第2種q超球関数が入った積分

Rogers多項式は
\begin{align} C_n(x;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta} \end{align}
と定義される. $x:=\cos\theta$としてRogers多項式の重み関数を
\begin{align} w_a(x|q):=\frac 1{\sin\theta}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
とする. 前の記事 でRogers多項式のFourier級数展開
\begin{align} C_n(x;a|q)&=\frac{4(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}w_a(x|q)}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\sin(n+2k+1)\theta \end{align}
を示した. その類似として第2種$q$超球関数を
\begin{align} D_n(x;a|q)&:=\frac{4(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}w_a(x|q)}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\cos(n+2k+1)\theta \end{align}
と定義する. 今回は
\begin{align} I_{a,b}(n,m)&:=\int_{-1}^1D_n(x;a|q)C_m(x;b|q)w_a(x|q)w_b(x|q)\,dx\\ M_{a,b}(n,m,l)&:=\int_{-1}^1D_n(x;a|q)C_m(x;b|q)C_l(x;b|q)w_a(x|q)w_b(x|q)\,dx \end{align}
のような積分について考えていきたいと思う. まず$I_{a,b}(n,m)$について考える. $n+m$が偶数のときは被積分関数が奇関数になって$0$になるので, 以下$n+m$は奇数であるとする.$D_n(x;a|q)$の定義より
\begin{align} I_{a,b}(n,m)&=\frac{4(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1\cos((n+2k+1)\theta) C_m(x;b|q)w_b(x|q)\,dx \end{align}
となる. ここで, 前の記事 で示した接続公式
\begin{align} C_n(x;c|q)&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n-k}(1-bq^{n-2k})}{(q;q)_k(bq;q)_{n-k}(1-b)}C_{n-2k}(x;b|q) \end{align}
により,
\begin{align} \lim_{c\to 1}\frac{(1-q^n)C_n(x;b|q)}{2(1-c)}&=\cos n\theta \end{align}
であることを用いると
\begin{align} \cos n\theta&=\frac{1-q^n}2\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\frac{b^k(1/b;q)_k(q;q)_{n-k-1}(1-bq^{n-2k})}{(q;q)_k(bq;q)_{n-k}(1-b)}C_{n-2k}(x;b|q) \end{align}
であるから, これを先ほどの式に代入して Rogers多項式 の直交性を用いると,
\begin{align} I_{a,b}(n,m)&=\frac{4(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\\ &\qquad\cdot\frac{1-q^{n+2k+1}}2\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{n+2k+1}2\rfloor}\frac{b^j(1/b;q)_j(q;q)_{n+2k-j}(1-bq^{n+2k+1-2j})}{(q;q)_j(bq;q)_{n+2k+1-j}(1-b)}\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1C_{n+2k+1-2j}(x;b|q)C_m(x;b|q)w_b(x|q)\,dx\\ &=\frac{4(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\\ &\qquad\cdot\frac{1-q^{n+2k+1}}2\frac{b^{\frac{n+1-m}2+k}(1/b;q)_{\frac{n+1-m}2+k}(q;q)_{\frac{n+m-1}2+k}(1-bq^m)}{(q;q)_{\frac{n+1-m}2+k}(bq;q)_{\frac{n+m+1}2+k}(1-b)}\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1C_m(x;b|q)^2w_b(x|q)\,dx\\ &=\frac{2(a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\\ &\qquad\cdot \frac{(q;q)_n(1/b;q)_{\frac{n+1-m}2}(q;q)_{\frac{n+m-1}2}(1-bq^m)}{(aq;q)_n(q;q)_{\frac{n+1-m}2}(bq;q)_{\frac{n+m+1}2}(1-b)}b^{\frac{n+1-m}2}\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{n+2k+1})(q^{n+1},q/a,q^{\frac{n+1-m}2}/b,q^{\frac{n+m+1}2};q)_{k}}{(q,aq^{n+1},q^{\frac{n+3-m}2},bq^{\frac{n+m+3}2};q)_k}(ab)^k\\ &\qquad\cdot\frac{2\pi(b;q)_{\infty}^2}{(q,b^2;q)_{\infty}}\frac{(b^2;q)_m}{(q;q)_m(1-bq^m)}\\ &=\frac{4\pi(a,aq,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(aq;q)_n}\frac{(b^2;q)_m}{(q;q)_m}\\ &\qquad\cdot \frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m}2}(q;q)_{\frac{n+m-1}2}}{(q;q)_{\frac{n+1-m}2}(bq;q)_{\frac{n+m+1}2}}b^{\frac{n+1-m}2}\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{n+2k+1})(q^{n+1},q/a,q^{\frac{n+1-m}2}/b,q^{\frac{n+m+1}2};q)_{k}}{(q,aq^{n+1},q^{\frac{n+3-m}2},bq^{\frac{n+m+3}2};q)_k}(ab)^k \end{align}
