二項関係 ⑬

反射性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、
対角関係を用いると、より構造的に示せる。
二項関係の反射性の特徴づけにより、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が反射的であることは、
$$ \Delta_A\subseteq T $$
と同値である( 証明はコチラ )。

1. したがって、$R$ と $S$ がともに反射的であるならば、
   $$ \Delta_A\subseteq R \quad \text{かつ} \quad \Delta_A\subseteq S $$
   が成り立つ。
   ゆえに、共通部分の性質より、
   $$ \Delta_A\subseteq R\cap S $$
   である。
   したがって、反射性の特徴づけより、$R\cap S$ は反射的である。
2. 逆に、$R\cap S$ が反射的であるならば、
   $$ \Delta_A\subseteq R\cap S $$
   である。
   また、
   $$ R\cap S\subseteq R \quad \text{かつ} \quad R\cap S\subseteq S $$
   である( 証明はコチラ )から、
   $$ \Delta_A\subseteq R \quad \text{かつ} \quad \Delta_A\subseteq S $$
   が成り立つ。
   したがって、反射性の特徴づけより、$R$ と $S$ はともに反射的である。

-以上より、
$$ \bigl(R\text{ が反射的である}\land S\text{ が反射的である}\bigr) \Longleftrightarrow R\cap S\text{ が反射的である} $$
である。このように、反射性は
$$ \Delta_A\subseteq T $$
によって特徴づけられるため、共通部分に関する保存性は、対角関係 $\Delta_A$ の包含関係として自然に理解できる。

反射性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、対角関係を用いると、より構造的に示せる。
二項関係の反射性の特徴づけにより、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が反射的であることは、
$$ \Delta_A\subseteq T $$
と同値である( 証明はコチラ )。
したがって、$R$ または $S$ の少なくとも一方が反射的であるならば、
$$ \Delta_A\subseteq R \quad \text{または} \quad \Delta_A\subseteq S $$
が成り立つ。
いずれの場合も、
$$ \Delta_A\subseteq R\cup S $$
である。
したがって、反射性の特徴づけより、$R\cup S$ は反射的である。
すなわち、
$$ \bigl(R\text{ が反射的である}\lor S\text{ が反射的である}\bigr) \Longrightarrow R\cup S\text{ が反射的である} $$
が成り立つ。
このように、反射性は
$$ \Delta_A\subseteq T $$
によって特徴づけられるため、和集合に関する保存性は、対角関係 $\Delta_A$ の包含関係として自然に理解できる。

この命題の逆向き
$$ R\cup S\text{ が反射的である} \Longrightarrow R\text{ が反射的である}\lor S\text{ が反射的である} $$
は一般には成り立たない。
たとえば、
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、
$$ R:=\{(1,1)\}, \quad S:=\{(2,2)\} $$
と定める。
このとき、
$$ R\cup S=\{(1,1),(2,2)\}=\Delta_A $$
である。
したがって、$R\cup S$ は反射的である。
しかし、
$$ (2,2)\notin R $$
であるから、$R$ は反射的ではない。
また、
$$ (1,1)\notin S $$
であるから、$S$ も反射的ではない。
したがって、
$$ R\cup S\text{ が反射的である} $$
であっても、
$$ R\text{ が反射的である}\lor S\text{ が反射的である} $$
は成り立たない。
$ $
ただし、追加条件があれば逆向きに近い主張は成り立つ。
たとえば、
$$ S\subseteq R $$
かつ $R\cup S$ が反射的ならば、
$$ R\cup S=R $$
であるから、$R$ は反射的である。
同様に、
$$ R\subseteq S $$
かつ $R\cup S$ が反射的ならば、
$$ R\cup S=S $$
であるから、$S$ は反射的である。

