位数p^2qの群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$p^{2}q$の群を求めます.使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

リンク集(記事追加に合わせこちらにも追加します)

- 位数$1,p,p^2,pq$の群
- 位数$pqr$の群
- 位数$p^{2}q$の群
- 位数$60,90,84$の群
- 位数$36,100$の群
- 位数$p^3$の群
- 位数$24,40,56,88,54$の群
- 位数$72$の群
- 位数$p^4$の群
- 位数$48,80$の群
- 位数$32$の群
- 位数$96$の群
- 位数$64$の群

素数$p$と群$G$に対して, $n_p(G)$で$G$のシロー$p$群の個数を表す.

分類

以下$p,q$は$p\ne q$を満たす素数とする.
以下, $G$は位数$p^{2}q$の群とし, $G$のシロー$p$群(のうち一つ)を$P$,シロー$q$群(のうち一つ)を$Q$と置き, 固定する.

以下, $n_p(G)$に応じて場合分けを行う.

$n_q(G)=1$のとき

このとき, $G=PQ,P\cap Q=\{1\},G▹P$なので, $G=Q{⋉}_{\varphi }P$となる. ($\varphi$は$Q$から$\mathrm{Aut}(P)$への群準同型.)
あきらかに$Q\simeq C_q$. よって, 準備記事命題9 より, 位数$p^2$である群$P$, および$\mathrm{Aut}(P)$の大きさ$1$ or $q$の部分群を, 共役を除いて求めればよい.

$P=C_{p^2}$のとき

$\mathrm{Aut}(P)=C_{p^2-p}$なので, 大きさ$1$or$q$の部分群として,

• 位数$1$の部分群$\{\mathrm{id}\}$
• $q|p-1$のとき, 位数$q$の部分群$⟨(x\mapsto sx)⟩$
  ただし, $s$は$s\not\equiv 1,s^q\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$を満たす整数.

をもつ.

$P=C_p\times C_p$のとき

$\mathrm{Aut}(P)=\mathrm{GL}({\mathbb{F}}_p)$となる. $\{\mathrm{id}\}$が大きさ$1$の部分群.
大きさ$q$の部分群をもつためには, $\mathrm{\#}\mathrm{GL}({\mathbb{F}}_p)=(p-1{)}^{2}p(p+1)$が$q$の倍数である必要がある.
以下${\zeta }_q\in \overline{{\mathbb{F}}_p}$を$1$の原始$q$乗根のうち一つとし, 固定する.

• $q|p-1$のとき
  $A\in \mathrm{GL}({\mathbb{F}}_p)$が位数$q$なら対角化可能となる. よって, 位数$q$の共役類の代表元として,$\mathrm{diag}({\zeta }_q^i,{\zeta }_q^j)(0\le i\le j<q,j\ne 0)$がとれる. ここから生成される群を考えると, 共役を除いて, $⟨\mathrm{diag}({\zeta }_q,{\zeta }_q^i)⟩$の形で$\lfloor \frac{q+3}{2}\rfloor$個ある^[1].
• $2\ne q|p+1$のとき
  $A\in \mathrm{GL}({\mathbb{F}}_p)$が位数$q$なら,$\det A=1$となる. このとき, $\mathrm{GL}({\mathbb{F}}_{p^2})$で$A\sim \mathrm{diag}({\zeta }_q^i,{\zeta }_q^{-i})$となる$i$がとれるので,$⟨A⟩$の元で$\mathrm{diag}({\zeta }_q,{\zeta }_q^{-1})$と共役なものが取れる. $\mathrm{GL}({\mathbb{F}}_{p^2})$での共役性から$\mathrm{GL}({\mathbb{F}}_p)$での共役性がわかるので, 位数$q$の部分群は共役を除いてただ一つ.

$n_q(G)\ne 1$のとき

このとき, 命題1より$n_p(G)=1$. よって, $G=P{⋉}_{\varphi }Q$となる. ($\varphi$は$P$から$\mathrm{Aut}(Q)$への群準同型.) $P$が$G$の正規部分群でないためには, $\ker (\varphi )\ne Q$が必要十分. いま, $Q\simeq C_q$より, $\mathrm{Aut}(Q)\simeq C_{q-1}$.
$P$は可換なので, 準備記事命題9 より, 群準同型$\varphi :P\to C_{q-1}$で$0$射と等しくないものを(共役を除いて)列挙すればよい.

$P=C_{p^2}$のとき

• $p|q-1$のとき, $\bar{a}\mapsto \overline{\frac{q-1}{p}a}$
• $p^2|q-1$のとき, $\bar{a}\mapsto \overline{\frac{q-1}{p^2}a}$

$P=C_p\times C_p$のとき

• $p|q-1$のとき, 適当に$C_p\times C_p$の基底をとりかえて, $\varphi :(\bar{a},\bar{b})\mapsto \overline{\frac{q-1}{p}a}$となる.

