位数60,90,84の群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$60,90,84$の群を求めます.($p^2qr$型) 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

位数$60$

この章の内容は https://kazu-fgf.hatenablog.com/entry/20080706/1215360176 を参考にしている. (命題3までほぼ同じです)
$G$を位数$60$の群とする.

次の命題は良く知られた事実である.

以下, $G$が単純群でないときを考える.

$G$のシロー$5$群(上の定理から正規)を$P$と置く. $n_2(G/P)$で場合分けを行う.

$n_3(G/P)=1$のとき.

$G/P$のシロー$3$群が$N/P$となるように$G\geq N$をとる.
$G/P\char N/P$なので, $G\char N$.
$G$のシロー$4$群(のうち一つ)を, $Q$とする.
$\#N=15$で$\#Q=4$なので, $G\iso \semiprod{Q}{\phi}{N}$となる.(ここで, $\phi$は$Q$から$K$への群準同型^[1])
位数15の群の分類 より, $N\iso C_{15}$である.
よって, 準備記事命題9 より, 位数$4$の群$Q$,および群準同型$\phi:Q\to \Aut(C_{15})\iso C_2\times C_4$を(上の命題zの意味で)共役を除いて求めればよい.

$Q=C_2\times C_2$の場合

$\#\Im(\phi)=4$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{2b})$

$\#\Im(\phi)=2$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{0})$
• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{0},\overline{2a})$
• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{2a})$

$\#\Im(\phi)=1$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{0},\overline{0})$

の$5$つがある.
上からそれぞれ, $D_3\times D_5$,$D_3\times C_5\times C_2,D_5\times C_3\times C_2, D_{15}\times C_2,C_3\times C_5\times C_2\times C_2$に対応する.

$Q=C_4$の場合

$\#\Im(\phi)=4$のものとして,

• $\bar{a}\mapsto (\overline{a},\overline{a})$
• $\bar{a}\mapsto (\overline{0},\overline{a})$

$\#\Im(\phi)=2$のものとして,

• $\bar{a}\mapsto (\overline{0},\overline{2a})$
• $\bar{a}\mapsto (\overline{a},\overline{2a})$
• $\bar{a}\mapsto (\overline{a},\overline{0})$

$\#\Im(\phi)=1$のものとして,

• $\bar{a}\mapsto (\overline{0},\overline{0})$

の$6$つがある.

$n_3(G/P)\neq 1$のとき.

このとき, 位数12の群の分類 より, $G/P\iso A_4$がわかる.
よって, $G/P$の$2$シロー部分群$N/P$をとると, $G/P \char N/P$となり, $G \char N$. また, $N/P\iso V_4=C_2\times C_2$となる.
$G$のシロー$3$群を$Q$とすると, $\#N=20, \#Q=3$より, $G\iso \semiprod{C_3}{\phi}{N}$となる. ($\phi$は$C_3$から$\Aut(N)$への群準同型. )
$G\rnormal P$より, $\phi$は$\overline{\phi}:G\to \Aut(N/P)$を誘導する. $G/P\iso A_4$より, $\overline{\phi}\neq 1$である必要がある.
逆に, 位数$20$の群$N'$とそのシロー$5$群$P'$が$N'/P'\iso C_2\times C_2$を満たしたとする^[2]. そして, 準同型 $\phi':C_3\to \Aut(N')$が, $\overline{\phi'}\neq 1$を満たすとする. すると, $G'=\semiprod{C_3}{\phi}{N'}$と置くと, $G'/P'\iso A_4$が成立する.
よって, 位数$20$の群$N$で,シロー$2$群が$C_2\times C_2$と同型なもの, および$\phi: C_3\to \Aut(N)$で$\overline{\phi}\neq 1$を満たすものを(共役を除いて)列挙すればよい.
$N$は 位数20の群の分類 より, $N=C_2\times C_2\times C_5$, もしくは$C_2\times D_5$のいずれかと同型. 以下$N$で場合分けを行う.

$N=C_2\times C_2\times C_5$の場合

$\Aut(K)\iso \GL_2(\field 2)\times C_4\iso S_3\times C_4$となる.
よって, $\Aut(K)$の大きさ$3$の部分群は$\gen{(1,2,3)}\times \{1\}$という形をしたもののみ. このとき$\overline{\phi}\neq 1$も成立する.
この群は$A_4\times C_5$と同型.

