times F$の合成$\otimes (F\times F)$が${\mathcal{V}}^2$から$\mathcal{W}$への関手として定まる．

また，$F$は$\mathcal{V}$から$\mathcal{W}$への関手であり，$\otimes$は${\mathcal{V}}^2$から$\mathcal{V}$への関手であり，$F$と$\otimes$の合成$F\otimes$が${\mathcal{V}}^2$から$\mathcal{W}$への関手として定まる．

$X,Y\in \mathcal{V}$に対して，
$$\begin{array}{rl}(\otimes (F\times F))(X,Y)& =\otimes ((F\times F)(X,Y))\\ & =\otimes (FX,FY)& (\text{定義 2.a.5})\\ & =FX\otimes FY,\end{array}$$
かつ$(F\otimes )(X,Y)=F(\otimes (X,Y))=F(X\otimes Y)$であり，$\mathcal{V}$での射$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$に対して，
$$\begin{array}{rl}(\otimes (F\times F))(f,g)& =\otimes ((F\times F)(f,g))\\ & =\otimes (F(f),F(g))& (\text{定義 2.a.5})\\ & =F(f)\otimes F(g),\end{array}$$
かつ$(F\otimes )((f,g))=F(\otimes ((f,g)))=F(f\otimes g)$だから，$\mu$が$\otimes (F\times F)$から$F\otimes$への自然変換であるということは，$\mu$が$FX\otimes FY$から$F(X\otimes Y)$への$\mathcal{W}$での射${\mu }_{X,Y}$ ($X,Y\in \mathcal{V}$) の族$\{{\mu }_{X,Y}:FX\otimes FY\to F(X\otimes Y){\}}_{X,Y\in \mathcal{V}}$であり，$\mathcal{V}$での任意の射$f:X\to X^{\prime }$と$g:Y\to Y^{\prime }$に対して，${\mu }_{X^{\prime },Y^{\prime }}(F(f)\otimes F(g))=F(f\otimes g){\mu }_{X,Y}$が成立するということである:
$$FX\otimes FY{\mu }_{X,Y}F(f)\otimes F(g)F(X\otimes Y)F(f\otimes g)F{X}^{\prime }\otimes F{Y}^{\prime }{\mu }_{X^{\prime },Y^{\prime }}F(X^{\prime }\otimes Y^{\prime })$$

従って，以下が成り立つ:

$\mathcal{W}$-圏$F(\mathcal{A})$の構成

以下では，Lax モノイダル関手$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$と$\mathcal{V}$-圏$\mathcal{A}$を固定して，$F(\mathcal{A})$が$\mathcal{W}$-圏をなすことを証明する．

簡単のために，$F(\mathcal{A})$を${\mathcal{A}}^{\prime }$で表し，$A,B\in \mathrm{ob}\mathcal{A}$に対して$\mathcal{A}(A,B)$を${\mathcal{A}}_{A,B}$で表し，$A,B\in \mathrm{ob}{\mathcal{A}}^{\prime }=\mathrm{ob}\mathcal{A}$に対して${\mathcal{A}}^{\prime }(A,B)$を${\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }$で表す．$\mathcal{A}:=(\mathrm{ob}\mathcal{A},\{{\mathcal{A}}_{A,B}{\}}_{A,B\in \mathcal{A}},\{M_{A,B,C}{\}}_{A,B,C\in \mathcal{A}},\{j_A{\}}_{A\in \mathcal{A}})$及び${\mathcal{A}}^{\prime }:=(\mathrm{ob}{\mathcal{A}}^{\prime },\{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{\}}_{A,B\in \mathcal{A}},\{M_{A,B,C}^{\prime }{\}}_{A,B,C\in \mathcal{A}},\{j_A^{\prime }{\}}_{A\in \mathcal{A}})$と表す．

このとき，$\mathrm{ob}{\mathcal{A}}^{\prime }=\mathrm{ob}\mathcal{A}$であり，${\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }=F({\mathcal{A}}_{A,B})$ ($A,B\in \mathcal{A}$) であり，$M_{A,B,C}^{\prime }=F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}$ ($A,B,C\in \mathcal{A}$) であり:
$${\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{M}_{A,B,C}^{\prime }F({\mathcal{A}}_{B,C})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})F(M_{A,B,C}){\mathcal{A}}_{A,C}^{\prime }F({\mathcal{A}}_{A,C})$$

