位数p^4の群の分類

初めに

位数100までの群を, 同型を除き全て求めます. この記事では位数$p^4$の群を求めます. 使う定理は 準備記事 に乗ってるので、分からない場所があれば参照してください.

位数$p^4$

$G$を位数$p^4$の群とする. $G$が可換なら, 有限アーベル群の基本定理より, $G$は$C_{p^4},C_{p^3}\times C_p,C_{p^2}\times C_{p^2},C_{p^2}\times C_{p}\times C_p,(C_{p})^4$のいずれかに同型(であり, これら$5$つの群は非同型). 以下, $G$は非可換とする.
まず$G$としてありうる群を列挙し, その後これらが非同型なことを示す.
$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$とする.

群の列挙

このような部分群$H$をとり, 以下固定する. $H$は(up to isoでも)一意に定まらないことに注意せよ. nomalizer-grow より, $G\rnormal H$である.
$\alpha \in G\setminus H$を一つ取り, 固定する. $\phi\in \Aut(H)$を$\phi(h)=\alpha h\alpha^{-1}$で定める. $H$の可換性より, $\phi$は位数$p$の元となることがわかる^[1]. $\alpha^p=\beta\in H$とする. $\phi(\beta)=\beta$に留意せよ.
準備記事の定理12 にあるように, 上の条件を満たす$H,\phi,\beta$が決まると$G$が一意に決まる. よって, 上の条件を満たす$H,\phi,\beta$としてどのようなものがあるかを以下で考えていく.

$\alpha$を$\alpha^ih(h\in H)$で置き換えると, $\phi$は$\phi^i$に置き換わることに留意せよ.
$\widetilde{\phi}:H\to H$を$\widetilde{\phi}(h)=\displaystyle\prod_{i=0}^{p-1} \phi^i(h)$で定める. $H$の可換性より, $\prod$はどの順で計算してもよく, また$\widetilde{\phi}$は群準同型となる.
次の計算は何度も用いる:

$H$によって場合分けを行う. $H$側の生成元は$x,y$を用いて表す.

$H\iso C_{p^3}=\gen{x|x^{p^3}=1}$

$\phi(x)=x^a$, $\beta=x^b$と置く. $\phi$が位数$p$なので, $a^p\equiv 1\pmod{p^3},a\not\equiv 1\pmod{p^3}$である.　また, $\phi(\beta)=\beta$より, $b(a-1)\equiv 0\pmod{p^3}$である. $a$(と$p$)に応じて場合分けを行う.

$a\equiv 1\pmod{p^3}$

$a=1+p^2l$と置くと, 上の注意より$l\neq 0$. よって, $\alpha$を適当な冪に置き換えることで, $a=1+p^2$としてよい.
このとき, $b\equiv 0\pmod{p}$であり, 整数$n$に対し, $\widetilde{\phi}(x^n)=\pow\left(x, \begin{cases} pn & \text{if $p\neq2$} \\ 6n & \text{if $p=2$} \\ \end{cases}\right)$. よって,$p\neq 2$のときは
$b=pc$, $p=2$のときは$b=-pc$と置くと, 補題2より, $(\alpha x^{-c})^{p}=x^{b}\widetilde{\phi}(x^{-c})=1$となる. ゆえに, $\alpha$を$\alpha x^{-c}$に置き換えることで, $\beta=1,\phi=(h\mapsto \pow(h,1+p^2))$となる.

$a\equiv 3\pmod{p^3},p=2$

このとき, $b\equiv 0\pmod{4}$であり, 整数$n$に対し$\widetilde{\phi}(x^n)=x^{4n}$となる. よって, 上と同様にして$\beta=1,\phi=(h\mapsto \pow(h,3))$となる. この群には$\mathrm{SD}_{16}$という名前がついている.