$K=C_2\times D_5$の場合

$\phi(\overline{1})$は同型なので, $\phi(\overline{1})(Z(N))=Z(N)$を満たす必要がある.
$Z(N)=C_2\times \{1\}$なので, $\overline{\phi}(\overline{1})(\overline{1},\overline{0})=(\overline{1},\overline{0})$が成立する.
これと$\overline{\phi}(\overline{1})\neq 1$を合わせ, $\overline{\phi}(\overline{1})=((\overline{a},\overline{b})\mapsto (\overline{a+b},\overline{b}))$となる. しかし, これは$\phi(\overline{1})^3=\phi(\overline{3})=\phi(\overline{0})=\mathrm{id}$に矛盾.
よって, このような群はない.

まとめ

以上をまとめ, 位数$60$の群は同型をのぞき$1+(5+6)+1=13$個ある.

位数$90$

$G$を位数$90$の群とする. $60$とほぼ同様に議論を行う.

$G$のシロー$5$部分群を$P$と置く. シローの定理より, $n_3(G/P)=1$. よって, $G/P$のシロー$3$部分群を$N/P$と置くと, $G\char N$.
$G$のシロー$2$部分群(のひとつ)を$Q$と置くと, $\#N=45,\#Q=2$. ゆえに, $N\cap Q=\{1\},G=NQ$. よって, $G\iso \semiprod{C_2}{\phi}{N}$となる. ($\phi$は$C_2$から$\Aut(N)$への準同型. )
準備記事命題9 より, 位数$45$の群$N$,および群準同型$\phi:C_2\to \Aut(N)$を(上の命題の意味で)共役を除いて求めればよい.

$N\iso C_3\times C_3\times C_5$の場合

$\Aut(N)=\GL_2(\field 3)\times C_4$となる.
よって, $\phi(\overline{1})$としてありうるものは, (共役を除いて)以下の$6$つ.

• $\left(\begin{pmatrix} \overline{-1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{-1} \\ \end{pmatrix},\overline{2} \right)$
• $\left(\begin{pmatrix} \overline{-1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{-1} \\ \end{pmatrix},\overline{0} \right)$
• $\left(\begin{pmatrix} \overline{1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{-1} \\ \end{pmatrix},\overline{2} \right)$
• $\left(\begin{pmatrix} \overline{1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{-1} \\ \end{pmatrix},\overline{0} \right)$
• $\left(\begin{pmatrix} \overline{1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{1} \\ \end{pmatrix},\overline{2} \right)$
• $\left(\begin{pmatrix} \overline{1} &\overline{0} \\ \overline{0} &\overline{1} \\ \end{pmatrix},\overline{0} \right)$

下$4$個はそれぞれ$C_3\times D_{15},C_{3}\times D_3\times C_5,C_3\times C_3\times D_{5}, C_3\times C_3\times C_5\times C_2 $に対応する.

$N\iso C_9\times C_5$の場合

$\Aut(N)\iso C_6\times C_4$となる.
よって, $\phi(\overline{1})$としてありうるものは, 以下の通り.

• $(\overline{3},\overline{2})$
• $(\overline{3},\overline{0})$
• $(\overline{0},\overline{2})$
• $(\overline{0},\overline{0})$

それぞれ,$D_{45},D_{9}\times C_5,C_9\times D_5,C_9\times C_5\times C_2$に対応する.

まとめ

以上をまとめ, 位数$90$の群は同型をのぞき$6+4=10$個ある.

位数$84$の群

$G$を位数$84$の群とする. シローの定理より, $n_7(G)=1$.
$G$のシロー$7$群を$P$と置く. $n_3(G/P)$で場合分けを行う.

$n_3(G/P)=1$のとき.

$G/P$のシロー$3$群が$K/P$となるように$G\geq N$をとる.
$G/P\char N/P$なので, $G\char N$.
$G$のシロー$4$群(のうち一つ)を, $Q$とする.
$\#N=21$で$\#Q=4$なので, $G\iso \semiprod{Q}{\phi}{K}$となる.(ここで, $\phi$は$Q$から$K$への群準同型)
位数21の群 より, $N\iso C_{21}$である.
よって, 準備記事命題9 より, 位数$4$の群$Q$,および群準同型$\phi:Q\to \Aut(N)$を(上の命題zの意味で)共役を除いて求めればよい.
$Q,N$で場合分けを行う.

$Q\iso C_2\times C_2, N\iso C_3\times C_7$のとき

$\Aut(N)\iso C_2\times C_6$. よって,

$\#\Im(\phi)=4$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{3b})$

$\#\Im(\phi)=2$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{0})$
• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{0},\overline{3a})$
• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{a},\overline{3a})$

$\#\Im(\phi)=1$のものとして,

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto(\overline{0},\overline{0})$

の$5$つがある. 上からそれぞれ, $D_3\times D_7$,$D_3\times C_7\times C_2,D_7\times C_3\times C_2, D_{21}\times C_2,C_3\times C_7 \times C_2\times C_2$に対応する.

