Al-Salam-Chihara多項式の双線形母関数2

$q$積分を
\begin{align} \int_a^bf(t)\,d_qt&=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)) \end{align}
とする. 前の記事 で示した定理1において, $b=c=0$としてから$a\mapsto b,d\mapsto a$とすると,
\begin{align} Q_n(x;a,b|q)&=\frac{2i\sin\theta(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}(a/u;q)_n}{(bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu \end{align}
となる. これを用いると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(y;\alpha,\beta|q)\frac{2i\sin\theta(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}(a/u;q)_n}{(bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu\\ &=\frac{2i\sin\theta(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(bu;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a/u;q)_n(\alpha ut/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(y;\alpha,\beta|q)\,d_qu\\ \end{align}
となる. ここで, 前の記事 で示したAl-Salam-Chihara多項式の母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}t^nQ_n(\cos\theta;a,b|q)&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ab/c,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{at,bt}{c} \end{align}
に $q$-Kummerの変換公式 を適用したもの
\begin{align} \Q32{ab/c,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{at,bt}{c}&=\frac{(be^{i\theta},cte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(c,bt;q)_{\infty}}\Q32{ae^{-i\theta},te^{-i\theta},ct/b}{cte^{-i\theta},at}{be^{i\theta}} \end{align}
を代入して,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}t^nQ_n(\cos\theta;a,b|q)&=\frac{(at,be^{i\theta},cte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ae^{-i\theta},te^{-i\theta},ct/b}{cte^{-i\theta},at}{be^{i\theta}} \end{align}
を得る. これを用いると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a/u;q)_n(\alpha ut/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(y;\alpha,\beta|q)&=\frac{(\alpha^2ut/a,\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha ute^{i\phi}/a,\alpha ute^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\Q32{\alpha e^{-i\phi},\alpha ut e^{-i\phi}/a,\alpha t/\beta}{\alpha te^{-i\phi},\alpha^2 ut/a}{\beta e^{i\phi}} \end{align}
であるから, これを代入して, ${}_3\phi_2$を展開すると
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\frac{2i\sin\theta(be^{i\theta},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(q,\alpha\beta,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,\alpha^2ut/a;q)_{\infty}}{(bu,\alpha ute^{i\phi}/a,\alpha ute^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}\Q32{\alpha e^{-i\phi},\alpha ut e^{-i\phi}/a,\alpha t/\beta}{\alpha te^{-i\phi},\alpha^2 ut/a}{\beta e^{i\phi}}\,d_qu\\ &=\frac{2i\sin\theta(be^{i\theta},be^{-i\theta},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi};q)_{\infty}}{(q,\alpha\beta,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha e^{-i\phi},\alpha t/\beta;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi};q)_k}(\beta e^{i\phi})^k\\ &\qquad\cdot\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,\alpha^2utq^k/a;q)_{\infty}}{(bu,\alpha ute^{i\phi}/a,\alpha ute^{-i\phi}q^k/a;q)_{\infty}}\,d_qu \end{align}
を得る. ここで, non-terminating $q$-Whippleの変換公式の$q$積分表示のlimitting caseである 前の記事 の系1
\begin{align} \int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}\,d_qt&=b\frac{(bc,abde,a/b,bq/a,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,bd,be,bf;q)_{\infty}}\Q32{c/f,bd,be}{bc,abde}{af} \end{align}
に $q$-Kummerの変換公式 を適用して
\begin{align} \Q32{c/f,bd,be}{bc,abde}{af}&=\frac{(abef,c/e;q)_{\infty}}{(bc,af;q)_{\infty}}\Q32{ae,be,abdef/c}{abde,abef}{\frac ce} \end{align}
を代入して得られる
\begin{align} \int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}\,d_qt&=b\frac{(c/e,abde,abef,a/b,bq/a,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,af,bd,be,bf;q)_{\infty}}\Q32{ae,be,abdef/c}{abde,abef}{\frac ce} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,\alpha^2utq^k/a;q)_{\infty}}{(bu,\alpha ute^{i\phi}/a,\alpha ute^{-i\phi}q^k/a;q)_{\infty}}\,d_qu\\ &=e^{-i\theta}\frac{(\alpha e^{-i\phi}q^k,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2q^k/a^2,e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q,q;q)_{\infty}}{(be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}q^k/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}q^k/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a}{\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2q^k/a^2}{\alpha e^{-i\phi}q^k}\\ &=\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(\alpha e^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},q;q)_{\infty}}{(be^{i\theta},be^{-i\theta},\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(\alpha e^{-i\phi},\alpha^2t^2/a^2;q)_k}\Q32{\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a}{\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2q^k/a^2}{\alpha e^{-i\phi}q^k} \end{align}
が得られるので, これを代入して
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha t/\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2/a^2;q)_k}(\beta e^{i\phi})^k\Q32{\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a}{\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2q^k/a^2}{\alpha e^{-i\phi}q^k} \end{align}
を得る.

