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Chu-Zhangの相互関係式

以下はRamanujanによって発見され, Andrewsによって1981年に証明が与えられた.

Ramanujan, Andrews(1981)

$\begin{array}{r} f (a, c) := (1 - \frac{1}{c}) \sum_{0 \leq n} \frac{(- a / c)^{n}}{(a q; q)_{n}} q^{(\binom{n + 1}{2})} \end{array}$
とするとき,
$\begin{array}{r} f (a, c) - f (c, a) = (\frac{1}{a} - \frac{1}{c}) \frac{(q, a q / c, c q / a; q)_{\infty}}{(a q, c q; q)_{\infty}} \end{array}$

同じ論文で, Andrewsは以下の相互関係式も示している. これの証明については, Andrewsによる元の証明と Liuによる作用素を用いた証明が与えられていた.

Andrews(1981)

$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a x, b d x y; q)_{n}}{(b y, d y; q)_{n + 1}} (a y)^{n} - x \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a y, b d x y; q)_{n}}{(b x, d x; q)_{n + 1}} (a x)^{n} \\ = (y - x) \frac{(q, x q / y, y q / x, a b x y, a d x y, b d x y; q)_{\infty}}{(a x, a y, b x, b y, d x, d y; q)_{\infty}} \end{aligned}$

定理1の一般化として, 以下のKangによる相互関係式がある.

Kang(2007)

$\begin{array}{r} f (a, c) := (1 - \frac{1}{c}) \sum_{0 \leq n} \frac{(a c x; q)_{n} (- a / c)^{n}}{(a q; q)_{n} (a x; q)_{n + 1}} q^{(\binom{n + 1}{2})} \end{array}$
とするとき,
$\begin{aligned} f (a, c) - f (c, a) & = (\frac{1}{a} - \frac{1}{c}) \frac{(q, a q / c, c q / a, a c x; q)_{\infty}}{(a q, c q, a x, c x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

似たような公式として以下のようなものが示されている.

Chu-Zhang(2010)

$\begin{array}{r} f (a, c) := (1 - \frac{1}{c}) \sum_{0 \leq n} \frac{(q / c x; q)_{n}}{(a q; q)_{n}} (a x)^{n} \end{array}$
とするとき,
$\begin{aligned} f (a, c) - f (c, a) & = (\frac{1}{a} - \frac{1}{c}) \frac{(q, a q / c, c q / a, a c x; q)_{\infty}}{(a q, c q, a x, c x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

これらは Ramanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式に Heineの変換公式 , Jacksonの $_{2} ϕ_{2}$ 変換公式を適用することによって示すことができる. 定理3, 定理4は $x \to 0$ とすると, 定理1を得ることができるのでその一般化になっている.

Chu-Zhangの相互関係式

Chu-Zhangによる2010年の論文で, 先ほどの結果を統一する一般的な相互関係式が示されている. 用いられるのは以下の Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式である.

Baileyの

_{6} ψ_{6}

和公式

$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$

これを $0 \leq n$ の部分と $n < 0$ の部分に分けて, $a, b, c, d, e$ を $y q / x, q / a x, q / b x, q / c x, q / d x$ に置き換えると, 以下を得る.

Chu-Zhang(2010)

$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} (1 - y q^{2 n + 1} / x) \frac{(q / a x, q / b x, q / c x, q / d x; q)_{n}}{(a y, b y, c y, d y; q)_{n + 1}} (a b c d x^{2} y^{2} / q)^{n} \\ - x \sum_{0 \leq n} (1 - x q^{2 n + 1} / y) \frac{(q / a y, q / b y, q / c y, q / d y; q)_{n}}{(a x, b x, c x, d x; q)_{n + 1}} (a b c d x^{2} y^{2} / q)^{n} \\ = (y - x) \frac{(q, y q / x, x q / y, a b x y, a c x y, a d x y, b c x y, b d x y, c d x y; q)_{\infty}}{(a x, a y, b x, b y, c x, c y, d x, d y, a b c d x^{2} y^{2} / q;)_{\infty}} \end{aligned}$

$a, c$ を $\sqrt{q / x y}, - \sqrt{q / x y}$ とすると, 以下の系を得る.

