自己紹介
とりあえず好きな数式を並べておきます。
定義
| 記号 | 名称、解説 |
|---|---|
| $\delta_{a,b}$ | クロネッカーのデルタ |
| $\displaystyle \Kfrac_{n=0}^\infty\frac{a_n}{b_n}$ | 連分数 |
| $\sigma(n)$ | 約数関数 |
| $\hygeo rFs{\boldsymbol a}{\boldsymbol b}{z}$ | 超幾何関数 |
| $\P$ | 素数全体の集合 |
| $\varpi$ | レムニスケート周率 |
定理（著者）
定理名をクリックすれば記事に飛びます。
$\beginend{align}{ \frac{\sqrt[8]2-1}{\sqrt[8]2+1} &= \Kfrac_{n=0}^\infty\frac1{2\sinh((2n+1)\pi)} \\ \tan\frac\pi{48} &= \Kfrac_{n=0}^\infty\frac1{2\cosh\frac{(2n+1)\pi\sqrt3}2} \\ }$
任意の基数において、
$\displaystyle{
\frac{1}{1}+\frac{z^1}{111}+\frac{z^{1+1}}{11111}+
\frac{z^{1+1+1}}{1111111}+\cdots =
\cfrac{1}
{1-\cfrac{1^{1+1}1z}
{111-\cfrac{11^{1+1}10z}
{11111-\cfrac{111^{1+1}100z}
{1111111-\ddots}}}}
}$
$\beginend{eqnarray}{
\sigma(n) &=& \sum_{k\in\Z\setminus\{0\}}
(-1)^{k-1}\lr({\sigma\lr({n-\frac{k(3k-1)}{2}}) + \delta_{n,k(3k-1)/2}n}) \\ &=&
\sum_{k\ge1}
(-1)^{k-1}(2k+1)\lr({\sigma\lr({n-\binom{k+1}{2}}) + \delta_{n,\binom{k+1}{2}}\frac{n}{3}})
}$
ただし、$\sigma(n) = 0 \ (n\le0)$。
1行目はオイラーによって発見されています。
$\large\displaystyle \frac{\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\ln(2n+1)}{\sqrt{2n+1}}}{\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}} = \frac{\gamma+\ln(2\pi)}2-\frac\pi4$
$\large \hygeo3F2{a,b,-n}{\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{1} = \hygeo2F1{a,-2n}{a+b}{2} $
定理（著者以外）
$\large p\in\P$
$\large\displaystyle \binom{ap}{bp}\equiv\binom ab\pmod p$
$\beginend{align}{ \pi &= \cfrac4 {1+\cfrac1 {3+\cfrac{1+3} {5+\cfrac{1+3+5} {7+\quad{\scriptsize\ddots}}}}} \\ \varpi &= \cfrac2 {1-\cfrac1 {5-\cfrac{1+5} {9-\cfrac{1+5+9} {13-\quad{\scriptsize\ddots}}}}} }$