文献あり

豊穣圏の導入第4回: Underlying Category について (後半) (1)

前回の記事 [ 9 ] では，モノイダル圏 $V$ と $W$ に対して，lax モノイダル関手 $F : V \to W$ が $V$ -圏 $A$ から $W$ -圏 $F (A)$ を自然に定めることを確認した．
この記事では，モノイダル圏 $V$ に対して， $V$ から $Set$ への自然な lax モノイダル関手を与えることで， $V$ -圏の「underlying category」とよばれる圏を定義する．

導入

素朴集合論の基礎 (集合と写像，空集合など) に親しみがあり，圏の定義を知っていることを仮定する．

第2回 (前半) の記事 [ 6 ] からは，定義 3，定義 4，命題 1，命題 2，定義 5，定義 7，定義 8，定義 12 を用いており，これらを定義 2.a.3，定義 2.a.4，命題 2.a.1，命題 2.a.2，定義 2.a.5，定義 2.a.7，定義 2.a.8，定義 2.a.12 で表している．

第2回 (後半) の記事 [ 7 ] からは，命題 1，定義 1，定義 2，定義 3，定義 4，命題 2，定義 9 を用いており，これらを命題 2.b.1，定義 2.b.1，定義 2.b.2，定義 2.b.3，定義 2.b.4，命題 2.b.2，定義 2.b.9 で表している．

第3回の記事 [ 7 ] からは，命題 2，命題 3，定義 1，定義 2 を用いており，これらを命題 3.2，命題 3.3，定義 3.1，定義 3.2 で表している．

第4回 (前半) の記事 [ 8 ] からは定義 1，命題 1，定義 2 を用いており，これらを定義 4.a.1，命題 4.a.1，定義 4.a.2 で表している．

$V$ -圏の underlying category について (続き)

Lax モノイダル関手の性質

まず， $V$ をモノイダル圏とする．

定義 2.a.3 より $V$ の恒等関手 $1_{V} : V \to V$ が定まる．

定義 2.a.5 より関手 $1_{V} \times 1_{V} : V^{2} \to V^{2}$ が定まり，各 $X, Y \in V$ に対して
$(1_{V} \times 1_{V}) (X, Y) = (1_{V} X, 1_{V} Y) = (X, Y) = 1_{V^{2}} (X, Y)$ であり， $V$ での各射 $f, g$ に対して $(1_{V} \times 1_{V}) ((f, g)) = (1_{V} (f), 1_{V} (g)) = (f, g) = 1_{V^{2}} ((f, g))$ だから， $1_{V} \times 1_{V} = 1_{V^{2}}$ である．
$V$ のテンソル積 $\otimes : V^{2} \to V$ (定義 2.a.12) に対して，命題 2.a.1 より $\otimes (1_{V} \times 1_{V}) = \otimes 1_{V^{2}} = \otimes$ かつ $1_{V} \otimes = \otimes$ だから，定義 2.a.7 より $\otimes (1_{V} \times 1_{V})$ から $1_{V} \otimes$ への自然変換 $1_{\otimes}$ が定まる．

$1_{V} I = I$ だから， $I$ から $1_{V} I$ への $V$ での射 $1_{I}$ が定まる．

このとき，以下が成り立つ:

