位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. 分割して投稿予定です. この記事では分類の中で使う定理や諸注意をまとめています.
以下, $x^g=g^{-1}xg$と定義する. 群$G$に対し、$H$が部分群であることを$G\geq H$で表し,特に$G\neq H$のときは$G>H$で表す.また, 特に注意がなければ$G$は有限群, $G\geq H,G\geq K$とする.
正規部分群で割ることにより小さな群に帰着できる. この節ではどのような操作によって正規部分群や特性部分群が保たれるか調べる.
$HK=\{hk|h\in H, k\in K\}$とする.
$H$と$K$の少なくとも一方が正規なら$G\geq HK$, 両方正規なら$G\rnormal HK$となる.
$H$か$K$の片方が正規なら, $HKHK=HHKK=HK, (HK)^{-1}=KH=HK$となり, 両方正規なら任意の$g\in Gに対し{HK}^g=H^gK^g$となるので従う.
$H \char G$ を $\forall \phi \in \Aut(G), \phi(H)=H$と定義する.
この時, $H$は$G$の特性部分群であるという.
特性部分群は, 特に任意の元の共役で閉じているので, 正規部分群でもある.
$K\char H\char G\imply K\char G$
$K\char H\lnormal G\imply K\lnormal G$
$K\char G, H/K\char G/K\imply H\char G$
$K\lnormal G, H/K\lnormal G/K\imply H\lnormal G$
ただし下2つは$H\geq K$を仮定する.
$K\char H\char G$とし, $\phi\in \Aut(G)$を任意にとる. このとき, $\phi(H)=H$となり, $\phi|_H$は$\Aut(H)$の元となる. よって$\phi(K)=K$となり$K\char G$.
2番目もほぼ同様.
$K\char G, H/K\char G/K$とし, $\phi\in \Aut(G)$を任意に取る. このとき, $\phi(K)=K$より, $\bar\phi:G/K\to G/K$が誘導される. この$\bar\phi$に対し, $\bar\phi(H/K)=H/K$が成り立つので, $\phi(H)=H$.
4番目もほぼ同様.
一般に, 特性部分群から「自然に」群を作る操作をすると, それも特性部分群になります. 例えば, $H\char G$のとき, $Z(H)や[H, H]$なども特性部分群になります.
核を取ることで(正規とは限らない)部分群から正規部分群を作れる. この節では核の位数を評価する.
$\core_G(H)$を$\cap_g H^g$と定義する.
定義より$G\rnormal \core_G(H)$となる.
$|G/H|=m$とする. このとき, 準同型$f:G\to S_m$が存在し, その核は$\core_G(H)$となる. 特に, $|G/\core_G(H)|$は$m$の倍数かつ$m!$の約数となる.
$G/H$に$G$を$g_1\dot (g_2H):=g_1g_2H$と作用させる. この作用から自然に準同型$f:G\to S_{G/H}$が誘導される. この準同型のkernelを$N$とすると, $N=\cap_{gH} \{k|kgH=gH\}=\cap_{g} \{k|g^{-1}kg\in H\}=\cap_{g} gHg^{-1}=\core_G(H)$. ゆえに, $|G/\core_G(H)|=|G/N|=|Im(f)|=m!/|coker(f)|$となる.
上の作用は可移なので, $f(G)$は$S_m$の可移な部分群となる.
また, 上の作用で$h\in H$に対し, $hH=H$が成立するので, $f(H)\subset S_{m-1}$である.
シロー$p$群の存在は有限群の分類に役立つ. この節では, シロー$p$群とそれに関連した命題を示す.
位数$p^ab(bとpは互いに素)$の群$G$の位数$p^a$の部分群$H$をシロー$p$群と定義する. シロー$p$群の個数を$n_p(G)$とする. (この記法はあまり一般的ではないので注意)
$n_p(G) \equiv 1\pmod{p}$であり, シロー$p$群は全て共役. 特に$G$の位数を$n$とすると, $n_p(G)|n$. さらに, 任意の$G$の部分$p$群$H$に対し, あるシロー$p$群$K$が存在し, $H\leq K$を満たす.
証明は基本的な群論の本に載っているので省略する.
全てのシロー$p$群の共通部分を$O_p(G)$と置く.
$O_p(G)\char G$である. 特に, $n_p(G)=1$なら, $G$のシロー$p$群は特性部分群となる.
シロー$p$群の同型での像は再びシロー$p$群となることから明らか.
$|G|=n$と置く. この時, 以下の不等式が成り立つ.
$n>\sum_{p:ord_p(n)=1} n_p(G)(p-1)$$+\sum_{p:ord_p(n)>1}{(p^{ord_p(n)}-1)}+\sum_{p:ord_p(n)>1,n_p(G)>1}{(1-\frac{1}{p})p^{ord_p(n)}} $
ただし、($\sum_{p:Q(p)}{f(p)}$)は$Q(p)$を満たすすべての素数$p$に対しての$f(p)$の和を表す.
