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楕円積分の特殊値を求める(その3)

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はじめに

　この記事では前に書いた記事に続いて楕円積分の特殊値$K(k_n)$を求めていきます。
　前回まではいくつかの特殊な場合に対しLattice Sumを$L$関数によって
$$\ssum_{m,n}\frac1{(am^2+bmn+cn^2)^s}=\frac{w_D}{2^r}\sum_{d\mid D}L_{\pm d}(s)L_{\pm D/d}(s) \quad(D=b^2-4ac)$$
と分解することで、クロネッカーの極限公式により直接
$$\l|\eta\l(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\r)\r|$$
の値を計算していました。
　しかし今回は少し趣向を変え以下の主張を示していきます。

Chowla–Selbergの公式

　$D$を虚二次体$\Q(\sqrt{D})$の判別式とし、$w_D,h_D$をそれぞれ$\Q(\sqrt{D})$の$1$の冪根の個数、類数とする。
　このとき任意の$\tau\in\Q(\sqrt{D})$に対しある代数的数$\a$が存在して
$$\log|\eta(\tau)|^2 =\log\a-\frac12\log\pi+\farc{w_D}{4h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\l(\frac n{|D|}\r)$$
が成り立つ。特に$iK'/K\in\Q(\sqrt{D})$なる$k$に対しある代数的数$\b$が存在して
$$|K(k)|=\b\sqrt\pi\l(\prod^{|D|}_{n=1}\G\l(\frac{n}{|D|}\r)^{\l(\frac Dn\r)}\r)^{\frac{w_D}{4h_D}}$$
が成り立つ。ただし$(\frac an)$はクロネッカー記号とした。

　前回まではこの$\a$や$\b$を具体的に計算する手法を紹介しましたが、今回は楕円積分の特殊値がガンマ関数によって表せる、ということのみに焦点を当てていきます。

補題

　$AD>0$なる整数$A,B,D$に対し
$$f(\tau)=\frac{\eta(\frac{A\tau+B}D)}{\eta(\tau)}$$
とおくとある整数係数多項式$F(x,y)$が存在して$F(f(\tau),j(\tau))=0$が成り立つ。

(概説)

　$f(\tau)$および$j(\tau)$は同じ対称性を持つ、つまりあるモジュラー群$G$による作用に対し不変となることが推察されるのでモジュラー方程式の記事の定理1.3により$f(\tau)$と$j(\tau)$は$\C$上代数的な関係にあることがわかる。
　またそれぞれの$q$-展開は$\Z[e^{\frac{2\pi i}D}]$を係数に持つので、アレコレすることで$\Z$係数の方程式$F(f(\tau),j(\tau))=0$を満たすことがわかる。

　$\tau\in\H$がある虚二次体に属するとき$j(\tau)$は代数的数となる。
　特に$f(\tau)$も代数的数であり、したがって$\tau_1,\tau_2$が同じ虚二次体に属するとき$\eta(\tau_1)/\eta(\tau_2)$は代数的数となる。

　虚数乗法による有名な結果なので省略。

　ある虚二次体の判別式$D$に対し類群$C(D)$の完全代表系$\{f_j(x,y)\}^{h_D}_{j=1}$を取ると
$$\sum^{h_D}_{j=1}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)^s}=w_D\z(s)L_D(s)$$
が成り立つ。

　二平方定理の記事の定理5系より
\begin{align*} w_D\z(s)L_D(s) &=w_D\sum^\infty_{l,m=1}\l(\frac Dm\r)\frac1{(lm)^s}\\ &=\sum^\infty_{n=1}(w_D\sum_{d\mid n}\l(\frac Dd\r))\frac1{n^s}\\ &=\sum^\infty_{n=1}\frac{r(n)}{n^s}\\ &=\sum^{h_D}_{j=1}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)^s} \end{align*}
とわかる。

チョウラ＝セルバーグの公式

　類群$C(D)$の完全代表系を$f_j=a_jx^2+b_jxy+c_jy^2$とおいたとき
$$\sum^{h_D}_{j=1}\log|\eta(\tau_j)|^2 =-\frac{h_D}2\log(2\pi|D|)+\frac12\sum^{h_D}_{j=1}\log a_j +\frac{w_D}4\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\l(\frac nD\r)$$
が成り立つ。ただし$\tau_j=(-b_j+\sqrt{D})/2a_j$と置いた。