$(1_{V}, 1_{\otimes}, 1_{I})$ は $V$ から $V$ への lax モノイダル関手である．

$V$ での任意の射 $f : X \to X^{'}$ と $g : Y \to Y^{'}$ に対して，
$\begin{aligned} (1_{\otimes})_{X^{'}, Y^{'}} (1_{V} (f) \otimes 1_{V} (g)) & = (1_{\otimes})_{X^{'}, Y^{'}} (f \otimes g) & (定義 2.a.3) \\ = 1_{X^{'} \otimes Y^{'}} (f \otimes g) & (定義 2.a.7) \\ = f \otimes g \\ = (f \otimes g) 1_{X \otimes Y} \\ = (f \otimes f) (1_{\otimes})_{X, Y} & (定義 2.a.7) \\ = 1_{V} (f \otimes g) (1_{\otimes})_{X, Y}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
であり，任意の $X, Y, Z \in V$ に対して，
$\begin{aligned} 1_{V} (a_{X, Y, Z}) (1_{\otimes})_{X \otimes Y, Z} ((1_{\otimes})_{X, Y} \otimes 1_{1_{V Z}}) & = 1_{V} (a_{X, Y, Z}) (1_{\otimes})_{X \otimes Y, Z} ((1_{\otimes})_{X, Y} \otimes 1_{Z}) & (定義 2.a.3) \\ = a_{X, Y, Z} (1_{\otimes})_{X \otimes Y, Z} ((1_{\otimes})_{X, Y} \otimes 1_{Z}) & (定義 2.a.3) \\ = a_{X, Y, Z} 1_{(X \otimes Y) \otimes Z} (1_{X \otimes Y} \otimes 1_{Z}) & (定義 2.a.7) \\ = a_{X, Y, Z} 1_{(X \otimes Y) \otimes Z} 1_{(X \otimes Y) \otimes Z} \\ = a_{X, Y, Z} 1_{(X \otimes Y) \otimes Z} \\ = a_{X, Y, Z} \\ = 1_{X \otimes (Y \otimes Z)} a_{X, Y, Z} \\ = 1_{X \otimes (Y \otimes Z)} 1_{X \otimes (Y \otimes Z)} a_{X, Y, Z} \\ = 1_{X \otimes (Y \otimes Z)} (1_{X} \otimes 1_{Y \otimes Z}) a_{X, Y, Z} \\ = (1_{\otimes})_{X, Y \otimes Z} (1_{X} \otimes (1_{\otimes})_{Y, Z}) a_{X, Y, Z} & (定義 2.a.7) \\ = (1_{\otimes})_{X, Y \otimes Z} (1_{1_{V} X} \otimes (1_{\otimes})_{Y, Z}) a_{1_{V} X, 1_{V} Y, 1_{V} Z}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
であり，任意の $X \in V$ に対して，
$\begin{aligned} 1_{V} (l_{X}) (1_{\otimes})_{I, X} (1_{I} \otimes 1_{1_{V} X}) & = 1_{V} (l_{X}) (1_{\otimes})_{I, X} (1_{I} \otimes 1_{X}) & (定義 2.a.3) \\ = l_{X} (1_{\otimes})_{I, X} (1_{I} \otimes 1_{X}) & (定義 2.a.3) \\ = l_{X} 1_{I \otimes X} (1_{I} \otimes 1_{X}) & (定義 2.a.7) \\ = l_{X} 1_{I \otimes X} 1_{I \otimes X} \\ = l_{X} 1_{I \otimes X} \\ = l_{X} \\ = l_{1_{V} X}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
であり，任意の $X \in V$ に対して，
$\begin{aligned} 1_{V} (r_{X}) (1_{\otimes})_{X, I} (1_{1_{V} X} \otimes 1_{I}) & = 1_{V} (r_{X}) (1_{\otimes})_{X, I} (1_{X} \otimes 1_{I}) & (定義 2.a.3) \\ = r_{X} (1_{\otimes})_{X, I} (1_{X} \otimes 1_{I}) & (定義 2.a.3) \\ = r_{X} 1_{X \otimes I} (1_{X} \otimes 1_{I}) & (定義 2.a.7) \\ = r_{X} 1_{X \otimes I} 1_{X \otimes I} \\ = r_{X} 1_{X \otimes I} \\ = r_{X} \\ = r_{1_{V} X}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
である．

ゆえに，命題 1 より $(1_{V}, 1_{\otimes}, 1_{I})$ は $V$ から $V$ へのモノイダル関手である．

$(1_{V}, 1_{\otimes}, 1_{I})$ を $1_{V}$ で表し， $V$ の恒等 lax モノイダル関手 (identity lax monoidal functor) という．

次に， $G = (G, μ^{G}, e^{G}) : V \to W$ と $F = (F, μ^{F}, e^{F}) : U \to V$ を lax モノイダル関手とする．

$G$ は $V$ から $W$ への関手であり， $F$ は $U$ から $V$ への関手だから，定義 2.a.4 より $G$ と $F$ の合成 $G F : U \to W$ が定まる．

