Tychonoff空間の特徴づけ
写像$f\colon X \to Y$による$A\subset X$の像（resp. $B\subset Y$の逆像）を$f[A]$（resp. $f^{-1}[B]$）で表わすことにする．また，$A\subset X$の余順像を$f_{!}[A]$で表わす（cf. !）．
$X,Y_{\lambda}$を位相空間とし，$\mathcal{F} = \{f_{\lambda}\colon X\to Y_{\lambda} \mid \lambda\in\Lambda\}$を連続写像族とする．
- 任意の$x,x'\in X,\,x\neq x',\,$に対して，$\lambda\in\Lambda$であって$f_{\lambda}(x)\neq f_{\lambda}(x')$なるものが存在するとき，$\mathcal{F}$は$X$の点を分離するという．
- 任意の$x\in X,\,A\in\tau^{c}(X),\,x\notin A,\,$に対して，$\lambda\in\Lambda$であって$f_{\lambda}(x)\notin \cl{f[A]}$なるものが存在するとき，$\mathcal{F}$は$X$の点と閉集合とを分離するという．
連続写像族$\mathcal{F} = \{f_{\lambda}\colon X\to Y_{\lambda} \mid \lambda\in\Lambda\}$に対して，連続写像
$$
\hat{e} \colon X \to Y\coloneqq\prod Y_{\bullet};\ x \mapsto (f_{\lambda}(x))_{\lambda}$$
が定まるのだった（cf. nsfo-2定理12）．
- 連続写像$\hat{e}$が単射であるためには，$\mathcal{F}$が$X$の点を分離することが必要かつ十分である．
- $\mathcal{F}$が$X$の点と閉集合とを分離するならば，$\hat{e}$の余制限（？）
$$ \hat{e}^{\hat{e}[X]} \colon X \to \hat{e}[X];\ x \mapsto (f_{\lambda}(x))_{\lambda}$$
は開写像である．
- 明らか．
- $x\in U \in \tau(X)$とする．このとき，$\hat{e}[U]$が$\hat{e}(x)$の$\hat{e}[X]$に於ける近傍であることを示せばよい．ところで，仮定より$\lambda\in\Lambda$であって
$$ f_{\lambda}(x) \notin \cl{f_{\lambda}[X\smallsetminus U]}$$
なるものが存在するので，
$$ V \coloneqq \pr_{\lambda}^{-1}[Y_{\lambda}\smallsetminus\cl{f_{\lambda}[X\smallsetminus U]}] \in \tau(Y)$$
とおくと，
$$ \pr_{\lambda}\circ\,\hat{e}(x) = f_{\lambda}(x) \in Y_{\lambda}\smallsetminus\cl{f_{\lambda}[X\smallsetminus U]} \quad\leadsto\quad \hat{e}(x) \in V \cap \hat{e}[X] \in \tau(\hat{e}[X])$$
であり，
$$ \hat{e}(x') \in V \cap \hat{e}[X] \implies f_{\lambda}(x')\in Y_{\lambda}\smallsetminus\cl{f_{\lambda}[X\smallsetminus U]} \subset (f_{\lambda})_{!}[U] \implies x' \in f_{\lambda}^{-1}[(f_{\lambda})_{!}[U]] \subset U$$
より
$$ V\cap \hat{e}[X] \subset \hat{e}[U]$$
が成り立つ（cf. !）．
$X$を位相空間とする．任意の$x\in U \in \tau(X)$に対して，連続写像$f\colon X \to [0,1]$であって
$$
f(x)=1,\ f[X\smallsetminus U] \subset \{0\}$$
なるものが存在するとき，$X$を完全正則空間という．また，完全正則$T_{1}$空間をTychonoff空間という．
- Tychonoff空間の部分空間はTychonoff空間である．
- Urysohnの補題（cf. urysohn定理6）より，正規$T_{1}$空間はTychonoff空間である．
$X$を位相空間とする．このとき次は同値である：
- $X$はTychonoff空間である；
- $X$は単位閉区間$\mathbb{I}\coloneqq [0,1]$の直積に埋め込める；
- $X$はコンパクト$T_{2}$空間に稠密に埋め込める．
(i)$\implies$(ii)
完全正則空間$X$から単位閉区間$\mathbb{I}$への連続写像全体のなす集合$\mathcal{C}(X,\mathbb{I})$は$X$の点と閉集合とを分離する．さらに$X$が$T_{1}$空間ならば，$\mathcal{C}(X,\mathbb{I})$は$X$の点を分離する．したがって，$X$がTychonoff空間ならば，embより，連続写像
$$
\hat{e}\colon X \to \mathbb{I}^{\mathcal{C}(X,\mathbb{I})};\ x \mapsto (f(x))_{f\in \mathcal{C}(X,\mathbb{I})}$$
は埋め込みである．
(ii)$\implies$(iii)
$e\colon X \to \mathbb{I}^{\Lambda}$を埋め込みとする．Tychonoffの定理より$\mathbb{I}^{\Lambda}$はコンパクトであるから，連続写像
$$
X \to \cl e[X];\ x \mapsto e(x)$$
はコンパクト$T_{2}$空間への稠密な埋め込みである．
(iii)$\implies$(i)
exより明らか．
- Tychonoff空間$X$の位相は写像族$\mathcal{C}(X,\mathbb{I})$によって誘導される位相に一致し，連続写像$\hat{e}\colon X \to \mathbb{I}^{\mathcal{C}(X,\mathbb{I})}$が単射ならば逆も成り立つ（cf. nsfo-2定理12注意，nsfo-3補題20； Completely Hausdorff Space ）．
- Tychonoff空間$X$に対して，組$(\cl\hat{e}[X],\hat{e}^{\cl\hat{e}[X]})$を$X$のStone–Čechコンパクト化という．
- 局所コンパクト$T_{2}$空間はTychonoff空間である（cf. 1pt命題11）．