　楕円積分の特殊値を求めるの冒頭で紹介したように
$$E(\tau_j,s)=\ssum_{m,n}\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{f_j(m,n)}$$
が成り立つことに注意するとクロネッカーの極限公式より
\begin{eqnarray} &&\lim_{s\to1}\l(\ssum_{m,n}\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r) \\&=&\lim_{s\to1}(\l(\ssum_{m,n}\frac{\sqrt{|D|}/2}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r)\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{\sqrt{|D|}/2}+\frac\pi{s-1}\l(\frac{(\sqrt{|D|}/2)^s}{\sqrt{|D|}/2}-1\r)) \\&=&\lim_{s\to1}\l(\ssum_{m,n}\frac{\sqrt{|D|}/2}{f_j(m,n)^s}-\farc\pi{s-1}\r)+\pi\log\frac{\sqrt{|D|}}2 \\&=&2\pi(\g-\log2-\farc12\log\frac{\sqrt{|D|}}{2a_j}-\log|\eta(\tau_j)|^2) \end{eqnarray}
つまり
$$\lim_{s\to1}\l(\frac{\sqrt{|D|}}{2\pi}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)}-\frac1{s-1}\r) =2(\g-\frac12\log|D|+\frac12\log a_j-\log|\eta(\tau_j)|^2)$$
が成り立つ。
　またこの記事および類数公式より
\begin{eqnarray} \frac{L'_D(1)}{L_D(1)} &=&\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau\big((D|\cdot)\big)L_D(1)} \sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac{\pi\sqrt{-1}}{\sqrt{D}}\cdot\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D} \sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac{w_D}{2h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{eqnarray}
つまり
\begin{align*} \lim_{s\to1}\l(\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D}\z(s)L_D(s)-\frac1{s-1}\r) &=\lim_{s\to1}\l(\z(s)\frac{L_D(s)}{L_D(1)}-\frac1{s-1}\r)\\ &=\lim_{s\to1}(\l(\z(s)-\frac1{s-1}\r)\frac{L_D(s)}{L_D(1)}+\frac1{s-1}\l(\frac{L_D(s)}{L_D(1)}-1\r))\\ &=\g+\frac{L'_D(1)}{L_D(1)}\\ &=2\g+\log2\pi-\frac{w_D}{2h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{align*}
が成り立つ。
　以上より補題4から
\begin{eqnarray} \lim_{s\to1}\sum^{h_D}_{j=1}\l(\frac{\sqrt{|D|}}{2\pi}\ssum_{m,n}\frac1{f_j(m,n)}-\frac1{s-1}\r) &=&2h_D(\g-\frac12\log|D|)+2\sum^{h_D}_{j=1}(\frac12\log a_j-\log|\eta(\tau_j)|^2)\\ =\lim_{s\to1}h_D\l(\frac{\sqrt{|D|}w_D}{2\pi h_D}\z(s)L_D(s)-\frac1{s-1}\r) &=&2h_D(\g+\frac12\log2\pi)-\frac{w_D}2\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\bigg(\frac nD\bigg) \end{eqnarray}
つまり
$$\sum^{h_D}_{j=1}\log|\eta(\tau_j)|^2 =-\frac{h_D}2\log(2\pi|D|)+\frac12\sum^{h_D}_{j=1}\log a_j +\frac{w_D}4\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\l(\frac nD\r)$$
を得る。

　任意の$\tau\in\Q(\sqrt{D})$に対しある代数的数$\a$が存在して
$$\log|\eta(\tau)|^2 =\log\a-\frac12\log\pi+\farc{w_D}{4h_D}\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\log\G\l(\frac n{|D|}\r)$$
が成り立つ。

　補題3より$\eta(\tau_j)/\eta(\tau)=\la_j$は代数的数となり、
$$\sum^{h_D}_{j=1}\log|\eta(\tau_j)|^2 =h_D\log|\eta(\tau)|^2+\sum^{h_D}_{j=1}\log|\la_j|^2$$
が成り立つので
$$\a=\frac1{\sqrt{2|D|}}\l(\prod^{h_D}_{j=1}\frac{\sqrt{a_j}}{|\la_j|^2}\r)^{1/h_D}$$
とおくと主張を得る。

　$iK'/K\in\Q(\sqrt{D})$なる$k$に対しある代数的数$\b$が存在して
$$|K(k)|=\b\sqrt\pi\l(\prod^{|D|}_{n=1}\G\l(\frac{n}{|D|}\r)^{\l(\frac Dn\r)}\r)^{\frac{w_D}{4h_D}}$$
が成り立つ。

　$iK'/K=\tau$において
$$\eta(\tau)^6 =\frac18\t_2(\tau)^2\t_3(\tau)^2\t_4(\tau)^2 =\frac1{\pi^3}kk'K^3$$
が成り立つので$\tau\in\Q(\sqrt{D})$において$k,k'$は代数的数となることに注意して$\b=\a(kk')^{-1/3}$とおくと主張を得る。