直積集合 ③
Def.
全体集合 $U$ を固定する。任意の $a,b\in U$ に対し、
$$
\{a,b\}:=\{x\in U\mid x=a\lor x=b\}
$$
で定まる集合を、$a$ と $b$ の 対集合 という。
したがって、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{a,b\}\ \Leftrightarrow\ z=a\lor z=b
$$
が成り立つ。
ツェルメロ＝フレンケル集合論などの公理的集合論における対の公理とは、任意の集合 $x,y$ に対して
$$
\forall x\forall y\exists z\forall w,(w\in z\Leftrightarrow (w=x\lor w=y))
$$
を満たす集合 $z$ が存在する、ということを主張する公理である。
Prop & Proof
全体集合 $U$ を固定する。$x_2,y_2\in U$ とする。このとき
$$
x_2\in\{x_2,y_2\}
$$
が成り立つ。
対集合の定義より、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (z=x_2\ \lor\ z=y_2)
$$
が成り立つ(
詳しくはコチラ
)。
ここで $z=x_2$ とおくと
$$
x_2\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (x_2=x_2\ \lor\ x_2=y_2)
$$
を得る。
ところで、等号の反射律より
$$
x_2=x_2
$$
である。
したがって
$$
x_2=x_2\ \lor\ x_2=y_2
$$
は真である。ゆえに
$$
x_2\in\{x_2,y_2\}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
任意の $a,b\in U$ について
$$
\{a,b\}=\{b,a\}
$$
が成り立つ。
集合の等号の定義より、$\{a,b\}=\{b,a\}$ を示すには、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{a,b\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{b,a\}
$$
を示せば十分である。
そこで、任意の対象 $z$ をとる。
対集合の定義より
$$
z\in\{a,b\}\ \Leftrightarrow\ (z=a\lor z=b)
$$
が成り立つ。
また、再び対集合の定義より
$$
z\in\{b,a\}\ \Leftrightarrow\ (z=b\lor z=a)
$$
が成り立つ。
ここで、命題論理における論理和の可換律より
$$
(z=a\lor z=b)\ \Leftrightarrow\ (z=b\lor z=a)
$$
である。
したがって
$$
z\in\{a,b\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{b,a\}
$$
が成り立つ。
ゆえに、任意の対象 $z$ について $z\in\{a,b\}\Leftrightarrow z\in\{b,a\}$ が成り立つので、集合の等号の定義(外延性)より
$$
\{a,b\}=\{b,a\}
$$
を得る。
$$ \Box$$
全体集合 $U$ を固定する。任意の $a,b\in U$ について
$$
\{a\}\subseteq\{b\}\ \Leftrightarrow\ a=b
$$
が成り立つ。
既に前回示した命題「任意の $c\in U$ と任意の集合 $A\subseteq U$ について
$$
c\in A\ \Leftrightarrow\ \{c\}\subseteq A
$$
が成り立つ」ことを用いる(
証明はこちら
)。この命題において、$c=a$ かつ $A=\{b\}$ とおくと
$$
a\in\{b\}\ \Leftrightarrow\ \{a\}\subseteq\{b\}
$$
を得る。
また、単集合の性質より
$$
a\in\{b\}\ \Leftrightarrow\ a=b
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)。
したがって
$$
\{a\}\subseteq\{b\}\ \Leftrightarrow\ a\in\{b\}\ \Leftrightarrow\ a=b
$$
であるから、
$$
\{a\}\subseteq\{b\}\ \Leftrightarrow\ a=b
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
全体集合 $U$ を固定する。$a,b,c\in X$ とする。このとき
$$
\{a\}=\{b,c\}\ \Rightarrow\ b=c
$$
が成り立つ。
$\{a\}=\{b,c\}$ と仮定する。$b=c$ を示す。
$ $
対集合の定義より、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{b,c\}\ \Leftrightarrow\ (z=b\lor z=c)
$$
が成り立つ。
また、単集合の性質より、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{a\}\ \Leftrightarrow\ z=a
$$
が成り立つ(
証明はコチラ
)。
- まず、上の対集合の性質において $z=b$ とおくと
$$ b\in\{b,c\}\ \Leftrightarrow\ (b=b\lor b=c) $$
を得る。ここで、等号の反射律より
$$ b=b $$
が成り立つから、
$$ b=b\lor b=c $$
である。したがって
$$ b\in\{b,c\} $$
が従う。いま、仮定 $\{a\}=\{b,c\}$ より、等号の性質から
$$ b\in\{a\} $$
が成り立つ。ゆえに、単集合の性質において $z=b$ とおけば
$$ b\in\{a\}\ \Leftrightarrow\ b=a $$
であるから、
$$ b=a\cdots① $$
を得る。
$ $ - 次に、再び対集合の性質において $z=c$ とおくと
$$ c\in\{b,c\}\ \Leftrightarrow\ (c=b\lor c=c) $$
を得る。ここで、等号の反射律より
$$ c=c $$
が成り立つから、
$$ c=b\lor c=c $$
である。したがって
$$ c\in\{b,c\} $$
が従う。再び、仮定 $\{a\}=\{b,c\}$ より、等号の性質から
$$ c\in\{a\} $$
が成り立つ。
したがって、単集合の性質において $z=c$ とおけば
$$ c\in\{a\}\ \Leftrightarrow\ c=a $$
であるから、
$$ c=a\cdots➁ $$
を得る。
$ $
-以上①,➁より
$$
b=a\ \land\ c=a
$$
である。ここで、$c=a$ から等号の対称律より
$$
a=c
$$
が成り立つ。
したがって、$b=a$ と $a=c$ に等号の推移律を適用して
$$
b=c
$$
を得る。
$$ \Box$$
全体集合 $U$ を固定する。$x,y_1,y_2\in U$ とする。このとき
$$
\{x,y_1\}=\{x,y_2\}\ \land\ y_1\neq x\ \Rightarrow\ y_1=y_2
$$
が成り立つ。
$\{x,y_1\}=\{x,y_2\}$ かつ $y_1\neq x$ を仮定する。$y_1=y_2$ を示す。
対集合の定義より、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{x,y_1\}\ \Leftrightarrow\ (z=x\lor z=y_1)
$$
が成り立つ。
この同値において $z=y_1$ とおくと
$$
y_1\in\{x,y_1\}\ \Leftrightarrow\ (y_1=x\lor y_1=y_1)
$$
を得る。
ここで、等号の反射律より $y_1=y_1$ であるから
$$
y_1\in\{x,y_1\}
$$
が従う。
一方、仮定より $\{x,y_1\}=\{x,y_2\}$ であるから、等号の性質より
$$
y_1\in\{x,y_2\}
$$
が成り立つ。
再び対集合の定義より、任意の対象 $z$ について
$$
z\in\{x,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (z=x\lor z=y_2)
$$
が成り立つので、特に $z=y_1$ として
$$
y_1\in\{x,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (y_1=x\lor y_1=y_2)
$$
を得る。
すでに $y_1\in\{x,y_2\}$ を示したから
$$
y_1=x\lor y_1=y_2
$$
が成り立つ。
しかし、仮定より
$$
y_1\neq x
$$
である。したがって $y_1=x$ は成り立たないので、
$$
y_1=y_2
$$
が従う。
$$ \Box$$
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