連続q-Hermite多項式の4乗の積分
前の記事
で, Hermite多項式の4乗の積分が
\begin{align}
\frac 1{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(x)^4e^{-x^2}\,dx&=2^{2n}n!^2\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
と表されることを示した. ここに現れている
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
は
Zagier's sporadic sequences
の1つであるので, この積分の$q$類似を考えることによって, この数列の自然な$q$類似が与えられるかもしれないという期待ができる. 今回はHermite多項式の$q$類似の一つである, 連続$q$-Hermite多項式の4乗の積分を計算したいと思う.
積分
まず, 連続$q$-Hermite多項式は$x:=\cos\theta$として
\begin{align}
H_n(x|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
と定義され,
前の記事
で示したように, 直交性
\begin{align}
\int_0^{\pi}H_m(x|q)H_n(x|q)|(e^{2i\theta};q)_{\infty}|^2\,d\theta=\delta_{m,n}\frac{2\pi (q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
を満たす. また, 線形化公式は
前の記事
で見たように,
\begin{align}
H_m(x|q)H_n(x|q)&=\sum_{0\leq k}\frac{(q;q)_n(q;q)_m}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}(q;q)_k}H_{m+n-2k}(x|q)
\end{align}
と表される. ここで, $m=n$とすると
\begin{align}
H_n(x|q)^2&=\sum_{0\leq k}\frac{(q;q)_n^2}{(q;q)_{n-k}^2(q;q)_k}H_{2n-2k}(x|q)\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n^2}{(q;q)_k^2(q;q)_{n-k}}H_{2k}(x|q)
\end{align}
を得る. これと直交性を用いると,
\begin{align}
\int_0^{\pi}H_n(x|q)^4|(e^{2i\theta};q)_{\infty}|^2\,d\theta=\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n^4(q;q)_{2k}}{(q;q)_k^4(q;q)_{n-k}^2}
\end{align}
を得る. これは$q$二項係数を
\begin{align}
\qbinom nk:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}
\end{align}
と表すと
\begin{align}
\int_0^{\pi}H_n(x|q)^4|(e^{2i\theta};q)_{\infty}|^2\,d\theta=\frac{2\pi(q;q)_n^2}{(q;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\qbinom nk^2\qbinom{2k}k
\end{align}
と表される. これは冒頭の式の$q$類似と言えるものである. よって, 数列
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
の$q$類似としてはそれをそのまま$q$二項係数に置き換えた
\begin{align}
a_n:=\sum_{k=0}^n\qbinom nk^2\qbinom{2k}k
\end{align}
が良い$q$類似を与えていると期待できるのではないかと思う.
数列の表示
この数列$a_n$は
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n^2(q;q)_{2k}}{(q;q)_k^4(q;q)_{n-k}^2}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k^2(q;q)_{2k}}{(q;q)_k^4}q^{2nk-2\binom k2}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{-n},\sqrt q,-\sqrt q,-q;q)_{k}}{(q;q)_k^3}q^{2nk-2\binom k2}\\
&=\Q52{q^{-n},q^{-n},\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q,q}{q^{2n}}
\end{align}
と表すことができる. これは
Gasper-Rahmanの積公式の系
\begin{align}
\Q21{q^{-n},b}{q^{1-n}/b}{\frac{xq}b}^2=(xq^{1-n}/b,bx;q)_n\Q54{q^{-n},q^{1-n}/b^2,q^{\frac 12-n}/b,-q^{\frac 12-n}/b,-q^{1-n}/b}{q^{1-n}/b,q^{1-2n}/b^2,xq^{1-n}/b,q^{1-n}/bx}{q}
\end{align}
において, $b=q^{-n}$とした式
\begin{align}
\Q21{q^{-n},q^{-n}}{q}{xq^{n+1}}^2=(xq,xq^{-n};q)_n\Q54{q^{-n},q^{n+1},\sqrt q,-\sqrt q,-\sqrt q}{q,q,xq,q/x}{q}
\end{align}
の右辺に現れる${}_5\phi_4$と似ている. これは$a_n$の別の表示を得る上で参考になるかもしれない.
別の表示として, 古典的な場合はAlmkvistの恒等式
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{3k}{2n}
\end{align}
が知られている. これは超幾何級数で表すと
\begin{align}
\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}{4}&=\binom{3n}n\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,-n}{1,\frac 13-n,\frac 23-n}{1}
\end{align}
となり,
前の記事
の系3において$b=\frac 12$とすると従う. この右辺はbalanced${}_4F_3$であることから三項漸化式を満たすことが分かる. $a_n$に対してもAlmkvistの恒等式の類似が存在するかどうかや, 三項漸化式を満たすかどうかは気になる問題である.