$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b x, q / d x; q)_{n}}{(b y, d y; q)_{n + 1}} (- b d x y)^{n} - x \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b y, q / d y; q)_{n}}{(b x, d x; q)_{n + 1}} (- b d x y)^{n} \\ = (y - x) \frac{(b d x y; q)_{\infty} (q^{2}, y q^{2} / x, x q^{2} / y, b^{2} x y q, d^{2} x y q; q^{2})_{\infty}}{(b x, b y, d x, d y, - b d x y; q)_{\infty}} \end{aligned}$

これらはBaileyによる結果と同値であるが, それに相互関係式としての解釈が与えられたということになる.
さらに $b \to 0, d \to 1, x \mapsto b, y \mapsto d$ とすると, 以下の系を得る.

$\begin{array}{r} f (b, d) := (1 - \frac{1}{d}) \sum_{0 \leq n} \frac{(q / d; q)_{n}}{(b q; q)_{n}} b^{n} q^{(\binom{n + 1}{2})} \end{array}$
とするとき,
$\begin{aligned} f (b, d) - f (d, b) & = (\frac{1}{b} - \frac{1}{d}) \frac{(q^{2}, b q^{2} / d, d q^{2} / b, b d q; q^{2})_{\infty}}{(b q, d q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

この系は, 定理3, 定理4と似ているが若干異なっている.

定理6において $a \to 0$ とすると, Kangによって2007年に示された以下の公式を得る.

$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} (1 - y q^{2 n + 1} / x) \frac{(q / b x, q / c x, q / d x; q)_{n}}{(b y, c y, d y; q)_{n + 1}} q^{(\binom{n}{2})} (- b c d x y^{2})^{n} \\ - x \sum_{0 \leq n} (1 - x q^{2 n + 1} / y) \frac{(q / b y, q / c y, q / d y; q)_{n}}{(b x, c x, d y; q)_{n + 1}} q^{(\binom{n}{2})} (- b c d x^{2} y)^{n} \\ = (y - x) \frac{(q, y q / x, x q / y, b c x y, b d x y, c d x y; q)_{\infty}}{(b x, b y, c x, c y, d x, d y; q)_{\infty}} \end{aligned}$

これはKangによって, Watsonの変換公式のlimitting caseを用いればAndrewsの相互関係式と同値であることが示されている.

Chu-Zhang(2010)

$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a x, q / c x, b d x y; q)_{n}}{(q^{2} / a c x y; q)_{n} (b y, d y; q)_{n + 1}} q^{n} - x \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a y, q / c y, b d x y; q)_{n}}{(q^{2} / a c x y; q)_{n} (b x, d x; q)_{n + 1}} q^{n} \\ = (y - x) \frac{(q, y q / x, x q / y, a b x y, a d x y, b c x y, b d x y, c d x y, a c x y / q; q)_{\infty}}{(a x, a y, b x, b y, c x, c y, d x, d y, a b c d x^{2} y^{2} / q; q)_{\infty}} \\ + \frac{a c x y}{q} \frac{(q, q / a x, q / a y, q / c x, q / c y, b d x y; q)_{\infty}}{(b x, b y, d x, d y, q^{2} / a c x y, a b c d x^{2} y^{2} / q; q)_{\infty}} \\ \cdot (y \frac{(b x, d x, a b c x y^{2}, a c d x y^{2}; q)_{\infty}}{(a y, c y, q / a y, q / c y; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a y, c y, a b c d x^{2} y^{2} / q \\ a b c x y^{2}, a c d x y^{2} \end{array}; q] \\ - x \frac{(b y, d y, a b c x^{2} y, a c d x^{2} y; q)_{\infty}}{(a x, c x, q / a x, q / c x; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a x, c x, a b c d x^{2} y^{2} / q \\ a b c x^{2} y, a c d x^{2} y \end{array}; q]) \end{aligned}$