$R\cup S$ が反射的であることは、
$$ \forall a\in A\ ((a,a)\in R\cup S) $$
が成り立つことと同値である。
和集合の定義より、これは
$$ \forall a\in A\ \bigl((a,a)\in R\lor (a,a)\in S\bigr) $$
と同値である。
したがって、$R\cup S$ が反射的であるためには、各 $a\in A$ について、
$(a,a)$ が $R$ または $S$ の少なくとも一方に含まれていればよい。
これは
$$ \Delta_A\subseteq R\cup S $$
と同値である。
この条件は、$R$ または $S$ の少なくとも一方が反射的であることよりも弱い条件である。

対称性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、二項関係の既出命題を用いると、より簡潔に示せる。
まず、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が対称的であることは、
$$ T^{-1}=T $$
と同値である( 証明はコチラ )。
また、逆関係は和集合について、
$$ (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1} $$
を満たす( 証明はコチラ )。
したがって、$R$ と $S$ がともに対称的であるならば、
$$ R^{-1}=R,\quad S^{-1}=S $$
であるから、
$$ (R\cup S)^{-1} = R^{-1}\cup S^{-1} = R\cup S $$
が成り立つ。ゆえに、$R\cup S$ は対称的である。

本命題の逆向き
$$ R\cup S\text{ が対称的である} \Longrightarrow \text{$R$ と $S$ がともに対称的である} $$
は一般には成り立たない。
実際、
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、$A$ 上の二項関係 $R,S\subseteq A\times A$ を
$$ R:=\{(1,2)\}, \quad S:=\{(2,1)\} $$
で定める。
このとき、
$$ R\cup S=\{(1,2),(2,1)\} $$
であるから、$R\cup S$ は対称的である。
一方、
$$ (1,2)\in R \quad\text{かつ}\quad (2,1)\notin R $$
であるから、$R$ は対称的ではない。
また、
$$ (2,1)\in S \quad\text{かつ}\quad (1,2)\notin S $$
であるから、$S$ も対称的ではない。
したがって、逆向きは一般には成り立たない。

対称性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、二項関係の既出命題を用いると、より簡潔に示せる。
まず、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が対称的であることは、
$$ T^{-1}=T $$
と同値である( 証明はコチラ )。
また、逆関係は共通部分について、
$$ (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1} $$
を満たす( 証明はコチラ )。
したがって、$R$ と $S$ がともに対称的であるならば、
$$ R^{-1}=R,\quad S^{-1}=S $$
であるから、
$$ (R\cap S)^{-1} = R^{-1}\cap S^{-1} = R\cap S $$

が成り立つ。ゆえに、$R\cap S$ は対称的である。

本命題の逆向き
$$ R\cap S\text{ が対称的である} \Longrightarrow \text{$R$ と $S$ がともに対称的である} $$
は一般には成り立たない。
実際、
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、$A$ 上の二項関係 $R,S\subseteq A\times A$ を
$$ R:=\{(1,1),(1,2)\}, \quad S:=\{(1,1),(2,1)\} $$
で定める。
このとき、
$$ R\cap S=\{(1,1)\} $$
である。
$R\cap S$ の元は $(1,1)$ のみであり、
$$ (1,1)\in R\cap S\Rightarrow (1,1)\in R\cap S $$
が成り立つ。
したがって、$R\cap S$ は対称的である。
一方、
$$ (1,2)\in R \quad\text{かつ}\quad (2,1)\notin R $$
であるから、$R$ は対称的ではない。
また、
$$ (2,1)\in S \quad\text{かつ}\quad (1,2)\notin S $$
であるから、$S$ も対称的ではない。
したがって、
$$ R\cap S\text{ が対称的である} $$
であっても、
$$ \text{$R$ と $S$ がともに対称的である} $$
とは限らない。
ゆえに、逆向きは一般には成り立たない。

反対称性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、二項関係の既出命題を用いると、より簡潔に示せる。
二項関係の反対称性の特徴づけにより、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が反対称的であることは、
$$ T\cap T^{-1}\subseteq \Delta_A $$
と同値である( 証明はコチラ )。
また、二項関係の逆関係の性質により、
$$ (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、
$$ \begin{align} (R\cap S)\cap(R\cap S)^{-1} &= (R\cap S)\cap(R^{-1}\cap S^{-1})\\ &= (R\cap R^{-1})\cap(S\cap S^{-1}) \end{align} $$
である( 証明はコチラ )。

