位数24,40,56,88,54の群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$24,40,56,88,54$の群を求めます.($p^{3}q$型) 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

リンク集(記事追加に合わせこちらにも追加します)

- 位数$1,p,p^2,pq$の群
- 位数$pqr$の群
- 位数$p^{2}q$の群
- 位数$60,90,84$の群
- 位数$36,100$の群
- 位数$p^3$の群
- 位数$24,40,56,88,54$の群
- 位数$72$の群
- 位数$p^4$の群
- 位数$48,80$の群
- 位数$32$の群
- 位数$96$の群
- 位数$64$の群

有限群$G$に対し, そのシロー$p$群の個数を$n_p(G)$で表す.

位数$p^{3}q$

個別議論に入る前に, 位数$p^{3}q$でできる議論をしておく.
以下, $p,q$を相異なる素数とし, $G$を位数$p^{3}q$の群とする. また, $P$を, $G$のシロー$p$群(のうち一つ)とし, $Q$をシロー$q$群(のうち一つ)とし, 以下固定する.

のこりの$P,Q$の半直積で書けるパターンを頑張ればよい.

位数$8q$の群

この節では, $p=2$とし, $G$は$S_4$と同型でないとする.

$n_2(G)=1,n_q(G)=1$のとき

このとき, $G=P\times Q$と書ける. 位数8の群の分類 を参考にして,
$C_2\times C_2\times C_2\times C_q,C_4\times C_2\times C_q,C_8\times C_q,D_4\times C_q,Q_8\times C_q$の$5$個ある.

$n_2(G)=1,n_q(G)\ne 1$のとき

このとき, $G\simeq C_q{⋉}_{\varphi }P$と書ける. (ここで, $1\ne \varphi :C_q\to \mathrm{Aut}(P)$.) 準備記事命題9 より, 位数$8$の群$P$, および準同型$1\ne \varphi :C_q\to \mathrm{Aut}(P)$を共役を除いて求めればよい.

$P=C_2\times C_2\times C_2$のとき

$\mathrm{Aut}(P)={\mathrm{GL}}_3({\mathbb{F}}_2)$であり, 位数は$(2^3-2^0)(2^3-2^1)(2^3-2^2)=168$. よって, $q=3,7$しかありえない.
$\varphi (\bar{1})$としてありうるのは, 共役を除いて
$q=3$のとき,

• $$\left(\begin{array}{ccc}\bar{1}& \bar{0}& \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1}& \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1}& \bar{0}\end{array}\right)$$

$q=7$のとき,

• $$\left(\begin{array}{ccc}\bar{1}& \bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{0}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{0}& \bar{0}\end{array}\right)$$

となる. 前者は$C_2\times A_4$, 後者は$\mathrm{Aff}({\mathbb{F}}_8)$に対応する.

$P=C_2\times C_4$のとき

位数8の群の自己同型の大きさ で見たように, $\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p-1{)}^2{p}^3=8$. よって, この場合に対応するものはない.

$P=C_8$

$\mathrm{Aut}(P)=C_4$より, この場合に対応するものはない.

$P=D_4$

位数8の群の自己同型の大きさ で見たように, $\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p-1)p^3=8$. よって, この場合に対応するものはない.

$P=Q_8$

位数8の群の自己同型の大きさ で見たように, $\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p-1)p^3=48$. よって, $q=3$のみがありうる. シローの定理より, すべての位数$3$の部分群は共役なので, 考えないといけないのは$\varphi (\bar{1})$が次で定義されるとき:
$\varphi (\bar{1})(i)=j,\varphi (\bar{1})(j)=k$
この群は${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$と同型.

$n_2(G)=1,n_q(G)\ne 1$のとき

このとき, $G\simeq P{⋉}_{\varphi }{C}_q$と書ける. (ここで, $1\ne \varphi :P\to \mathrm{Aut}(C_q)$.) 準備記事命題9 より, 位数$8$の群$P$, および準同型$1\ne \varphi :P\to \mathrm{Aut}(C_q)\simeq C_{q-1}$を共役を除いて求めればよい.

$P=C_2\times C_2\times C_2$のとき

• $\varphi (\bar{a},\bar{b},\bar{c})=\overline{\frac{q-1}{2}a}$

の一つのみ. これは$D_q\times C_2\times C_2$に対応する.