$a\equiv 7\pmod{p^3},p=2$

このとき, $b\equiv 0\pmod{4}$となる. よって, $\beta=1\text{ or }x^4, \phi= (h\mapsto \pow(h,-1))$となる.
$b\equiv 0$のときはこの群は$D_8$と同型. $b\equiv 4$のときには, この群には$Q_{16}$という名前がついている.

$H\iso C_{p^2}\times C_p=\gen{x,y|x^{p^2}=y^p=[x,y]=1}$

もし, $\alpha$の位数が$p^3$なら, $H=\gen{\alpha}$と取り換えることで, 上の場合に帰着できる. ゆえに, $\alpha$の位数は$p^2$以下としてよい. 特に, $\beta$の位数は$p$以下.
位数$p^2$の群のAut より, $\End(H)=\begin{pmatrix} (\Z/p^2\Z)& (p\Z/p^2\Z) \\ (\Z/p\Z) & (\Z/p\Z) \\ \end{pmatrix},\Aut(H)=\begin{pmatrix} (\Z/p^2\Z)^{\times}& (p\Z/p^2\Z) \\ (\Z/p\Z) & (\Z/p\Z)^{\times} \\ \end{pmatrix}$である. この群の位数$p$の部分群を, 共役を除いて求める(共役は$x,y$の取り換えに対応し, $g$を$g^i$に置き換えるのは$\alpha$を$\alpha^i$に取り換えるのに対応する):

$\gen{\phi}$は位数$\Aut(H)$の位数$p$の部分群. よって, 必要に応じて, $\alpha$を$\alpha^i$に取り換えることで, $\phi$は$(\ast)$にあるいずれかの行列と等しいとしてよい. $\beta$は位数$p$なので, $\beta=x^{sp}y^t$と置ける.
$\phi$ごとに場合分けをする.

$\phi=\begin{pmatrix} 1+p & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix},p\neq 2$のとき

このとき, $\widetilde{\phi}=\begin{pmatrix} p+\frac{p(p-1)}{2}p & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p& 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\in \End(H)$. よって, 補題$2$より$\alpha$を$\alpha x^{-s}$に取り換えることで, $s=0$とできる.
もし$t\not\equiv 0\pmod{p}$なら, $y$を$y^t$に置き換えることで, ($\phi$を変えずに)$t=1$とできる.
よって, $\beta=1,y$の2パターン. のちのためにこの群を言い換える:
$\beta=1$のとき, $G=\gen{\alpha,H|\alpha^p=1,\alpha x\alpha^{-1}=x^{1+p},[\alpha,y]=1}$となる. よって, $G=\gen{\alpha,x}\times \gen{y}\iso (\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$($\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$)となる.
$\beta=y$のとき, $G=\gen{\alpha,H|\alpha^p=y,\alpha x\alpha^{-1}=x^{1+p},[\alpha,y]=1}$となる. よって, $G=\semiprod{\gen{\alpha}}{}{\gen{x}}\iso \semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$($\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$)となる.

$\phi=\begin{pmatrix} 1+p & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix},p= 2$のとき

もし$\beta=x^2y$なら, $x^2y$を$y$と置きなおすことで, ($\phi$を変えずに)$\beta=y$とできる.
よって, $\beta=1,y,x^2$の3パターン. のちのためにこの群を言い換える:
上と同様にして, $\beta=1$のとき, $G=\gen{\alpha,x}\times \gen{y}\iso (\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$($\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$),
$\beta=x^2$のとき, $G=\gen{\alpha,x}\times \gen{y}\iso Q_8\times C_2$,
$\beta=y$のとき, $G=\semiprod{\gen{\alpha}}{}{\gen{x}}\iso\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$($\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$)がわかる.

