以下はRamanujanによって発見され, Andrewsによって1981年に証明が与えられた.
とするとき,
同じ論文で, Andrewsは以下の相互関係式も示している. これの証明については, Andrewsによる元の証明 と Liuによる作用素を用いた証明 が与えられていた.
定理1の一般化として, 以下のKangによる相互関係式がある.
とするとき,
が成り立つ.
似たような公式として以下のようなものが示されている.
とするとき,
が成り立つ.
これらは
Ramanujanの
Chu-Zhangによる2010年の論文で, 先ほどの結果を統一する一般的な相互関係式が示されている. 用いられるのは以下の
Baileyの
これを
これらはBaileyによる結果と同値であるが, それに相互関係式としての解釈が与えられたということになる.
さらに
とするとき,
が成り立つ.
この系は, 定理3, 定理4と似ているが若干異なっている.
定理6において
これはKangによって, Watsonの変換公式 のlimitting caseを用いればAndrewsの相互関係式と同値であることが示されている.
Non-terminating
である.
つまり,
である.
2005年によりZhangによって
という形の式が作用素を用いて導出されたが, 作用素と無限和が交換可能ではない場合に交換してしまうというミスがあったため, 上の等式は正しくなかった. それを修正したのが定理7である. 定理7において
このように,