$P=C_2\times C_4$のとき

$C_2$側の生成元を$s$,$C_4$側の生成元を$t$と置く.
$\ker (\varphi )=⟨s⟩$となるのは,

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{\frac{q-1}{4}b}$

のみ. このとき$q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$も必要.
$\ker (\varphi )=⟨s{t}^2⟩$の時は$\mathrm{Aut}(P)$でひねって上と同じになる.
$\ker (\varphi )=⟨t⟩$となるのは

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{\frac{q-1}{2}a}$
  これは$C_4\times D_q$に対応する

のみ. $\ker (\varphi )=⟨st⟩$は$\mathrm{Aut}(P)$でひねって上と同じ.

$\ker (\varphi )=⟨s,t^2⟩$となるのは

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{\frac{q-1}{2}b}$

のみ. $\ker (\varphi )=⟨st,t^2⟩$は$\mathrm{Aut}(P)$でひねって上と同じ.

$P=C_8$のとき.

$\varphi (\bar{1})$としてありうるのは, 共役をのぞいて
$\overline{\frac{q-1}{8}},\overline{\frac{q-1}{4}},\overline{\frac{q-1}{2}}$の$3$つ.
1つめは$q\equiv 1(\mathrm{mod}8)$, 2つめは$q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$の必要がある.

$P=D_4=C_2{⋉}_{\varphi }{C}_4$

$C_4$側の生成元を$\sigma$, $C_2$側の生成元を$\tau$と置く. $[P,P]=⟨{\sigma }^2⟩$より, ${\sigma }^2\in \ker (\varphi )$に注意せよ.
$\ker (\varphi )=⟨{\sigma }^2,\tau ⟩$となるのが

• $\varphi (\sigma )=\overline{\frac{p-1}{2}},\varphi (\tau )=\bar{0}$

のときのみ. $\ker (\varphi )=⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩$は$\mathrm{Aut}(P)$でひねって上と同じ.

$\ker (\varphi )=⟨\sigma ⟩$となるのが

• $\varphi (\sigma )=\bar{0},\varphi (\tau )=\overline{\frac{p-1}{2}}$

のときのみ. これは$D_{4q}$に対応する.

$P=Q_8$

$P$の元を$i,j,k$で表す. 上と同様に, $-1\in \ker (\varphi )$に注意せよ.
適当にひねって, $\ker (\varphi )=⟨i⟩$とできる. このとき,

• $\varphi (\bar{i})=\bar{0},\varphi (\bar{j})=\overline{\frac{p-1}{2}}$
  となる.

まとめ

まず, 任意の$q$に対してある群を列挙する.
$n_2(G)=n_3(G)=1$となるのが
$C_2\times C_2\times C_2\times C_q,C_4\times C_2\times C_q,C_8\times C_q,D_4\times C_q,Q_8\times C_q$
の$5$個.
$n_2(G)=1,n_q(G)\ne 1$となるのが

• $D_q\times C_2\times C_2$
• $D_q\times C_4$
• $(C_4{⋉}_{\varphi }{C}_q)\times C_2$
  ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)$.
• $C_8{⋉}_{\varphi }{C}_q$
  ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto -x)$.
• $D_{4q}$
• $D_4{⋉}_{\varphi }{C}_q$
  ここで, $\varphi (\tau )=\mathrm{id},\varphi (\sigma )=(x\mapsto -x)$.
• $Q_8{⋉}_{\varphi }{C}_q$
  ここで, $\varphi (i)=\mathrm{id},\varphi (j)=(x\mapsto -x)$.
  の$7$個. 合わせて$5+7=12$個が一般の$p$に対してある.
  ここからはさらに群がある条件を列挙する.

$p=3$のとき

追加で$S_4,C_2\times A_4,{\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$.

$p=7$のとき

追加で$\mathrm{Aff}({\mathbb{F}}_8)$.

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$のとき

$s^2\equiv -1(\mathrm{mod}p)$となる整数$s$をとる. 追加で

• $(C_4{⋉}_{\varphi }{C}_q)\times C_2$
  ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto sx)$.
• $C_8{⋉}_{\varphi }{C}_q$
  ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto sx)$.

$p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$のとき

$t^4\equiv -1(\mathrm{mod}p)$となる整数$t$をとる. 追加で

• $C_8{⋉}_{\varphi }{C}_q$
  ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto tx)$.

