位数60,90,84の群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$60,90,84$の群を求めます.($p^{2}qr$型) 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

位数$60$

この章の内容は https://kazu-fgf.hatenablog.com/entry/20080706/1215360176 を参考にしている. (命題3までほぼ同じです)
$G$を位数$60$の群とする.

次の命題は良く知られた事実である.

以下, $G$が単純群でないときを考える.

$G$のシロー$5$群(上の定理から正規)を$P$と置く. $n_2(G/P)$で場合分けを行う.

$n_3(G/P)=1$のとき.

$G/P$のシロー$3$群が$N/P$となるように$G\ge N$をとる.
$G/P\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N/P$なので, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$.
$G$のシロー$4$群(のうち一つ)を, $Q$とする.
$\mathrm{\#}N=15$で$\mathrm{\#}Q=4$なので, $G\simeq Q{⋉}_{\varphi }N$となる.(ここで, $\varphi$は$Q$から$K$への群準同型^[1])
位数15の群の分類 より, $N\simeq C_{15}$である.
よって, 準備記事命題9 より, 位数$4$の群$Q$,および群準同型$\varphi :Q\to \mathrm{Aut}(C_{15})\simeq C_2\times C_4$を(上の命題zの意味で)共役を除いて求めればよい.

$Q=C_2\times C_2$の場合

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=4$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\overline{2b})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=2$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\bar{0})$
• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{0},\overline{2a})$
• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\overline{2a})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=1$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{0},\bar{0})$

の$5$つがある.
上からそれぞれ, $D_3\times D_5$,$D_3\times C_5\times C_2,D_5\times C_3\times C_2,D_{15}\times C_2,C_3\times C_5\times C_2\times C_2$に対応する.

$Q=C_4$の場合

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=4$のものとして,

• $\overline{a}\mapsto (\bar{a},\bar{a})$
• $\overline{a}\mapsto (\bar{0},\bar{a})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=2$のものとして,

• $\overline{a}\mapsto (\bar{0},\overline{2a})$
• $\overline{a}\mapsto (\bar{a},\overline{2a})$
• $\overline{a}\mapsto (\bar{a},\bar{0})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=1$のものとして,

• $\overline{a}\mapsto (\bar{0},\bar{0})$

の$6$つがある.

$n_3(G/P)\ne 1$のとき.

このとき, 位数12の群の分類 より, $G/P\simeq A_4$がわかる.
よって, $G/P$の$2$シロー部分群$N/P$をとると, $G/P\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N/P$となり, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$. また, $N/P\simeq V_4=C_2\times C_2$となる.
$G$のシロー$3$群を$Q$とすると, $\mathrm{\#}N=20,\mathrm{\#}Q=3$より, $G\simeq C_3{⋉}_{\varphi }N$となる. ($\varphi$は$C_3$から$\mathrm{Aut}(N)$への群準同型. )
$G▹P$より, $\varphi$は$\bar{\varphi }:G\to \mathrm{Aut}(N/P)$を誘導する. $G/P\simeq A_4$より, $\bar{\varphi }\ne 1$である必要がある.
逆に, 位数$20$の群$N^{\prime }$とそのシロー$5$群$P^{\prime }$が$N^{\prime }/P^{\prime }\simeq C_2\times C_2$を満たしたとする^[2]. そして, 準同型 ${\varphi }^{\prime }:C_3\to \mathrm{Aut}(N^{\prime })$が, $\overline{{\varphi }^{\prime }}\ne 1$を満たすとする. すると, $G^{\prime }=C_3{⋉}_{\varphi }{N}^{\prime }$と置くと, $G^{\prime }/P^{\prime }\simeq A_4$が成立する.
よって, 位数$20$の群$N$で,シロー$2$群が$C_2\times C_2$と同型なもの, および$\varphi :C_3\to \mathrm{Aut}(N)$で$\bar{\varphi }\ne 1$を満たすものを(共役を除いて)列挙すればよい.
$N$は 位数20の群の分類 より, $N=C_2\times C_2\times C_5$, もしくは$C_2\times D_5$のいずれかと同型. 以下$N$で場合分けを行う.

$N=C_2\times C_2\times C_5$の場合

$\mathrm{Aut}(K)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_2)\times C_4\simeq S_3\times C_4$となる.
よって, $\mathrm{Aut}(K)$の大きさ$3$の部分群は$⟨(1,2,3)⟩\times \{1\}$という形をしたもののみ. このとき$\bar{\varphi }\ne 1$も成立する.
この群は$A_4\times C_5$と同型.