$j_A^{\prime }:=F(j_A)e$ ($A\in \mathcal{A}$) である:
$$Ie{j}_A^{\prime }FIF(j_A){\mathcal{A}}_{A,A}^{\prime }F({\mathcal{A}}_{A,A})$$

${\mathcal{A}}^{\prime }$が定義 3.2, (1) をみたすこと

$A,B\in \mathcal{A}$を任意に取る．

まず，$l_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}=M_{A,B,B}^{\prime }(j_B^{\prime }\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }})$であることを示す．

$\otimes :{\mathcal{W}}^2\to \mathcal{W}$は関手だから，第2回 (後半) の記事 [ 7 ] の §2.2 で述べたように，$(F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})=(F(j_B)e)\otimes (F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})$である．

$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は lax モノイダル関手だから，以下が成り立つ:

• 定義 1 より$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は関手であり，
  $F(M_{A,B,B}(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))=F(M_{A,B,B})F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$かつ$F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}$である．

• 命題 2, (1) より$F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))$である:
  $$FI\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B})){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})F(I\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})F({\mathcal{A}}_{B,B})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{B,B}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})$$

• 命題 2, (3) より$l_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(l_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})$である:
  $$I\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B})e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}{l}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}FI\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{A,B})F(I\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})F(l_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$$

また，$\mathcal{A}$は$\mathcal{V}$-圏だから，定義 3.2, (1) より$l_{{\mathcal{A}}_{A,B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$である:
$${\mathcal{A}}_{B,B}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}{M}_{A,B,B}{\mathcal{A}}_{A,B}I\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}{j}_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}{l}_{{\mathcal{A}}_{A,B}}$$

従って，

• $(F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})=(F(j_B)e)\otimes (F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})$，
• $F(M_{A,B,B}(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))=F(M_{A,B,B})F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$，
• $F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}$，
• $F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))$，
• $l_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(l_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})$，
• $l_{{\mathcal{A}}_{A,B}}=M_{A,B,B}(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$，

が成り立つので，
$$\begin{array}{rl}& l_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\\ & =l_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(l_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,B}(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,B})F(j_B\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{I,{\mathcal{A}}_{A,B}}(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(j_B)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))(e\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(j_B)e)\otimes (F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}))\\ & =F(M_{A,B,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(j_B)e)\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))\\ & =F(M_{A,B,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(j_B)e)\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,B},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(j_B)e)\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }})\\ & =M_{A,B,B}^{\prime }((F(j_B)e)\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }})\\ & =M_{A,B,B}^{\prime }(j_B^{\prime }\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}),\end{array}$$
である:
$${\mathcal{A}}_{B,B}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{M}_{A,B,B}^{\prime }{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }I\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{j}_B^{\prime }\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}{l}_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}$$

次に，$r_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}=M_{A,A,B}^{\prime }(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\otimes j_A^{\prime })$であることを示す．

$\otimes :{\mathcal{W}}^2\to \mathcal{W}$は関手だから，第2回 (後半) の記事 [ 7 ] の §2.2 で述べたように，$(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A))(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)=(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\otimes (F(j_A)e)$である．

$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は lax モノイダル関手だから，以下が成り立つ:

• 定義 1 より$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は関手であり，$F(M_{A,A,B}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A))=F(M_{A,A,B})F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)$かつ$F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}$である．

• 命題 2, (1) より$F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A))$である:
  $$F({\mathcal{A}}_{A,B})\otimes FI{\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A)F({\mathcal{A}}_{A,B}\otimes I)F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)F({\mathcal{A}}_{A,B})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,A}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}F({\mathcal{A}}_{A,B}\otimes {\mathcal{A}}_{A,A})$$

• 命題 2, (4) より$r_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(r_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)$である:
  $$F({\mathcal{A}}_{A,B})\otimes I{1}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e{r}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}F({\mathcal{A}}_{A,B})\otimes FI{\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}F({\mathcal{A}}_{A,B})F({\mathcal{A}}_{A,B}\otimes I)F(r_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$$

