EllipticKを含む積分　【解けるだけ解いてみた】

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https://mathlog.info/articles/8arKGgS7ltjRvRKuAkJL

の記事に書かれている積分の解法を載せる.

定義

$\begin{array}{r} β_{n} := (\binom{2 n}{n}) 2^{- 2 n}, A := \sum_{0 \leq n} β_{n}^{3}, Κ (x) := \int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}} \sqrt{1 - t^{2} x^{2}}}, κ (x) := \sum_{0 \leq n} β_{n}^{2} x^{n} \end{array}$
$P_{n} (x)$ …ルジャンドル多項式
$ρ_{n} (x) := P_{2 n} (\sqrt{x})$

EllipticKを含む積分

命題1
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} Κ (x)^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} Κ^{'} (x)^{2} d x = \frac{π^{4}}{32} \sum_{0 \leq n} (4 n + 1) β_{n}^{6} \end{array}$

$\begin{array}{r} κ (1 - x) = π \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} (2 n + \frac{1}{2}) β_{n}^{3} ρ_{n} (x) \end{array}$
を用いる.
これにより
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} κ (1 - x)^{2} x^{- 1 / 2} d x = \frac{π^{2}}{2} \sum_{0 \leq n} (4 n + 1) β_{n}^{6} \end{array}$
がわかり,
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} κ (1 - x)^{2} x^{- 1 / 2} d x = \frac{8}{π^{2}} \int_{0}^{1} Κ^{'} (x)^{2} d x \end{array}$
であるため,命題の右側が成り立つ.
また,Landen Transformを用いれば
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} Κ^{'} (x)^{2} d x & = & \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} Κ (x)^{2} d x \\ = & \int_{0}^{1} {(\frac{2 x}{1 + x^{2}} Κ (\frac{2 x}{1 + x^{2}}))}^{2} \frac{d x}{x} (x \to \frac{2 x}{1 + x^{2}}) \\ = & 4 \int_{0}^{1} x Κ (x^{2})^{2} d x \end{array}$
より命題が示された

命題2
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \frac{Γ {(\frac{1}{4})}^{4}}{24} \end{array}$

この積分ではモーメントを用いて解きます.
反復ベータ積分を用いる事により,
$\begin{array}{r} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{0 \leq m < n} \frac{β_{n} x^{2 n}}{m + \frac{1}{2}} \end{array}$
が簡単にわかり,
ある記事

https://mathlog.info/articles/uWdcYqKmmNPThJr6iYDE

を用いるとこの関数のモーメントがわかり,次のようになります.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} x^{2 n} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x & = & π β_{n} (\ln 2 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k}) \\ \int_{0}^{1} x^{2 n + 1} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x & = & \frac{1}{(2 n + 1) β_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} \end{array}$

これを用いて解いていきましょう.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} Κ (x) \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x & = & \frac{π}{2} \sum_{0 \leq n} β_{n}^{2} \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x \\ = & \frac{π^{2} A}{2} \ln 2 + \frac{π^{2}}{4} \sum_{0 < k \leq n} \frac{β_{n}^{3}}{k} \\ = & \frac{π^{3}}{6} A \end{array}$

途中にある級数はNKSさんの記事

https://mathlog.info/articles/g6YRPjtQQB0RABORiehA

に並んでいる物の1つです.
実はこの一覧の級数も大半は証明できていて公開しようか迷っているところです.

命題3
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{x Κ (x)^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \frac{π^{4}}{4} \sum_{0 \leq n} β_{n}^{4} \end{array}$

わからん.

命題4
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x) \ln \frac{1}{x}}{1 - x^{2}} d x = \frac{7}{4} ζ (3) \end{array}$

ここでは楕円積分のモーメント
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} x^{2 n - 1} Κ (x) d x = \frac{1}{4 n^{2} β_{n}^{2}} \sum_{k = 0}^{n - 1} β_{k}^{2} \end{array}$
を途中用います.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x) \ln \frac{1}{x}}{1 - x^{2}} d x & = & \frac{π}{2} \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{x} \sum_{0 \leq k \leq n} β_{k}^{2} x^{2 n} d x \\ = & \frac{π}{2} \sum_{0 \leq k \leq n} \frac{β_{k}^{2}}{(2 n + 1)^{2}} \\ = & \frac{π}{2} \int_{0}^{1} \sum_{0 \leq n} β_{n}^{2} x^{2 n + 1} Κ (x) d x \\ = & \int_{0}^{1} x Κ (x)^{2} d x \end{array}$

最後の積分は僕が超級で解説したものであり,
命題が成り立つ事がわかります.