$μ^{F}$ は $\otimes (F \times F) : U^{2} \to V$ から $F \otimes : U^{2} \to V$ への自然変換であり， $G$ は $V$ から $W$ への関手だから，定義 2.b.9, (1) より $G (\otimes (F \times F)) : U^{2} \to W$ から $G (F \otimes) : U^{2} \to W$ への自然変換 $G (μ^{F})$ が定まる．
$μ^{G}$ は $\otimes (G \times G) : V^{2} \to W$ から $G \otimes : V^{2} \to W$ への自然変換であり， $F$ は $U$ から $V$ への関手だから，定義 2.a.5 より関手 $F \times F : U^{2} \to V^{2}$ が定まり，定義 2.b.9, (2) より $(\otimes (G \times G)) (F \times F) : U^{2} \to W$ から $(G \otimes) (F \times F) : U^{2} \to W$ への自然変換 $(μ^{G}) (F \times F)$ が定まる．
各 $X, Y \in U$ に対して
$((G \times G) (F \times F)) (X, Y) = (G \times G) ((F \times F) (X, Y)) = (G \times G) (F X, F Y) = (G (F X), G (F Y)) = ((G F) X, (G F) Y) = ((G F) \times (G F)) (X, Y),$
であり， $U$ での各射 $f, g$ に対して
$((G \times G) (F \times F)) ((f, g)) = (G \times G) ((F \times F) ((f, g))) = (G \times G) (F (f), F (g)) = (G (F (f)), G (F (g))) = ((G F) (f), (G F) (g)) = ((G F) \times (G F)) ((f, g)),$
だから， $(G \times G) (F \times F) = (G F) \times (G F)$ であり，命題 2.a.2 より $(\otimes (G \times G)) (F \times F) = \otimes ((G \times G) (F \times F)) = \otimes ((G F) \times (G F))$ であり， $(G \otimes) (F \times F) = G (\otimes (F \times F))$ であり， $G (F \otimes) = (G F) \otimes$ だから，定義 2.a.8 より $G (μ^{F})$ と $(μ^{G}) (F \times F)$ の垂直合成 $G (μ^{F}) \cdot (μ^{G}) (F \times F)$ が $\otimes ((G F) \times (G F))$ から $(G F) \otimes$ への自然変換として定まる．
これを $μ^{G F}$ で表す:
$\otimes ((G F) \times (G F)) (μ^{G}) (F \times F) μ^{G F} G \otimes (F \times F) G (μ^{F}) (G F) \otimes$

$e^{F}$ は $I$ から $F I$ への $V$ での射であり， $G$ は $V$ から $W$ への関手だから， $G (e^{F})$ は $G I$ から $G (F I) = (G F) I$ への $W$ での射である．
$e^{G}$ は $I$ から $G I$ への $W$ での射である．
ゆえに， $G (e^{F})$ と $e^{G}$ の合成 $G (e^{F}) e^{G}$ が $I$ から $(G F) I$ への写像として定まる．
これを $e^{G F}$ で表す:
$I e^{G} e^{G F} F I G (e^{F}) (G F) I$

$(G F, μ^{G F}, e^{G F})$ は $U$ から $W$ への lax モノイダル関手である．

$X, Y \in U$ に対して，
$\begin{aligned} (μ^{G F})_{X, Y} & = (G (μ^{F}) \cdot (μ^{G}) (F \times F))_{X, Y} \\ = (G (μ^{F}))_{X, Y} ((μ^{G}) (F \times F))_{X, Y} & (定義 2.a.8) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y}) ((μ^{G}) (F \times F))_{X, Y} & (定義 2.b.9, (1)) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{(F \times F) (X, Y)} & (定義 2.b.9, (2)) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}, & (定義 2.a.5) \end{aligned}$
である．

$U$ での射 $f : X \to X^{'}$ と $g : Y \to Y^{'}$ を任意に取る．
$G = (G, μ^{G}, e^{G})$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり，
$G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}}) G (F (f) \otimes F (g)) = G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}} (F (f) \otimes F (g))),$
であり，
$G (F (f \otimes g) (μ^{F})_{X, Y}) = G (F (f \otimes g)) G ((μ^{F})_{X, Y}),$
である．また，命題 4.a.1, (1) より
$(μ^{G})_{F X^{'}, F Y^{'}} (G (F (f)) \otimes G (F (g))) = G (F (f) \otimes F (g)) (μ^{G})_{F X, F Y},$
である．
一方で， $F = (F, μ^{F}, e^{F})$ は $U$ から $V$ への lax モノイダル関手だから，命題 4.a.1, (1) より
$(μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}} (F (f) \otimes F (g)) = F (f \otimes g) (μ^{F})_{X, Y},$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (μ^{G F})_{X^{'}, Y^{'}} ((G F) (f) \otimes (G F) (g)) & = G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}}) (μ^{G})_{F X^{'}, F Y^{'}} ((G F) (f) \otimes (G F) (g)) \\ = G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}}) (μ^{G})_{F X^{'}, F Y^{'}} (G (F (f)) \otimes G (F (g))) & (定義 2.a.4) \\ = G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}}) G (F (f) \otimes F (g)) (μ^{G})_{F X, F Y} \\ = G ((μ^{F})_{X^{'}, Y^{'}} (F (f) \otimes F (g))) (μ^{G})_{F X, F Y} \\ = G (F (f \otimes g) (μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y} \\ = G (F (f \otimes g)) G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y} \\ = (G F) (f \otimes g) G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y} & (定義 2.a.4) \\ = (G F) (f \otimes g) (μ^{G F})_{X, Y}, \end{aligned}$
である．