$p$を素数,$q=p^{\ord_p(n)}$とする.以下,$p$冪という言葉は$p^n$($n$は 正の整数)と表せる整数を指す.
$G$の位数が$p$冪である元全体の集合を$G_p$と置く.任意のシロー$p$群$P$に対して,$G_p\supset P-\{1\}$である. また, $|P-\{1\}|=q-1$に留意せよ.
$\ord_p(n)=1$の時, シロー$p$群の共通部分は自明なので, $|G_p|\geq n_p(G)(p-1)$.
$\ord_p(n)>1$なら,上の議論より$|G_p|\geq q-1$.
$ord_p(n)>1,n_p(G)>1$なら相異なるシロー$p$群,$P_1,P_2$をとると,$|G_p|\geq |(P_1\cup P_2)-\{1\}|=|P_1|+|P_2|-|P_1\cap P_2|-1\geq (q-1)+(q-\frac{q}{p})$.
これと,$G\supsetneq \bigsqcup G_p$を合わせれば上の不等式が従う.
$|G_p|\geq n_p(G)(q-\frac{q}{p})$は一般には成り立たない. $G=S_3\times S_3, p=2$が反例である.
正規部分群に対して, その補部分群があれば, 元の群はその2つの群の半直積でかける. この節では半直積の基本的な性質, 及びいつ同型になるか求める.
$K,N$を任意の群とする.$\phi:K\to \Aut(N)$が準同型であるとする. ここで, $G=K\times N$に, 次のように二項演算$*$をいれる:$(k_1, n_1)*(k_2, n_2)=(k_1k_2, \phi(k_2)(n_1)n_2)$. このとき, $(G, *)$は群となり, これを$K\ltimes_{\phi} N$と書く.
$((k_1, n_1)*(k_2, n_2))*(k_3, n_3)=(k_1k_2, \phi(k_2)(n_1)n_2)*(k_3, n_3)=(k_1k_2k_3, \phi(k_3)(\phi(k_2)n_1)n_3)=(k_1k_2k_3, \phi(k_2k_3)(n_1)\phi(k_3)(n_2)n_3). $
$(k_1, n_1)*((k_2, n_2)*(k_3, n_3))=(k_1, n_1)*(k_2k_3, \phi(k_3)(n_2)(n_3))=(k_1k_2k_3, \phi(k_2k_3)(n_1)\phi(k_3)(n_2)n_3). $
より, 結合法則が確認できる.
$(1_K, 1_N)$が単位元になることは容易に確認できる.
$(k, n)*(k^{-1}, \phi(k^{-1})(n^{-1})=(1_K, \phi(k^{-1})(n)\phi(k^{-1})(n^{-1}))=(1_K, 1_G)$
$(k^{-1}, \phi(k^{-1})(n^{-1}))*(k, n)=(1_K, \phi(k)(\phi(k^{-1})(n))n^{-1})=(1_K, 1_G)$
より, $(k, n)$の逆元も存在する.
$G\rnormal N,K$が$G$の部分群,$ N\cap K=1, G=KN$とする. $k\in K, n\in N$に対し, $(\phi(k))(n)=n^kと\phi:K\to \Aut(N)を定義すると, G\simeq K\ltimes_{\phi}N$.
$(k, n)\in K\ltimes_{\phi}N$に対し$kn\in G$を対応させると, これが同型写像になる.
$K,N$を任意の群とする. $G=\semiprod{K}{\phi}{N}, N'=\{(1, n)|n\in N\}, K'=\{(k, 1)|k\in K\}$と置くと, $G\rnormal N', N'\cap K'=1, G=K'N'. $
逆に$G\rnormal N, N\cap K=1, G=KNとする. k\in K, n\in Nに対し, $
$(\phi(k))(n)=n^kと\phi:K\to \Aut(N)$を定義すると, $G\simeq K\ltimes_{\phi}N. $
前半は自明. 後半は$(k, n)\in K\ltimes_{\phi}N$に対し$kn\in G$を対応させると, これが同型写像になる.
今後, $G=\semiprod{K}{\phi}{N}$のとき, 上の定理の$K'$を$K$と, $N'$を$N$と同一視する. よって$(k, n)を単にkn$と書く.
$fが\semiprod{i_1(K)}{\phi'}{j_1(N)}$から$\semiprod{i_2(K)}{\psi'}{j_2(N)}$への同型であり, さらに次の条件を満たすとする.
このとき, $\mu\in \Aut(N)と\nu\in \Aut(K)$が存在し, $(\nu\comp\psi)^\mu=\phi$となる.
