Zagier's sporadic sequences3

今回は Zagier's sporadic sequences の1つである
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
について考察していきたいと思う.

母関数

定義から,
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k8^{n-k}\binom nkx^n\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=\sum_{0\leq k,n}(-x)^k8^{n}\binom{n+k}kx^n\sum_{j=0}^k\binom kj^3\qquad n\mapsto n+k\\ &=\frac 1{1-8x}\sum_{0\leq k}\left(-\frac{x}{1-8x}\right)^k\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
となる. ここで, 前の記事 で示したFranel数の母関数表示
\begin{align} \sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3&=\frac 1{1+4u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}\\ &=\frac 1{1-2u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u^2}{(1-2u)^3}} \end{align}
を用いると, 以下が得られる.

漸化式

$a_n$は以下の漸化式を満たすことが知られている
\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-(17n^2+17n+6)a_n+72n^2a_{n-1}=0 \end{align}
これは先ほど示した等式
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{1-8x}\sum_{0\leq k}\left(-\frac{x}{1-8x}\right)^k\sum_{j=0}^k\binom kj^3 \end{align}
を用いると, Franel数の母関数が満たす微分方程式を$\displaystyle x\mapsto-\frac{x}{1-8x}$と変換することによって示すことができるが, より分かりやすい証明を与えることはできるだろうか.

別の表示

Zagier's sporadic sequences の中で, この$a_n$だけが超幾何級数で表されるかどうかが知られていないと思われる. 超幾何級数による表示が与えられるかどうかは非常に気になる問題であるので, 以下思いつくことを全て試すという形で$a_n$の別の表示を探っていきたいと思う. まず, 定義から最も直接的に二重和の交換を行うと
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^3\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\sum_{j\leq k}(-8)^{-k}\binom nk\binom kj^3\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!}{j!^3}\sum_{j\leq k}(-8)^{-k}\frac{k!^2}{(n-k)!(k-j)!^3}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!}{j!^3}(-8)^{-j}\sum_{0\leq k}(-8)^{-k}\frac{(j+k)!^2}{k!^3(n-j-k)!}\qquad k\mapsto j+k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\binom nj(-8)^{-j}\F32{j-n,j+1,j+1}{1,1}{\frac 18} \end{align}
となる. つまり以下を得る.

次に 前の記事 の定理1の1つ目の表示を用いて二重和を交換すると,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{0\leq j}2^{k-2j}\binom{j+k}j\binom{k}{2j}\binom{2j}j\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac {n!}{j!^3}4^{-j}\sum_{j\leq k}(-4)^{-k}\frac{(j+k)!}{k!(n-k)!(k-2j)!}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac {n!}{j!^3}4^{-3j}\sum_{0\leq k}(-4)^{-k}\frac{(3j+k)!}{(2j+k)!(n-2j-k)!k!}\qquad k\mapsto 2j+k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}4^{-3j}\binom{n}{2j}\frac {(3j)!}{j!^3}\F32{2j-n,3j+1}{2j+1}{\frac 14} \end{align}
となる. つまり以下を得る.

定理2とは違い, この右辺は${}_2F_1$である. よって, Pfaffの変換公式やEulerの変換公式を用いることによって別の形に変換できる. まず, Pfaffの変換公式より
\begin{align} \F21{2j-n,3j+1}{2j+1}{\frac 14}&=\left(\frac 34\right)^{n-2j}\F21{2j-n,-j}{2j+1}{-\frac 13} \end{align}
であるから, これを定理3に代入して二重和を入れ替えると,
\begin{align} a_n&=\sum_{0\leq j}6^{n-2j}\binom{n}{2j}\frac {(3j)!}{j!^3}\F21{2j-n,-j}{2j+1}{-\frac 13}\\ &=\sum_{0\leq j}6^{n-2j}\binom{n}{2j}\frac {(3j)!}{j!^3}\sum_{0\leq k}\frac{(2j-n,-j)_k}{k!(2j+1)_k}(-3)^{-k}\\ &=\sum_{0\leq j}6^{n-2j}\frac {(3j)!}{j!^2}\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!(n-2j-k)!(j-k)!(2j+k)!}(-3)^{-k}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!}(-3)^{-k}\sum_{0\leq j}6^{-2j}\frac{(3j)!}{j!^2(n-2j-k)!(j-k)!(2j+k)!}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!}(-108)^{-k}\sum_{0\leq j}6^{-2j}\frac{(3j+3k)!}{(j+k)!^2(n-2j-3k)!j!(2j+3k)!}\qquad j\mapsto j+k\\ &=6^n\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}(-108)^{-k}\sum_{0\leq j}6^{-2j}\frac{(3k+1)_{3j}(3k-n)_{2j}}{j!(k+1)_j^2(3k+1)_{2j}}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}(-108)^{-k}\F43{k+\frac 13,k+\frac 23,\frac{3k-n}2,\frac{3k-n+1}2}{k+1,\frac{3k+1}2,\frac{3k+2}2}{\frac 34} \end{align}
つまり以下を得る.

