円周率公式の片割れを求める

はじめに

　この記事ではラマヌジャンの円周率公式
$$\frac1\pi =\frac{2\sqrt2}{99^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{26390n+1103}{396^{4n}}$$
の分子にある一次式$26390n+1103$を定数項に置き換えた公式
$$\frac{\prod_{a\in A}\G(\frac a{232})}{(2\pi)^{29}} =\frac{29\sqrt2}{99}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{396^{4n}}$$
などを求めていきます。

概説

　 この記事 で紹介したようにラマヌジャン・佐藤級数と呼ばれる
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac{An+B}{C^n}$$
という形の円周率公式は、ある保型形式$Z(\tau)$と保型関数$X(\tau)$が満たす
$$Z(\tau)=\sum^\infty_{n=0}s(n)X(\tau)^n$$
という形の関係式をいい感じに変形し、適当な$\tau=\tau_N$における特殊値を考えることで構成できるのでした。
　ところで$Z(\tau)$は重さ$2$の保型形式としていたので、$\eta(\tau)$をデデキントのイータ関数とすると$Z(\tau)/\eta(\tau)^4$はいい感じの保型関数を定めることがわかります(多分)。となるとその$\tau=\tau_N$における特殊値は代数的数として求まることになり(多分)、$X(\tau_N)=1/C$とすると
$$\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac1{C^n} =\frac{Z(\tau_N)}{\eta(\tau_N)^4}\eta(\tau_N)^4 =\text{(代数的数)}\times\eta(\tau_N)^4$$
という形の等式が得られます。
　そして Chowla–Selbergの公式 によるとイータ関数の特殊値は
\begin{align} \eta(\tau_N)^4 &=\text{(代数的数)}\times\frac1\pi\l(\prod^{|D|}_{n=1}\G\l(\frac{n}{|D|}\r)^{\l(\frac Dn\r)}\r)^{w_D/2h_D}\\ &=\text{(代数的数)}\times\frac1\pi\l(\frac{\prod_{a\in A}\G(\frac a{|D|})}{(2\pi)^{\varphi(|D|)/4}}\r)^{w_D/h_D} \end{align}
という形に求まるので、円周率公式
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac{An+B}{C^n}$$
の片割れは
$$\frac1\pi\l(\frac{\prod_{a\in A}\G(\frac a{|D|})}{(2\pi)^{\varphi(|D|)/4}}\r)^{w_D/h_D} =\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac\a{C^n}$$
という形に求まるわけです。

一般公式

　では実際に具体値を求めていきたいわけですが、そのためには
$$\frac{Z(\tau)}{\eta(\tau)^4},\quad \eta(\tau)^4$$
の特殊値を如何にして求めるか、ということが問題となります。

$Z(\tau)/\eta(\tau)^4$の特殊値

　まず$Z(\tau)/\eta(\tau)^4$の特殊値を求めるために$Z(\tau)$の具体形を与えておきましょう。例えばラマヌジャン型の円周率公式
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\frac12)_n(\frac1s)_n(1-\frac1s)_n}{(1)_n^3}\frac{An+B}{C^n}\quad(s=2,4,6)$$
は以下のような関係式から導出されることが知られています(記号の説明は特にしません)。

　特にこれを適当に変形することで次のような公式が得られます。

　ここで重要なのは$\eta(\tau_N)$と$X(\tau_N)=C$が求まっていれば
$$\eta(\tau_N)=\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac\a{C^{n+\b}}$$
という形の等式が(ほぼ)即座に得られることにあります。
　例えば$\tau=\sqrt{-3}$において
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac{6n+1}{2^{8n+2}}$$
という円周率公式が得られることを知っていれば、これに対応して
$$\eta(\sqrt{-3})^4 =\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac1{2^{8n+\frac83}}$$
という等式が成り立つわけです。

その他の場合について

　またラマヌジャン・佐藤級数の記事(公式集1、公式集2)で紹介したようなその他の円周率公式に関しても同様に$Z(\tau)/\eta(\tau)^4$は$X(\tau)$についての代数関数として表せそうな気がするので、興味があればそのような方法を試してみてはいかがでしょうか。

イータ関数の特殊値

　さて後はイータ関数の特殊値さえ求めればいいわけですが、それについては楕円積分の特殊値を求めるシリーズ(その1、その2)にて紹介した次のような便利な公式があります。

