楕円関数の変換の解析的な解

はじめに

　この記事では後の記事に向けて楕円関数の変換という問題の解き方について解説していきます。
　また参考文献の少ない中筆者が自力で考察した内容となっているので一部間違い等があるかもしれませんがご了承ください。

楕円関数の変換

　楕円関数論の祖の一人であるヤコビはその著書"Fundamenta Nova Theoriæ Functionum Ellipticarum"の冒頭で
$$\frac{dy}{\sqrt{A^{\prime }+B^{\prime }y+C^{\prime }{y}^2+D^{\prime }{y}^3+E^{\prime }{y}^4}}=\frac{dx}{\sqrt{A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+E{x}^4}}$$
を満たすような$x$の有理関数
$$y=y(x)=\frac{U(x)}{V(x)}(U(x),V(x)は互いに素な多項式)$$
を決定するという問題を考えました。そしてヤコビはこの問題を次のような形に帰着させます。

　以下でこの問題を、いくつかの簡単な仮定を設けながら、解析的に解いていきます。

問題の言い換え

　まず$x=0$の付近で
$${\int }_0^y\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-l^2{t}^2)}}=\frac{1}{M}{\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$$
が成り立ってくれると嬉しいので$y(0)=0$を仮定します。このとき以下の主張が成り立ちます。

　いま$y(0)=0$から$\mathrm{sn}(u,k)$と$\mathrm{sn}(u/M,l)$の零点の位置を考えると、格子$2K\mathbb{Z}+2i{K}^{\prime }\mathbb{Z}$は格子$M(2L\mathbb{Z}+2i{L}^{\prime }\mathbb{Z})$に埋め込まれる、つまり以下の主張が成り立つことになります。

　逆にモジュラー方程式が成り立っているとき
$$M=\frac{ci{K}^{\prime }+dK}{pL}=\frac{ai{K}^{\prime }+bK}{pi{L}^{\prime }}$$
とおくことで$y=\mathrm{sn}(u/M,l)$と$x=\mathrm{sn}(u,k)$の関係は決定します(ただしそれが有理的な関係であるかはまだわかりません)。
　これによって楕円関数の変換は行列$A\in M_2(\mathbb{Z})$に対して
$$\mathrm{sn}[\frac{u}{M},A\tau ]=f_A(\mathrm{sn}[u,\tau ],\tau )(\mathrm{sn}[u,\tau ]=\frac{{\theta }_3(\tau )}{{\theta }_2(\tau )}\frac{{\theta }_1(u/\pi {\theta }_3(\tau {)}^2,\tau )}{{\theta }_4(u/\pi {\theta }_3(\tau {)}^2,\tau )})$$
が成り立つような有理式$f_A(x,\tau )$を考える問題に置き換えることができます。

　以下$(-A)\tau =A\tau$および$M_{-A}=-M_A$より$f_{-A}=-f_A$となるのが面倒なので諸々の符号についてはあまりよく考えないこととします。

補題その1

　まず楕円関数の変換$y=y(x)$が存在したとき、$y$や$A$が満たす性質について考えます。

　いま$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とおいたとき
$$\frac{1}{M}\left(\begin{array}{c}i{K}^{\prime }\\ K\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i{L}^{\prime }\\ L\end{array}\right)$$
が成り立つことに注意します。

補題その2

　次に行列$A$に対して$f_A$を決定するための補題を示しておきます。

　このことから$\mathrm{sn}(u,k)=c$が$\mathbb{C}$上で解$u=u_1,u_2$を持つとき、
$u_1-u_2\in 4K\mathbb{Z}+2i{K}^{\prime }\mathbb{Z}$または$u_1+u_2\in 2K\mathbb{Z}+2i{K}^{\prime }\mathbb{Z}$
が成り立つことにも注意します。

素数次の変換

　命題4での議論から
$y(1)=\pm 1,\pm 1/k$
が成り立つので、簡単のため条件$y(1)=\pm 1$を追加して考えます。これは$c\equiv 0(\mathrm{mod}2)$によって満たされます。
　このとき
$\phantom{\gamma }A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\phantom{j}(ad-bc=p,a\equiv 1,b,c\equiv 0(\mathrm{mod}2))$
であったので 前の記事 の命題7よりある$\gamma \in \mathrm{\Lambda }$によって
$\gamma A=\left(\begin{array}{cc}a& 2j\\ 0& d\end{array}\right)(ad=p,a\equiv 1(\mathrm{mod}2),0\le j<d)$
と変形できます。さらに
$\gamma A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2j\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
と分解することで命題5から素数次の変換を考えれば任意の楕円関数の変換が得られます。
　また$A$の符号を調整することで以下$a\equiv 1(\mathrm{mod}4)$つまり$y(1)=1$とします。