$X, Y, Z \in U$ を任意に取る．
$\otimes : W^{2} \to W$ は関手だから，
$(G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) \otimes (1_{G (F Z)} 1_{G (F Z)}) = (G ((μ^{F})_{X, Y}) \otimes 1_{G (F Z)}) ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}),$
である．
$G = (G, μ^{G}, e^{G})$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり， $G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) = G (F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z})$ かつ
$G (F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) G ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z}) = G (F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z} ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z})),$
かつ
$G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) a_{F X, F Y, F Z}) = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z})) G (a_{F X, F Y, F Z}),$
かつ $G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z})) = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) G (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z})$ かつ $1_{G (F Z)} = G (1_{F Z})$ かつ $G (1_{F X}) = 1_{G (F X)}$ である．また，命題 4.a.1, (1) より
$(μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} (G ((μ^{F})_{X, Y}) \otimes G (1_{F Z})) = G ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z},$
かつ
$G (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) (μ^{G})_{F X, F Y \otimes F Z} = (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} (G (1_{F X}) \otimes G ((μ^{F})_{Y, Z})),$
であり，命題 4.a.1, (2) より
$G (a_{F X, F Y, F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) = (μ^{G})_{F X, F Y \otimes F Z} (1_{G (F X)} \otimes (μ^{G})_{F Y, F Z}) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)},$
である．
一方で， $F = (F, μ^{F}, e^{F})$ は $U$ から $V$ への lax モノイダル関手だから，命題 4.a.1, (2) より
$F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z} ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z}) = (μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) a_{F X, F Y, F Z},$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (G F) (a_{X, Y, Z}) (μ^{G F})_{X \otimes Y, Z} ((μ^{G F})_{X, Y} \otimes 1_{(G F) Z}) \\ = (G F) (a_{X, Y, Z}) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} ((G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) \otimes 1_{(G F) Z}) \\ = (G F) (a_{X, Y, Z}) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} ((G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) \otimes 1_{G (F Z)}) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} ((G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) \otimes 1_{G (F Z)}) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} ((G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) \otimes (1_{G (F Z)} 1_{G (F Z)})) \\ = G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} (G ((μ^{F})_{X, Y}) \otimes 1_{G (F Z)}) ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) (μ^{G})_{F (X \otimes Y), F Z} (G ((μ^{F})_{X, Y}) \otimes G (1_{F Z})) ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G (F (a_{X, Y, Z})) G ((μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) G ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G (F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z}) G ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G (F (a_{X, Y, Z}) (μ^{F})_{X \otimes Y, Z} ((μ^{F})_{X, Y} \otimes 1_{F Z})) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) a_{F X, F Y, F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z} (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z})) G (a_{F X, F Y, F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) G (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) G (a_{F X, F Y, F Z}) (μ^{G})_{F X \otimes F Y, F Z} ((μ^{G})_{F X, F Y} \otimes 1_{G (F Z)}) \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) G (1_{F X} \otimes (μ^{F})_{Y, Z}) (μ^{G})_{F X, F Y \otimes F Z} (1_{G (F X)} \otimes (μ^{G})_{F Y, F Z}) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)} \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} (G (1_{F X}) \otimes G ((μ^{F})_{Y, Z})) (1_{G (F X)} \otimes (μ^{G})_{F Y, F Z}) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)} \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} (1_{G (F X)} \otimes G ((μ^{F})_{Y, Z})) (1_{G (F X)} \otimes (μ^{G})_{F Y, F Z}) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)} \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} ((1_{G (F X)} 1_{G (F X)}) \otimes (G ((μ^{F})_{Y, Z}) (μ^{G})_{F Y, F Z})) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)} \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} (1_{G (F X)} \otimes (G ((μ^{F})_{Y, Z}) (μ^{G})_{F Y, F Z})) a_{G (F X), G (F Y), G (F Z)} \\ = G ((μ^{F})_{X, Y \otimes Z}) (μ^{G})_{F X, F (Y \otimes Z)} (1_{(G F) X} \otimes (G ((μ^{F})_{Y, Z}) (μ^{G})_{F Y, F Z})) a_{(G F) X, (G F) Y, (G F) Z} & (定義 2.a.4) \\ = (μ^{G F})_{X, Y \otimes Z} (1_{(G F) X} \otimes (μ^{G F})_{Y, Z}) a_{(G F) X, (G F) Y, (G F) Z}, \end{aligned}$
である．

