Askey-Wilson関数の別の定義について

前の記事 で第1種, 第2種のAskey-Wilson関数をそれぞれ
\begin{align} R_{\lambda}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(a^2,q^{1-\lambda}/az;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,bcd/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W\left(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda};\frac{zq}a\right)\\ S_{\lambda}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},q^{\lambda+1},bcz^2q^{\lambda+1},z^{-2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda}) \end{align}
によって定義した. ここで,
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x)&:=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{x} \end{align}
である. しかし, この定義は$a,b,c,d$に関して対称的ではなく, $\lambda$が非負整数の場合において広く使われているAskey-Wilson多項式の定義
\begin{align} p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q} \end{align}
と定数倍ずれてしまうので, そのような問題を解消する別の定義があるのではないかという気がしてくる. 前の記事 でRogers多項式がAskey-Wilson多項式の特別な場合になっていることを示した. それは具体的に
\begin{align} C_n(x;a|q)&=\frac{(a^2;q)_n}{(q,-a;q)_n(a^2q;q^2)_n}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q) \end{align}
という関係にある. また, 前の記事 において, Askey-Wilson多項式の特別な場合であるAl-Salam-Chihara多項式
\begin{align} Q_n(x;a,b|q):=p_n(x;a,b,0,0|q) \end{align}
が$q$積分を
\begin{align} \int_a^bf(t)\,d_qt&:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)) \end{align}
としたとき, $q$モーメントによる表示
\begin{align} Q_n(\cos\theta;a,b|q)&=\frac{2i\sin\theta(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}(ab;q)_n}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{-i\theta}}^{e^{i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu \end{align}
を持つことを示した. これらを踏まえた上で, 今回は以下の4つの条件を満たすようなAskey-Wilson関数$p_{\nu}(x;a,b,c,d|q), q_{\nu}(x;a,b,c,d|q)$を構成する.

1. $\nu$が非負整数$n$のとき, Askey-Wilson多項式$p_n(x;a,b,c,d|q)$に一致する.
2. $p_{\nu}(x;a,b,c,d|q), q_{\nu}(x;a,b,c,d|q)$は$a,b,c,d$に関して対称である.
3. 前の記事 で定義した$C_{\nu},D_{\nu}$と
   \begin{align} C_{\nu}(x;a|q)&=\frac{(a^2;q)_{\nu}}{(q,-a;q)_{\nu}(a^2q;q^2)_{\nu}}p_{\nu}(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q)\\ D_{\nu}(x;a|q)&=\frac{(a^2;q)_{\nu}}{(q,-a;q)_{\nu}(a^2q;q^2)_{\nu}}q_{\nu}(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q)\\ \end{align}
   の関係がある.
4. Al-Salam-Chihara関数を$Q_{\nu}(x;a,b|q):=p_{\nu}(x;a,b,0,0)$と定義したとき, $q$モーメントによる表示
   \begin{align} Q_{\nu}(\cos\theta;a,b|q)&=\frac{2i\sin\theta(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}(ab;q)_{\nu}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{-i\theta}}^{e^{i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^{\nu}\,d_qu \end{align}
   が成り立つ.

$p_{\nu},q_{\nu}$の定義

前の記事 の2つ目の証明において,
\begin{align} &p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)\\ &=\frac{(abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\\ &\qquad\cdot W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &\qquad+\frac{(abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{-2i\theta}q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)\\ \end{align}
であることを示した. これを元に,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(abczq^{\nu},bcdzq^{\nu},bzq^{\nu+1},czq^{\nu+1},a/z,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(abq^{\nu},acq^{\nu},bcq^{\nu},q^{\nu+1},bdq^{\nu},cdq^{\nu},bcz^2q^{\nu+1},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\nu};bcq^{\nu},zq/a,zq/d,bz,cz;adq^{\nu}) \end{align}
と定義すると,
\begin{align} p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)&=\tilde{S}_n(e^{i\theta};a,b,c,d)+\tilde{S}_n(e^{-i\theta};a,b,c,d) \end{align}
と表されることが分かる. これは冒頭に述べたRahmanによる定義と
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)&=\frac{(bc,bd,cd,q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,b,c,d) \end{align}
の関係がある.

これらが先ほど述べた性質を持っていることを見る. 1つ目の性質を満たすように定義したので, 2つ目以降の性質を見る.

$a,b,c,d$に関する対称性

定義より, $p_{\nu},q_{\nu}$が$a,b,c,d$に関して対称であることを示すには, 以下を示せば十分である.

