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大学数学基礎解説
直積集合 ④
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$$$$
Def.
定義
集合 $U$ を固定する。任意の $a,b\in U$ に対し、順序対 $(a,b)$ を
$$
(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}
$$
で定義する。
順序対 $(a,b)$ に対して、$a$を順序対 $(a,b)$ の第$1$成分(第$1$座標)、$b$を順序対 $(a,b)$ の第$2$成分(第$2$座標)という。
この定義の重要な性質に、任意の $a,b,c,d\in U$ について
$$
(a,b)=(c,d)\ \Leftrightarrow\ a=c\land b=d
$$
が成り立つことが挙げられる(後述)。
したがって、順序対 $(a,b)$ では第 $1$ 成分と第 $2$ 成分の順序が区別され、一般に
$$
a\neq b\ \Rightarrow\ (a,b)\neq(b,a)
$$
である。
この点で、順序対は対集合 $\{a,b\}$ とは異なり、成分の順序が区別される。実際、集合では順序は区別されないので
$$
\{a,b\}=\{b,a\}
$$
が成り立つ(
証明はコチラ
)。
より公理的な立場から
順序対 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ の存在は、対の公理から従う。
実際、対の公理より、任意の集合 $x,y$ に対して対集合 $\{x,y\}$ が存在する。特に $x=y=a$ とすれば、単集合
$$
\{a\}=\{a,a\}
$$
が存在する。
また、対の公理より
$$
\{a,b\}
$$
も存在する。したがって、再び対の公理を $\{a\}$ と $\{a,b\}$ に適用すれば
$$
\{\{a\},\{a,b\}\}
$$
が存在する。
よって、順序対
$$
(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}
$$
は任意の集合 $a,b$ に対して存在する、という事が言える。
Prop & Proof
集合 $U$ を固定する。$x_1,x_2,y_2\in U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
\{x_1\}=\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (x_1=x_2\ \text{かつ}\ x_2=y_2)
$$
- $(\Rightarrow)$ $\{x_1\}=\{x_2,y_2\}$ と仮定する。
対集合の性質より、任意の対象 $z$ について
$$ z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (z=x_2\lor z=y_2) $$
が成り立つ( 詳しくはコチラ )。特に $z=x_2$ とすると
$$ x_2\in\{x_2,y_2\} $$
を得る。
いま $\{x_1\}=\{x_2,y_2\}$ であるから、等号の性質より
$$ x_2\in\{x_1\} $$
が成り立つ。
一方、単集合の性質より、任意の対象 $z$ について
$$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z=x_1 $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。したがって、特に $z=x_2$ とすると
$$ x_2\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ x_2=x_1 $$
であるから
$$ x_1=x_2 $$
を得る。
同様に、対集合の性質で $z=y_2$ とすると
$$ y_2\in\{x_2,y_2\} $$
を得る。再び $\{x_1\}=\{x_2,y_2\}$ であるから、等号の性質より
$$ y_2\in\{x_1\} $$
が成り立つ。
単集合の性質より、任意の対象 $z$ について
$$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z=x_1 $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。したがって、特に $z=y_2$ とすると
$$ y_2\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ y_2=x_1 $$
であるから
$$ y_2=x_1 $$
を得る。
以上より
$$ x_2=x_1\ \land\ y_2=x_1 $$
が成り立つ。したがって、等号の対称律と推移律より
$$ x_1=x_2\ \land\ x_2=y_2 $$
が成り立つ。
$ $ - $(\Leftarrow)$ 逆に $x_1=x_2$ かつ $x_2=y_2$ を仮定する。
$\{x_2,y_2\}=\{x_2\}$ を示す。任意の対象 $z$ をとると、対集合の定義より
$$ z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (z=x_2\lor z=y_2) $$
が成り立つ( 詳しくはコチラ )。ここで、仮定 $x_2=y_2$ より
$$ (z=x_2\lor z=y_2)\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
である。したがって
$$ z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
を得る。さらに、単集合の性質より
$$ z=x_2\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2\} $$
である( 証明はコチラ )から
$$ z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2\} $$
が成り立つ。$z$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ \{x_2,y_2\}=\{x_2\} $$