$X \in U$ を任意に取る．
$\otimes$ は $W^{2}$ から $W$ への関手だから，
$(G (e^{F}) e^{G}) \otimes (1_{G (F X)} 1_{G (F X)}) = (G (e^{F}) \otimes 1_{G (F X)}) (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}),$
である．
$G = (G, μ^{G}, e^{G})$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり， $G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) = G (F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X})$ かつ
$G (F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X}) G (e^{F} \otimes 1_{F X}) = G (F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X} (e^{F} \otimes 1_{F X})),$
かつ $1_{G (F X)} = G (1_{F X})$ である．また，命題 4.a.1, (1) より
$(μ^{G})_{F I, F X} (G (e^{F}) \otimes G (1_{F X})) = G (e^{F} \otimes 1_{F X}) (μ^{G})_{I, F X},$
であり，命題 4.a.1, (3) より
$G (l_{F X}) (μ^{G})_{I, F X} (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) = l_{G (F X)},$
である．
一方で， $F = (F, μ^{F}, e^{F})$ は $U$ から $V$ への lax モノイダル関手だから，命題 4.a.1, (3) より
$F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X} (e^{F} \otimes 1_{F X}) = l_{F X},$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (G F) (l_{X}) (μ^{G F})_{I, X} (e^{G F} \otimes 1_{(G F) X}) \\ = (G F) (l_{X}) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} (e^{G F} \otimes 1_{(G F) X}) \\ = (G F) (l_{X}) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} ((G (e^{F}) e^{G}) \otimes 1_{(G F) X}) \\ = (G F) (l_{X}) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} ((G (e^{F}) e^{G}) \otimes 1_{G (F X)}) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} ((G (e^{F}) e^{G}) \otimes 1_{G (F X)}) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} ((G (e^{F}) e^{G}) \otimes (1_{G (F X)} 1_{G (F X)})) \\ = G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} (G (e^{F}) \otimes 1_{G (F X)}) (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) (μ^{G})_{F I, F X} (G (e^{F}) \otimes G (1_{F X})) (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = G (F (l_{X})) G ((μ^{F})_{I, X}) G (e^{F} \otimes 1_{F X}) (μ^{G})_{I, F X} (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = G (F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X}) G (e^{F} \otimes 1_{F X}) (μ^{G})_{I, F X} (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = G (F (l_{X}) (μ^{F})_{I, X} (e^{F} \otimes 1_{F X})) (μ^{G})_{I, F X} (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = G (l_{F X}) (μ^{G})_{I, F X} (e^{G} \otimes 1_{G (F X)}) \\ = l_{G (F X)} \\ = l_{(G F) X}, & (定義 2.a.4) \end{aligned}$
である．

$X \in U$ を任意に取る．
$\otimes$ は $W^{2}$ から $W$ への関手だから，
$(1_{G (F X)} 1_{G (F X)}) \otimes (G (e^{F}) e^{G}) = (1_{G (F X)} \otimes G (e^{F})) (1_{G (F X)} \otimes e^{G}),$
である．
$G = (G, μ^{G}, e^{G})$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり， $G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) = G (F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I})$ かつ
$G (F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I}) G (1_{F X} \otimes e^{F}) = G (F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I} (1_{F X} \otimes e^{F})),$
かつ $1_{G (F X)} = G (1_{F X})$ である．また，命題 4.a.1, (1) より
$(μ^{G})_{F X, F I} (G (1_{F X}) \otimes G (e^{F})) = G (1_{F X} \otimes e^{F}) (μ^{G})_{F X, I},$
であり，命題 4.a.1, (4) より
$G (r_{F X}) (μ^{G})_{F X, I} (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) = r_{G (F X)},$
である．
一方で， $F = (F, μ^{F}, e^{F})$ は $U$ から $V$ への lax モノイダル関手だから，命題 4.a.1, (4) より
$F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I} (1_{F X} \otimes e^{F}) = r_{F X},$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (G F) (r_{X}) (μ^{G F})_{X, I} (1_{(G F) X} \otimes e^{G F}) \\ = (G F) (r_{X}) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (1_{(G F) X} \otimes e^{G F}) \\ = (G F) (r_{X}) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (1_{(G F) X} \otimes (G (e^{F}) e^{G})) \\ = (G F) (r_{X}) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (1_{G (F X)} \otimes (G (e^{F}) e^{G})) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (1_{G (F X)} \otimes (G (e^{F}) e^{G})) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} ((1_{G (F X)} 1_{G (F X)}) \otimes (G (e^{F}) e^{G})) \\ = G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (1_{G (F X)} \otimes G (e^{F})) (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) (μ^{G})_{F X, F I} (G (1_{F X}) \otimes G (e^{F})) (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = G (F (r_{X})) G ((μ^{F})_{X, I}) G (1_{F X} \otimes e^{F}) (μ^{G})_{F X, I} (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = G (F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I}) G (1_{F X} \otimes e^{F}) (μ^{G})_{F X, I} (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = G (F (r_{X}) (μ^{F})_{X, I} (1_{F X} \otimes e^{F})) (μ^{G})_{F X, I} (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = G (r_{F X}) (μ^{G})_{F X, I} (1_{G (F X)} \otimes e^{G}) \\ = r_{G (F X)} \\ = r_{(G F) X}, & (定義 2.a.4) \end{aligned}$
である．

