集合系 ➁

Prop&Proof

べき集合の定義より
$$ \mathcal{P}(A)=\{X\mid X\subseteq A\} $$
である。

1. 空集合は任意の集合の部分集合であるから
   $$ \varnothing\subseteq A $$
   が成り立つ( 証明はこちら )。したがって、べき集合の定義より
   $$ \varnothing\in\mathcal{P}(A) $$
   を得る。
   $ $
2. 部分集合の定義より、任意の $x\in U$ について
   $$ x\in A\ \Rightarrow\ x\in A $$
   が成り立つ( 証明はコチラ )。ゆえに
   $$ A\subseteq A $$
   である( 証明はこちら )。
   したがって、再びべき集合の定義より
   $$ A\in\mathcal{P}(A) $$
   を得る。
   $ $

-以上より
$$ \varnothing\in\mathcal{P}(A),\qquad A\in\mathcal{P}(A) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

べき集合の定義より
$$ \mathcal{P}(\varnothing)=\{X\mid X\subseteq \varnothing\} $$
である。

1. まず
   $$ \varnothing\in\mathcal{P}(\varnothing) $$
   を示す。
   任意の集合 $A \subseteq U$ について $$ \varnothing \subseteq A $$ が成り立つ、$A$は任意であるから$A=\varnothing$でも成り立つ( 証明はこちら )。すなわち、
   $$ \varnothing\subseteq\varnothing $$
   が成り立つ。
   したがって、べき集合の定義より
   $$ \varnothing\in\mathcal{P}(\varnothing) $$
   である。
   $ $
2. 次に、任意の集合 $X$ について
   $$ X\in\mathcal{P}(\varnothing)\ \Rightarrow\ X=\varnothing $$
   を示す。
   そこで、任意に $X\in\mathcal{P}(\varnothing)$ をとる。べき集合の定義より
   $$ X\subseteq\varnothing $$
   が成り立つ。
   また、空集合は任意の集合の部分集合であるから
   $$ \varnothing\subseteq X $$
   も成り立つ( 証明はこちら )。
   ゆえに、集合の外延性より
   $$ X=\varnothing $$
   である。
   $ $
3. 以上を用いて
   $$ \mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\} $$
   を示す。
   任意の集合 $Y$ をとる。
   まず
   $$ Y\in\mathcal{P}(\varnothing) $$
   と仮定する。このとき、上で示したことより
   $$ Y=\varnothing $$
   である。したがって
   $$ Y\in\{\varnothing\} $$
   である。
   逆に
   $$ Y\in\{\varnothing\} $$
   と仮定する。このとき、$\{\varnothing\}$ の定義( 集合の外延的表現 )より
   $$ Y=\varnothing $$
   である。すでに
   $$ \varnothing\in\mathcal{P}(\varnothing) $$
   を示したから
   $$ Y\in\mathcal{P}(\varnothing) $$
   である。

-以上より、任意の集合 $Y$ について
$$ Y\in\mathcal{P}(\varnothing)\ \Leftrightarrow\ Y\in\{\varnothing\} $$
が成り立つ。ゆえに、集合の外延性より
$$ \mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\} $$
が成り立つ。
$$ \Box$$