直積集合 ➁

Prop & Proof

1. $\Rightarrow$ を示す。
   $x\in A$を仮定する。$\{x\}\subseteq A$を示す。
   部分集合の定義より、任意の$y$について
   $$ y\in\{x\}\Rightarrow y\in A $$
   を示せば十分である。
   任意の$y$を取り、$y\in\{x\}$を仮定する。単集合の性質より
   $$ y\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ y=x $$
   が成り立つ( 証明はコチラ )。ここで、$y=x$ かつ仮定より $x\in A$ であるから、等号の性質より
   $$ y\in A $$
   が従う。
   よって任意の$y$について$y\in\{x\}\Rightarrow y\in A$が成り立つ。従って部分集合の定義より
   $$ \{x\}\subseteq A $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $\Leftarrow$ を示す。
   $\{x\}\subseteq A$ を仮定する。$x\in A$ を示す。
   仮定 $\{x\}\subseteq A$ と部分集合の定義より、任意の対象 $y$ について
   $$ y\in\{x\}\Rightarrow y\in A $$
   が成り立つ。ここで、単集合の性質より、任意の対象 $y$ について
   $$ y\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ y=x $$
   が成り立つ( 証明はコチラ )。
   この同値において $y=x$ とおくと
   $$ x\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ x=x $$
   を得る。ここで、右辺は等号の反射律より
   $$ x=x $$
   が成り立つから、
   $$ x\in\{x\} $$
   が従う(証明下の補足を参照)。一方、先に示した
   $$ \forall y\ (y\in\{x\}\Rightarrow y\in A) $$
   において、特に $y=x$ とすると
   $$ x\in\{x\}\Rightarrow x\in A $$
   が成り立つ。すでに $x\in\{x\}$ を示したので、この含意より
   $$ x\in A $$
   を得る。以上より、$\{x\}\subseteq A$ ならば $x\in A$ である。
   $ $

-以上より
$$ x\in A\ \Leftrightarrow\ \{x\}\subseteq A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、$\{x,x\}=\{x\}$ を示すには、任意の $z$ について
$$ z\in\{x,x\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x\} $$
を示せばよい。
$ $
任意の $z$ をとる。
まず $z\in\{x,x\}$ であることの意味を定義に従って書き下すと( 詳しくはコチラ )、
$$ z\in\{x,x\}\ \Leftrightarrow\ (z=x\ \text{または}\ z=x) $$
である。ここで $(z=x\ \text{または}\ z=x)$ は $z=x$ と同値( 証明はコチラ )なので、
$$ z\in\{x,x\}\ \Leftrightarrow\ z=x $$
が成り立つ。
$ $
一方、単集合の性質より
$$ z\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ z=x $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
$ $
以上より
$$ z\in\{x,x\}\ \Leftrightarrow\ z=x \ \Leftrightarrow\ z\in\{x\} $$
となる。従って任意の $z$ について
$$ z\in\{x,x\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x\} $$
が成り立つので、集合の等号の定義から $\{x,x\}=\{x\}$ が従う。
$$ \Box $$