この右辺の${}_4F_3$は Verma-Jainの三次変換公式 の古典極限として現れるものに似ているが, 適用できる形にはなっていない. 次に, 定理3の${}_2F_1$にEulerの変換公式を用いると
\begin{align} \F21{2j-n,3j+1}{2j+1}{\frac 14}&=\left(\frac 34\right)^{n-3j}\F21{n+1,-j}{2j+1}{\frac 14} \end{align}
となるので,
\begin{align} a_n&=\sum_{0\leq j}8^{n-2j}\binom{n}{2j}\frac {(3j)!}{j!^3}\left(\frac 34\right)^{n-3j}\F21{n+1,-j}{2j+1}{\frac 14}\\ &=6^n\sum_{0\leq j}3^{-3j}\binom{n}{2j}\frac {(3j)!}{j!^3}\sum_{0\leq k}\frac{(n+1,-j)_k}{k!(2j+1)_k}4^{-k}\\ &=6^n\sum_{0\leq j}3^{-3j}\frac {(3j)!}{(n-2j)!j!^2}\sum_{0\leq k}\frac{(n+k)!}{k!(2j+k)!(j-k)!}(-4)^{-k}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}(-4)^{-k}\frac{(n+k)!}{k!}\sum_{k\leq j}3^{-3j}\frac{(3j)!}{(n-2j)!j!^2(2j+k)!(j-k)!}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}(-108)^{-k}\frac{(n+k)!}{k!}\sum_{0\leq j}3^{-3j}\frac{(3j+3k)!}{(n-2j-2k)!(j+k)!^2(2j+3k)!j!}\qquad j\mapsto j+k\\ &=6^n\sum_{0\leq k}(-108)^{-k}\frac{(n+k)!}{k!^3(n-2k)!}\sum_{0\leq j}3^{-3j}\frac{(3k+1)_{3j}(2k-n)_{2j}}{j!(k+1)_j^2(3k+1)_{2j}}\\ &=6^n\sum_{0\leq k}(-108)^{-k}\frac{(n+k)!}{k!^3(n-2k)!}\F43{k+\frac13,k+\frac 23,k-\frac{n}2,k+\frac{1-n}2}{k+1,\frac{3k+1}2,\frac{3k+2}2}1 \end{align}
となる. つまり以下が得られた.

ここに現れる${}_4F_3$は定理4のものと非常に似ているが, 引数が$1$になっているというところが大きな違いである. しかし, この${}_4F_3$はbalancedではなく, Whippleによるnearly-poised変換公式 に現れるものと非常に似ているが, 適用できる形にはなっていない.

次に 前の記事 の定理1の2つ目の表示を用いて二重和を交換すると,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{0\leq j}(-4)^{k-j}\binom{k}j\binom{2j+k}{k}\binom{2j}j\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}\sum_{0\leq j}(-4)^{k-j}\frac{(2j+k)!}{j!^3(k-j)!}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!}{j!^3}(-4)^{-j}\sum_{j\leq k}2^{-k}\frac{(2j+k)!}{k!(n-k)!(k-j)!}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!}{j!^3}(-8)^{-j}\sum_{0\leq k}2^{-k}\frac{(3j+k)!}{(j+k)!(n-j-k)!k!}\qquad k\mapsto j+k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\binom nj\frac{(3j)!}{j!^3}(-8)^{-j}\F21{3j+1,j-n}{j+1}{-\frac 12} \end{align}
となる. つまり以下を得る.

