位数1,p,p^2,pqの群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$1,p,p^2,pq$の群,及び後のため自己同型群を求めます.使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

以下$p,qはp<q$を満たす素数とする. $C_n$で位数$n$の巡回群を表す. 素数$r$に対し, $n_r(G)$は$G$のシローr群の個数を表す.

位数$1$

自明に$C_1$のみ.

位数$p$

$C_p$のみ.
自己同型群を求める. $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C_p)=\{(g\mapsto ag)|a\in \mathbb{Z},a\ne 0(\mathrm{mod}p)\}\simeq {(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}^{\times }\simeq C_{p-1}$.
最初の$=$は生成元で準同型が決まることから,最後の$\simeq$は原子根の存在より従う.

位数$p^2$

$G$を位数$p^2$の群とする. このとき, $Z(G)>1$である. よって,$G/Z(G)$は巡回群となり, 準備記事定理10 より$G$はAbel群. ゆえに有限Abel群の基本定理より位数$p^2$の群はちょうど2つある.

上と同様に$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C_{p^2})=\{(\cdot x)|x\in {C_{p^2}}^{\times }\}\simeq {C_{p^2}}^{\times }\simeq C_{p^2-p}$.
また,$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C_p\times C_p)={\mathrm{G}\mathrm{L}}_2({\mathbb{F}}_p)$である.

位数$pq$

$G$を位数$pq$の群とする. $G$のシロー$p$群(の1つ)を$P$, シロー$q$群を$Q$と置く. このとき, $PQ=G,P\cap Q=1$となる. よって$P(\simeq C_p)$から$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(Q)(\simeq C_{q-1})$への準同型$f$を( 準備記事定理9 の意味で)同型を除き求めればよい.
$\mathrm{Im}(f)=\{\mathrm{id}\}$なら$f$は$0$射.
$\mathrm{Im}(f)\ne \{\mathrm{id}\}$なら,$q\equiv 1(\mathrm{mod}p)$となる.このとき,$C_p$の同型でひねり,$f(\overline{1})=(x\mapsto ax)\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C_p)$とできる. (ただし, $s$は$s\not\equiv 1,s^p\equiv 1(\mathrm{mod}q)$を満たす整数. )

ゆえに,位数$pq$の群は$C_p\times C_q$,および$C_p{⋉}_{\varphi }{C}_q$($q\equiv 1(\mathrm{mod}p)$のとき)に限られる. これらは非同型.

$G$の自己同型群を求める.

上の定理より,$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C_p\times C_q)\simeq C_{p-1}\times C_{q-1}$.

$G=C_p{⋉}_{\varphi }{C}_q$($\varphi =(x\mapsto sx)$)とする. このとき,$G\simeq ⟨b,a|b^p=1,a^q=1,b^{-1}ab=a^s⟩$と書ける. ($s$の条件は先に上げた通り. )この表示を用いて$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$を求める.

$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$なら, $f(Q)=Q$である. (命題1より, $G\mathbf{c}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{r}Q$であるため. )
よって, $f(a)=a^i,f(b)=b^k{a}^j(0<i<q,0\le j<q,0<k<p)$と書ける. (この条件を☆とする. )
準備記事命題13 より, ☆を満たす準同型$f$があることと,$1=f(a{)}^q=f(b{)}^p,f(b{)}^{-1}f(a)f(b)=f(a{)}^s$は同値である.
$f(a{)}^q=a^{iq}=1$, $f(b{)}^p={(b^k{a}^j)}^p=b^{pk}{a}^u=1$, (ただし,$u=\sum _{t=0}^{p-1}(j\cdot s^{tk})$. このとき, $u=j\cdot \frac{s^{kp}-1}{s-1}\equiv 0(\mathrm{mod}q)$となる. 最後の等式はここから従う. ) $f(b{)}^{-1}f(a)f(b)=b^{-k}{a}^i{b}^k=a^{s^{k}i}$,$f(a{)}^s=a^{s}i$である.
よって, ☆を満たす$f$の存在と, $k=1$は同値. $k=1$のとき, ☆を満たす準同型$f$をとると, $\mathrm{Im}(f)=⟨a^i,b{a}^j⟩=G$. よって, $f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$となる.
ゆえに, $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$は$\varphi (a)=a^i,\varphi (b)=a^{j}b(0<i<q,0\le j<q)$で定まる準同型$\varphi$全体の集合と一致する.

$\sigma \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$を$\sigma (a)=a^v,\sigma (b)=b$で定め,$\tau \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$を$\tau (a)=a,\tau (b)=ba$で定める.
ただし, $v$は$v\not\equiv 1,v^{q-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$を満たす整数とする.
すると,$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)=⟨\sigma ,\tau |{\sigma }^{q-1}=1,{\tau }^q=1,{\sigma }^{-1}\tau \sigma ={\tau }^v⟩\simeq C_{q-1}{⋉}_{\psi }{C}_q$となる. ($\psi =(x\mapsto vx)$).
(${\mathbb{F}}_p$のAffine変換全体の群といってもよい. $\varphi \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$が$\varphi (a)=a^i,\varphi (b)=a^{j}b$を満たすとき, $\varphi$をAffine変換$x\mapsto ix+j$に対応させると同型が得られる. )