位数pqrの群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$pqr$の群を求めます. 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

位数$pqr$

$G$を位数$pqr$の群とする.

$P$を$G$のシロー$p$部分群(の一つ)とする.$G=NP,G▹N,N\cap P=1$より,適当な$\varphi$を用いて$G=P{⋉}_{\varphi }N$と書ける.
よって,位数$qr$の分類より, $G\simeq C_p{⋉}_{\varphi }{C}_{qr}$,もしくは$G\simeq C_p{⋉}_{\varphi }(C_q{⋉}_{\psi }{C}_r)$となる. (ここで$\psi =(x\mapsto sx)$で, $s$は$\mathrm{mod}q$で位数$r$となる整数.) $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$より, 上と下は同型にならない.
ゆえに, 準備記事定理9 より, $M=C_q\times C_r,C_q{⋉}_{\psi }{C}_r$としたとき, $\mathrm{Aut}(M)$の位数$1,p$の部分群を($\mathrm{Aut}(M)$の)共役を除いて求めればよい.

$M=C_q\times C_r$の場合

位数$1$の部分群は一つ.
$\mathrm{Aut}(M)=C_{q-1}\times C_{r-1}$より,

• $q\equiv 1(\mathrm{mod}p)$なら$⟨(\overline{\frac{q-1}{p}},\bar{0})⟩$
• $r\equiv 1(\mathrm{mod}p)$なら$⟨(\bar{0},\overline{\frac{r-1}{p}})⟩$
• どちらも成り立てばさらに$⟨(\overline{\frac{(q-1)i}{p}},\overline{\frac{r-1}{p}})⟩(0<i<p)$

が位数$p$の部分群であり, これらはもれなくダブりない.

$M=C_q{⋉}_{\psi }{C}_r$の場合

位数$1$の部分群は一つ.
$\mathrm{Aut}(M)=C_{r-1}{⋉}_{\gamma }{C}_r=⟨\sigma ,\tau |{\sigma }^r=1,{\tau }^{r-1}=1,{\tau }^{-1}\sigma \tau ={\sigma }^t⟩$である. (ここで, $t\in \mathbb{Z}$は$\mathrm{mod}r$での原始根. )
$\mathrm{Aut}(M)$の位数$p$の元を求める. $a,b$を, $0\le a<r,0\le b<r-1$を満たす整数とする. このとき, $({\sigma }^a{\tau }^b{)}^q={\sigma }^c{\tau }^{bq}$, $c\in \mathbb{Z}$と書ける.
よって, ${\sigma }^a{\tau }^b\in \mathrm{Aut}(M)$が位数$p$なら, $b=\frac{(r-1)i}{p}(0<i<p)$と書ける^[2]. 適当に$\sigma$の何乗かで共役をとり, ${\sigma }^a{\tau }^b\sim {\tau }^b$. これは明らかに位数$p$. よって,

• $r\equiv 1(\mathrm{mod}p)$のとき, $⟨{\sigma }^{(r-1)/p}⟩$

が位数$p$の部分群であり,これで(共役を除いて)すべてが尽くされている.

まとめ

今までの結果を用い, $pqr\le 100$のときに, 位数$pqr$の群としてありうるものを列挙する. $3\times 5\times 7=105>100$より, $p=2$.

$q\nmid r-1$のとき

位数$pqr$の群は $C_2\times C_q\times C_r$, $D_q\times C_r$, $C_q\times D_r$, $D_{qr}$の$4$つがある.

$q\mid r-1$のとき($q=3,r=7,13$)

上の$4$つに加え, $C_2\times (C_q{⋉}_{\psi }{C}_r)$, $C_{2q}{⋉}_{\gamma }{C}_r$の$2$つが加わり, 合計$6$個.
ここで$\psi ,\gamma$は次のように定義される: $s,t\in \mathbb{Z}$を$\mathrm{mod}r$での位数がそれぞれ$q,2q$となるようにとり, $\psi (\bar{1})=(x\mapsto sx),\gamma (\bar{1})=(x\mapsto tx)$.
$r=7$のときは, 最後の群は$\mathrm{Aff}({\mathbb{F}}_7)$とも書ける.