最近いくつか物理学と指数定理の関係に関して記事を書きました[1][2][3][4][5][6]。本記事でも指数定理の話をしたいと思います。
Nielsen-Ninomiyaの定理2/2: fermion doublingに関する不可能性定理 では、格子正則化においてfermionのdoublerを取り除くことは、いくつかの物理的に尤もな条件の下では不可能なこと、またそれを取り除けなければ量子アノマリーが再現できないことを述べました(Ref.[7][8])。
それでもdoublerを取り除く方法はいくつかあります。最も古くから知られているのはWilson fermionと呼ばれる定式化です(Ref.[9])。Nielsen-Ninomiyaの定理(NN定理)の前提にchiral対称性を満たすことがありましたが、Wilson fermionではこれをある程度犠牲にしてdoublerを消します。しかしながら、chiral対称性は強い相互作用の基礎理論であるSU(3)の非可換ゲージ理論 ‐量子色力学と呼ばれる‐ において大変重要であり、格子正則化は量子色力学の低エネルギー現象のような非摂動領域で最も威力を発揮するので、格子上のfermionはchiral対称性を尊重することが望ましいです。
1990年代に格子上でchiral対称性を尊重しながらdoublerを消す方法が盛んに研究されました。そこで得られたひとつの答えは
でした。Ginsparg-Wilson関係式(GW関係式)とは、Dirac演算子を
で表されます(Ref.[10])。
chiral対称性は
chiral対称性を尊重しながらdoublingを消去するには、chiral対称性の定義を格子上に適切に拡張することが必要だったのです。Wilson fermionのようなchiral対称性の破り方(具体的には示してないですが)は望ましくないのです。
一方でNielsen-Ninomiyaの定理の前提であるchiral対称性
量子アノマリーに関しては例えばRef.[1]をご参照ください。以下Dirac行列
GW関係式が「格子上のchiral対称性」として適切であり、これを満たすfermionがdoublerを持たないのなら、量子アノマリーも適切に再現できるのではないかと思えます。そして実際それは正しいです。以下ではGW関係式を満たす
いま格子上のfermion作用が以下のようにfermionの双一次形式で書けているとします。
GW関係式が成立するとき、この作用は以下の変換に対して不変です:
次に、この変換に対する経路積分の測度のJacobianを求めます。これは以下の記事
ABJ anomaly:経路積分における藤川の方法
の計算と基本的に同じです。これに習えば
を得ます。ここで
と書いておきます。このtraceは、時空、状態、スピノルのindexのすべてに関してとることにします。いま格子正則化がなされているので
になります。以下
ここで
が成立します。これを
ここで次の演算子を考えます:
ここで
になります。すなわち
となります。ここで
とすれば(Ref.[6]のAppendix等参照のこと)
となります。ここで
が成立します。この式とEq.(1)より、Jacobianはノンゼロであり、
こうしてGW関係式を満たすfermionは、
本記事ではGinsparg-Wilson関係式(GW関係式)を満たすDirac演算子が、適切に量子アノマリーを再現することを述べました。
Nielsen-Ninomiyaの定理から不可能に思われる、chiral対称性を尊重しつつdoublerがないようなfermionは、「格子上のchiral対称性」たるGW関係式を満たすDirac演算子によって実現されます。そしてGW関係式を満たす演算子は、その構成の詳細に依らず正しくABJアノマリーを再現します。
おしまい。