順像・逆像・余順像

1. $\lambda(A)\subset\lambda(A)$より$A \subset \rho(\lambda(A))$を得る．
2. $A\subset A'$とすると，
   $$ A \subset A' \subset \rho(\lambda(A')) \quad\leadsto\quad \lambda(A) \subset \lambda(A')$$
   が成り立つ．
3. 任意の$B$に対して
   \begin{align} \lambda\left(\bigcup A_{i}\right) \subset B &\iff \bigcup A_{i} \subset \rho(B) \\ &\iff \forall\,i,\ A_{i} \subset \rho(B) \\ &\iff \forall\,i,\ \lambda(A_{i}) \subset B \\ &\iff \bigcup \lambda(A_{i}) \subset B \end{align}
   が成り立つので，結論を得る．
4. $\rho(B)\subset\rho(B)$より$\lambda(\rho(B))\subset B$を得る．
5. $B \subset B'$とすると，
   $$ \lambda(\rho(B)) \subset B \subset B' \quad\leadsto\quad \rho(B) \subset \rho(B')$$
   が成り立つ．
6. 任意の$A$に対して
   \begin{align} A \subset \rho\left(\bigcap B_{j}\right) &\iff \lambda(A) \subset \bigcap B_{j} \\ &\iff \forall\,j,\ \lambda(A) \subset B_{j} \\ &\iff \forall\,j,\ A \subset \rho(B_{j}) \\ &\iff A \subset \bigcap \rho(B_{j}) \end{align}
   が成り立つので，結論を得る．

1. $\lambda(A) \subset B$とし，$x\in A$とする．このとき，$(x,y)\in R$とすると，$x \in A$より$y \in \lambda(A)\subset B$となるので，$x \in \rho(B)$が成り立つ．
2. $A \subset \rho(B)$とし，$y\in\lambda(A)$とする．このとき，$x\in A$であって$(x,y)\in R$なるものが存在するので，$x\in \rho(B)$と併せて$y\in B$を得る．

\begin{align} B \subset f_{!}(A) &\iff f^{*}(B) \subset A \\ &\iff X \smallsetminus A \subset X \smallsetminus f^{*}(B) \\ &\iff X \smallsetminus A \subset f^{*}(Y \smallsetminus B) \\ &\iff f_{*}(X \smallsetminus A) \subset Y \smallsetminus B\\ &\iff B \subset Y \smallsetminus f_{*}(X \smallsetminus A). \end{align}

$f \colon B \to X$を包含写像とすると，
\begin{align} f^{*}(A) &= A \cap B;\\ f_{!}(B \cap C) &= X \smallsetminus (B \smallsetminus (B \cap C)) = (X \smallsetminus B) \cup C; \end{align}
であるから，
$$ A \cap B \subset C \iff f^{*}(A) \subset B \cap C \iff A \subset f_{!}(B \cap C) \iff A \subset (X \smallsetminus B) \cup C$$
が成り立つ．

\begin{align} f_{*}(A \cap f^{*}(B)) \subset B' &\iff A \cap f^{*}(B) \subset f^{*}(B') \\ &\iff A \subset (X \smallsetminus f^{*}(B)) \cup f^{*}(B') \\ &\iff A \subset f^{*}((Y \smallsetminus B) \cup B') \\ &\iff f_{*}(A) \subset (Y \smallsetminus B) \cup B' \\ &\iff f_{*}(A) \cap B \subset B'. \end{align}

任意の$A \subset X, B \subset Y$に対して，写像
\begin{align} A \to f_{*}(A)&;\ x \mapsto f(x);\\ B \to g_{*}(B)&;\ y \mapsto g(y); \end{align}
は全単射なので，$A_{0} \subset X$であって
$$ g_{*}(Y \smallsetminus f_{*}(A_{0})) = X \smallsetminus A_{0} \quad\leadsto\quad g_{!}(f_{*}(A_{0})) = A_{0}$$
なるものが存在することが示せればよい：実際，そのとき
$$ h(x) \coloneqq \begin{dcases} f(x) & x \in A_{0}\\[3pt] g^{-1}(x) & x \in X \smallsetminus A_{0} \end{dcases}$$
が所期の全単射を与える．

1. 写像$\varphi \colon \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$を
   $$ \varphi(A) \coloneqq g_{!}(f_{*}(A))$$
   で定めると，$\varphi$は単調である：
   $$ A \subset A' \implies \varphi(A) \subset \varphi(A').$$
2. 部分集合$\mathcal{X} \subset \mathcal{P}(X)$を
   $$ \mathcal{X} \coloneqq \{A \in \mathcal{P}(X) \mid A \subset \varphi(A)\}$$
   で定め，$A_{0} \coloneqq \bigcup \mathcal{X}$とおく．
3. このとき，
   $$ \forall\,A\in\mathcal{X},\ A \subset \varphi(A) \subset \varphi(A_{0}) \quad\leadsto\quad A_{0} \subset \varphi(A_{0})$$
   が成り立ち，したがって
   $$ \varphi(A_{0}) \subset \varphi(\varphi(A_{0})) \quad\leadsto\quad \varphi(A_{0}) \in \mathcal{X}$$
   となるので，
   $$ \varphi(A_{0})=A_{0}$$
   を得る．