ゆえに，命題 1 より $(G F, μ^{G F}, e^{G F})$ は $U$ から $W$ へのモノイダル関手である．

$(G F, μ^{G F}, e^{G F}) = (G F, G (μ^{F}) \cdot (μ^{G}) (F \times F), G (e^{F}) e^{G})$ を $G F$ で表し， $G$ と $F$ の (lax モノイダル関手としての) 合成 (composition) という．

Lax モノイダル関手 $F = (F, μ, e) : V \to W$ に対して，lax モノイダル関手として $1_{W} F = F = F 1_{V}$ が成り立つ．

$\begin{aligned} 1_{W} F & = 1_{W} (F, μ, e) \\ = (1_{W}, 1_{\otimes}, 1_{I}) (F, μ, e) & (命題 1) \\ = (1_{W} F, 1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F), 1_{W} (e) 1_{I}) & (命題 2) \\ = (1_{W} F, 1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F), 1_{W} (e)) \\ = (1_{W} F, 1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F), e) & (定義 2.a.3) \\ = (F, 1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F), e), & (命題 2.a.1) \end{aligned}$
である．
各 $X, Y \in V$ に対して，命題 2 の証明で述べたように，
$(1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F))_{X, Y} = 1_{W} (μ_{X, Y}) (1_{\otimes})_{F X, F Y},$
であり，
$\begin{aligned} (1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F))_{X, Y} & = 1_{W} (μ_{X, Y}) (1_{\otimes})_{F X, F Y} \\ = 1_{W} (μ_{X, Y}) 1_{F X \otimes F Y} & (定義 2.a.7) \\ = 1_{W} (μ_{X, Y}) \\ = μ_{X, Y}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
だから， $1_{W} μ \cdot 1_{\otimes} (F \times F) = μ$ であり， $1_{W} F = (F, μ, e) = F$ である．

また， $F$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $F$ は $V$ から $W$ への関手であり， $F (1_{I}) = 1_{F I}$ であり， $F (1_{X \otimes Y}) = 1_{F (X \otimes Y)}$ である．
ゆえに，
$\begin{aligned} F 1_{V} & = (F, μ, e) 1_{V} \\ = (F, μ, e) (1_{V}, 1_{\otimes}, 1_{I}) & (命題 1) \\ = (F 1_{V}, F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}), F (1_{I}) e) & (命題 2) \\ = (F 1_{V}, F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}), 1_{F I} e) \\ = (F 1_{V}, F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}), e), \\ = (F, F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}), e), & (命題 2.a.1) \end{aligned}$
である．
各 $X, Y \in V$ に対して，命題 2 の証明で述べたように，
$(F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}))_{X, Y} = F ((1_{\otimes})_{X, Y}) μ_{1_{V} X, 1_{V} Y},$
であり，
$\begin{aligned} (F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}))_{X, Y} & = F ((1_{\otimes})_{X, Y}) μ_{1_{V} X, 1_{V} Y} \\ = F ((1_{\otimes})_{X, Y}) μ_{X, Y} & (定義 2.a.3) \\ = F (1_{X \otimes Y}) μ_{X, Y} & (定義 2.a.7) \\ = 1_{F (X \otimes Y)} μ_{X, Y} \\ = μ_{X, Y}, \end{aligned}$
だから， $F (1_{\otimes}) \cdot μ (1_{V} \times 1_{V}) = μ$ であり， $F 1_{V} = (F, μ, e) = F$ である．

Lax モノイダル関手 $H = (H, μ^{H}, e^{H}) : W \to X$ と $G = (G, μ^{G}, e^{G}) : V \to W$ と $F = (F, μ^{F}, e^{F}) : U \to V$ に対して，lax モノイダル関手として $H (G F) = (H G) F$ が成り立つ．