$\phi=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}$のとき

このとき, $\widetilde{\phi}=\begin{pmatrix} p & 0\\ \com{p}{2} & 0\\ \end{pmatrix}$. よって,$\alpha$を$\alpha x^{-s}$に置き換えて, $s=0$としてよい.
$t\not\equiv 0\pmod{p}$とする. $x,y$を$x^t,y^t$に置き換えて($\phi$を変えずに)$t=1$とできる. このとき, $G=\gen{\alpha,H|\alpha^p=y,\alpha x\alpha^{-1}=xy,[\alpha,y]=1}$である. とくに, $x^{-1}\alpha x=y\alpha=y^{1+p}$. よって, $G=\semiprod{\gen{x^{-1}}}{}{\gen{\alpha}}\iso \semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$,($\psi(x^{-1})(\alpha)=\alpha^{1+p}$)となり,これは上で見た群と同型.
よって, $t\equiv 0$のときのみ考えればよく, $\beta=1$の1パターン.
このとき, $G=\gen{\alpha,H|\alpha^p=1,\alpha x\alpha^{-1}=xy,[\alpha,y]=1}$であり, とくに, $x^{-1}\alpha x=y\alpha$. よって, $G=\semiprod{\gen{x^{-1}}}{}{\gen{y,\alpha}}\iso \semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$($\psi(x^{-1})(y)=y,\psi(x^{-1})(\alpha)=y\alpha$)となる.

$\phi=\begin{pmatrix} 1 & p\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$のとき

$\phi(\beta)=\beta$より, $t\equiv 0\pmod{p}$がわかる. また, $\widetilde{\phi}=\begin{pmatrix} p & \frac{p(p-1)}{2}p\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ なので, $\alpha$を$\alpha y^{-s}$に置き換えて, $\beta=1$とできる.
よって, $\beta=1$の1パターンのみ.

$\phi=\begin{pmatrix} 1 & p\\ v & 1\\ \end{pmatrix},v\in\{1,u\},p\neq 2$のとき

$\phi(\beta)=\beta$より, $t\equiv 0\pmod{p}$がわかる. また, 補題4より, $\widetilde{\phi}=\begin{pmatrix} p(1+\com{p}{3}v) & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$となる. ゆえに, $p=3,v\equiv 2$の場合を除いて, $\alpha$を適当に置き換えることで$\beta=1$とできる. よって, この場合は1パターンのみ.
$p=3,v\equiv 2$とする. もし, $\beta=x^6$なら, $x,y$を$x^{-1},y^{-1}$に置き換えることで, ($\phi$を変えずに) $\beta=x^3$とできる. よって, $p=3,v\equiv 2$のときは$\beta=1,x^3$の2パターン.

$H\iso C_{p}\times C_p\times C_p=\gen{x,y,z|x^p=y^p=z^p=[x,y]=[x,z]=[y,z]=1}$

このとき, $\Aut(H)=\GL_{3}(\F_p)$. Jordan標準形の理論より, $\Aut(H)$の位数$p$の元は, 以下のどちらかの元と共役:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (後者は$p\neq 2$のときのみ必要. )
それぞれの場合に応じて場合分けを行う:

$\phi=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$のとき

$\phi(\beta)=\beta$より, $\beta=x^sz^t$と書ける. $\phi(x)=x,\phi(z)=z$と合わせて, $H'=\gen{\alpha,x,z}$は位数$p^3$のアーベル群となる. もし$\beta\neq 1$なら, $H'\iso C_{p^2}\times C_p$なので, $G$は上の節で見た群と同型になる. よって, $\beta=1$としてよい.
このとき, $G=\gen{\alpha,x,y}\times\gen{z} \iso U_3(\mathbb{F}_p)\times C_p$となる. とくに, $p=2$なら, $G=D_4\times C_2$となり, これは上で見た群と同型になる.
よって, $p\neq 2$のときのみ, $\beta=1$の1パターンある.

$\phi=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},p\neq 2$のとき

$\phi(\beta)=\beta$より, $\beta=x^s$と書ける.
$p=3$のとき, $\widetilde{\phi}=1+\phi+\phi^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となる. よって, 適当に$\alpha$を置き換えることで, $\beta=x$とできる. ^[3]
$p\neq 3$とする. もし$s\not\equiv 0\pmod{p}$なら, $x,y,z$を$x^s,y^s,z^s$に置き換えることで, $\beta=x$とできる. よって, $\beta=1,x$の2パターン.