1. 特に、$R$ が反対称的であるならば、
   $$ R\cap R^{-1}\subseteq \Delta_A $$
   である( 証明はコチラ )から、
   $$ \begin{align} (R\cap S)\cap(R\cap S)^{-1} &= (R\cap R^{-1})\cap(S\cap S^{-1})\\ &\subseteq R\cap R^{-1}\\ &\subseteq \Delta_A \end{align} $$
   が成り立つ。
   ゆえに、反対称性の特徴づけより、$R\cap S$ は反対称的である。
   $ $
2. 同様に、$S$ が反対称的である場合も、
   $$ S\cap S^{-1}\subseteq \Delta_A $$
   である( 証明はコチラ )から、
   $$ \begin{align} (R\cap S)\cap(R\cap S)^{-1} &= (R\cap R^{-1})\cap(S\cap S^{-1})\\ &\subseteq S\cap S^{-1}\\ &\subseteq \Delta_A \end{align} $$
   が成り立つ。
   ゆえに、$S$ が反対称的である場合にも、$R\cap S$ は反対称的である。

本命題の逆向き
$$ R\cap S\text{ が反対称的である} \Longrightarrow R\text{ が反対称的である} $$
は一般には成り立たない。
実際、
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、$A$ 上の二項関係 $R,S\subseteq A\times A$ を
$$ R:=\{(1,2),(2,1)\}, \quad S:=\varnothing $$
で定める。
このとき、
$$ R\cap S=\varnothing $$
である。
空関係 $\varnothing$ は反対称的である。
一方、
$$ (1,2)\in R \quad\text{かつ}\quad (2,1)\in R $$
であり、
$$ 1\ne2 $$
であるから、$R$ は反対称的ではない。
したがって、$R\cap S$ が反対称的であっても、$R$ が反対称的であるとは限らない。

この命題は、より一般には次の事実の特別な場合である。
$R\subseteq A\times A$ が反対称的であり、$T\subseteq R$ であるならば、$T$ も反対称的である。
実際、$T\subseteq R$ であるから、
$$ (a,b)\in T \quad\text{かつ}\quad (b,a)\in T $$
ならば、
$$ (a,b)\in R \quad\text{かつ}\quad (b,a)\in R $$
である。
よって、$R$ の反対称性より $a=b$ が従う。
今回の命題では、
$$ R\cap S\subseteq R $$
であるから、この一般事実を $T:=R\cap S$ に適用している。

一般に
$$ \text{$R$ と $S$ がともに反対称的である} \Longrightarrow R\cup S\text{ は反対称的である} $$
は成り立たない。
実際、
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、$A$ 上の二項関係 $R,S\subseteq A\times A$ を
$$ R:=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}, \quad S:=\{(1,1),(2,2),(2,1)\} $$
で定める。
このとき、$R$ は反対称的である。
実際、$R$ において相異なる $2$ つの元の間に現れる組は $(1,2)$ だけであり、
$$ (2,1)\notin R $$
である。
同様に、$S$ も反対称的である。
実際、$S$ において相異なる $2$ つの元の間に現れる組は $(2,1)$ だけであり、
$$ (1,2)\notin S $$
である。
しかし、
$$ R\cup S=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\} $$
であり、
$$ (1,2)\in R\cup S \quad\text{かつ}\quad (2,1)\in R\cup S $$
が成り立つにもかかわらず、
$$ 1\ne2 $$
である。
したがって、$R\cup S$ は反対称的ではない。
ゆえに、和集合では一般に反対称性は保存されない。