$Q\iso C_4, N\iso C_3\times C_7$のとき

$\Aut(N)\iso C_2\times C_6$. よって,

$\#\Im(\phi)=2$のものとして,

• $\bar{a}\mapsto (\overline{0},\overline{3a})$
• $\bar{a}\mapsto (\overline{a},\overline{3a})$
• $\bar{a}\mapsto (\overline{a},\overline{0})$

$\#\Im(\phi)=1$のものとして,

• $\bar{a}\mapsto (\overline{0},\overline{0})$

の$4$つがある.

$Q\iso C_2\times C_2, N\iso \semiprod{C_3}{\psi}{C_7}$のとき

ここで, $\psi(\bar{1})=(x\mapsto 2x)$とする.

位数21の群の自己同型 より, $\Aut(N)\iso \gen{\sigma,\tau| \sigma^7=1,\tau^6=1,\tau^{-1}\sigma\tau =\sigma^3}$となる. とくに$\#\Aut(N)=42$より, $\#\Im(\psi)\neq 4$に注意せよ.
位数pqrの群の分類 で求めた通り, $\Aut(N)$の位数$2$の元は共役を除き, $\tau^3$のみ.

よって, (共役を除いて)ありうる準同型は

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto \tau^{3a}$
• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto 1$
  の$2$つ. それぞれ$\mathrm{Aff}(\field 7)\times C_2, (\semiprod{C_3} {\psi}{C_7})\times C_2\times C_2$に対応する.

$Q\iso C_4, N\iso \semiprod{C_3}{\psi}{C_7}$のとき

上と同様な記号のもと, (共役を除いて)ありうる準同型は

• $\overline{a} \mapsto \tau^{3a}$
• $\overline{a} \mapsto 1$
  の$2$つ.

$n_3(G/P)\neq 1$のとき.

このとき, 位数12の群の分類 より, $G/P\iso A_4$がわかる.
よって, $G/P$の$2$シロー部分群$N/P$をとると, $G/P \char N/P$となり, $G \char N$. また, $N/P\iso V_4=C_2\times C_2$となる.
$G$のシロー$3$群を$Q$とすると, $\#N=28, \#Q=3$より, $G\iso \semiprod{C_3}{\phi}{N}$となる. ($\phi$は$C_3$から$\Aut(N)$への群準同型)
$G\rnormal P$より, $\phi$は$\overline{\phi}:G\to \Aut(N/P)$を誘導する. $G/P\iso A_4$より, $\overline{\phi}\neq 1$である必要がある.
逆に, 位数$28$の群$N'$とそのシロー$7$群$P'$が$N'/P'\iso C_2\times C_2$を満たしたとする^[3]. そして, 準同型 $\phi':C_3\to \Aut(N')$が, $\overline{\phi'}\neq 1$を満たすとする. すると, $G'=\semiprod{C_3}{\phi}{N'}$と置くと, $G'/P'\iso A_4$が成立する.
よって, 位数$28$の群$N$で,シロー$2$群が$C_2\times C_2$と同型なもの, および$\phi: C_3\to \Aut(N)$で$\overline{\phi}\neq 1$を満たすものを(共役を除いて)列挙すればよい.
$N$は 位数28の群の分類 より, $N=C_2\times C_2\times C_7$, もしくは$C_2\times D_7$のいずれかと同型. 以下$N$で場合分けを行う.

$N=C_2\times C_2\times C_7$の場合

$\Aut(K)\iso \GL_2(\field 2)\times C_6\iso S_3\times C_6$となる.
よって, $\Aut(K)$の大きさ$3$の部分群で, $\{1\}\times C_6 $に含まれないものは^[4], (共役を除いて) $ \gen{((1,2,3),\overline{0})}, \gen{((1,2,3),\overline{1})}$の$2$つ.

$K=C_2\times D_7$の場合

$\phi(\overline{1})$は同型なので, $\phi(\overline{1})(Z(N))=Z(N)$を満たす必要がある.
$Z(N)=C_2\times \{1\}$なので, $\overline{\phi}(\overline{1})(\overline{1},\overline{0})=(\overline{1},\overline{0})$が成立する.
これと$\overline{\phi}(\overline{1})\neq 1$を合わせ, $\overline{\phi}(\overline{1})=((\overline{a},\overline{b})\mapsto (\overline{a+b},\overline{b}))$となる. しかし, これは$\phi(\overline{1})^3=\phi(\overline{3})=\phi(\overline{0})=\mathrm{id}$に矛盾.
よって, このような群はない.

まとめ

以上をまとめ, 位数$84$の群は同型をのぞき$((5+4)+(2+2))+2=15$個ある.