位数36,100の群の分類

初めに

位数$100$までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$36,100$の群を求めます.($p^2{q}^2$型) 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

リンク集(記事追加に合わせこちらにも追加します)

- 位数$1,p,p^2,pq$の群
- 位数$pqr$の群
- 位数$p^{2}q$の群
- 位数$60,90,84$の群
- 位数$36,100$の群
- 位数$p^3$の群
- 位数$24,40,56,88,54$の群
- 位数$72$の群
- 位数$p^4$の群
- 位数$48,80$の群
- 位数$32$の群
- 位数$96$の群
- 位数$64$の群

有限群$G$に対し, そのシロー$p$群の個数を$n_p(G)$で表す.

位数$36$

以下, $G$を位数$36$の群とし,$P$をシロー$2$群(の一つ), $Q$をシロー$3$群(の一つ)とする.

$n_2(G)=1$の場合

このとき, $G=Q{⋉}_{\varphi }P$と書ける. 準備記事定理9 より, 位数$4$の群$P$,位数$9$の群$Q$,および準同型$\varphi :Q\to \mathrm{Aut}(P)$を共役を除いて求めればよい.

$P=C_2\times C_2,Q=C_3\times C_3$のとき

$\mathrm{Aut}(P)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_2)\simeq D_3$に注意すると,

• $\varphi =1$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})={\left(\begin{array}{cc}\bar{0}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{1}\end{array}\right)}^a$
  の$2$つがある. それぞれ, $C_2\times C_2\times C_3\times C_3$, $A_4\times C_3$に対応する.

$P=C_2\times C_2,Q=C_9$

上と同様にして,

• $\varphi =1$
• $\varphi (\bar{a})={\left(\begin{array}{cc}\bar{0}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{1}\end{array}\right)}^a$
  の$2$つがある.

$P=C_4,Q=C_3\times C_3$

$\mathrm{Aut}(P)\simeq C_2$なので, $\varphi =1$のみ. $C_4\times C_3\times C_3$に対応.

$P=C_4,Q=C_9$

$\varphi =1$のみ. $C_4\times C_9$に対応.

$n_2(G)\ne 1$の場合

上の命題より, $n_3(G)=1$. よって, $G=P{⋉}_{\varphi }Q$と書ける. $n_2(G)\ne 1$のためには, $P$が正規部分群でないこと, すなわち$\varphi \ne 1$が必要十分.
よって, 準備記事定理9 より, 位数$4$の群$P$, 位数$9$の群$Q$, および非自明な準同型$\varphi :P\to \mathrm{Aut}(Q)$を共役を除いて求めればよい.

$Q=C_3\times C_3,P=C_2\times C_2$

$\mathrm{Aut}(Q)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$である. 可換な行列は同時対角化可能なことに注意すると, 次の$3$つがある.

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\overline{(-1{)}^b})$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\overline{(-1{)}^a})$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\bar{1})$
  一番上は$D_3\times D_3$, 一番下は$D_3\times C_3\times C_2$に対応.

$Q=C_3\times C_3,P=C_4$

$\mathrm{Aut}(Q)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$である. $\sqrt{-1}\in {\mathbb{F}}_9\setminus {\mathbb{F}}_3$に注意すると,

• $\varphi (\bar{a})={\left(\begin{array}{cc}\bar{0}& \overline{-1}\\ \bar{1}& \bar{0}\end{array}\right)}^a$
• $\varphi (\bar{a})=\mathrm{diag}((-1{)}^a,(-1{)}^a)$
• $\varphi (\bar{a})=\mathrm{diag}((-1{)}^a,1)$

の$3$通り.

$Q=C_9,P=C_2\times C_2$

$\mathrm{Aut}(Q)\simeq C_6$なので,

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{3a}$
  の$1$つのみ. $D_9\times C_2$に対応する.

$Q=C_9,P=C_4$

上と同様に,

• $\varphi (\bar{a})=\overline{3a}$
  の$1$つのみ.

まとめ

$n_2(G)=1$を満たすものが, $2+2+1+1=6$個, 満たさないものが$3+3+1+1=8$個あるので, 合わせて$14$個がある.

位数$100$

以下, $G$を位数$100$の群とし,$P$をシロー$2$群(の一つ), $Q$をシロー$5$群(の一つ)とする.
シローの定理より, $n_5(G)=1$となる. よって, $G=P{⋉}_{\varphi }Q$と書ける. ゆえに, 準備記事定理9 より, 位数$4$の群$P$, 位数$25$の群$Q$, および準同型$\varphi :P\to \mathrm{Aut}(Q)$を共役を除いて求めればよい.

$Q=C_5\times C_5,P=C_2\times C_2$

$\mathrm{Aut}(Q)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_5)$である. 可換な行列は同時対角化可能なことに注意すると, 次の$4$つがある.

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\overline{(-1{)}^b})$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\overline{(-1{)}^a})$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\overline{(-1{)}^a},\bar{1})$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\mathrm{diag}(\bar{1},\bar{1})$
  一番上は$D_5\times D_5$, 3番目は$D_5\times C_5\times C_2$, 4番目は$C_5\times C_5\times C_2\times C_2$.

$Q=C_5\times C_5,P=C_4$

$\mathrm{Aut}(Q)={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_5)$である. 今度は$2=\sqrt{-1}\in {\mathbb{F}}_5$である. よって,$\varphi (\bar{1})$としてありうるのは, 共役を除いて, 以下の通り.

• $\mathrm{diag}(\bar{1},\bar{1})$
• $\mathrm{diag}(\bar{1},\overline{-1})$
• $\mathrm{diag}(\overline{-1},\overline{-1})$
• $\mathrm{diag}(\bar{1},\bar{2})$
• $\mathrm{diag}(\bar{2},\bar{2})$
• $\mathrm{diag}(\bar{3},\bar{2})$
• $\mathrm{diag}(\bar{4},\bar{2})$

の$7$通り.

$Q=C_{25},P=C_2\times C_2$

$\mathrm{Aut}(Q)\simeq C_{20}$なので,

• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{10a}$
• $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\bar{0}$
  の$2$つ. 上は$D_{25}\times C_2$に, 下は$C_{25}\times C_4$に対応する.

$Q=C_{25},P=C_4$

上と同様に,

• $\varphi (\bar{a})=\overline{5a}$
• $\varphi (\bar{a})=\overline{10a}$
• $\varphi (\bar{a})=\bar{0}$
  の$3$つ.

まとめ

以上をまとめ, 位数$100$の群は$4+7+2+3=16$個ある.