また，$\mathcal{A}$は$\mathcal{V}$-圏だから，定義 3.2, (1) より$r_{{\mathcal{A}}_{A,B}}=M_{A,A,B}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)$である:
$${\mathcal{A}}_{A,B}\otimes {\mathcal{A}}_{A,A}{M}_{A,A,B}{\mathcal{A}}_{A,B}{\mathcal{A}}_{A,B}\otimes I{1}_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A{r}_{{\mathcal{A}}_{A,B}}$$

従って，

• $(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A))(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)=(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\otimes (F(j_A)e)$，
• $F(M_{A,A,B}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A))=F(M_{A,A,B})F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)$，
• $F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}$，
• $F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A))$，
• $r_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(r_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)$，
• $r_{{\mathcal{A}}_{A,B}}=M_{A,A,B}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)$，

が成り立つので，
$$\begin{array}{rl}& r_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\\ & =r_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(r_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)\\ & =F(M_{A,A,B}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A)){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)\\ & =F(M_{A,A,B})F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}\otimes j_A){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},I}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)\\ & =F(M_{A,A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes F(j_A))(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes e)\\ & =F(M_{A,A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}((F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\otimes (F(j_A)e))\\ & =F(M_{A,A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})\otimes (F(j_A)e))\\ & =F(M_{A,A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}\otimes (F(j_A)e))\\ & =F(M_{A,A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{A,B},{\mathcal{A}}_{A,A}}(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\otimes (F(j_A)e))\\ & =M_{A,A,B}^{\prime }(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\otimes (F(j_A)e))\\ & =M_{A,A,B}^{\prime }(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\otimes j_A^{\prime }),\end{array}$$
である:
$${\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,A}^{\prime }{M}_{A,A,B}^{\prime }{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }\otimes I{1}_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\otimes j_A^{\prime }{r}_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}$$

${\mathcal{A}}^{\prime }$が定義 3.2, (2) をみたすこと

$A,B,C,D\in \mathcal{A}$を任意に取る．

$\otimes :{\mathcal{W}}^2\to \mathcal{W}$は関手だから，第2回 (後半) の記事 [ 7 ] の §2.2 で述べたように，
$$(F(M_{B,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}})\otimes (1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})=(F(M_{B,C,D})\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}),$$
かつ
$$(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes F(M_{A,B,C}))(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{C,D})})\otimes (F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}),$$
である．

$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は lax モノイダル関手だから，以下が成り立つ:

• 定義 1 より$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$は関手であり，
  $$F(M_{A,B,D})F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})),$$
  かつ
  $$F(M_{A,C,D}(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(M_{A,C,D})F((1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}),$$
  かつ
  $$F((1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}),$$
  かつ$1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$かつ$F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})=1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}$である．

• 命題 2, (1) より
  $${\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(M_{B,C,D})\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))=F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}},$$
  であり:
  $$F({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}F(M_{B,C,D})\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})F(({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C})\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})F({\mathcal{A}}_{B,D})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{B,D}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})$$
  また
  $$F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})\otimes F(M_{A,B,C})),$$
  である:
  $$F({\mathcal{A}}_{C,D})\otimes F({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})\otimes F(M_{A,B,C})F({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes ({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}))F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})F({\mathcal{A}}_{C,D})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}F({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{A,C})$$

• 命題 2, (2) より
  $$\begin{array}{rl}& F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & ={\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})},\end{array}$$
  である:
  $$(F({\mathcal{A}}_{C,D})\otimes F({\mathcal{A}}_{B,C}))\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}{a}_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}F({\mathcal{A}}_{C,D})\otimes (F({\mathcal{A}}_{B,C})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}))1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C})\otimes F({\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}F({\mathcal{A}}_{C,D})\otimes F({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}F(({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C})\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})F({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes ({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}))$$

また，$\mathcal{A}$は$\mathcal{V}$-圏だから，定義 3.2, (2) より
$$M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=M_{A,C,D}(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}},$$
である:
$$({\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C})\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}{a}_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}{M}_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes ({\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B})1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C}{\mathcal{A}}_{B,D}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}{M}_{A,B,D}{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{A,C}{M}_{A,C,D}{\mathcal{A}}_{A,D}$$

