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現代数学解説
文献あり

Chu-Zhangの相互関係式

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以下はRamanujanによって発見され, Andrewsによって1981年に証明が与えられた.

Ramanujan, Andrews(1981)

f(a,c):=(11c)0n(a/c)n(aq;q)nq(n+12)
とするとき,
f(a,c)f(c,a)=(1a1c)(q,aq/c,cq/a;q)(aq,cq;q)

同じ論文で, Andrewsは以下の相互関係式も示している. これの証明については, Andrewsによる元の証明 Liuによる作用素を用いた証明 が与えられていた.

Andrews(1981)

y0n(q/ax,bdxy;q)n(by,dy;q)n+1(ay)nx0n(q/ay,bdxy;q)n(bx,dx;q)n+1(ax)n=(yx)(q,xq/y,yq/x,abxy,adxy,bdxy;q)(ax,ay,bx,by,dx,dy;q)

定理1の一般化として, 以下のKangによる相互関係式がある.

Kang(2007)

f(a,c):=(11c)0n(acx;q)n(a/c)n(aq;q)n(ax;q)n+1q(n+12)
とするとき,
f(a,c)f(c,a)=(1a1c)(q,aq/c,cq/a,acx;q)(aq,cq,ax,cx;q)
が成り立つ.

似たような公式として以下のようなものが示されている.

Chu-Zhang(2010)

f(a,c):=(11c)0n(q/cx;q)n(aq;q)n(ax)n
とするとき,
f(a,c)f(c,a)=(1a1c)(q,aq/c,cq/a,acx;q)(aq,cq,ax,cx;q)
が成り立つ.

これらは Ramanujanの1ψ1和公式 Heineの変換公式 , Jacksonの2ϕ2変換公式 を適用することによって示すことができる. 定理3, 定理4はx0とすると, 定理1を得ることができるのでその一般化になっている.

Chu-Zhangの相互関係式

Chu-Zhangによる2010年の論文で, 先ほどの結果を統一する一般的な相互関係式が示されている. 用いられるのは以下の Baileyの6ψ6和公式 である.

Baileyの6ψ6和公式

6ψ6[aq,aq,b,c,d,ea,a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;a2qbcde]=(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a2q/bcde;q)

これを0nの部分とn<0の部分に分けて, a,b,c,d,eyq/x,q/ax,q/bx,q/cx,q/dxに置き換えると, 以下を得る.

Chu-Zhang(2010)

y0n(1yq2n+1/x)(q/ax,q/bx,q/cx,q/dx;q)n(ay,by,cy,dy;q)n+1(abcdx2y2/q)nx0n(1xq2n+1/y)(q/ay,q/by,q/cy,q/dy;q)n(ax,bx,cx,dx;q)n+1(abcdx2y2/q)n=(yx)(q,yq/x,xq/y,abxy,acxy,adxy,bcxy,bdxy,cdxy;q)(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,abcdx2y2/q;)

a,cq/xy,q/xyとすると, 以下の系を得る.

y0n(q/bx,q/dx;q)n(by,dy;q)n+1(bdxy)nx0n(q/by,q/dy;q)n(bx,dx;q)n+1(bdxy)n=(yx)(bdxy;q)(q2,yq2/x,xq2/y,b2xyq,d2xyq;q2)(bx,by,dx,dy,bdxy;q)

これらはBaileyによる結果と同値であるが, それに相互関係式としての解釈が与えられたということになる.
さらにb0,d1,xb,ydとすると, 以下の系を得る.

f(b,d):=(11d)0n(q/d;q)n(bq;q)nbnq(n+12)
とするとき,
f(b,d)f(d,b)=(1b1d)(q2,bq2/d,dq2/b,bdq;q2)(bq,dq;q)
が成り立つ.

この系は, 定理3, 定理4と似ているが若干異なっている.

定理6においてa0とすると, Kangによって2007年に示された以下の公式を得る.

y0n(1yq2n+1/x)(q/bx,q/cx,q/dx;q)n(by,cy,dy;q)n+1q(n2)(bcdxy2)nx0n(1xq2n+1/y)(q/by,q/cy,q/dy;q)n(bx,cx,dy;q)n+1q(n2)(bcdx2y)n=(yx)(q,yq/x,xq/y,bcxy,bdxy,cdxy;q)(bx,by,cx,cy,dx,dy;q)

これはKangによって, Watsonの変換公式 のlimitting caseを用いればAndrewsの相互関係式と同値であることが示されている.

