素数公式から素数定理を導く

　ある実数$t_0$に対し$\zeta (1+i{t}_0)=0$が成り立つとし、$Z(\sigma )=\zeta (\sigma {)}^3|\zeta (\sigma +i{t}_0){|}^4|\zeta (\sigma +2i{t}_0){|}^2$とおく。
　このとき$s=\sigma +it$に対し
$$\begin{array}{rl}\log \zeta (s)& =\sum _p-\log (1-p^{-s})\\ & =\sum _p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{p}^{ns}}\\ & =\sum _p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nt\log p)-i\sin (nt\log p)}{n{p}^{n\sigma }}\end{array}$$
と表せることに注意すると
$$\begin{array}{rl}\log Z(\sigma )& =\mathrm{Re}(\log \zeta (\sigma {)}^3\zeta (\sigma +i{t}_0{)}^4\zeta (\sigma +2i{t}_0{)}^2)\\ & =\sum _p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3+4\cos (n{t}_0\log p)+2\cos (2n{t}_0\log p)}{n{p}^{n\sigma }}\end{array}$$
が成り立つ。
　また
$$\begin{array}{rl}3+4\cos \theta +2\cos 2\theta & =1+4\cos \theta +4{\cos }^2\theta \\ & =(1+2\cos \theta {)}^2\ge 0\end{array}$$
から$\log Z(\sigma )\ge 0$特に$Z(\sigma )\ge 1$が成り立つがこれは
$$\underset{s\to 1}{lim}\zeta (s{)}^3\zeta (s+i{t}_0{)}^4\zeta (s+2i{t}_0{)}^2=0\cdot \zeta (1+2it)=0$$
に矛盾。よって主張を得る。

　 素数公式の記事 で示した式
$$\psi (x)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{x^s}{s}ds$$
を積分することで
$${\psi }_1(x)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}ds$$
が成り立つ。
　また同記事で示した部分分数展開公式
$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{1}{s}=\frac{1}{s-1}-\frac{\log 2\pi }{s}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho (s-\rho )}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(s+2n)}$$
を$s+1$で割り、ヘヴィサイドの展開公式を思い出すことで
$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{2(s-1)}-\frac{\log 2\pi }{s}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho (\rho +1)(s-\rho )}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(2n-1)(s+2n)}+\frac{{\zeta }^{\prime }(-1)}{\zeta (-1)}\frac{1}{s+1}$$
がわかるのでこれを
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^a{x}^{-s-1}dx=\frac{1}{s-a}\leftrightarrow \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{x^s}{s-a}ds=x^a$$
に注意して逆メリン変換することで
$${\psi }_1(x)=\frac{x^2}{2}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho +1}}{\rho (\rho +1)}-x\log 2\pi -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n+1}}{2n(2n-1)}+\frac{{\zeta }^{\prime }(-1)}{\zeta (-1)}$$
を得る。

　 この記事 の命題7として示したように$\xi (s)$の位数は$1$であり、また アダマールの定理 から
$$\sum _{\rho }\frac{1}{|\rho {|}^2}<\mathrm{\infty }$$
が成り立つので$\mathrm{Re}(\rho )\ge 0$から$|\rho +1|>|\rho |$に注意すると$x\ge 1$において
$$\left|\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho (\rho +1)}\right|<\sum _{\rho }\frac{x}{|\rho {|}^2}<\mathrm{\infty }$$
と評価できる。つまり
$$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho (\rho +1)}$$
は絶対一様収束する。
　したがって
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x^2}{\psi }_1(x)& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x^2}(\frac{x^2}{2}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho +1}}{\rho (\rho +1)}-x\log 2\pi -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n+1}}{2n(2n-1)}+\frac{{\zeta }^{\prime }(-1)}{\zeta (-1)})\\ & =1+\sum _{\rho }\frac{2}{\rho (\rho +1)}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{\rho -1}=1\end{array}$$
を得る。

　任意の$\epsilon >0$に対しある$X$が存在して$x>X$において
$$(1-\epsilon )\frac{x^2}{2}<{\int }_0^x\psi (t)dt<(1+\epsilon )\frac{x^2}{2}$$
が成り立つので任意に$a>1$を取り$y=ax$とおくと
$$(1-\epsilon )\frac{y^2}{2}-(1+\epsilon )\frac{x^2}{2}<{\int }_x^y\psi (t)dt<(1+\epsilon )\frac{y^2}{2}-(1-\epsilon )\frac{x^2}{2}$$
と評価できる。
　また$\psi (x)$の単調増加性より
$$(y-x)\psi (x)\le {\int }_x^y\psi (t)dt\le (y-x)\psi (y)$$
が成り立つのでこれを$x^2$や$y^2$で割ることで
$$\begin{array}{rl}(a-1)\frac{\psi (x)}{x}& <(1+\epsilon )\frac{a^2}{2}-(1-\epsilon )\frac{1}{2}\\ (1-a^{-1})\frac{\psi (y)}{y}& >(1-\epsilon )\frac{1}{2}-(1+\epsilon )\frac{a^{-2}}{2}\end{array}$$
を得る。
　したがって$\epsilon >0$は任意であったことに注意すると
$$\frac{1}{2}\frac{1-a^{-2}}{1-a^{-1}}\le \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\psi (x)}{x}\le \frac{1}{2}\frac{a^2-1}{a-1}$$
が成り立ち、また$a>1$は任意であったことに注意すると
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\psi (x)}{x}=1$$
を得る。

　 この記事 の命題6として示したように
$$\psi (x)\sim x\Rightarrow \pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)$$
が成り立つことからわかる。