$K=C_2\times D_5$の場合

$\varphi (\bar{1})$は同型なので, $\varphi (\bar{1})(Z(N))=Z(N)$を満たす必要がある.
$Z(N)=C_2\times \{1\}$なので, $\bar{\varphi }(\bar{1})(\bar{1},\bar{0})=(\bar{1},\bar{0})$が成立する.
これと$\bar{\varphi }(\bar{1})\ne 1$を合わせ, $\bar{\varphi }(\bar{1})=((\bar{a},\bar{b})\mapsto (\overline{a+b},\bar{b}))$となる. しかし, これは$\varphi (\bar{1}{)}^3=\varphi (\bar{3})=\varphi (\bar{0})=\mathrm{id}$に矛盾.
よって, このような群はない.

まとめ

以上をまとめ, 位数$60$の群は同型をのぞき$1+(5+6)+1=13$個ある.

位数$90$

$G$を位数$90$の群とする. $60$とほぼ同様に議論を行う.

$G$のシロー$5$部分群を$P$と置く. シローの定理より, $n_3(G/P)=1$. よって, $G/P$のシロー$3$部分群を$N/P$と置くと, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$.
$G$のシロー$2$部分群(のひとつ)を$Q$と置くと, $\mathrm{\#}N=45,\mathrm{\#}Q=2$. ゆえに, $N\cap Q=\{1\},G=NQ$. よって, $G\simeq C_2{⋉}_{\varphi }N$となる. ($\varphi$は$C_2$から$\mathrm{Aut}(N)$への準同型. )
準備記事命題9 より, 位数$45$の群$N$,および群準同型$\varphi :C_2\to \mathrm{Aut}(N)$を(上の命題の意味で)共役を除いて求めればよい.

$N\simeq C_3\times C_3\times C_5$の場合

$\mathrm{Aut}(N)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)\times C_4$となる.
よって, $\varphi (\bar{1})$としてありうるものは, (共役を除いて)以下の$6$つ.

• $(\left(\begin{array}{cc}\overline{-1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right),\bar{2})$
• $(\left(\begin{array}{cc}\overline{-1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right),\bar{0})$
• $(\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right),\bar{2})$
• $(\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \overline{-1}\end{array}\right),\bar{0})$
• $(\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1}\end{array}\right),\bar{2})$
• $(\left(\begin{array}{cc}\bar{1}& \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1}\end{array}\right),\bar{0})$

下$4$個はそれぞれ$C_3\times D_{15},C_3\times D_3\times C_5,C_3\times C_3\times D_5,C_3\times C_3\times C_5\times C_2$に対応する.

$N\simeq C_9\times C_5$の場合

$\mathrm{Aut}(N)\simeq C_6\times C_4$となる.
よって, $\varphi (\bar{1})$としてありうるものは, 以下の通り.

• $(\bar{3},\bar{2})$
• $(\bar{3},\bar{0})$
• $(\bar{0},\bar{2})$
• $(\bar{0},\bar{0})$

それぞれ,$D_{45},D_9\times C_5,C_9\times D_5,C_9\times C_5\times C_2$に対応する.

まとめ

以上をまとめ, 位数$90$の群は同型をのぞき$6+4=10$個ある.

位数$84$の群

$G$を位数$84$の群とする. シローの定理より, $n_7(G)=1$.
$G$のシロー$7$群を$P$と置く. $n_3(G/P)$で場合分けを行う.

$n_3(G/P)=1$のとき.

$G/P$のシロー$3$群が$K/P$となるように$G\ge N$をとる.
$G/P\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N/P$なので, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$.
$G$のシロー$4$群(のうち一つ)を, $Q$とする.
$\mathrm{\#}N=21$で$\mathrm{\#}Q=4$なので, $G\simeq Q{⋉}_{\varphi }K$となる.(ここで, $\varphi$は$Q$から$K$への群準同型)
位数21の群 より, $N\simeq C_{21}$である.
よって, 準備記事命題9 より, 位数$4$の群$Q$,および群準同型$\varphi :Q\to \mathrm{Aut}(N)$を(上の命題zの意味で)共役を除いて求めればよい.
$Q,N$で場合分けを行う.

$Q\simeq C_2\times C_2,N\simeq C_3\times C_7$のとき

$\mathrm{Aut}(N)\simeq C_2\times C_6$. よって,

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=4$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\overline{3b})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=2$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\bar{0})$
• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{0},\overline{3a})$
• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{a},\overline{3a})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=1$のものとして,

• $(\overline{a},\overline{b})\mapsto (\bar{0},\bar{0})$

の$5$つがある. 上からそれぞれ, $D_3\times D_7$,$D_3\times C_7\times C_2,D_7\times C_3\times C_2,D_{21}\times C_2,C_3\times C_7\times C_2\times C_2$に対応する.

$Q\simeq C_4,N\simeq C_3\times C_7$のとき

$\mathrm{Aut}(N)\simeq C_2\times C_6$. よって,

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=2$のものとして,

• $\overline{a}\mapsto (\bar{0},\overline{3a})$
• $\overline{a}\mapsto (\bar{a},\overline{3a})$
• $\overline{a}\mapsto (\bar{a},\bar{0})$

$\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\varphi )=1$のものとして,

• $\overline{a}\mapsto (\bar{0},\bar{0})$

の$4$つがある.