補題1の足し合わせる順序を入れ替えると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha t/\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2/a^2;q)_k}(\beta e^{i\phi})^k\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a;q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2q^k/a^2;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^jq^{jk}\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a;q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha t/\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2q^j/a^2;q)_k}(\beta e^{i\phi})^kq^{jk}\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a;q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\Q32{\alpha t/\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2q^j/a^2}{\beta e^{i\phi}q^{j}} \end{align}
となる. 前の記事 の定理1より
\begin{align} &\Q32{\alpha t/\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2q^j/a^2}{\beta e^{i\phi}q^{j}}\\ &=\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a;q)_{\infty}}{(\alpha^2t^2q^j/a^2,e^{2i\phi}q^j;q)_{\infty}}\Q32{\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q^{1-j}}q\\ &\qquad+\frac{(\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a,\alpha te^{i\phi}q^j;q)_{\infty}}{(\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2q^j/a^2,e^{-2i\phi}q^{-j},\beta e^{i\phi}q^j;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q32{\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a,\beta e^{i\phi}q^j}{\alpha te^{i\phi}q^j,e^{2i\phi}q^{j+1}}q \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a;q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a;q)_{\infty}}{(\alpha^2t^2q^j/a^2,e^{2i\phi}q^j;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q32{\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q^{1-j}}q\\ &\qquad+\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a;q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha^2t^2/a^2;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\frac{(\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a,\alpha te^{i\phi}q^j;q)_{\infty}}{(\alpha te^{-i\phi},\alpha^2t^2q^j/a^2,e^{-2i\phi}q^{-j},\beta e^{i\phi}q^j;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q32{\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a,\beta e^{i\phi}q^j}{\alpha te^{i\phi}q^j,e^{2i\phi}q^{j+1}}q\\ &=\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a,e^{2i\phi};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a,e^{2i\phi};q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\Q32{\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q^{1-j}}q\\ &\qquad+\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,e^{-2i\phi};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a,\beta e^{i\phi};q)_j(e^{-2i\phi};q)_{-j}}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi};q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\\ &\qquad\cdot \Q32{\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a,\beta e^{i\phi}q^j}{\alpha te^{i\phi}q^j,e^{2i\phi}q^{j+1}}q \end{align}
ここで, 第1項は Heineの和公式 を用いて
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a,e^{2i\phi};q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\Q32{\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q^{1-j}}q\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a,e^{2i\phi};q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\sum_{0\leq k}\frac{(\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q^{1-j};q)_k}q^k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q;q)_k}q^k\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a,e^{2i\phi}q^{-k};q)_j}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j}(\alpha e^{-i\phi}q^k)^j\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a;q)_k}{(q,\alpha te^{-i\phi},e^{-2i\phi}q;q)_k}q^k\frac{(\alpha e^{i\phi},\alpha bte^{-i\phi}q^k/a;q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha e^{-i\phi}q^k;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(\alpha e^{i\phi},\alpha bte^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}{(\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha e^{-i\phi};q)_{\infty}}\Q43{\alpha e^{-i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{e^{-2i\phi}q,\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{-i\phi}/a}q \end{align}
と計算でき, 第2項は $q$-Vandermondeの恒等式 を用いて,
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,bt/a,\beta e^{i\phi};q)_j(e^{-2i\phi};q)_{-j}}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a,\alpha te^{i\phi};q)_j}(\alpha e^{-i\phi})^j\\ &\qquad\cdot \Q32{\alpha te^{i(\phi-\theta)}q^j/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}q^j/a,\beta e^{i\phi}q^j}{\alpha te^{i\phi}q^j,e^{2i\phi}q^{j+1}}q\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a;q)_j(-\alpha e^{i\phi})^jq^{\binom{j}2}}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j}\\ &\qquad\cdot \sum_{0\leq k}\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\beta e^{i\phi};q)_{j+k}}{(e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi};q)_{j+k}(q;q)_k}q^{j+k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\beta e^{i\phi};q)_k}{(e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi};q)_k}q^k\sum_{0\leq j}\frac{(bt/a;q)_j(-\alpha e^{i\phi})^jq^{\binom{j}2}}{(q,\alpha bte^{i\phi}/a;q)_j(q;q)_{k-j}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\beta e^{i\phi};q)_k}{(e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi},q;q)_k}q^k\Q21{bt/a,q^{-k}}{\alpha bte^{i\phi}/a}{\alpha e^{i\phi}q^k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\beta e^{i\phi};q)_k}{(e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi},q;q)_k}q^k\frac{(\alpha e^{i\phi};q)_k}{(\alpha bte^{i\phi}/a;q)_k}\\ &=\Q43{\alpha e^{i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a}{e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a}q \end{align}
と計算できる. よってこれらを代入すると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha t/a)^n}{(q,\alpha\beta;q)_n}Q_n(x;a,b|q)Q_n(y;\alpha,\beta|q)\\ &=\frac{(\alpha e^{i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{-i\phi}/a;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a,e^{2i\phi};q)_{\infty}}\Q43{\alpha e^{-i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i(\theta-\phi)}/a,\alpha te^{-i(\theta+\phi)}/a}{e^{-2i\phi}q,\alpha te^{-i\phi},\alpha bte^{-i\phi}/a}q\\ &\qquad+\frac{(\alpha e^{-i\phi},\beta e^{-i\phi},\alpha te^{i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a;q)_{\infty}}{(\alpha\beta,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,e^{-2i\phi};q)_{\infty}}\Q43{\alpha e^{i\phi},\beta e^{i\phi},\alpha te^{i(\phi-\theta)}/a,\alpha te^{i(\phi+\theta)}/a}{e^{2i\phi}q,\alpha te^{i\phi},\alpha bte^{i\phi}/a}q \end{align}
となって示すべき等式が得られた.