$X, Y \in U$ を取る．命題 2 の証明で述べたように，
$(H (μ^{G F}) \cdot μ^{H} ((G F) \times (G F)))_{X, Y} = H ((μ^{G F})_{X, Y}) (μ^{H})_{(G F) X, (G F) Y},$
かつ $(μ^{G F})_{X, Y} = G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}$ かつ $H ((μ^{G})_{F X, F Y}) (μ^{H})_{G (F X), G (F Y)} = (μ^{H G})_{F X, F Y}$
$(H G) ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{H G})_{F X, F Y} = ((H G) (μ^{F}) \cdot μ^{H G} (F \times F))_{X, Y},$
である．
また， $H$ が $W$ から $X$ への lax モノイダル関手であることから，定義 4.a.1 より $H$ は $W$ から $X$ への関手であり，
$H (G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) = H (G ((μ^{F})_{X, Y})) H ((μ^{G})_{F X, F Y}),$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} (H (μ^{G F}) \cdot μ^{H} ((G F) \times (G F)))_{X, Y} & = H ((μ^{G F})_{X, Y}) (μ^{H})_{(G F) X, (G F) Y} \\ = H (G ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{G})_{F X, F Y}) (μ^{H})_{(G F) X, (G F) Y} \\ = H (G ((μ^{F})_{X, Y})) H ((μ^{G})_{F X, F Y}) (μ^{H})_{(G F) X, (G F) Y} \\ = H (G ((μ^{F})_{X, Y})) H ((μ^{G})_{F X, F Y}) (μ^{H})_{G (F X), G (F Y)} & (定義 2.a.4) \\ = (H G) ((μ^{F})_{X, Y}) H ((μ^{G})_{F X, F Y}) (μ^{H})_{G (F X), G (F Y)} & (定義 2.a.4) \\ = (H G) ((μ^{F})_{X, Y}) (μ^{H G})_{F X, F Y} \\ = ((H G) (μ^{F}) \cdot μ^{H G} (F \times F))_{X, Y}, \end{aligned}$
であり， $H (μ^{G F}) \cdot μ^{H} ((G F) \times (G F)) = (H G) (μ^{F}) \cdot μ^{H G} (F \times F)$ である．

また， $H$ が $W$ から $X$ への lax モノイダル関手であることから，定義 4.a.1 より $H$ は $W$ から $X$ への関手であり， $H (G (e^{F}) e^{G}) = H (G (e^{F})) H (e^{G})$ であり，
$\begin{aligned} H (e^{G F}) e^{H} & = H (G (e^{F}) e^{G}) e^{H} & (命題 2) \\ = H (G (e^{F})) H (e^{G}) e^{H} \\ = (H G) (e^{F}) H (e^{G}) e^{H} & (定義 2.a.4) \\ = (H G) (e^{F}) e^{H G}, (命題 2) \end{aligned}$
である．

従って，
$\begin{aligned} H (G F) & = (H, μ^{H}, e^{H}) ((G, μ^{G}, e^{G}) (F, μ^{F}, e^{F})) \\ = (H, μ^{H}, e^{H}) (G F, μ^{G F}, e^{G F}) \\ = (H (G F), H (μ^{G F}) \cdot μ^{H} ((G F) \times (G F)), H (e^{G F}) e^{H}) \\ = ((H G) F, H (μ^{G F}) \cdot μ^{H} ((G F) \times (G F)), H (e^{G F}) e^{H}) & (命題 2.a.2) \\ = ((H G) F, (H G) (μ^{F}) \cdot μ^{H G} (F \times F), H (e^{G F}) e^{H}) \\ = ((H G) F, (H G) (μ^{F}) \cdot μ^{H G} (F \times F), (H G) (e^{F}) e^{H G}) \\ = (H G, μ^{H G}, e^{H G}) (F, μ^{F}, e^{F}) \\ = ((H, μ^{H}, e^{H}) (G, μ^{G}, e^{G})) (F, μ^{F}, e^{F}) \\ = (H G) F, \end{aligned}$
である．

豊穣圏の性質

モノイダル圏 $V$ と $V$ -圏 $A$ に対して， $1_{V} (A) = A$ が成り立つ．

命題 1 より $1_{V} = (1_{V}, 1_{\otimes}, 1_{I})$ であることに注意する．
定義 4.a.2, (1) より $ob (1_{V} (A)) = ob A$ であり，各 $A, B \in A$ に対して，
$\begin{aligned} 1_{V} (A) (A, B) & = 1_{V} (A (A, B)) & (定義 4.a.2, (2)) \\ = A (A, B), & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
であり，各 $A, B, C \in A$ に対して，
$\begin{aligned} M_{A, B, C} & = 1_{V} (M_{A, B, C}) (1_{\otimes})_{A (B, C), A (A, B)} & (定義 4.a.2, (3)) \\ = M_{A, B, C} (1_{\otimes})_{A (B, C), A (A, B)} & (定義 2.a.3) \\ = M_{A, B, C} 1_{A (B, C) \otimes A (A, B)} & (定義 2.a.7) \\ = M_{A, B, C}, \end{aligned}$
であり，各 $A \in A$ に対して，
$\begin{aligned} j_{A} & = 1_{V} (j_{A}) 1_{I} & (定義 4.a.2, (4)) \\ = 1_{V} (j_{A}) \\ = j_{A}, & (定義 2.a.3) \end{aligned}$
である．ゆえに， $1_{V} (A) = A$ である．