推移性については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、合成関係を用いると、より構造的に示せる。
二項関係の推移性の特徴づけにより、$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が推移的であることは、
$$ T\circ T\subseteq T $$
と同値である。
ここで、$R\cap S\subseteq R$ かつ $R\cap S\subseteq S$ である( 証明はコチラ )。
したがって、合成関係の単調性より、
$$ (R\cap S)\circ(R\cap S)\subseteq R\circ R $$
かつ
$$ (R\cap S)\circ(R\cap S)\subseteq S\circ S $$
が成り立つ。ゆえに、
$$ (R\cap S)\circ(R\cap S)\subseteq (R\circ R)\cap(S\circ S) $$
である。
さらに、$R$ と $S$ がともに推移的であるならば、
$$ R\circ R\subseteq R $$
かつ
$$ S\circ S\subseteq S $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、
$$ (R\circ R)\cap(S\circ S)\subseteq R\cap S $$
である。
以上より、
$$ (R\cap S)\circ(R\cap S) \subseteq (R\circ R)\cap(S\circ S) \subseteq R\cap S $$
が成り立つ。
したがって、
$$ (R\cap S)\circ(R\cap S)\subseteq R\cap S $$
である。
ゆえに、推移性の特徴づけ( 証明はコチラ )より、$R\cap S$ は推移的である。
このように、共通部分に関する推移性の保存は、$R\cap S$ が $R$ と $S$ の両方の部分関係であることと、合成関係の単調性から自然に従う。

比較可能律については、定義に戻って元を直接追うことでも証明できるが、逆関係と対角関係を用いると、より構造的に示せる。
$A$ 上の二項関係 $T\subseteq A\times A$ が比較可能律を満たすことは、
$$ A\times A\subseteq T\cup T^{-1}\cup\Delta_A $$
と同値である( 証明はコチラ )。
この特徴づけを用いると、$R\cup S$ の比較可能律は簡潔に示せる。
たとえば、$R$ が比較可能律を満たすと仮定する。このとき、
$$ A\times A\subseteq R\cup R^{-1}\cup\Delta_A $$
である。
また、逆関係は和集合について
$$ (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1} $$
を満たす( 証明はコチラ )から、
$$ \begin{align} (R\cup S)\cup(R\cup S)^{-1}\cup\Delta_A &= (R\cup S)\cup(R^{-1}\cup S^{-1})\cup\Delta_A\\ &= R\cup R^{-1}\cup S\cup S^{-1}\cup\Delta_A\\ &\supseteq R\cup R^{-1}\cup\Delta_A\\ &\supseteq A\times A \end{align} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、
$$ A\times A\subseteq (R\cup S)\cup(R\cup S)^{-1}\cup\Delta_A $$
である。
ゆえに、比較可能律の特徴づけより、$R\cup S$ は比較可能律を満たす。
同様に、$S$ が比較可能律を満たす場合も、
$$ A\times A\subseteq S\cup S^{-1}\cup\Delta_A $$
であり、
$$ \begin{align} (R\cup S)\cup(R\cup S)^{-1}\cup\Delta_A &= R\cup R^{-1}\cup S\cup S^{-1}\cup\Delta_A\\ &\supseteq S\cup S^{-1}\cup\Delta_A\\ &\supseteq A\times A \end{align} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
したがって、$S$ が比較可能律を満たす場合にも、$R\cup S$ は比較可能律を満たす。
以上より、
$$ \bigl(R\text{ が比較可能律を満たす}\lor S\text{ が比較可能律を満たす}\bigr) \Longrightarrow R\cup S\text{ が比較可能律を満たす} $$
が成り立つ。
このように、比較可能律は
$$ A\times A\subseteq T\cup T^{-1}\cup\Delta_A $$
によって特徴づけられるため、和集合に関する保存性は、逆関係が和集合と両立することから自然に従う。

