集合系 ④
Prop & Proof
集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)
$$
が成り立つ。
集合の相等を示すために、両方の包含関係を示す。
- $(\subseteq)$ を示す。
任意に $X\in \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)$ をとる。
共通部分の定義より
$$ X\in \mathcal{P}(A)\ \land\ X\in \mathcal{P}(B) $$
である。
ここで、べき集合の定義より
$$ X\subseteq A,\quad X\subseteq B $$
が成り立つ。
したがって、任意の $x\in U$ について、$x\in X$ ならば $x\in A$ かつ $x\in B$ である。ゆえに
$$ x\in X\ \Rightarrow\ x\in A\cap B $$
が成り立つので
$$ X\subseteq A\cap B $$
である。再び、べき集合の定義より
$$ X\in \mathcal{P}(A\cap B) $$
を得る。よって
$$ \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cap B) $$
が成り立つ。
$ $ - $(\supseteq)$ を示す。
任意に $X\in \mathcal{P}(A\cap B)$ をとる。
べき集合の定義より
$$ X\subseteq A\cap B $$
である。
したがって、任意の $x\in U$ について、$x\in X$ ならば $x\in A\cap B$ である。共通部分の定義より
$$ x\in A\cap B\ \Rightarrow\ x\in A\ \land\ x\in B $$
であるから
$$ x\in X\ \Rightarrow\ x\in A,\qquad x\in X\ \Rightarrow\ x\in B $$
が成り立つ。ゆえに
$$ X\subseteq A,\quad X\subseteq B $$
である。
したがって、べき集合の定義より
$$ X\in \mathcal{P}(A),\quad X\in \mathcal{P}(B) $$
である。よって、共通部分の定義から
$$ X\in \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) $$
を得る。
ゆえに
$$ \mathcal{P}(A\cap B)\subseteq \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) $$
が成り立つ。
-以上より
$$
\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)
$$
である。
$$ \Box$$
本命題において、
$$
\mathcal{P}(A\cap B)\subseteq \mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)
$$
は、要素を任意に取る直接証明のほかに、
べき集合の単調性$A\subseteq B\Rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$を用いても示すことができる。実際、
$$
A\cap B\subseteq A,\quad A\cap B\subseteq B
$$
である(
証明はこちら
)から、べき集合の単調性(
証明はこちら
)より
$$
\mathcal{P}(A\cap B)\subseteq \mathcal{P}(A),\quad \mathcal{P}(A\cap B)\subseteq \mathcal{P}(B)
$$
が成り立つ。したがって、一般に
$$
Z\subseteq X\ \land\ Z\subseteq Y\ \Leftrightarrow\ Z\subseteq X\cap Y
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)から
$$
\mathcal{P}(A\cap B)\subseteq \mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)
$$
を得る。
集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A\cup B)
$$
が成り立つ。
部分集合の定義により、$\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A\cup B)$ を示すには、任意の集合 $X$ について
$$
X\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\ \Rightarrow\ X\in \mathcal{P}(A\cup B)
$$
が成り立つことを示せば十分である。
そこで、任意に $X$ をとり
$$
X\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)
$$
と仮定する。和集合の定義より
$$
X\in \mathcal{P}(A)\ \lor\ X\in \mathcal{P}(B)
$$
である。
- $1$つ目の場合として、$X\in \mathcal{P}(A)$ とする。このとき、べき集合の定義より
$$ X\subseteq A $$
である。また、和集合の定義より
$$ A\subseteq A\cup B $$
が成り立つ( 証明はこちら )。したがって、部分集合の推移性より
$$ X\subseteq A\cup B $$
が成り立つ( 証明はこちら )。ゆえに、再びべき集合の定義より
$$ X\in \mathcal{P}(A\cup B) $$
である。
$ $ - $2$つ目の場合として、$X\in \mathcal{P}(B)$ とする。このとき、べき集合の定義より
$$ X\subseteq B $$
である。また、和集合の定義より
$$ B\subseteq A\cup B $$
が成り立つ( 証明はこちら )。したがって、部分集合の推移性より
$$ X\subseteq A\cup B $$
が成り立つ( 証明はこちら )。ゆえに、再びべき集合の定義より
$$ X\in \mathcal{P}(A\cup B) $$
である。
-以上より、いずれの場合にも
$$
X\in \mathcal{P}(A\cup B)
$$
が成り立つ。
したがって、任意の集合 $X$ について
$$
X\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\ \Rightarrow\ X\in \mathcal{P}(A\cup B)
$$
が成り立つので、部分集合の定義より
$$
\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A\cup B)
$$
である。
$$ \Box$$
一般に
$$
\mathcal{P}(A\cup B) \subseteq \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)
$$
は成り立たない。例えば$A=\{a\}$、$B=\{b\}$とすると
$$
\{a,b\}\in\mathcal{P}(A\cup B)
$$
であるが、$\{a,b\}\notin\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$である。
本命題は、要素を任意に取る直接証明のほかに、
べき集合の単調性$A\subseteq B\Rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$を用いても示すことができる。
$ $
実際、$A\subseteq A\cup B$ および $B\subseteq A\cup B$より
$$
\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B),\quad\ \mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)。ここで、一般に
$$
X\subseteq Z\ \land\ Y\subseteq Z\ \Leftrightarrow\ X\cup Y\subseteq Z
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)から
$$
\begin{align}
\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)
\end{align}
$$
を得る。
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