　また$G^2\eta$や$g^2\eta$の特殊値については上の公式と この記事 の定理8を用いることで次のように求まることにも注意しましょう。

　特に
$$\frac{1+(d|2)}2 =\l\{\begin{array}{ll} 1&d\equiv\pm1\pmod8\\ 0&d\equiv\pm3\pmod8 \end{array}\r.$$
が成り立つので、しばしば$M_\d M_{-4N/\d}$の項が消えて簡単になることに注意しましょう。

その他の場合について

　なお上の公式が適応できない場合においても この記事 の結果から以下のような式は成り立ちます。

　また各$i,j$に対し$\eta(\tau_i)/\eta(\tau_j)$が代数的数となることから各個の特殊値$\eta(\tau_j)$も求められるわけですが、類群の完全代表系$f_j$や代数的数$\eta(\tau_i)/\eta(\tau_j)$を特定するのが非常にめんどくさいと思うのであまり実用的ではないと思います。

公式集

　ややこしい話はこの辺にして後は円周率公式の片割れを書き並べていくこととしましょう。なお対応する円周率公式については この記事 などを参照してください。
　以下
$$A_N=\l\{n\in\Z\mid1\leq n\leq N,\ \l(\frac{-N}n\r)=1\r\}$$
とします。

$s=2$

\begin{align*} \frac{\G(\frac18)^2\G(\frac38)^2}{(2\pi)^3} &=\sqrt2\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac1{2^{6n}}\\ \frac{\G(\frac14)^4}{(2\pi)^3} &=\frac1{\sqrt2}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac1{2^{9n}}\\ \frac{\G(\frac13)^6}{(2\pi)^4} &=\frac1{2^{\frac43}\sqrt3}\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac1{2^{8n}}\\ \frac{\G(\frac17)^2\G(\frac27)^2\G(\frac47)^2}{(2\pi)^4} &=\frac{\sqrt7}4\sum^\infty_{n=0}\frac{((2n)!)^3}{(n!)^6}\frac1{2^{12n}} \end{align*}

$s=4$

\begin{align*} \frac{\G(\frac1{20})\G(\frac3{20})\G(\frac7{20})\G(\frac9{20})}{(2\pi)^3} &=\frac52\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{2^{10n}}\\ \frac{\G(\frac17)^2\G(\frac27)^2\G(\frac47)^2}{(2\pi)^4} &=\frac23\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{63^{2n}}\\ \frac{\G(\frac14)^4}{(2\pi)^3} &=\frac{3^\frac54}{2^\frac52}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{(2^{12}3)^n}\\ \frac{\prod_{a\in A_{52}}\G(\frac a{52})}{(2\pi)^7} &=\frac{13}6\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{288^{2n}}\\ (A_{52}&=\{1,7,9,11,15,17,19,25,29,31,47,49\})\\ \frac{\G(\frac14)^4}{(2\pi)^3} &=\frac{5^\frac74}{24}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{(2^{14}3^45)^n}\\ \frac{\prod_{a\in A_{148}}\G(\frac a{148})}{(2\pi)^{19}} &=\frac{37}{42}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{14112^{2n}}\\ (A_{148}&=\{1, 9, 15, 19, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 39, 41, 43, 49, \\ &\qquad 51, 53, 55, 59, 65, 73, 77, 79, 81, 85, 87, 91, \\ &\qquad 101, 103, 119, 121, 131, 135, 137, 141, 143, 145\})\\ \\ \frac{\G(\frac14)^4}{(2\pi)^3} &=\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{(3\c6^3)^n}\\ \frac{\G(\frac1{24})\G(\frac5{24})\G(\frac7{24})\G(\frac{11}{24})}{(2\pi)^3} &=\sqrt6\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{48^{2n}}\\ \frac{\prod_{a\in A_{40}}\G(\frac a{40})}{(2\pi)^5} &=\frac{5\sqrt2}3\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{12^{4n}}\\ (A_{40}&=\{1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37\})\\ \frac{\G(\frac18)^2\G(\frac38)^2}{(2\pi)^3} &=\frac97\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{28^{4n}}\\ \frac{\prod_{a\in A_{88}}\G(\frac a{88})}{(2\pi)^{11}} &=\frac{\sqrt{22}}3\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{1584^{2n}}\\ (A_{88}&=\{1, 9, 13, 15, 19, 21, 23, 25, 29, 31, \\ &\qquad 35, 43, 47, 49, 51, 61, 71, 81, 83, 85\})\\ \frac{\prod_{a\in A_{232}}\G(\frac a{232})}{(2\pi)^{29}} &=\frac{29\sqrt2}{99}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac1{396^{4n}}\\ (A_{232}&=\{1, 9, 15, 21, 25, 31, 33, 35, 37, 39, 47, 49, \\ &\qquad 51, 55, 57, 59, 61, 65, 67, 69, 77, 79, 81, 83, 85, 91, 95, \\ &\qquad 101, 107, 115, 119, 121, 123, 127, 129, 133, 135, 139, 143, \\ &\qquad 157, 159, 161, 169, 179, 187, 189, 191, \\ &\qquad 205, 209, 213, 215, 219, 221, 225, 227, 229\}) \end{align*}