を得る. ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{n+2k+1})(q^{n+1},q/a,q^{\frac{n+1-m}2}/b,q^{\frac{n+m+1}2};q)_{k}}{(q,aq^{n+1},q^{\frac{n+3-m}2},bq^{\frac{n+m+3}2};q)_k}(ab)^k\\ &=\frac{(q^{n+1},aq^{\frac{n+1-m}2},abq^{\frac{n+m+1}2},bq;q)_{\infty}}{(aq^{n+1},q^{\frac{n+3-m}2},bq^{\frac{n+m+3}2},ab;q)_{\infty}} \end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align} I_{a,b}(n,m)&=\frac{4\pi(a,aq,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(aq;q)_n}\frac{(b^2;q)_m}{(q;q)_m}\\ &\qquad\cdot \frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m}2}(q;q)_{\frac{n+m-1}2}}{(q;q)_{\frac{n+1-m}2}(bq;q)_{\frac{n+m+1}2}}b^{\frac{n+1-m}2}\frac{(q^{n+1},aq^{\frac{n+1-m}2},abq^{\frac{n+m+1}2},bq;q)_{\infty}}{(aq^{n+1},q^{\frac{n+3-m}2},bq^{\frac{n+m+3}2},ab;q)_{\infty}}\\ &=\frac{4\pi(a,a,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(b^2;q)_m}{(q;q)_m}\frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m}2}(q;q)_{\frac{n+m-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m}2}(ab;q)_{\frac{n+m+1}2}}b^{\frac{n+1-m}2} \end{align}
つまり, 以下が得られた.

次に$n+m+l$を奇数として,
\begin{align} M_{a,b}(n,m,l)&=\int_{-1}^1D_n(x;a|q)C_m(x;b|q)C_l(x;b|q)w_a(x|q)w_b(x|q)\,dx \end{align}
について考える. Rogersの線形化公式
\begin{align} C_m(x;b|q)C_l(x;b|q)&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-bq^{m+l-2k})(b;q)_{m-k}(b;q)_{l-k}(b;q)_k(b^2;q)_{m+l-k}(q;q)_{m+l-2k}}{(1-b)(q;q)_{m-k}(q;q)_{l-k}(q;q)_k(b;q)_{m+l-k}(b^2;q)_{m+l-2k}}C_{m+l-2k}(x;b|q) \end{align}
を用いると,
\begin{align} M_{a,b}(n,m,l)&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-bq^{m+l-2k})(b;q)_{m-k}(b;q)_{l-k}(b;q)_k(b^2;q)_{m+l-k}(q;q)_{m+l-2k}}{(1-b)(q;q)_{m-k}(q;q)_{l-k}(q;q)_k(bq;q)_{m+l-k}(b^2;q)_{m+l-2k}}I_{a,b}(n,m+l-2k) \end{align}
を得る. 定理1を用いると
\begin{align} M_{a,b}(n,m,l)&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-bq^{m+l-2k})(b;q)_{m-k}(b;q)_{l-k}(b;q)_k(b^2;q)_{m+l-k}(q;q)_{m+l-2k}}{(1-b)(q;q)_{m-k}(q;q)_{l-k}(q;q)_k(bq;q)_{m+l-k}(b^2;q)_{m+l-2k}}\\ &\qquad\cdot\frac{4\pi(a,a,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(b^2;q)_{m+l-2k}}{(q;q)_{m+l-2k}}\frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m-l}2+k}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2-k}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2+k}(ab;q)_{\frac{n+m+l+1}2-k}}b^{\frac{n+1-m-l}2+k}\\ &=\frac{4\pi(a,a,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(ab;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}b^{\frac{n+1-m-l}2}\frac{(b;q)_m(b;q)_l(b^2;q)_{m+l}}{(q;q)_m(q;q)_l(b;q)_{m+l}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-bq^{m+l-2k})(bq^m,bq^l,b^2q^{m+l};q)_{-k}(b;q)_k}{(1-bq^{m+l})(q^{m+1},q^{l+1},bq^{m+l+1};q)_{-k}(q;q)_k}\frac{(q^{\frac{n+1-m-l}2}/b;q)_{k}(q^{\frac{n+m+l+1}2};q)_{-k}}{(aq^{\frac{n+1-m-l}2};q)_{k}(abq^{\frac{n+m+l+1}2};q)_{-k}}b^{k}\\ &=\frac{4\pi(a,a,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(ab;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}b^{\frac{n+1-m-l}2}\frac{(b;q)_m(b;q)_l(b^2;q)_{m+l}}{(q;q)_m(q;q)_l(b;q)_{m+l}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{2k-m-l}/b)(q^{-m-l}/b,q^{-m},q^{-l},b,q^{\frac{n+1-m-l}2}/b,q^{\frac{1-n-m-l}2}/ab;q)_k}{(1-q^{-m-l}/b)(q,q^{1-m}/b,q^{1-l}/b,q^{1-m-l}/b^2,aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2};q)_k}\left(\frac{aq}b\right)^k \end{align}