これは定理3の表示とかなり近いが, 微妙に異なっている. Pfaffの変換公式より
\begin{align} \F21{3j+1,j-n}{j+1}{-\frac 12}&=\left(\frac 32\right)^{n-j}\F21{-2j,j-n}{j+1}{\frac 13} \end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align} a_n&=\sum_{0\leq j}(-1)^j12^{n-j}\binom nj\frac{(3j)!}{j!^3}\F21{-2j,j-n}{j+1}{\frac 13}\\ \end{align}
を得る. これに関しては二重和を交換してもあまりよい表示にはならなさそうである.

次に, Strehlの恒等式 を用いると,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq k}(-8)^{-k}\frac{n!(2j)!}{j!^2(n-k)!(k-j)!^2(2j-k)!}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!(2j)!}{j!^2}(-8)^{-j}\sum_{0\leq k}(-8)^{-k}\frac{1}{(n-j-k)!k!^2(j-k)!}\qquad k\mapsto j+k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\binom nj\binom{2j}j(-8)^{-j}\F21{-j,j-n}{1}{-\frac 18} \end{align}
つまり以下を得る.

次に, 前の記事 の定理4の表示を用いると
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk \frac 1{2^k}\sum_{0\leq j}\binom{2j}k\binom{2j}j\binom{2k-2j}{k-j}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq k}(-16)^{-k}\frac{n!(2j)!^2(2k-2j)!}{k!^2(n-k)!(2j-k)!j!^2(k-j)!^2}\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\frac{n!(2j)!^2}{j!^2}(-16)^{-j}\sum_{0\leq k}(-16)^{-k}\frac{(2k)!}{(j+k)!^2(n-j-k)!(j-k)!k!^2}\qquad k\mapsto j+k\\ &=8^n\sum_{0\leq j}\binom nj\binom{2j}j^2(-16)^{-j}\F32{\frac 12,-j,j-n}{j+1,j+1}{-\frac 14} \end{align}
つまり以下を得る.

次に, Barrucandの恒等式 を反転した式
\begin{align} \sum_{j=0}^k\binom kj^3&=\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom kj\sum_{l=0}^j\binom jl^2\binom{2l}l \end{align}
を用いると,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom kj\sum_{l=0}^j\binom jl^2\binom{2l}l\\ &=\sum_{j=0}^k(-1)^{j}\left(\sum_{k=0}^n8^{n-k}\binom nk\binom kj\right)\sum_{l=0}^j\binom jl^2\binom{2l}l\\ &=\sum_{j=0}^k(-1)^{j}\binom nj\left(\sum_{k=0}^{n-j}8^{n-k-j}\binom{n-j}k\right)\sum_{l=0}^j\binom jl^2\binom{2l}l\\ &=\sum_{j=0}^k(-1)^{j}9^{n-j}\binom nj\sum_{l=0}^j\binom jl^2\binom{2l}l \end{align}
つまり 以下を得る.

Almkvistの恒等式
\begin{align} \sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j&=\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{3j}{2k} \end{align}
を用いるとこれは
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k9^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{3j}{2k}\\ &=9^n\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq k}(-9)^{-k}\frac{n!k!(3j)!}{(n-k)!j!^2(k-j)!^2(2k)!(3j-2k)!}\\ &=9^n\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq k}(-9)^{-k}\frac{n!k!(3k-3j)!}{(n-k)!j!^2(k-j)!^2(2k)!(k-3j)!}\qquad j\mapsto k-j\\ &=9^n\sum_{0\leq j}\frac{n!}{j!^2}\sum_{0\leq k}(-9)^{-k}\frac{(3j+k)!(6j+3k)!}{(n-3j-k)!(2j+k)!^2(6j+2k)!k!}\qquad k\mapsto 3j+k\\ &=9^n\sum_{0\leq j}\frac{n!(3j)!}{j!^2(2j)!^2(n-3j)!}(-9)^{-3j}\sum_{0\leq k}9^{-k}\frac{(3j-n,3j+1)_k(6j+1)_{3k}}{k!(2j+1)_k^2(6j+1)_{2k}}\\ &=9^n\sum_{0\leq j}\frac{n!(3j)!}{j!^2(2j)!^2(n-3j)!}(-9)^{-3j}\F32{3j-n,2j+\frac 13,2j+\frac 23}{2j+1,3j+\frac 12}{\frac 34} \end{align}
つまり以下を得る.

いくつかの変形を試してみたが, 超幾何級数で表されるかどうかは分からなかった. 別の表示を得るためには他にも様々なアプローチがあり得そうなところではあるので, 引き続き取り組んでいきたいと思う.