$s=6$

\begin{align*} \frac{\G(\frac18)^2\G(\frac38)^2}{(2\pi)^3} &=4\sqrt2\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{20^{3n+\frac12}}\\ \frac{\G(\frac13)^6}{(2\pi)^4} &=\frac{2^{\frac43}}{\sqrt3}\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{(2\c30^3)^{n+\frac16}}\\ \frac{\G(\frac14)^4}{(2\pi)^3} &=4\sqrt2\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{66^{3n+\frac12}}\\ \frac{\G(\frac17)^2\G(\frac27)^2\G(\frac47)^2}{(2\pi)^4} &=4\sqrt7\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{255^{3n+\frac12}}\\ \\ \frac{\G(\frac17)^2\G(\frac27)^2\G(\frac47)^2}{(2\pi)^4} &=\sqrt7\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{15^{3n+\frac12}}\\ \frac{\prod_{a\in A_{11}}\G(\frac a{11})^2}{(2\pi)^6} &=\sqrt{11}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{32^{3n+\frac12}}\\ (A_{11}&=\{1,3,4,5,9\})\\ \frac{\prod_{a\in A_{19}}\G(\frac a{19})^2}{(2\pi)^{10}} &=\sqrt{19}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{96^{3n+\frac12}}\\ (A_{19}&=\{1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17\})\\ \frac{\G(\frac13)^6}{(2\pi)^4} &=3^\frac76\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{(3\c160^3)^{n+\frac16}}\\ \frac{\prod_{a\in A_{43}}\G(\frac a{43})^2}{(2\pi)^{22}} &=\sqrt{43}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{960^{3n+\frac12}}\\ (A_{43}&=\{1, 4, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23, 24, 25, 31, 35, 36, 38, 40, 41\})\\ \frac{\prod_{a\in A_{67}}\G(\frac a{67})^2}{(2\pi)^{34}} &=\sqrt{67}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{5280^{3n+\frac12}}\\ (A_{67}&=\{1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, \\ &\qquad 33, 35, 36, 37, 39, 40, 47, 49, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 64, 65\})\\ \frac{\prod_{a\in A_{163}}\G(\frac a{163})^2}{(2\pi)^{82}} &=\sqrt{163}\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{640320^{3n+\frac12}}\\ (A_{163}&=\{1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, \\ &\qquad 41, 43, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 69, 71, 74, 77, \\ &\qquad 81, 83, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 93, 95, 96, 97, 100, 104, 111, 113, 115, 118, 119, \\ &\qquad 121, 126, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 140, 143, 144, 145, 146, 150, \\ &\qquad151, 152, 155, 156, 158, 160, 161\}) \end{align*}

おまけ：$s=3$の場合

　詳細は省きますが$s=3$の円周率公式についても簡単にわかる範囲で計算してみたところ、次のような式が得られたのでおまけとして書き置いておきます。
\begin{align} \frac{\G(\frac1{24})\G(\frac5{24})\G(\frac7{24})\G(\frac{11}{24})}{(2\pi)^3} &=\frac4{\sqrt3}\sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}\frac1{6^{3n}}\\ \frac{\G(\frac13)^6}{(2\pi)^4} &=\frac{2^\frac83}{27}\sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}\frac1{(2\c3^6)^n}\\ \frac{\G(\frac1{15})\G(\frac2{15})\G(\frac4{15})\G(\frac8{15})}{(2\pi)^3} &=\frac4{\sqrt3}\sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}\frac1{15^{3n}}\\ \\ \frac{\G(\frac13)^6}{(2\pi)^4} &=\frac14\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}\frac1{(3\c2^6)^n}\\ \end{align}
　なおこの記事のLevel3の公式としてまとめているように、$s=3$の円周率公式は他にもあと$5$通りありますが、イータ関数の特殊値を調べるのが面倒なので手を付けてません。興味があれば各々で調べたり計算してみてください。