$2$次の変換

　$a\equiv 1(\mathrm{mod}2)$に注意すると$2$次の変換は
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$
の一通りとなる。このとき
$$M\left(\begin{array}{c}i{L}^{\prime }\\ L\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i{K}^{\prime }\\ K\end{array}\right)$$
より基本領域
$\{2Ks+i{K}^{\prime }t\mid s,t\in (-1,1]\}$
における$\mathrm{sn}[u/M,\tau /2]$の
零点は$u=0,2K,i{K}^{\prime },2K+i{K}^{\prime }$
極は$u=\pm i{K}^{\prime }/2,2K\pm i{K}^{\prime }/2$
の$4$つずつとなる。よって補題6や 前の記事 の定理6系に注意して
$$f_2(x,\tau )=x\frac{1-1/{\mathrm{sn}}^2[i{K}^{\prime }/2,\tau ]}{1-x^2/{\mathrm{sn}}^2[i{K}^{\prime }/2,\tau ]}=\frac{(1+k)x}{1+k{x}^2}$$
とおくと
$$\frac{\mathrm{sn}[u/M,\tau /2]}{f_2(\mathrm{sn}[u,\tau ],\tau )}$$
は零点も極も持たない楕円関数となる。よってリウヴィルの第一定理( この記事 の命題3)からこれは定数関数であり、$f_2(1,\tau )=1$より$f_2$が求める有理関数となる。
　また命題3や $2$次モジュラー方程式 から以下の主張が得れらる。

$p$次の変換($p:$奇素数)

　$p$次の変換は
$A_p=\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A_j=\left(\begin{array}{cc}1& 2j\\ 0& p\end{array}\right)(0\le j<p)$
の$p+1$通りある。
　いま$j$が奇数のとき
$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)A_j=\left(\begin{array}{cc}1& 2(j+p)\\ 0& 1\end{array}\right)$
によって$b\equiv 0(\mathrm{mod}4)$とみなすと$p=ad-bc\equiv d\equiv 1(\mathrm{mod}2)$および
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sn}(u+i{K}^{\prime },k)& =& \frac{1}{k\mathrm{sn}(u,k)}\\ \frac{i{K}^{\prime }}{M}& =& -bL+di{L}^{\prime }\end{array}$$
に注意すると
$$f_{A_j}(\frac{1}{kx},\tau )=\frac{1}{l{f}_{A_j}(x,\tau )}$$
が成り立つ。このことから
$$f_{A_j}(x,\tau )=\frac{x}{M}\frac{\prod _m(1-x^2/a_m^2)}{\prod _n(1-x^2/b_n^2)}$$
とおくと$k^2{a}_n^2{b}_n^2=1$つまり
$$f_{A_j}(x,\tau )=\frac{x}{M}\prod _n\frac{1-x^2/a_n^2}{1-k^2{a}_n^2{x}^2}$$
となることがわかる。
　そして$4K\mathbb{Z}+2i{K}^{\prime }\mathbb{Z}=4K\mathbb{Z}+(2i{K}^{\prime }+4jK)\mathbb{Z}$を法とした$\mathrm{sn}[u/M,A_j\tau ]$の零点は

• $j=p$のとき
  $$u=\frac{2nK}{p}(-p<n\le p)$$
  つまり$|n|\ge (p+1)/2$のときを少しずらすことで
  $$u=\frac{2nK}{p},2K-\frac{2nK}{p}(|n|\le \frac{p-1}{2})$$
  と表せ、
• $j\ne p$のとき
  $$u=2mK+\frac{4jK+2i{K}^{\prime }}{p}n(m=0,1,|n|\le \frac{p-1}{2})$$
  つまり
  $$u=\frac{4jK+2i{K}^{\prime }}{p}n,2K-\frac{4jK+2i{K}^{\prime }}{p}n(|n|\le \frac{p-1}{2})$$
  と表せるので

$${\omega }_p=\frac{2K}{p},{\omega }_j=\frac{4jK+2i{K}^{\prime }}{p}(j\ne p)$$
とおくことで
$$f_{A_j}(x,\tau )=\frac{x}{M}\prod _{n=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1-x^2/a_n^2}{1-k^2{a}_n^2{x}^2}(a_n=\mathrm{sn}[{\omega }_{j}n,\tau ])$$
を得る。
　また$f_{A_j}(1,\tau )=1$や$f_{A_j}(1/kx,\tau )=1/l{f}_{A_j}(x,\tau )$としていたことから以下の主張が得られる。

おわりに

　はい。
　というわけで楕円関数の変換という問題について解析的に考えることで「楕円関数の変換の具体形」がわかりました。次の記事ではこれを利用し楕円関数の変換を代数的に考えることで「楕円関数の変換の具体値」を求めます。それによって$p$次の変換における$k$と$l$の関係や$M$の値が具体的に求まっていくのでお楽しみに。
　とりあえず今回はこんなところで。
　では。