Al-Salam-Chihara多項式の双線形母関数
$x:=\cos\theta$とする. Al-Salam-Chihara多項式は
\begin{align}
Q_n(x;a,b|q):=a^{-n}(ab;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,0}q
\end{align}
によって定義される. 今回は以下のような双線形母関数表示を示す.
$x=\cos\theta,y=\cos\phi,\alpha\beta=ab$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\
&=\frac{(bt/a,\alpha^2te^{i\theta}/a,\alpha^2te^{-i\theta}/a,\alpha te^{i\phi},\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(\alpha^2t,\alpha te^{i(\theta+\phi)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad W\left(\alpha^2 t/q;ae^{i\theta},ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\alpha t/\beta;\frac{bt}a\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;x)&:=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}x
\end{align}
である.
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt&=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とする.
前の記事
で示した表示
\begin{align}
Q_n(x;a,b|q)&=\frac{2i\sin\theta (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}(ab;q)_n}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu
\end{align}
と$q$二項定理を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\
&=\frac{2i\sin\theta (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&\qquad\cdot\frac{2i\sin\phi(\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\phi},e^{-2i\phi};q)_{\infty}}\int_{e^{i\phi}}^{e^{-i\phi}}\frac{(e^{i\phi}vq,e^{-i\phi}vq;q)_{\infty}}{(\alpha v,\beta v;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(ab;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac{\alpha tuv}a\right)^n\,d_qv\\
&=\frac{2i\sin\theta\cdot 2i\sin\phi (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi};q)_{\infty}}{(q,q,ab,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},e^{2i\phi},e^{-2i\phi};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&\qquad\cdot\int_{e^{i\phi}}^{e^{-i\phi}}\frac{(e^{i\phi}vq,e^{-i\phi}vq,\alpha btuv;q)_{\infty}}{(\alpha v,\beta v,\alpha tuv/a;q)_{\infty}}\,d_qv
\end{align}
となる. ここで,
Al-Salam-Verma積分
より
\begin{align}
\int_{e^{i\phi}}^{e^{-i\phi}}\frac{(e^{i\phi}vq,e^{-i\phi}vq,\alpha btuv;q)_{\infty}}{(\alpha v,\beta v,\alpha tuv/a;q)_{\infty}}\,d_qv&=e^{-i\phi}\frac{(e^{2i\phi},e^{-2i\phi}q,btu,\alpha btu/\beta,ab,q;q)_{\infty}}{(\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha tu e^{i\phi}/a,\alpha tu e^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac 1{2i\sin\phi}\frac{(e^{2i\phi},e^{-2i\phi},btu,\alpha btu/\beta,ab,q;q)_{\infty}}{(\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha tu e^{i\phi}/a,\alpha tu e^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\
&=\frac{2i\sin\theta\cdot 2i\sin\phi (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi};q)_{\infty}}{(q,q,ab,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},e^{2i\phi},e^{-2i\phi};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&\qquad\cdot\frac 1{2i\sin\phi}\frac{(e^{2i\phi},e^{-2i\phi},btu,\alpha btu/\beta,ab,q;q)_{\infty}}{(\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha tu e^{i\phi}/a,\alpha tu e^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac{2i\sin\theta\cdot (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,btu,\alpha btu/\beta;q)_{\infty}}{(au,bu,\alpha tu e^{i\phi}/a,\alpha tu e^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\,d_qu
\end{align}
ここで,
non-terminating $q$-Whippleの変換公式の$q$積分表示
より
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,btu,\alpha btu/\beta;q)_{\infty}}{(au,bu,\alpha tu e^{i\phi}/a,\alpha tu e^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=e^{-i\theta}\frac{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{-i\theta}/\beta,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi},ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q,q;q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(\alpha bte^{i(\phi-\theta)};\beta e^{i\phi},\alpha e^{i\phi},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a;\frac{\alpha te^{i(\theta-\phi)}}{a}\right)\\
&=\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{-i\theta}/\beta,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi},ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},q;q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(\alpha bte^{i(\phi-\theta)};ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a;\frac{\alpha te^{i(\theta-\phi)}}{a}\right)
\end{align}
となる. これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\
&=\frac{2i\sin\theta\cdot (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{-i\theta}/\beta,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi},ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},q;q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(\alpha bte^{i(\phi-\theta)}/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a;\frac{\alpha te^{i(\theta-\phi)}}{a}\right)\\
&=\frac{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{-i\theta}/\beta,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi};q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(\alpha bte^{i(\phi-\theta)}/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a;\frac{\alpha te^{i(\theta-\phi)}}{a}\right)
\end{align}
となる. ここで,
${}_8\phi_7$の二項変換公式
より
\begin{align}
&W\left(\alpha bte^{i(\phi-\theta)}/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a;\frac{\alpha te^{i(\theta-\phi)}}{a}\right)\\
&=\frac{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},bt/a,\alpha^2 te^{i\theta}/a,\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2 t,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a;q)_{\infty}}W\left(\alpha^2t/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},ae^{i\theta},\alpha t/\beta;\frac{bt}a\right)
\end{align}
であるから, これを代入すれば,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\
&=\frac{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{-i\theta}/\beta,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi};q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot \frac{(\alpha bte^{i(\phi-\theta)},bt/a,\alpha^2 te^{i\theta}/a,\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(bte^{-i\theta},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2 t,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a;q)_{\infty}}W\left(\alpha^2t/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},ae^{i\theta},\alpha t/\beta;\frac{bt}a\right)\\
&=\frac{(bt/a,\alpha^2 te^{i\theta}/a,\alpha^2 te^{-i\theta}/a,\alpha te^{i\phi},\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(\alpha^2 t,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{-i(\phi+\theta)}/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(\alpha^2t/q;ae^{-i\theta},\alpha e^{i\phi},\alpha e^{-i\phi},ae^{i\theta},\alpha t/\beta;\frac{bt}a\right)
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
$q$-Mehlerの公式の導出
$x:=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式, Rogers多項式, 連続$q$-Hermite多項式はそれぞれ以下のように定義される.