$Q\simeq C_2\times C_2,N\simeq C_3{⋉}_{\psi }{C}_7$のとき

ここで, $\psi (\overline{1})=(x\mapsto 2x)$とする.

位数21の群の自己同型 より, $\mathrm{Aut}(N)\simeq ⟨\sigma ,\tau |{\sigma }^7=1,{\tau }^6=1,{\tau }^{-1}\sigma \tau ={\sigma }^3⟩$となる. とくに$\mathrm{\#}\mathrm{Aut}(N)=42$より, $\mathrm{\#}\mathrm{Im}(\psi )\ne 4$に注意せよ.
位数pqrの群の分類 で求めた通り, $\mathrm{Aut}(N)$の位数$2$の元は共役を除き, ${\tau }^3$のみ.

よって, (共役を除いて)ありうる準同型は

• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto {\tau }^{3a}$
• $(\bar{a},\bar{b})\mapsto 1$
  の$2$つ. それぞれ$\mathrm{Aff}({\mathbb{F}}_7)\times C_2,(C_3{⋉}_{\psi }{C}_7)\times C_2\times C_2$に対応する.

$Q\simeq C_4,N\simeq C_3{⋉}_{\psi }{C}_7$のとき

上と同様な記号のもと, (共役を除いて)ありうる準同型は

• $\bar{a}\mapsto {\tau }^{3a}$
• $\bar{a}\mapsto 1$
  の$2$つ.

$n_3(G/P)\ne 1$のとき.

このとき, 位数12の群の分類 より, $G/P\simeq A_4$がわかる.
よって, $G/P$の$2$シロー部分群$N/P$をとると, $G/P\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N/P$となり, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}N$. また, $N/P\simeq V_4=C_2\times C_2$となる.
$G$のシロー$3$群を$Q$とすると, $\mathrm{\#}N=28,\mathrm{\#}Q=3$より, $G\simeq C_3{⋉}_{\varphi }N$となる. ($\varphi$は$C_3$から$\mathrm{Aut}(N)$への群準同型)
$G▹P$より, $\varphi$は$\bar{\varphi }:G\to \mathrm{Aut}(N/P)$を誘導する. $G/P\simeq A_4$より, $\bar{\varphi }\ne 1$である必要がある.
逆に, 位数$28$の群$N^{\prime }$とそのシロー$7$群$P^{\prime }$が$N^{\prime }/P^{\prime }\simeq C_2\times C_2$を満たしたとする^[3]. そして, 準同型 ${\varphi }^{\prime }:C_3\to \mathrm{Aut}(N^{\prime })$が, $\overline{{\varphi }^{\prime }}\ne 1$を満たすとする. すると, $G^{\prime }=C_3{⋉}_{\varphi }{N}^{\prime }$と置くと, $G^{\prime }/P^{\prime }\simeq A_4$が成立する.
よって, 位数$28$の群$N$で,シロー$2$群が$C_2\times C_2$と同型なもの, および$\varphi :C_3\to \mathrm{Aut}(N)$で$\bar{\varphi }\ne 1$を満たすものを(共役を除いて)列挙すればよい.
$N$は 位数28の群の分類 より, $N=C_2\times C_2\times C_7$, もしくは$C_2\times D_7$のいずれかと同型. 以下$N$で場合分けを行う.

$N=C_2\times C_2\times C_7$の場合

$\mathrm{Aut}(K)\simeq {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_2)\times C_6\simeq S_3\times C_6$となる.
よって, $\mathrm{Aut}(K)$の大きさ$3$の部分群で, $\{1\}\times C_6$に含まれないものは^[4], (共役を除いて) $⟨((1,2,3),\bar{0})⟩,⟨((1,2,3),\bar{1})⟩$の$2$つ.

$K=C_2\times D_7$の場合

$\varphi (\bar{1})$は同型なので, $\varphi (\bar{1})(Z(N))=Z(N)$を満たす必要がある.
$Z(N)=C_2\times \{1\}$なので, $\bar{\varphi }(\bar{1})(\bar{1},\bar{0})=(\bar{1},\bar{0})$が成立する.
これと$\bar{\varphi }(\bar{1})\ne 1$を合わせ, $\bar{\varphi }(\bar{1})=((\bar{a},\bar{b})\mapsto (\overline{a+b},\bar{b}))$となる. しかし, これは$\varphi (\bar{1}{)}^3=\varphi (\bar{3})=\varphi (\bar{0})=\mathrm{id}$に矛盾.
よって, このような群はない.

まとめ

以上をまとめ, 位数$84$の群は同型をのぞき$((5+4)+(2+2))+2=15$個ある.