Chu-Zhang(2010)

y0n(q/ax,q/cx,bdxy;q)n(q2/acxy;q)n(by,dy;q)n+1qnx0n(q/ay,q/cy,bdxy;q)n(q2/acxy;q)n(bx,dx;q)n+1qn=(yx)(q,yq/x,xq/y,abxy,adxy,bcxy,bdxy,cdxy,acxy/q;q)(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,abcdx2y2/q;q)+acxyq(q,q/ax,q/ay,q/cx,q/cy,bdxy;q)(bx,by,dx,dy,q2/acxy,abcdx2y2/q;q)(y(bx,dx,abcxy2,acdxy2;q)(ay,cy,q/ay,q/cy;q)3ϕ2[ay,cy,abcdx2y2/qabcxy2,acdxy2;q]x(by,dy,abcx2y,acdx2y;q)(ax,cx,q/ax,q/cx;q)3ϕ2[ax,cx,abcdx2y2/qabcx2y,acdx2y;q])

Non-terminating q-Whippleの変換公式 より,
8ϕ7[a,aq,aq,b,c,d,e,qa,a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,a;a2qbcde]=(aq,aq/de,a/d,a/e;q)(aq/d,aq/e,a,a/de;q)4ϕ3[aq/bc,d,e,qaq/b,aq/d,deq/a;q]+(aq,aq/bc,d,e,q,a2q/bde,a2q/cde;q)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,a,a2q/bcde,de/a;q)3ϕ2[a/d,a/e,a2q/bcdea2q/bde,a2q/cde;q]
である. a,b,c,d,eをそれぞれ, yq/x,q/bx,q/dx,q/ax,q/cxと置き換えると,
7ϕ6[yq/xq,yq/xq,q/ax,q/bx,q/cx,q/dx,qyq/x,yq/x,ayq,byq,cyq,dyq;abcdx2y2q]=(yq2/x,acxy,ay,cy;q)(ayq,cyq,yq/x,acxy/q;q)4ϕ3[bdxy,q/ax,q/cx,qbyq,dyq,q2/acxy;q]+(yq2/x,bdxy,q/ax,q/cx,q,abcxy2,acdxy2;q)(ayq,byq,cyq,dyq,yq/x,abcdx2y2/q,q/acxy;q)3ϕ2[ay,cy,abcdx2y2/qabcxy2,acdxy2;q]
つまり,
0n(1yq2n+1/x)(q/ax,q/bx,q/cx,q/dx;q)n(ay,by,cy,dy;q)n+1(abcdx2y2/q)n=11acxyq0n(bdxy,q/ax,q/cx;q)n(by,dy;q)n+1(q2/acxy;q)nqn+11qacxy(bdxy,q/ax,q/cx,q,abcxy2,acdxy2;q)(ay,by,cy,dy,abcdx2y2/q,q2/acxy;q)3ϕ2[ay,cy,abcdx2y2/qabcxy2,acdxy2;q]
である. x,yを入れ替えた式と合わせて定理6を書き換えることによって, 示すべき等式が得られる.

2005年によりZhangによって
y0n(q/ax,q/cx,bdxy;q)n(q2/acxy;q)n(by,dy;q)n+1qnx0n(q/ay,q/cy,bdxy;q)n(q2/acxy;q)n(bx,dx;q)n+1qn=(yx)(q,yq/x,xq/y,abxy,adxy,bcxy,bdxy,cdxy,acxy/q;q)(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,abcdx2y2/q;q)
という形の式が作用素を用いて導出されたが, 作用素と無限和が交換可能ではない場合に交換してしまうというミスがあったため, 上の等式は正しくなかった. それを修正したのが定理7である. 定理7においてc0とするとAndrewsの相互関係式を得る.
このように, q超幾何級数の新たな系列の公式のように見えた様々な相互関係式が, 実はよく知られたq超幾何級数の和公式であるRamanujanの1ψ1和公式, Baileyの6ψ6和公式などにHeineの変換公式, Jacksonの2ϕ2変換公式, non-terminating q-Whippleのようなよく知られた変換公式を適用することによって導かれるということが明らかになったのである.

参考文献

[1]
Wenchang Chu, Wenlong Zhang, Bilateral q-series identities and reciprocal formulae, Funct. Approx. Comment. Math., 2010, 153-162
投稿日:29日前
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Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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