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位数p^3の群の分類

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初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数p3の群(およびその自己同型群の位数)を求めます. 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

リンク集(記事追加に合わせこちらにも追加します)
- 位数1,p,p2,pqの群
- 位数pqrの群
- 位数p2qの群
- 位数60,90,84の群
- 位数36,100の群
- 位数p3の群
- 位数24,40,56,88,54の群
- 位数72の群
- 位数p4の群
- 位数48,80の群
- 位数32の群
- 位数96の群
- 位数64の群

以下pは素数とする.

位数p3

nomalizer_grows

Gを有限p群, GHGの部分群とする. このとき, NG(H)H.

Hに含まれるなかで最大のGの正規部分群Nをとる.
このとき, 特にH/NZ(G/N)=N/N. これと, #Z(G/N)>1を合わせて, NG(H)/NNG(H/N)Z(G/N)H/Nとなる.
とくにNG(H)H.

Gを位数p3の群とする. Gの最大位数の元の大きさで場合分けを行う.

Gが位数p3の元xを含むとき.

GCp3.

Gが位数p2の元xを含むが, 位数p3の元を含まないとき.

x=Hと置く. 上の定理より, GH. yGHを一つとる.

yZ(G)のとき

有限Abel群の基本定理より, GCp2×Cp.

yZ(G)のとき

このとき, y1xy=xa(1<c<p2)と置くと, ypHより, ypxyp=xap. ゆえに, ap1(modp2). よって, a1(modp). yをその何乗かで置き換えて, a=1+pとしてよい. (a=1なら, yZ(G)となる)
ypHなので, yp=xb(0b<p2)と書ける. pbならyが位数p3となり矛盾. よって, b=pcと書ける.

  • p2のとき
    このときc=0とできる. 実際, (xcy)p=1, (xcy)1x(xcy)=x1+pとなるので, yxcyに置き換えればよい. よって, p2なら, G=yϕHCpϕCp2. ここで, ϕ(1)=(x(1+p)x).

  • p=2のとき
    c=0なら, 上と同様に, GCpϕCp2, ϕ(1)=(xx). このとき, GD4.
    c=1なら, G 準備記事定理12 において, N=C4,Aut(N)ϕ=(xx),m=2,y=2とした群と同型である. これはQ8という名前がついている.
    最後に, D4Q8が非同型なことを示しておく必要がある. これは, D4には位数2の元が5個あるが, Q8には1個しかないことから明らか.

Gが位数pの元と位数1の元しか持たないとき

準備記事定理11 より, GH,#H=p2となるHがとれる(のでとる). xGHを一つとり, K=xと置く. 仮定より, #K=pとなるので, KH={1},G=KHが成立する.
よって, G=KϕHCpϕ(Cp×Cp)となる. (ϕCpからAut(Cp×Cp)=GL2(Fp)への準同型.)
よって, 準備記事定理9 より, GL2(Fp)の大きさ1,pの部分群を(共役を除いて)求めればよい. それは以下の通り.

  • {I2}
  • (1101)

前者はCp×Cp×Cpに, 後者はU3(Fp)(3×3の冪単上三角行列全体)に対応する[1].
最後に, これらの群が位数1,pの元しかもたないことを確かめる必要がある. 前者の群は自明. (1+aE1,2+bE2,3+cE1,3)p=1+apE1,2+bpE2,3+(cp+ab(p2))E1,3より, 後者はp2なら条件を満たす.

まとめ

pによらず,

  • Cp3
  • Cp2×Cp
  • CpϕCp2
    ここで, ϕ(1¯)=(x(1+p)x).
  • Cp×Cp×Cp

p=2のときは追加で

  • Q8:=x,y|x4=1,y2=x2,y1xy=x3

p2のときは追加で

  • U3(Fp)Cpϕ(Cp×Cp)

があり, 合計5個.

自己同型

以下, Gは位数p3の群とする.

GCp3

Aut(G)=Cp3p2.

GCp2×Cp

Cp2側の生成元をs,Cp側の生成元をtと置く.
Aut(G)Gに忠実に作用するが, この作用でのsの軌道をSと置く. すると, Sは 位数p2の元全体, すなわちsitj(ipは互いに素)と書けるもの全体となる. これは(p1)p2個.
そして, Aut(G)sの固定群をBとする. BGへの自然な作用による, tの軌道をTと置く. Tは位数pの元でsiの形で書けないもの全体となる. これは(p1)p個.
群の準同型は生成元の行先で決まるので, Bsの固定群は自明群. ゆえに, #B=(p1)pで, #Aut(G)=(p1)p(p1)p2=(p1)2p3.

GCp×Cp×Cp

Aut(G)=GL3(Fp)であり, 位数は(p31)(p3p)(p3p2).

GCpϕCp2σ,τ|σp2=1,τp=1,τ1στ=σp+1

ここで, ϕ(1¯)=(x(1+p)x).
Aut(G)の作用によるσの軌道をSと置く. このとき, S=Gσp,τが分かる. とくに#S=(p1)p2
そして, Aut(G)σの固定群をBとする. BGへの自然な作用による, τの軌道をTと置く. Tτσiと書ける元全体となる. (τ1στ=σ1+pを保つためには, τが一回だけの必要がある)
よって, Cp2×Cpと同様の議論により, #Aut(G)=(p1)p3となる.[2]

GQ8x,y|x4=1,y2=x2,y1xy=x3(とくに, p=2)

xの行先がG{1,x2}. xを固定したときのyの行先がGx.
よって, #Aut(G)=6×4=24.

GU3(Fp)x,y,z|xp=yp=zp=1,z=[x,y]Z(G)[3],p2

xの行先がGz. xを固定したときのyの行先がGx,z. よって, #Aut(G)=(p3p)(p3p2).
とくに, 自然な射Aut(G)Aut(G/Z(G))が全射であることに注意せよ.




[1]:
xを半直積する側の生成元, z,yを半直積される側の生成元とする. x1+E1,2, z1+E1,3, y1+E2,3が群同型を与える

[2]:
実は, Aut(Q8)=S4である. これは, ±i,±j,±kを頂点とした正8面体を考えることで, Aut(Q8)が自然に正八面体群と同型になることからわかる. (ij=kが, 変換が正の向きをたもつ, すなわちdet=1に対応する)

[3]:
注1のx,y,zがこの同型を与える

投稿日:202417
更新日:2024111
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  1. 初めに
  2. 位数$p^3$
  3. $G$が位数$p^3$の元$x$を含むとき.
  4. $G$が位数$p^2$の元$x$を含むが, 位数$p^3$の元を含まないとき.
  5. $G$が位数$p$の元と位数$1$の元しか持たないとき
  6. まとめ
  7. 自己同型
  8. $G\iso C_{p^3}$
  9. $G\iso C_{p^2}\times C_p$
  10. $G\iso C_p\times C_p\times C_p$
  11. $G\iso\semiprod{C_p}{\phi}{C_p^2}\iso \gen{\sigma,\tau|\sigma^{p^2}=1,\tau^p=1,\tau^{-1}\sigma\tau=\sigma^{p+1}}$
  12. $G\iso Q_8\iso \gen{x,y|x^4=1,y^2=x^2,y^{-1}xy=x^3}$(とくに, $p=2$)
  13. $G\iso U_3(\field p)\iso \gen{x,y,z|x^p=y^p=z^p=1,z=[x,y]\in Z(G)}$[3],$p\neq 2$