ここで, Watsonの変換公式 より,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{2k-m-l}/b)(q^{-m-l}/b,q^{-m},q^{-l},b,q^{\frac{n+1-m-l}2}/b,q^{\frac{1-n-m-l}2}/ab;q)_k}{(1-q^{-m-l}/b)(q,q^{1-m}/b,q^{1-l}/b,q^{1-m-l}/b^2,aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2};q)_k}\left(\frac{aq}b\right)^k\\ &=\frac{(q^{1-m-l}/b,q^{1-m}/b^2;q)_m}{(q^{1-m}/b,q^{1-m-l}/b^2;q)_m}\Q43{ab,b,q^{-m},q^{-l}}{aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2},b^2}{q}\\ &=\frac{(b;q)_{m+l}(b^2;q)_m(b^2;q)_l}{(b;q)_m(b;q)_l(b^2;q)_{m+l}}\Q43{ab,b,q^{-m},q^{-l}}{aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2},b^2}{q} \end{align}
であるからこれを代入して
\begin{align} M_{a,b}(n,m,l)&=\frac{4\pi(a,a,b,bq;q)_{\infty}}{(a^2,b^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(1/b;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(ab;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}b^{\frac{n+1-m-l}2}\frac{(b^2;q)_m(b^2;q)_l}{(q;q)_m(q;q)_l}\\ &\qquad\cdot\Q43{ab,b,q^{-m},q^{-l}}{aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2},b^2}{q} \end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.

ここで, $b=a$とすると,
\begin{align} M_{a,a}(n,m,l)&=\frac{4\pi(a,a,a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,a^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(1/a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(a^2;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}a^{\frac{n+1-m-l}2}\frac{(a^2;q)_m(a^2;q)_l}{(q;q)_m(q;q)_l}\\ &\qquad\cdot\Q32{a,q^{-m},q^{-l}}{aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2}}{q} \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式 より
\begin{align} \Q32{a,q^{-m},q^{-l}}{aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{1-n-m-l}2}}{q}&=\frac{(q^{\frac{n+1-m-l}2},aq^{\frac{n+m+1-l}2};q)_l}{(aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{n+m+1-l}2};q)_l} \end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align} M_{a,a}(n,m,l)&=\frac{4\pi(a,a,a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,a^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(1/a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m+l-1}2}}{(a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(a^2;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}a^{\frac{n+1-m-l}2}\frac{(a^2;q)_m(a^2;q)_l}{(q;q)_m(q;q)_l}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{\frac{n+1-m-l}2},aq^{\frac{n+m+1-l}2};q)_l}{(aq^{\frac{n+1-m-l}2},q^{\frac{n+m+1-l}2};q)_l}\\ &=\frac{4\pi(a,a,a,aq;q)_{\infty}}{(a^2,a^2,q,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n(a^2;q)_m(a^2;q)_l}{(q;q)_n(q;q)_m(q;q)_l}\\ &\qquad\cdot\frac{(1/a;q)_{\frac{n+1-m-l}2}(q;q)_{\frac{n+m-l-1}2}(q^{\frac{n+1-m-l}2},aq^{\frac{n+m+1-l}2};q)_l}{(a;q)_{\frac{n+1-m+l}2}(a^2;q)_{\frac{n+m+l+1}2}}a^{\frac{n+1-m-l}2} \end{align}
が得られる.

このように, 第2種の関数が混ざっている積分も閉じた形で表されることはかなり興味深いと思う.