である。等号の対称律より、
$$ \{x_2\}=\{x_2,y_2\} $$
また、仮定より $x_1=x_2$ であるから $\{x_2\}=\{x_1\}$ である( 証明はコチラ )。
従って、等号の推移律から
$$ \{x_1\}=\{x_2,y_2\} $$
が成り立つ。
$ $
-以上より
$$
\{x_1\}=\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (x_1=x_2\ \text{かつ}\ x_2=y_2)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を固定する。任意の $x,y\in U$ に対し、順序対 $(x,y)$ を
$$
(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}
$$
で定義する。
このとき、任意の $x_1,y_1,x_2,y_2\in U$ について
$$
(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\ \Leftrightarrow\ (x_1=x_2\land y_1=y_2)
$$
が成り立つ。
- $(\Rightarrow)$ を示す。
$$ (x_1,y_1)=(x_2,y_2) $$
と仮定する。順序対の定義より
$$ \{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
が成り立つ。
$ $
■ まず、$x_1=x_2$ を示す。
$\{x_1\}$ は左辺の要素であるから、上の等式より $\{x_1\}$ は右辺の要素でもある。したがって、対集合の性質より
$$ \{x_1\}=\{x_2\}\ \text{または}\ \{x_1\}=\{x_2,y_2\} $$
が成り立つ。ここで場合分けする。
$ $
(i) $\{x_1\}=\{x_2\}$ の場合。
単集合の等号の性質より
$$ x_1=x_2 $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
$ $
(ii) $\{x_1\}=\{x_2,y_2\}$ の場合。
対集合の性質より
$$ x_2\in\{x_2,y_2\} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。いま $\{x_1\}=\{x_2,y_2\}$ であるから、等号の性質より
$$ x_2\in\{x_1\} $$
が成り立つ。
単集合の性質より、任意の対象 $z$ について
$$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z=x_1 $$
が成り立つ( 証明はコチラ )ので、特に $z=x_2$ とすると
$$ x_2\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ x_2=x_1 $$
を得る。したがって
$$ x_2=x_1 $$
が成り立つ。よって、等号の対称律より
$$ x_1=x_2 $$
が成り立つ。
$ $
以上より、いずれの場合にも
$$ x_1=x_2 $$
が従う。ここで
$$ x:=x_1=x_2 $$
とおく。このとき、もとの等式は
$$ \{\{x\},\{x,y_1\}\}=\{\{x\},\{x,y_2\}\}\cdots (\ast) $$
と書ける。
$$ $$
■ 次に、$y_1=y_2$ を示す。ここでも場合分けをする。
$ $
(i) $y_1=x$ の場合。
このとき
$$ \{x,y_1\}=\{x\} $$
が成り立つ。したがって、$(\ast)$ の左辺は
$$ \{\{x\},\{x,y_1\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\} $$
となる。ゆえに $(\ast)$ より右辺も $\{\{x\}\}$ に等しいから
$$ \{\{x\},\{x,y_2\}\}=\{\{x\}\} $$
が成り立つ。
右辺の要素は $\{x\}$ だけであるから、左辺の要素 $\{x,y_2\}$ は $\{x\}$ に等しい。すなわち
$$ \{x,y_2\}=\{x\} $$
が成り立つ。
いま、対集合の性質より
$$ y_2\in\{x,y_2\} $$
である( 証明はコチラ )から、等号の性質より
$$ y_2\in\{x\} $$
が成り立つ。単集合の性質より
$$ y_2=x $$
を得る。仮定 $y_1=x$ と合わせて
$$ y_1=y_2 $$
が成り立つ。
$ $
(ii) $y_1\neq x$ の場合。
まず
$$ \{x,y_1\}\neq\{x\} $$
を示す。もし
$$ \{x,y_1\}=\{x\} $$
であるとすると、対集合の性質より
$$ y_1\in\{x,y_1\} $$
である( 証明はコチラ )から、等号の性質より
$$ y_1\in\{x\} $$
が成り立つ。よって単集合の性質より
$$ y_1=x $$
となるが、これは仮定 $y_1\neq x$ に矛盾する。したがって
$$ \{x,y_1\}\neq\{x\} $$
である。
いま、$\{x,y_1\}$ は $(\ast)$ の左辺の要素であるから、$(\ast)$ より右辺の要素でもある。
したがって、対集合の性質より
$$ \{x,y_1\}=\{x\}\ \text{または}\ \{x,y_1\}=\{x,y_2\} $$
が成り立つ( 詳しくはコチラ )。しかし、すでに
$$ \{x,y_1\}\neq\{x\} $$
を示したので
$$ \{x,y_1\}=\{x,y_2\} $$
が従う。対集合の性質より
$$ y_1\in\{x,y_1\} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )から、等号の性質より
$$ y_1\in\{x,y_2\} $$
が成り立つ。再び対集合の性質より
$$ y_1=x\ \text{または}\ y_1=y_2 $$
が成り立つ( 詳しくはコチラ )。ここで仮定より $y_1\neq x$ であるから
$$ y_1=y_2 $$
が従う。以上より、いずれの場合にも
$$ y_1=y_2 $$
が成り立つ。したがって
$$ x_1=x_2\ \text{かつ}\ y_1=y_2 $$
が従う。
$ $ - $(\Leftarrow)$ を示す。