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q)&:=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\
C_n(x;a|q)&:=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}\\
H_n(x|q)&:=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
前の記事
で,
\begin{align}
C_n(x;a^2|q^2)&=\frac{(a^2;q)_n}{(q^2,a^2q;q^2)_n}p_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)
\end{align}
であることを示した. ここで, $a=0$とすると, $p_n(x;0,0,a,b)=Q_n(x;a,b|q), \quad(q;q)_nC_n(x;0|q)=H_n(x|q)$であることから,
\begin{align}
H_n(x|q^2)&=Q_n(x;\sqrt q,-\sqrt q|q)
\end{align}
となる. よって, 定理1において$a=\alpha=\sqrt q,b=\beta=-\sqrt q$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q^2;q^2)_n}H_n(x|q^2)H_n(y|q^2)\\
&=\frac{(-t,te^{i\theta}\sqrt q,te^{-i\theta}\sqrt q,te^{i\phi}\sqrt q,-te^{-i\phi}\sqrt q;q)_{\infty}}{(tq,te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},te^{-i(\theta+\phi)};q)_{\infty}}\\
&\qquad W\left(t;e^{i\theta}\sqrt q,e^{-i\theta}\sqrt q,-e^{i\phi}\sqrt q,-e^{-i\phi}\sqrt q,-t;-t\right)
\end{align}
となる. ここで,
Verma-Jainによる$q$-Whippleの和公式
より
\begin{align}
&W\left(t;e^{i\theta}\sqrt q,e^{-i\theta}\sqrt q,-e^{i\phi}\sqrt q,-e^{-i\phi}\sqrt q,-t;-t\right)\\
&=\frac{(t,tq;q)_{\infty}(te^{i(\theta+\phi)}q,te^{i(\theta-\phi)}q,te^{i(\phi-\theta)}q,te^{-i(\theta+\phi)};q^2)_{\infty}}{(te^{i\theta}\sqrt q,te^{-i\theta}\sqrt q,te^{i\phi}\sqrt q,te^{-i\phi}\sqrt q;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q^2;q^2)_n}H_n(x|q^2)H_n(y|q^2)\\
&=\frac{(-t,te^{i\theta}\sqrt q,te^{-i\theta}\sqrt q,te^{i\phi}\sqrt q,-te^{-i\phi}\sqrt q;q)_{\infty}}{(tq,te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},te^{-i(\theta+\phi)};q)_{\infty}}\\
&\qquad \frac{(t,tq;q)_{\infty}(te^{i(\theta+\phi)}q,te^{i(\theta-\phi)}q,te^{i(\phi-\theta)}q,te^{-i(\theta+\phi)};q^2)_{\infty}}{(te^{i\theta}\sqrt q,te^{-i\theta}\sqrt q,te^{i\phi}\sqrt q,te^{-i\phi}\sqrt q;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(t^2;q^2)_{\infty}}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},te^{-i(\theta+\phi)};q^2)_{\infty}}
\end{align}
となる. $q^2$を$q$に置き換えて以下を得る.
$x=\cos\theta,y=\cos\phi$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q;q)_n}H_n(x|q)H_n(y|q)&=\frac{(t^2;q)_{\infty}}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},te^{-i(\theta+\phi)};q)_{\infty}}
\end{align}
つまり, 定理1はある意味で $q$-Mehlerの公式 の一般化と言える.