まとめ

ここまでの議論をまとめると, 位数$p^4$の群は次のいずれかと同型:
可換群は$C_{p^4},C_{p^3}\times C_p,C_{p^2}\times C_{p^2},C_{p^2}\times C_{p}\times C_p,(C_{p})^4$.

非可換群を列挙する. 基本的に群を巡回群の半直積として表している. 一番左側の巡回群の生成元を$\alpha$で表し, 以下左から$x,y,z$と生成元に名前を割り振る.

$H=C_{p^3}$のときの非可換群は,

• $\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^3}}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,{1+p^2})$
• $SD_{16}:=\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,3),p=2$
• $D_8=\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,-1),p=2$
• $Q_{16}:=\gen{\alpha,x|x^8=1,\alpha^2=x^4,\alpha x\alpha^{-1}=x^{-1}},p=2$

となり, $p=2$のとき$4$個, $p\neq 2$のとき$1$個.
$H=C_{p^2}\times C_p$のときの非可換群は,

• $(\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $Q_8\times C_2=\gen{\alpha,x|x^4=1,\alpha^2=x^2,\alpha x\alpha^{-1}=x^3}\times \gen{y|y^2=1},p=2$
• $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=x^py$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=xy,\psi(\alpha)(y)=x^py,p\neq 2$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=xy^u,\psi(\alpha)(y)=x^py,p\neq 2$.
• $C_p.(C_{p^2}\times C_p):=\gen{\alpha,x,y|x^9=y^3=[x,y]=1,\alpha^3=x^3,\alpha x\alpha^{-1}=xy^2,\alpha y \alpha^{-1}=x^3y},p=3.$

となり, $p=2$のとき$5$個, $p=3$のとき$7$個, $p\neq 2,3$のとき$6$個.
$H=C_p\times C_p\times C_p$のときの非可換群は,

• $U_3(\mathbb{F}_p)\times C_p=(\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p)})\times C_p$, $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy,p\neq 2$.
• $C_p.(C_p\times C_p\times C_p):=\gen{\alpha,x,y,z|x^p=y^p=z^p=1,\alpha^{p}=x,[x,y]=[x,z]=[y,z]=[\alpha,x]=1,\alpha y\alpha^{-1}=yx,\alpha z \alpha^{-1}=zx},p\neq 2$
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p\times C_p)}$ $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy,\psi(\alpha)(z)=yz,p\neq 2,3$

となり, $p=2$のとき$0$個, $p=3$のとき$2$個,$p\neq 2,3$のとき$3$個.

群の非同型性

上に挙げた非可換群が非同型であることを示す. 群$G$に対し, そのexponent$e(G)$を$\forall g\in G, g^n=1$となる最小の正の整数$n$として定める.

$e(G)=p^3$のとき

このような群は,

• $\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^3}}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,{1+p^2})$
• $\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,3),p=2$
• $D_8=\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,-1),p=2$
• $Q_{16}:=\gen{\alpha,x|x^8=1,\alpha^2=x^4,\alpha x\alpha^{-1}=x^{-1}},p=2$

のみである. $p=2$のときのみに非同型性を示せばよい. これは, 位数$2$の元が, 上から

• $x^4,\alpha,\alpha x^4$の$3$個
• $x^4,\alpha,\alpha x^2,\alpha x^4,\alpha x^6$の$5$個
• $x^4,\alpha x^i(i=0,1,\cdots 7)$の$9$個
• $x^4$の$1$個
  となることから従う.

