楕円積分の特殊値を求める(その3)

　$f(\tau)$および$j(\tau)$は同じ対称性を持つ、つまりあるモジュラー群$G$による作用に対し不変となることが推察されるので モジュラー方程式の記事 の定理1.3により$f(\tau)$と$j(\tau)$は$\C$上代数的な関係にあることがわかる。
　またそれぞれの$q$-展開は$\Z[e^{\frac{2\pi i}D}]$を係数に持つので、アレコレすることで$\Z$係数の方程式$F(f(\tau),j(\tau))=0$を満たすことがわかる。

　虚数乗法による有名な結果なので省略。

　 二平方定理の記事 の定理5系より
\begin{align*} w_D\z(s)L_D(s) &=w_D\sum^\infty_{l,m=1}\l(\frac Dm\r)\frac1{(lm)^s}\\ &=\sum^\infty_{n=1}(w_D\sum_{d\mid n}\l(\frac Dd\r))\frac1{n^s}\\ &=\sum^\infty_{n=1}\frac{r(n)}{n^s}\\ &=\sum^{h_D}_{j=1}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)^s} \end{align*}
とわかる。

　 楕円積分の特殊値を求める の冒頭で紹介したように
$$E(\tau_j,s)=\ssum_{m,n}\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{f_j(m,n)}$$
が成り立つことに注意するとクロネッカーの極限公式より
\begin{eqnarray} &&\lim_{s\to1}\l(\ssum_{m,n}\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r) \\&=&\lim_{s\to1}(\l(\ssum_{m,n}\frac{\sqrt{|D|}/2}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r)\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{\sqrt{|D|}/2}+\frac\pi{s-1}\l(\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{\sqrt{|D|}/2}-1\r)) \\&=&\lim_{s\to1}\l(\ssum_{m,n}\frac{\sqrt{|D|}/2}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r)+\pi\log\frac{\sqrt{|D|}}2 \\&=&2\pi(\g-\log2-\farc12\log\frac{\sqrt{|D|}}{2a_j}-\log|\eta(\tau_j)|^2) \end{eqnarray}
つまり
$$\lim_{s\to1}\l(\frac{\sqrt{|D|}}{2\pi}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)}-\frac1{s-1}\r) =2(\g-\frac12\log|D|+\frac12\log a_j-\log|\eta(\tau_j)|^2)$$
が成り立つ。
　また この記事 および類数公式より
\begin{eqnarray} \frac{L'_D(1)}{L_D(1)} &=&\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau\big((D|\cdot)\big)L_D(1)} \sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac{\pi\sqrt{-1}}{\sqrt{D}}\cdot\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D} \sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac{w_D}{2h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{eqnarray}
つまり
\begin{align*} \lim_{s\to1}\l(\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D}\z(s)L_D(s)-\frac1{s-1}\r) &=\lim_{s\to1}\l(\z(s)\frac{L_D(s)}{L_D(1)}-\frac1{s-1}\r)\\ &=\lim_{s\to1}(\l(\z(s)-\frac1{s-1}\r)\frac{L_D(s)}{L_D(1)}+\frac1{s-1}\l(\frac{L_D(s)}{L_D(1)}-1\r))\\ &=\g+\frac{L'_D(1)}{L_D(1)}\\ &=2\g+\log2\pi-\frac{w_D}{2h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{align*}
が成り立つ。
　以上より補題4から
\begin{eqnarray} \lim_{s\to1}\sum^{h_D}_{j=1}\l(\frac{\sqrt{|D|}}{2\pi}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)}-\frac1{s-1}\r) &=&2h_D(\g-\frac12\log|D|)+2\sum^{h_D}_{j=1}(\frac12\log a_j-\log|\eta(\tau_j)|^2)\\ =\lim_{s\to1}h_D\l(\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D}\z(s)L_D(s)-\frac1{s-1}\r) &=&2h_D(\g+\frac12\log2\pi)-\frac{w_D}2\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{eqnarray}
つまり
$$\sum^{h_D}_{j=1}\log|\eta(\tau_j)|^2 =-\frac{h_D}2\log(2\pi|D|)+\frac12\sum^{h_D}_{j=1}\log a_j +\frac{w_D}4\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\l(\frac nD\r)$$
を得る。

　補題3より$\eta(\tau_j)/\eta(\tau)=\la_j$は代数的数となり、
$$\sum^{h_D}_{j=1}\log|\eta(\tau_j)|^2 =h_D\log|\eta(\tau)|^2+\sum^{h_D}_{j=1}\log|\la_j|^2$$
が成り立つので
$$\a=\frac1{\sqrt{2|D|}}\l(\prod^{h_D}_{j=1}\frac{\sqrt{a_j}}{|\la_j|^2}\r)^{1/h_D}$$
とおくと主張を得る。

　$iK'/K=\tau$において
$$\eta(\tau)^6 =\frac18\t_2(\tau)^2\t_3(\tau)^2\t_4(\tau)^2 =\frac1{\pi^3}kk'K^3$$
が成り立つので$\tau\in\Q(\sqrt{D})$において$k,k'$は代数的数となることに注意して$\b=\a(kk')^{-1/3}$とおくと主張を得る。