逆に$(\nu\comp\psi)^\mu=\phi$なら, $\semiprod{i_1(K)}{\phi}{j_1(N)}\simeq
\semiprod{i_2(K)}{\psi}{j_2(N)}$となる.
$f, m$が上の条件を満たすとする. $\phi'(i_1(k))(j_1(n))=i_1(\phi(k)(n)),\psi'(i_2(k))(j_2(n))=i_2(\psi(k)(n))$となる, $K$から$\Aut(N)$への準同型$\phi,\psi$, 及び$i_2(\mu(n)), f(j_1(k))=j_2(\nu(k))^{i_2(m)}となる, \mu\in \Aut(N), $$\nu\in \Aut(K)$が取れる. すると, $i_2(\mu(\phi(k)(n)))=f(i_1(\phi(k)(n))=f(i_1(n)^{j_1(k)})=i_2(\mu(n))^{j_2(\nu(k))^{i_2(m)}}=i_2(\psi(\nu(k))(\mu(n)^{m^{-1}})^m)$となる. よって$\mu'(n)=\mu(n)^{m^{-1}}$と置くと, $\psi(\nu(k))^{\mu'}=\phi(k)$となる.
逆に$\psi, \phi, \mu, \nu$が条件を満たすとする. $f(i_1(n))=i_2(\mu(n)),f(j_1(k))=j_2(\nu(k))^{i_2(m)}$と$f$を定義すれば同型となる.
$p$-群は個数が多く, さらにシローの定理が役立たないため, 別途に手段を考える必要がある.
$G/Z(G)=\gen{\bar{x}}$が巡回群なら,$G=Z(G)$.
$G/Z(G)=\gen{\bar{x}}$となるように$x\in G$をとる. $y\in G$を任意にとると, $y=x^az$の形に自然数$a$と$z\in Z(G)$を用いて書ける. よって,$xy=x^{a+1}z=x^azx=yx$となり, $x\in Z(G)$.
$G$を位数が$p^n$である群とする. このとき, $G=G_n\supset G_{n-1}\supset G_{n-2}. . . \supset G_0=1かつ|G_i|=p^i$となる, $G$の正規部分群$G_i(i=0, . . . , n)$が存在する.
$G_i$を帰納的に定義する. $i< n$なら$G/G_i$は非自明な$p$-群である. よって, その中心は非自明であり, $Z(G/G_i)\supset G_{i+1}/G_i$となるように位数$p^{i+1}$の群, $G_{i+1}$を取れる. $Z(G/G_i)\supset G_{i+1}/G_i$より特に$G/G_i\rnormal G_{i+1}/G_i$となり, 命題1より$G\rnormal G_{i+1}$.
$G\rnormal N, G/N=\gen{\bar{x}}=C_m$とする. $N$の$x$への共役を$\phi$と書く. $y=x^m$とすると, $\phiとx$は以下の二つを満たす.
逆に, 群$N$と$\phi\in \Aut(N), y\in N$が上の条件を満たすとする. この時, 群$Gとx$が存在し, $G\lnormal N, G/N=\gen{\bar{x}}=C_m$となり, $N$の$x$への共役を$\phi$となる. (この群$G$に適切な名前があれば教えてほしいです. . . )
前半の主張は自明. 後半の主張を示す. $X=\{(i, n)|i\in Z, n\in N\}$と置き, $(i+m, n)\sim(i, yn)$となるような最小の同値関係を$\sim$とする. $G=X/\sim$とし, $(i, n_1)*(j, n_2)=(i+j, \phi^j(n_1)(n_2))$とすると, これはwell-definedであり, $(G, *)$は群となる. そして$x=(0, 1_N)$とすれば残りの条件も満たす.(詳細は計算すればわかり, また半直積と似た感じなので省略)
群の準同型をもとめるさい、群の表示が役に立つ.
$I,J$を添え字集合とし, $G=\gen{x_i|r_j}, y_i\in H(i\in I,j\in J)$とする. このとき,任意の$i$に対し$\phi(x_i)=y_i$を満たす$G$から$H$への準同型が存在することと, 任意の$j$に対し, $r_j((y_i)_I)=1$となることは同値である. さらにこの時, $G$から$H$への準同型は一意に定まる.
一意性は$(x_i)_IがG$の生成元であることから従う. 任意の$j$に対し, $r_j((y_i)_I)=1$と仮定する. $\psi(x_i)=y_i$を満たす$\gen{x_i}$から$H$への射が自由群の普遍性から存在し, 仮定より$r_j((x_i)_I)\in \rm{ker}(\psi)$となるので, ここから条件を満たす$G$から$H$への射$\phi$が誘導できる.
逆に$\phi(x_i)=y_i$を満たす$G$から$H$への射$\phi$があれば, $1=\phi(1)=\phi(r_j((x_i)_I))=r_j((\phi(x_i))_I)=r_j((y_i)_I)$となる.