$$ x_1=x_2\ \text{かつ}\ y_1=y_2 $$
と仮定する。このとき
$$ (x_1,y_1)=(x_2,y_2) $$
を示す。
順序対の定義より
$$ (x_1,y_1)=\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\},\qquad (x_2,y_2)=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
であるから、
$$ \{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
を示せば十分である。
■ そのために、まず
$$ \{x_1\}=\{x_2\} $$
を示す。
任意の対象 $z$ をとる。単集合の性質より
$$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z=x_1 $$
かつ
$$ z\in\{x_2\}\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
ここで、仮定 $x_1=x_2$ より
$$ z=x_1\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
が成り立つ。したがって
$$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2\} $$
が成り立つ( 証明はコチラ )。
$z$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ \{x_1\}=\{x_2\} $$
が従う。
$ $
■ 次に
$$ \{x_1,y_1\}=\{x_2,y_2\} $$
を示す。
任意の対象 $z$ をとる。対集合の性質より
$$ z\in\{x_1,y_1\}\ \Leftrightarrow\ (z=x_1\ \text{または}\ z=y_1) $$
かつ
$$ z\in\{x_2,y_2\}\ \Leftrightarrow\ (z=x_2\ \text{または}\ z=y_2) $$
が成り立つ( 詳しくはコチラ )。
ここで、仮定 $x_1=x_2$ および $y_1=y_2$ より
$$ (z=x_1\ \text{または}\ z=y_1)\ \Leftrightarrow\ (z=x_2\ \text{または}\ z=y_2) $$
が成り立つ。したがって
$$ z\in\{x_1,y_1\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2,y_2\} $$
が成り立つ。
$z$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ \{x_1,y_1\}=\{x_2,y_2\} $$
が従う。
$ $
■ 以上を用いて
$$ \{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
を示す。
任意の対象 $u$ をとる。対集合の性質より
$$ u\in\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}\ \Leftrightarrow\ (u=\{x_1\}\ \text{または}\ u=\{x_1,y_1\}) $$
かつ
$$ u\in\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}\ \Leftrightarrow\ (u=\{x_2\}\ \text{または}\ u=\{x_2,y_2\}) $$
が成り立つ。
すでに
$$ \{x_1\}=\{x_2\} $$
および
$$ \{x_1,y_1\}=\{x_2,y_2\} $$
を示したので、等号の性質より
$$ u=\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ u=\{x_2\} $$
かつ
$$ u=\{x_1,y_1\}\ \Leftrightarrow\ u=\{x_2,y_2\} $$
が成り立つ。したがって
$$ (u=\{x_1\}\ \text{または}\ u=\{x_1,y_1\})\ \Leftrightarrow\ (u=\{x_2\}\ \text{または}\ u=\{x_2,y_2\}) $$
が成り立つ。
ゆえに
$$ u\in\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}\ \Leftrightarrow\ u\in\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
が成り立つ。
$u$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ \{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}=\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\} $$
が従う。
したがって、順序対の定義より
$$ (x_1,y_1)=(x_2,y_2) $$
が成り立つ。
-以上より
$$
(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\ \Leftrightarrow\ (x_1=x_2\ \text{かつ}\ y_1=y_2)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
この定義は、クラトフスキー（Kuratowski）の順序対として知られている。
投稿日：5日前
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かぐら
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分野を問わず数学の証明が好きで、不定期に過去のノートも含めて更新しています。あとで自分が読み返してもきちんと理解できるノートを作ることを心がけています。定義や証明、命題などに誤りがございましたら、ご指摘いただけますと幸いです(2025年12月28日)。
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