まとめ

上を用いて$n=p^{2}q$と置いて, $n\le 100$のとき, 位数$n$の群としてどのようなものがあるかを列挙する.
Abel群として, $C_p\times C_p\times C_q,C_{p^2}\times C_q$の$2$個がある. 非Abel群を見る.

$p=2$

$q=3$

• $C_3{⋉}_{\varphi }(C_2\times C_2)$
  ただし$\varphi (\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{0}\end{array}\right)\in \mathrm{Aut}(C_2\times C_2)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_2)$とする.
  これは$A_4$と同型.
• $C_4{⋉}_{\varphi }{C}_3$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)\in \mathrm{Aut}(C_3)$.
• $(C_2\times C_2){⋉}_{\varphi }{C}_3$
  ただし$\varphi (\bar{a},\bar{b})=(x\mapsto (-1{)}^{a}x)\in \mathrm{Aut}(C_3)$.
  これは$D_3\times C_2$や$D_6$と同型.

以上$5$個

$q=5$

• $C_4{⋉}_{\varphi }{C}_5$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)\in \mathrm{Aut}(C_5)$.
• $C_4{⋉}_{\varphi }{C}_5$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto 2x)\in \mathrm{Aut}(C_5)$.
  これはフロベニウス群$F_5$とも呼ばれる(${\mathbb{F}}_5$のAffine変換全体.)
• $(C_2\times C_2){⋉}_{\varphi }{C}_5$
  ただし$\varphi (\bar{a},\bar{b})=(x\mapsto (-1{)}^{a}x)\in \mathrm{Aut}(C_5)$.
  これは$D_5\times C_2$や$D_{10}$と同型.

以上$5$個.
一般に$q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$の時も同様に$5$個.
($x\mapsto 2x$の$2$は$a^2\equiv -1(\mathrm{mod}q)$を満たす整数$a$に置き換える. )

$q=7$

• $C_4{⋉}_{\varphi }{C}_7$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)\in \mathrm{Aut}(C_7)$.
• $(C_2\times C_2){⋉}_{\varphi }{C}_7$
  ただし$\varphi (\bar{a},\bar{b})=(x\mapsto (-1{)}^{a}x)\in \mathrm{Aut}(C_7)$.
  これは$D_7\times C_2$や$D_{14}$と同型.

一般に$q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$の時も同様に$4$個.

$p=3$

$q=2$

• $C_2{⋉}_{\varphi }(C_3\times C_3)$
  ただし$\varphi (\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right)\in \mathrm{Aut}(C_3\times C_3)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$とする.
  これは$D_3\times C_3$と同型.
• $C_2{⋉}_{\varphi }(C_3\times C_3)$
  ただし$\varphi (\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\overline{-1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right)\in \mathrm{Aut}(C_3\times C_3)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$とする.
• $C_2{⋉}_{\varphi }{C}_9$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)\in \mathrm{Aut}(C_9)$.
  これは$D_9$と同型.

以上$5$個. $p=5,7$も同じ.

$q=5,11$

非可換なものはない. (上の証明をみると, 非可換な群があるためには, $p|q-1$か$q|p^2-1$が必要.)
2個.

$q=7$

• $(C_3\times C_3){⋉}_{\varphi }{C}_7$
  ただし$\varphi (\bar{a},\bar{b})=(x\mapsto 2^{a}x)\in \mathrm{Aut}(C_7)$.
  $C_3\times (C_3{⋉}_{\psi }{C}_7)$のように書くことも可能.
• $C_9{⋉}_{\varphi }{C}_7$
  ただし$\varphi (\bar{1})=(x\mapsto 2x)\in \mathrm{Aut}(C_7)$.

以上$4$個

$p=5$

$q=2$

$(p,q)=(3,2)$の場合と同じ. $C_5\times D_5,C_2{⋉}_{\varphi }(C_5\times C_5),D_{25}$の形で$5$個.

$q=3$

• $C_3{⋉}_{\varphi }(C_5\times C_5)$
  ただし$\varphi (\bar{1})=\left(\begin{array}{cc}\bar{0}& \overline{-1}\\ \bar{1}& \overline{-1}\end{array}\right)\in \mathrm{Aut}(C_5\times C_5)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_5)$とする.

$p=7$

$q=2$

$(p,q)=(3,2)$の場合と同じ. $C_7\times D_7,C_2{⋉}_{\varphi }(C_7\times C_7),D_{49}$の形で$5$個.

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