とくに, $q=3$のときは$12+3=15$個, $q=5$のときは$12+2=14$個, $q=7$のときは$12+1=13$個, $q=11$のときは$12$個の群が存在する.

位数$54$の群

以下では,$p=2,q=3$とする.
シローの定理より, $n_3(G)=1$が成立する. よって, $G=C_2{⋉}_{\varphi }Q$が成立する. ($\varphi :C_2\to \mathrm{Aut}(Q)$) $\varphi =1$のときは直積になる( 位数$27$の群の分類 より$5$個ある)ので, 以下は$\varphi \ne 1$のときを扱う.

$P=C_3\times C_3\times C_3$のとき

$\mathrm{Aut}(P)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$となるので, 位数$2$の元としてありうるのは,共役を除いて, 次の$3$つ.

• $\mathrm{diag}(1,1,-1)$
  これは$D_3\times C_3\times C_3$に対応.
• $\mathrm{diag}(1,-1,-1)$
• $\mathrm{diag}(-1,-1,-1)$

$P=C_3\times C_9$のとき

$\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p-1{)}^2{p}^3$である. $\mathrm{Aut}(P)$のシロー$2$群として,　つぎの$4$つの写像からなる群があげられる.
$\varphi (\bar{a},\bar{b})=(\overline{\pm a},\overline{\pm b})$
ここで, 複合は任意. よって, シローの定理より, $\mathrm{Aut}(P)$の位数$2$の元は上の$3$つのどれかに共役.
これらの$3$つの位数$2$の元は, $C_1\times C_3=3P$^[1]への作用, および$C_3\times C_3=\{x\in P|3x=0\}$への作用で区別可能. よって, この$3$つの元は非共役. ゆえに求める群はこの$3$つ.
$(-1,1)$は$D_3\times C_9$, $(1,-1)$は$C_3\times D_9$に対応する.

$P=C_{27}$のとき.

$\mathrm{Aut}(P)\simeq C_{18}$. よって, $\varphi (\bar{1})$としてありうるのは$\bar{9}$のみ. これは$D_{27}$に対応.

$P=C_3{⋉}_{\varphi }{C}_9$のとき

ここで, $\varphi (\bar{1})=(x\mapsto 4x)$. $C_3$側の生成元を$\tau$, $C_9$側の生成元を$\sigma$と置く.
$\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p-1)p^3$より, $\mathrm{Aut}(P)$の位数$2$の元はすべて共役.ゆえに求める群は$1$つ.
$\mathrm{Aut}(P)$の位数$2$の元として, 次がある:
$\sigma \mapsto {\sigma }^{-1},\tau \mapsto \tau$
この群は$C_6{⋉}_{\varphi }{C}_9\simeq \mathrm{Aff}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})$と同型.

$P=C_3{⋉}_{\varphi }(C_3\times C_3)\simeq ⟨x,y,z|x^p=y^p=z^p=1,z=[x,y]\in Z(P)⟩$のとき

ここで$\varphi (\bar{1})(\bar{a},\bar{b})=(\bar{a},\overline{a+b})$.
位数p^3の群の自己同型 から,
$\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(P)=(p^3-p)(p^3-p^2)=432$であり, $\mathrm{Aut}(P)$から$\mathrm{Aut}(P/Z(P))\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$への自然な全射がある. この全射の核の位数は$432/48=9$で,奇数である. よって, $\mathrm{Aut}(P)$の位数$2$の元は, ${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$へ送った先でも位数$2$の必要がある.
また, 上の全射の核の位数が$9$であることから, $\mathrm{Aut}(P)$のシロー$2$群と, $\mathrm{Aut}(P/Z(P))$のシロー$2$群は同型. よって, ${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$の位数$2$の元を共役を除いて列挙し, それを$\mathrm{Aut}(P)$に持ち上げればよい.
${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$の位数$2$の元は, 共役を除いて$\mathrm{diag}(1,-1)$および$\mathrm{diag}(-1,-1)$の$2$つ.
これを持ち上げると,

• $x\mapsto x^{-1},y\mapsto y,z\mapsto z^{-1}$
• $x\mapsto x^{-1},y\mapsto y^{-1},z\mapsto z$

の$2$つとなる. これは$P$の中心への作用が異なるので, 非共役.

まとめ

以上より, $5+(3+3+1+1+2)=15$個ある.

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