追記

${}_8\phi_7$の二項変換公式
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f;a^2q^2/bcdef)\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_{\infty}}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_{\infty}}W(w;wb/a,wc/a,wd/a,e,f;aq/ef)\qquad w=a^2q/bcd \end{align}
の$b,c,d$に$bcq^{\nu},zq/a,zq/d$を選ぶと,
\begin{align} &W(bcz^2q^{\nu};bcq^{\nu},zq/a,zq/d,bz,cz;adq^{\nu})\\ &=\frac{(bcz^2q^{\nu+1},q^{\nu+1},acdzq^{\nu},abdzq^{\nu};q)_{\infty}}{(bzq^{\nu+1},czq^{\nu+1},abcdz^2q^{\nu},adq^{\nu};q)_{\infty}}W(abcdz^2q^{\nu-1};abcdq^{\nu-1},az,bz,cz,dz;q^{\nu+1}) \end{align}
となるから,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)&=\frac{(abczq^{\nu},bcdzq^{\nu},bzq^{\nu+1},czq^{\nu+1},a/z,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(abq^{\nu},acq^{\nu},bcq^{\nu},q^{\nu+1},bdq^{\nu},cdq^{\nu},bcz^2q^{\nu+1},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\\ &\qquad\cdot\frac{(bcz^2q^{\nu+1},q^{\nu+1},acdzq^{\nu},abdzq^{\nu};q)_{\infty}}{(bzq^{\nu+1},czq^{\nu+1},abcdz^2q^{\nu},adq^{\nu};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(abcdz^2q^{\nu-1};abcdq^{\nu-1},az,bz,cz,dz;q^{\nu+1})\\ &=\frac{(bcdzq^{\nu},acdzq^{\nu},abdzq^{\nu},abczq^{\nu},a/z,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(abq^{\nu},acq^{\nu},adq^{\nu},bcq^{\nu},bdq^{\nu},cdq^{\nu},1/z^2,abcdz^2q^{\nu};q)_{\infty}}z^{\nu}\\ &\qquad\cdot W(abcdz^2q^{\nu-1};abcdq^{\nu-1},az,bz,cz,dz;q^{\nu+1}) \end{align}
と$\tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)$の$a,b,c,d$に関して対称的な表示を得ることができるようだ.

$q$超球関数との関係

3つ目の性質を示すには, 前の記事 で導入した\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a):=\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(q,a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\frac{1+a^2q^{\nu}}{1+a^2}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q) \end{align}
との間に
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(x;a)&=\frac{(a^4;q)_{\nu}}{(q,-a^2;q)_{\nu}(a^4q;q^2)_{\nu}}\tilde{S}_{\nu}(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q) \end{align}
の関係があることを示せば十分である. 先ほどの式
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)&=\frac{(bc,bd,cd,q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,b,c,d) \end{align}
を特殊化することによって
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{(-a^2\sqrt q,-a^2q,a^2\sqrt q,q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=\frac{(q,-a^2\sqrt q,-a^2q,a^2\sqrt q;q)_{\nu}}{(a^4;q)_{\nu}}\frac{1+a^2}{1+a^2q^{\nu}}\tilde{S}_{\nu}(z;a)\\ &=\frac{(q,-a^2;q)_{\nu}(a^4q;q^2)_{\nu}}{(a^4;q)_{\nu}}\tilde{S}_{\nu}(z;a) \end{align}
と示される.

Al-Salam-Chihara関数の$q$モーメントによる表示

\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b):=\tilde{S}_{\nu}(z;a,b,0,0) \end{align}
とする. $a,b,c,d$に関する対称性より,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b,c,d)&=\frac{(abczq^{\nu},bcdzq^{\nu},bzq^{\nu+1},czq^{\nu+1},a/z,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(abq^{\nu},acq^{\nu},bcq^{\nu},q^{\nu+1},bdq^{\nu},cdq^{\nu},bcz^2q^{\nu+1},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\nu};bcq^{\nu},zq/a,zq/d,bz,cz;adq^{\nu}) \end{align}
において$b=c=0$とすると,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,d)&=\frac{(a/z,d/z;q)_{\infty}}{(q^{\nu+1},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\Q21{zq/a,zq/d}{z^2q}{adq^{\nu}} \end{align}
つまり,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b)&=\frac{(a/z,b/z;q)_{\infty}}{(q^{\nu+1},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\Q21{zq/a,zq/b}{z^2q}{abq^{\nu}} \end{align}
を得る. 右辺に Heineの変換公式 を適用して,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a,b)&=\frac{(a/z,b/z;q)_{\infty}}{(abq^{\nu},1/z^2;q)_{\infty}}z^{\nu}\Q21{az,bz}{z^2q}{q^{\nu+1}}\\ &=(1-z^2)\frac{(az,a/z,bz,b/z;q)_{\infty}(ab;q)_{\nu}}{(q,ab,z^2,1/z^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1},z^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(azq^n,bzq^n;q)_{\infty}}q^{(\nu+1)n} \end{align}
であるから,
\begin{align} Q_{\nu}(\cos\theta;a,b|q)&=\tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a,b)+\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a,b)\\ &=\frac{2i\sin\theta(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}(ab;q)_{\nu}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{-i\theta}}^{e^{i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^{\nu}\,d_qu \end{align}
を得る.

まとめ

このように, 今回導入した$p_{\nu}(x;a,b,c,d|q),q_{\nu}(x;a,b,c,d|q)$はいくつかの観点で$R_{\nu}(x;a,b,c,d),S_{\nu}(x;a,b,c,d)$より良い性質を持っているように見える. 一方, $R_{\nu}(x;a,b,c,d)$が1つの${}_8\phi_7$で定義されたのに対し, $p_{\nu}(x;a,b,c,d|q)$は2つの${}_8\phi_7$の和と定義され, 一見して1つの${}_8\phi_7$にはまとまらないと思われる. その観点ではRahmanの定義の方が扱いやすいところもあると思われる.