$X$を正規空間，$Y$を位相空間とし，$f \colon X \to Y$を全射閉連続写像とする．このとき，$B,C \subset Y$を互いに交わらない閉集合とすると，$f^{*}(B),f^{*}(C)$は正規空間$X$の互いに交わらない閉集合なので，$U,V \in \tau(X)$であって
$$ f^{*}(B) \subset U,\ f^{*}(C) \subset V,\ U \cap V = \varnothing$$
なるものが存在する．よって
$$ B \subset f_{!}(U) \in \tau(Y),\ C \subset f_{!}(V) \in \tau(Y)$$
であり，
$$ f_{!}(U) \cap f_{!}(V) = f_{!}(U \cap V) = Y \smallsetminus f_{*}(X) = \varnothing$$
が成り立つ．

$X$をハウスドルフ空間，$Y$を位相空間とし，$f\colon X \to Y$を全射完全写像とする．このとき，$y_{1},y_{2}\in Y,\,y_{1}\neq y_{2},\,$とすると，$f^{*}(\{y_{1}\}),\,f^{*}(\{y_{2}\}) $はハウスドルフ空間$X$の互いに交わらないコンパクト集合なので，$U_{i}\in\tau(X)$であって
$$ f^{*}(\{y_{i}\}) \subset U_{i},\ U_{1} \cap U_{2} = \varnothing$$
なるものが存在する．よって
$$ y_{i} \in f_{!}(U_{i}) \in \tau(Y)$$
であり，
$$ f_{!}(U_{1}) \cap f_{!}(U_{2}) = f_{!}(U_{1} \cap U_{2}) = Y \smallsetminus f_{*}(X) = \varnothing$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$V \coloneqq f_{!}(U)$とおけばよい：
\begin{align} f^{*}(\{y\}) \subset U &\quad\leadsto\quad y \in V \in \tau(Y);\\[3pt] V \subset f_{!}(U) &\quad\leadsto\quad f^{*}(V) \subset U. \end{align}

(ii)$\implies$(i)

$U\in\tau(X)$とする．このとき$f_{!}(U)\in\tau(Y)$なることを示せばよい（cf. cl）．そこで$y\in f_{!}(U)$とすると，$f^{*}(\{y\}) \subset U$より，$V \in \tau(y,Y)$であって
$$ f^{*}(V) \subset U \quad\leadsto\quad y \in V \subset f_{!}(U)$$
なるものが存在する．

$x \in X$とし，
$$ \{x\}\times K = \pr^{*}(\{x\}) \subset U \in \tau(X \times K)$$
とする．

1. 各$k\in K$に対して，$V_{k} \in \tau(x,X), W_{k}\in \tau(k,K)$であって
   $$ V_{k} \times W_{k} \subset U$$
   なるものが存在する．
2. $(W_{k})_{k\in K}$はコンパクト空間$K$の開被覆なので，$k_{1},\ldots,k_{n} \in K$であって
   $$ K = W_{k_{1}} \cup\cdots\cup W_{k_{n}}$$
   なるものが取れる．
3. そこで，
   $$ V \coloneqq V_{k_{1}} \cap\cdots\cap V_{k_{n}} \in \tau(x,X)$$
   とおくと，
   $$ \pr^{*}(V) = V \times K \subset \bigcup_{i=1}^{n} V_{k_{i}} \times W_{k_{i}} \subset U$$
   が成り立つ．

1. $f\colon K \to X$をコンパクト空間$K$からハウスドルフ空間$X$への連続写像とする．このとき，$X$のハウスドルフ性より
   $$ F \coloneqq \{(x,k) \in X \times K \mid x = f(k)\} = (\id_{X}\times f)^{*}(\Delta_{X}) \subset X \times K$$
   は閉集合であり，$K$のコンパクト性より射影$\pr\colon X \times K \to X$は閉写像であるから，任意の閉集合$C \subset K$に対して，その順像
   $$ f_{*}(C) = \pr_{*}(F \cap (X \times C)) \subset X$$
   は閉集合である．
2. (1)において包含写像を考えればよい．

pr-clより，射影$\pr\colon X \times K^{-1} \to X$は閉写像であるから，
$$ \pr_{!}(\alpha^{*}(U) \cap (X \times K^{-1})) \subset X$$
は開集合である（cf. cl）．ところで，
\begin{align} x \in \pr_{!}(\alpha^{*}(U) \cap (X \times K^{-1})) &\iff \{x\} \times K^{-1} \subset \alpha^{*}(U) \cap (X \times K^{-1}) \\ &\iff \forall\,k\in K,\ x \cdot k^{-1} \in U \\ &\iff \forall\,k\in K,\ x \in U \cdot k \\ &\iff x \in \bigcap_{k\in K} U \cdot k \end{align}
が成り立つので，結論を得る．