本命題の逆向き
$$ R\cup S\text{ が比較可能律を満たす} \Longrightarrow \bigl(R\text{ が比較可能律を満たす}\lor S\text{ が比較可能律を満たす}\bigr) $$
は一般には成り立たない。
反例を与える。
$$ A:=\{1,2,3\} $$
とし、$A$ 上の二項関係 $R,S\subseteq A\times A$ を
$$ R:=\{(1,2)\} $$
および
$$ S:=\{(1,3),(2,3)\} $$
で定める。
このとき、
$$ R\cup S=\{(1,2),(1,3),(2,3)\} $$
である。
まず、$R\cup S$ は比較可能律を満たす。

1. 実際、$A$ の異なる $2$ 元の組は、順序を除いて
   $$ \{1,2\}, \quad \{1,3\}, \quad \{2,3\} $$
   である。
   これらについて、
   $$ (1,2)\in R\cup S, \quad (1,3)\in R\cup S, \quad (2,3)\in R\cup S $$
   である。
   したがって、任意の異なる $a,b\in A$ について、もし $(a,b)$ が上の向きと一致すれば、
   $$ (a,b)\in R\cup S $$
   である。
   また、もし $(a,b)$ が上の向きと逆向きであれば、
   $$ (b,a)\in R\cup S $$
   である。ゆえに、
   $$ (a,b)\in R\cup S\lor (b,a)\in R\cup S $$
   が成り立つ。
   したがって、$R\cup S$ は比較可能律を満たす。
2. 一方、$R$ は比較可能律を満たさない。
   実際、
   $$ 1\ne 3 $$
   であるが、
   $$ (1,3)\notin R \quad \text{かつ} \quad (3,1)\notin R $$
   である。
   したがって、$R$ は比較可能律を満たさない。
3. また、$S$ も比較可能律を満たさない。
   実際、
   $$ 1\ne 2 $$
   であるが、
   $$ (1,2)\notin S \quad \text{かつ} \quad (2,1)\notin S $$
   である。
   したがって、$S$ は比較可能律を満たさない。

-以上より、
$$ R\cup S\text{ が比較可能律を満たす} $$
であっても、
$$ R\text{ が比較可能律を満たす}\lor S\text{ が比較可能律を満たす} $$
は成り立たない。
ゆえに、逆向きは一般には成り立たない。

$A$ を集合とし、$R,S\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とする。
たとえ $R,S$ がともに比較可能律を満たしても、
$$ R\cap S $$
が比較可能律を満たすとは限らない。
反例を与える。
$$ A:=\{1,2\} $$
とし、
$$ R:=\{(1,1),(2,2),(1,2)\} $$
$$ S:=\{(1,1),(2,2),(2,1)\} $$
と定める。

1. まず、$R$ が比較可能律を満たすことを示す。
   $A$ の異なる $2$ 元の組として本質的に確認すべきものは、$1$ と $2$ である。
   このとき、
   $$ (1,2)\in R $$
   である。
   したがって、
   $$ (1,2)\in R\lor (2,1)\in R $$
   が成り立つ。
   よって、$R$ は比較可能律を満たす。
   $ $
2. 次に、$S$ が比較可能律を満たすことを示す。
   同様に、$1$ と $2$ について確認すればよい。
   このとき、
   $$ (2,1)\in S $$
   である。
   したがって、
   $$ (1,2)\in S\lor (2,1)\in S $$
   が成り立つ。
   よって、$S$ は比較可能律を満たす。
   $ $
3. 一方で、
   $$ R\cap S=\{(1,1),(2,2)\} $$
   である。
   したがって、
   $$ (1,2)\notin R\cap S $$
   かつ
   $$ (2,1)\notin R\cap S $$
   である。
   ここで、
   $$ 1\neq 2 $$
   であるにもかかわらず、
   $$ (1,2)\in R\cap S\lor (2,1)\in R\cap S $$
   は成り立たない。
   したがって、$R\cap S$ は比較可能律を満たさない。

-以上より、$R,S$ がともに比較可能律を満たしても、$R\cap S$ が比較可能律を満たすとは限らない。
このように、比較可能律は共通部分では一般に保存されない。