従って，

• $(F(M_{B,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}})\otimes (1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})=(F(M_{B,C,D})\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})$，
• $(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes F(M_{A,B,C}))(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{C,D})})\otimes (F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})$，
• $F(M_{A,B,D})F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))$，
• $F(M_{A,C,D}(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(M_{A,C,D})F((1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})$，
• $F((1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})=F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})$，
• $1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}=F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})$，
• $F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})=1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}$，
• ${\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(M_{B,C,D})\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))=F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}},$
• $F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}={\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})\otimes F(M_{A,B,C}))$，
• $$\begin{array}{rl}& F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & ={\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})},\end{array}$$

が成り立つので，
$$\begin{array}{rl}& M_{A,B,D}^{\prime }(M_{B,C,D}^{\prime }\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }})\\ & =M_{A,B,D}^{\prime }(M_{B,C,D}^{\prime }\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(M_{B,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}})\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}((F(M_{B,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}})\otimes (1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{A,B})}))\\ & =F(M_{A,B,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(M_{B,C,D})\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,D},{\mathcal{A}}_{A,B}}(F(M_{B,C,D})\otimes F(1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}))({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,D})F(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,B,D}(M_{B,C,D}\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}})){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,C,D}(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,C,D})F((1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,C,D})F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,C,D})F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C})F(a_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D}\otimes {\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}({\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}}\otimes 1_{F({\mathcal{A}}_{A,B})})\\ & =F(M_{A,C,D})F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}}\otimes M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{B,C}\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}}(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(M_{A,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(F(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}})\otimes F(M_{A,B,C}))(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(M_{A,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes F(M_{A,B,C}))(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes {\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}})a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(M_{A,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}((1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}{1}_{F({\mathcal{A}}_{C,D})})\otimes (F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}))a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(M_{A,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(1_{F({\mathcal{A}}_{C,D})}\otimes (F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}))a_{F({\mathcal{A}}_{C,D}),F({\mathcal{A}}_{B,C}),F({\mathcal{A}}_{A,B})}\\ & =F(M_{A,C,D}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{C,D},{\mathcal{A}}_{A,C}}(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }}\otimes (F(M_{A,B,C}){\mu }_{{\mathcal{A}}_{B,C},{\mathcal{A}}_{A,B}}))a_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime },{\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime },{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}\\ & =M_{A,C,D}^{\prime }(1_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }}\otimes M_{A,B,C}^{\prime })a_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime },{\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime },{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }},\end{array}$$
である:
$$({\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime })\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{a}_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime },{\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime },{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}{M}_{B,C,D}^{\prime }\otimes 1_{{\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }}{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }\otimes ({\mathcal{A}}_{B,C}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime })1_{{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }}\otimes M_{A,B,C}^{\prime }{\mathcal{A}}_{B,D}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,B}^{\prime }{M}_{A,B,D}^{\prime }{\mathcal{A}}_{C,D}^{\prime }\otimes {\mathcal{A}}_{A,C}^{\prime }{M}_{A,C,D}^{\prime }{\mathcal{A}}_{A,D}^{\prime }$$

従って，定義 3.2 より${\mathcal{A}}^{\prime }=F(\mathcal{A})$が$\mathcal{W}$-圏であることが示された．

まとめ

この記事では，モノイダル圏の間の構造を保つ関手である lax モノイダル関手を定義して，lax モノイダル関手$F:\mathcal{V}\to \mathcal{W}$と$\mathcal{V}$-圏$\mathcal{A}$を用いて$\mathcal{W}$-圏$F(\mathcal{A})$を自然に構成した．
次の記事では，この構成を元にして，モノイダル圏$\mathcal{V}$に対して，$\mathcal{V}$-圏の「underlying category」とよばれる圏を定義する．

追記

• 2022/3/3 13:53 定義 1, (3) の誤植を修正した．
• 2022/3/3 22:49 間違えて削除してしまったので，改めて投稿した．
• 2022/3/3 23:48 参考文献に第4回 (後半) (2) の記事 [ 10 ] を加えた．
• 2022/3/3 23:48 §1 を修正した．