Lax モノイダル関手 $G = (G, μ^{G}, e^{G}) : V \to W$ と $(F, μ^{F}, e^{F}) : U \to V$ と $U$ -圏 $A$ に対して， $(G F) (A) = G (F (A))$ が成り立つ．

命題 2 より $G F = (G F, μ^{G F}, e^{G F})$ であることに注意する．
$\begin{aligned} ob ((G F) (A)) & = ob A & (定義 4.a.2, (1)) \\ = ob (F (A)) & (定義 4.a.2, (1)) \\ = ob (G (F (A))), & (定義 4.a.2, (1)) \end{aligned}$
である．
$(G F) (A) = (ob A, {(G F) (A) (A, B)}_{A, B \in A}, {M_{A, B, C}}_{A, B, C \in A}, {j_{A}}_{A \in A})$
及び
$G (F (A)) = (ob A, {G (F (A)) (A, B)}_{A, B \in A}, {M_{A, B, C}^{'}}_{A, B, C \in A}, {j_{A}^{'}}_{A \in A})$
と定める．

各 $A, B \in A$ に対して，
$\begin{aligned} (G F) (A) (A, B) & = (G F) (A (A, B)) & (定義 4.a.2, (2)) \\ = G (F (A (A, B))) & (定義 2.a.4) \\ = G (F (A) (A, B)) & (定義 4.a.2, (2)) \\ = G (F (A)) (A, B), & (定義 4.a.2, (2)) \end{aligned}$
である．

$A, B, C \in A$ を取る．
命題 2 の証明で述べたように，
$(μ^{G F})_{A (B, C), A (A, B)} = G ((μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) (μ^{G})_{F (A (B, C)), F (A (A, B))},$
である．
また， $G$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり，
$G (F (M_{A, B, C})) G ((μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) = G (F (M_{A, B, C}) (μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}),$
である．
ゆえに，
$\begin{aligned} M_{A, B, C} & = (G F) (M_{A, B, C}) (μ^{G F})_{A (B, C), A (A, B)} & (定義 4.a.2, (3)) \\ = (G F) (M_{A, B, C}) (μ^{G F})_{A (B, C), A (A, B)} \\ = (G F) (M_{A, B, C}) G ((μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) (μ^{G})_{F (A (B, C)), F (A (A, B))} \\ = G (F (M_{A, B, C})) G ((μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) (μ^{G})_{F (A (B, C)), F (A (A, B))} & (定義 2.a.4) \\ = G (F (M_{A, B, C}) (μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) (μ^{G})_{F (A (B, C)), F (A (A, B))} \\ = G (F (M_{A, B, C}) (μ^{F})_{A (B, C), A (A, B)}) (μ^{G})_{F (A) (B, C), F (A) (A, B)} & (定義 4.a.2, (2)) \\ = G (M_{A, B, C}) (μ^{G})_{F (A) (B, C), F (A) (A, B)} & (定義 4.a.2, (3)) \\ = M_{A, B, C}^{'}, & (定義 4.a.2, (3)) \end{aligned}$
である．

$A \in A$ を取る． $G$ は $V$ から $W$ への lax モノイダル関手だから，定義 4.a.1 より $G$ は $V$ から $W$ への関手であり， $G (F (j_{A})) G (e^{F}) = G (F (j_{A}) e^{F})$ だから，
$\begin{aligned} j_{A} & = (G F) (j_{A}) e^{G F} & (定義 4.a.2, (4)) \\ = (G F) (j_{A}) G (e^{F}) e^{G} & (命題 2) \\ = G (F (j_{A})) G (e^{F}) e^{G} & (定義 2.a.4) \\ = G (F (j_{A}) e^{F}) e^{G} \\ = G (j_{A}) e^{G} & (定義 4.a.2, (4)) \\ = j_{A}^{'}, & (定義 4.a.2, (4)) \end{aligned}$
である．

従って， $(G F) (A) = G (F (A))$ である．

これ以降は，第4回 (後半) (2) の記事で述べる．

参考文献

[1]

G. M. Kelly, Basic concepts of enriched category theory, Reprints in Theory and Applications of Categories, no.10, Cambridge University Press, Cambridge, 2005

[2]

J. Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 170, Princeton University Press, Princeton, 2009

[3]

J. Lurie, Kerodon, 閲覧日 2022年2月20日, https://kerodon.net/

[4]

alg_d, 壱大整域，圏論, 閲覧日 2022年2月22日, http://alg-d.com/math/kan_extension/

[5]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Apr 22 2023