命題5
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ^{'} (x) \ln \frac{1}{x}}{1 - x^{2}} d x = \frac{π^{3}}{8} \end{array}$

先ほどの $\ln$ のモーメントを用います.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} \frac{Κ^{'} (x) \ln \frac{1}{x}}{1 - x^{2}} d x & = & \frac{1}{2} \int_{0}^{1} Κ (x) \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{x \sqrt{1 - x^{2}}} d x \\ = & \frac{π}{4} (\int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{x \sqrt{1 - x^{2}}} d x + \sum_{0 \leq k < n} \frac{β_{n}}{(2 k + 1) n}) \\ = & \frac{π}{2} \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{1 - x^{2}}}{x \sqrt{1 - x^{2}}} d x \\ = & \frac{π}{4} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2} β_{n}} \end{array}$

命題6
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{x Κ (x) Κ^{'} (x)}{1 - t^{2} x^{2}} d x = \frac{π}{4} Κ (t)^{2} \end{array}$
命題7
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ^{'} (x)}{1 - t^{2} x^{2}} d x = \frac{π}{2} Κ (t) \end{array}$

NKSさんから次の積分を教えてもらいました.

$f$ を $(- \infty, 1)$ で実数値を取る複素関数で, $| x | < 1$ で正則ならば
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} x^{n - 1} Im f (\frac{1}{x} + i 0) d x = π [x^{n}] f (x) \end{array}$

証明には複素積分を用います.
この公式は凄まじく,これからやる積分以外でも使うことができるので,興味のある方は色々な関数を入れてみると良いかもしれません.
また,超幾何級数の接続公式を用いると

$\begin{array}{r} κ (\frac{1}{x}) = \sqrt{x} (κ (x) + i κ (1 - x)) \end{array}$

がわかります.(κの定義の積分表示から計算することも可能)

先ほどの公式に, $f (x) = κ (x)$ , $f (x) = κ (x)^{2}$
を順次いれる.
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} x^{n - 1 / 2} κ (1 - x) d x = π [x^{n}] κ (x) \end{array}$
$\begin{array}{r} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \frac{κ (1 - x)}{1 - t x} \frac{d x}{\sqrt{x}} = π κ (t) \end{array}$
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} x^{n} Im (κ (x)^{2} + 2 i κ (x) κ (1 - x) - κ (1 - x)^{2}) d x = π [x^{n}] κ (x)^{2} \end{array}$
$\begin{array}{r} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \frac{κ (x) κ (1 - x)}{1 - x t} d x = \frac{π}{2} κ (t)^{2} \end{array}$
より2つの命題がわかる.

命題8
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ^{'} (x) \tanh^{- 1} x}{x} d x = π β (2) \end{array}$
命題9
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x) Κ^{'} (x)}{x} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \frac{7 π}{8} ζ (3) \end{array}$

命題8は命題7について,両辺tで積分することでわかる.
命題9は命題6について,両辺にtを掛け,積分すればわかる.

命題10
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x)}{1 + x} d x = \frac{π^{2}}{8} \end{array}$

Landen Transformを用いる.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} \frac{Κ (x)}{1 + x} d x & = & \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x^{2}} Κ (x^{2}) d x \\ = & \int_{0}^{1} \frac{2 x}{(1 + x^{2})^{2}} Κ (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) d x \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x Κ (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \to x) \\ = & \frac{π}{4} \sum_{0 \leq n} \frac{β_{n}}{2 n + 1} \end{array}$

おわりに

まだまだ解けている積分はあるので隙間時間に書いて投稿しようと思っています.

参考文献

ellipticKを含む積分:

https://mathlog.info/articles/8arKGgS7ltjRvRKuAkJL

二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出およびmomentの計算:

https://mathlog.info/articles/uWdcYqKmmNPThJr6iYDE

反復ベータ積分の応用:楕円積分のモーメントを計算する:

https://mathlog.info/articles/fUEhApCXiJebkQH25wUf

二項係数の3乗が入った二重級数まとめ:

https://mathlog.info/articles/g6YRPjtQQB0RABORiehA

a-Legendre多項式とa-Landen変換:

https://mathlog.info/articles/TTQQyar4Gf1SczwUxjvE

非整数階積分と随伴作用素:

https://mathlog.info/articles/27q3fS0ovkICZr4ic1mH

投稿日：2024年7月10日

更新日：2024年7月15日

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