Non-terminating $q$ -Whippleの変換公式より,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / d e, a / d, a / e; q)_{\infty}}{(a q / d, a q / e, a, a / d e; q)_{\infty}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, q \\ a q / b, a q / d, d e q / a \end{array}; q] \\ + \frac{(a q, a q / b c, d, e, q, a^{2} q / b d e, a^{2} q / c d e; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a, a^{2} q / b c d e, d e / a; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a / d, a / e, a^{2} q / b c d e \\ a^{2} q / b d e, a^{2} q / c d e \end{array}; q] \end{aligned}$
である. $a, b, c, d, e$ をそれぞれ, $y q / x, q / b x, q / d x, q / a x, q / c x$ と置き換えると,
$\begin{aligned} _{7} ϕ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{y q / x} q, - \sqrt{y q / x} q, q / a x, q / b x, q / c x, q / d x, q \\ \sqrt{y q / x}, - \sqrt{y q / x}, a y q, b y q, c y q, d y q \end{array}; \frac{a b c d x^{2} y^{2}}{q}] \\ = \frac{(y q^{2} / x, a c x y, a y, c y; q)_{\infty}}{(a y q, c y q, y q / x, a c x y / q; q)_{\infty}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} b d x y, q / a x, q / c x, q \\ b y q, d y q, q^{2} / a c x y \end{array}; q] \\ + \frac{(y q^{2} / x, b d x y, q / a x, q / c x, q, a b c x y^{2}, a c d x y^{2}; q)_{\infty}}{(a y q, b y q, c y q, d y q, y q / x, a b c d x^{2} y^{2} / q, q / a c x y; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a y, c y, a b c d x^{2} y^{2} / q \\ a b c x y^{2}, a c d x y^{2} \end{array}; q] \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (1 - y q^{2 n + 1} / x) \frac{(q / a x, q / b x, q / c x, q / d x; q)_{n}}{(a y, b y, c y, d y; q)_{n + 1}} (a b c d x^{2} y^{2} / q)^{n} \\ = \frac{1}{1 - \frac{a c x y}{q}} \sum_{0 \leq n} \frac{(b d x y, q / a x, q / c x; q)_{n}}{(b y, d y; q)_{n + 1} (q^{2} / a c x y; q)_{n}} q^{n} \\ + \frac{1}{1 - \frac{q}{a c x y}} \frac{(b d x y, q / a x, q / c x, q, a b c x y^{2}, a c d x y^{2}; q)_{\infty}}{(a y, b y, c y, d y, a b c d x^{2} y^{2} / q, q^{2} / a c x y; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a y, c y, a b c d x^{2} y^{2} / q \\ a b c x y^{2}, a c d x y^{2} \end{array}; q] \end{aligned}$
である. $x, y$ を入れ替えた式と合わせて定理6を書き換えることによって, 示すべき等式が得られる.

2005年によりZhangによって
$\begin{aligned} y \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a x, q / c x, b d x y; q)_{n}}{(q^{2} / a c x y; q)_{n} (b y, d y; q)_{n + 1}} q^{n} - x \sum_{0 \leq n} \frac{(q / a y, q / c y, b d x y; q)_{n}}{(q^{2} / a c x y; q)_{n} (b x, d x; q)_{n + 1}} q^{n} \\ = (y - x) \frac{(q, y q / x, x q / y, a b x y, a d x y, b c x y, b d x y, c d x y, a c x y / q; q)_{\infty}}{(a x, a y, b x, b y, c x, c y, d x, d y, a b c d x^{2} y^{2} / q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
という形の式が作用素を用いて導出されたが, 作用素と無限和が交換可能ではない場合に交換してしまうというミスがあったため, 上の等式は正しくなかった. それを修正したのが定理7である. 定理7において $c \to 0$ とするとAndrewsの相互関係式を得る.
このように, $q$ 超幾何級数の新たな系列の公式のように見えた様々な相互関係式が, 実はよく知られた $q$ 超幾何級数の和公式であるRamanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式などにHeineの変換公式, Jacksonの $_{2} ϕ_{2}$ 変換公式, non-terminating $q$ -Whippleのようなよく知られた変換公式を適用することによって導かれるということが明らかになったのである.