$b\in B,\,\pi^{*}(\{b\}) \subset U \in \tau(E)$とする．

1. $b$の周りの局所自明化$(W,\varphi)$を取る：
   $$ \xymatrix{ {\pi^{*}(W)} \ar[rr]^{\varphi}_{\approx} \ar[dd]_{\pi}&& {W \times F} \ar[dd]^{\pr} \\ \\ {W} \ar@{=}[rr] && {W} }$$
2. pr-clより
   $$ \varpi\coloneqq \pr\circ\,\varphi \colon \pi^{*}(W) \to W;\ e \mapsto \pi(e)$$
   は閉写像であるから，
   $$ \varpi^{*}(\{b\})=\pi^{*}(\{b\}) \subset U \cap \pi^{*}(W) \in \tau(\pi^{*}(W))\quad\leadsto\quad b \in \varpi_{!}(U \cap \pi^{*}(W)) \in \tau(W) \subset \tau(B)$$
   が成り立つ．
3. そこで，$V\coloneqq\varpi_{!}(U \cap \pi^{*}(W))\in\tau(b,B)$とおくと，
   $$ \pi^{*}(V) = \varpi^{*}(V) \subset U \cap \pi^{*}(W) \subset U $$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

pr-clで見た．

(ii)$\implies$(i)

$(U_{i})_{i \in I}$を$K$の開被覆とする．

1. 仮定より，射影
   $$ \pr\colon S^{I} \times K \to S^{I}$$
   は閉写像であるから，指示函数$\chi_{I}\in S^{I}$について
   $$ \chi_{I} \in \pr_{!}\left(\bigcup_{i \in I} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \times U_{i}\right) \in \tau(S^{I})$$
   が成り立つ（cf. cl）．
2. 積位相の定義より，有限集合$I_{0}\subset I$であって
   $$ \chi_{I} \in \bigcap_{i \in I_{0}} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \subset \pr_{!}\left(\bigcup_{i \in I} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \times U_{i}\right)$$
   なるものが存在する．
3. いま，
   $$ \chi_{I_{0}} \in \bigcap_{i \in I_{0}} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \subset \pr_{!}\left(\bigcup_{i \in I} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \times U_{i}\right) \quad\leadsto\quad \pr^{*}(\{\chi_{I_{0}}\}) \subset \bigcup_{i \in I} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \times U_{i}$$
   であるから，任意の$k\in K$に対して
   $$ (\chi_{I_{0}},k) \in \bigcup_{i \in I} \pr_{i}^{*}(\{1\}) \times U_{i} \quad\leadsto\quad \exists\,i\in I_{0},\ k \in U_{i}$$
   が成り立ち，したがって
   $$ K= \bigcup_{i\in I_{0}} U_{i}$$
   を得る．

1. $K$をコンパクト空間とし，$L \subset K$を閉集合とする．このとき，射影$\pr\colon X \times L \to X$は，閉写像$\pr\colon X \times K \to X$の閉集合$X \times L$への制限ゆえ閉写像である．
2. $K$をコンパクト空間とし，$f \colon K \to L$を全射連続写像とする．いま，射影$\pr\colon X \times K \to X$は閉写像であり，$\id_{X}\times f$は全射連続写像であるから，射影$\pr\colon X \times L \to X$は閉写像である：
   $$ \xymatrix{ {X \times K} \ar[dd]_{\id_{X} \times f} \ar[ddrr]^{\pr} && \\ \\ {X \times L} \ar[rr]_{\pr} && {X} }$$

$K_{1},\ldots, K_{n}$をコンパクト集合とし，$K\coloneqq\bigcup K_{i}$とおく．このとき，射影$\pr\colon X \times K \to X$が閉写像であることを示せばよい．そこで，
$$ \{x\} \times K \subset U \in \tau(X \times K)$$
とすると，
$$ \{x\} \times K_{i} \subset U \cap (X \times K_{i}) \in \tau(X \times K_{i})$$
より，$V_{i}\in\tau(x,X)$であって
$$ V_{i} \times K_{i} \subset U \cap (X \times K_{i})$$
なるものが存在するので，$V\coloneqq \bigcap V_{i} \in \tau(x,X)$とおけば，
$$ V \times K \subset \bigcup_{i=1}^{n} V_{i} \times K_{i} \subset U$$
が成り立つ．

1. Base：明らか．
2. Induction：$K_{1},\ldots,K_{n+1}$をコンパクト空間とする．このとき，射影$\pr\colon X \times \prod K_{i} \to X$は，閉写像
   $$ X \times \prod_{i=1}^{n+1} K_{i} \approx \left(X \times \prod_{i=1}^{n} X_{i}\right) \times K_{n+1} \to X \times \prod_{i=1}^{n} K_{i};\ (x,(k_{1},\ldots,k_{n+1})) \mapsto (x,(k_{1},\ldots,k_{n}))$$
   と閉写像
   $$ X \times \prod_{i=1}^{n} K_{i} \to X;\ (x,(k_{1},\ldots,k_{n})) \mapsto x$$
   との合成ゆえ閉写像である．