$e(G)=p^2$のとき

このような群は,

• $(\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $SD_{16}:=\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $Q_8\times C_2=\gen{\alpha,x|x^4=1,\alpha^2=x^2,\alpha x\alpha^{-1}=x^3}\times \gen{y|y^2=1},p=2$
• $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy$.
• $\semiprod{C_p}{\psi_0}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi_0(\alpha)(x)=x,\psi_0(\alpha)(y)=x^py$.
• $\semiprod{C_p}{\psi_1}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi_1(\alpha)(x)=xy,\psi_1(\alpha)(y)=x^py,p\neq 2$.
• $\semiprod{C_p}{\psi_u}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi_u(\alpha)(x)=xy^u,\psi_u(\alpha)(y)=x^py,p\neq 2$.
• $C_p.(C_{p^2}\times C_p):=\gen{\alpha,x,y|x^9=y^3=[x,y]=1,\alpha^3=x^3,\alpha x\alpha^{-1}=xy^2,\alpha y \alpha^{-1}=x^3y},p=3.$
• $C_p.(C_p\times C_p\times C_p):=\gen{\alpha,x,y,z|x^p=y^p=z^p=1,\alpha^{p}=x,[x,y]=[x,z]=[y,z]=[\alpha,x]=1,\alpha y\alpha^{-1}=yx,\alpha z \alpha^{-1}=zx},p\neq 2$
  のみである. ($H=C_p\times C_p\times C_p$のケースも1つ含むことに注意.) (補題2などをつかうことで,これらの群のexponentが$p^2$であることが確かめられる.)
  このような群$G$に対し, $[G,G],G^{ab}$および$Z(G)$を求める:
  ($G^{\mathrm{ab}}$はアーベル群なので, $C_n\times C_m\times \cdots$と表せる. この添え字部分のみを表に書いている;例えば上から2番目の$p^2,p$は$C_{p^2}\times C_p$を表す)

  $p$	$G$	$[G,G]$	$G^{\mathrm{ab}}$	$Z(G)$
  	$(\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$	$ \gen{x^p}$	$p,p,p$	$\gen{x^p,y}$
  	$\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$	$\gen{x^p}$	$p^2,p$	$\gen{\alpha^p,x^p}$
  $p=2$	$Q_8\times C_2$	$\gen{\alpha^2}$	$p,p,p$	$ \gen{\alpha^2,y}$
  	$\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$	$\gen{x}$	$p^2,p$	$\gen{\alpha^p,x}$
  	$\semiprod{C_p}{\psi_0}{(C_{p^2}\times C_p)}$	$\gen{x^p}$	$p,p,p$	$\gen{x}$
  $p\neq 2$	$\semiprod{C_p}{\psi_1}{(C_{p^2}\times C_p)}$	$\gen{x^p,y}$	$p,p$	$\gen{x^p}$
  $p\neq 2$	$\semiprod{C_p}{\psi_u}{(C_{p^2}\times C_p)}$	$\gen{x^p,y}$	$p,p$	$\gen{x^p}$
  $p=3$	$C_p.(C_{p^2}\times C_p)$	$\gen{x^p,y}$	$p,p$	$\gen{x^p}$
  $p\neq2$	$C_p.(C_p\times C_p\times C_p)$	$\gen{x,y}$	$p,p$	$\gen{x}$

  $G^{\mathrm{ab}}$の同型類で場合分けを行う.

$G^{\mathrm{ab}}\iso C_p\times C_p\times C_p$のとき

上の表よりありうるのは, $\semiprod{C_p}{\psi_0}{(C_{p^2}\times C_p)}$, $Q_8\times C_2$, $\semiprod{C_p}{\psi_0}{(C_{p^2}\times C_p)}$の$3$種類. 前二つと後一つは, $Z(G)$をみることで区別できる.
また, $p=2$のとき, $(\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p\iso D_4\times C_2$と$Q_8\times C_2$は, 位数$2$の元の個数をみることで区別できる. (前者は$11$個, 後者は$3$個)

$G^{\mathrm{ab}}\iso C_{p^2}\times C_p$のとき

上の表よりありうるのは, $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$,$\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$の$2$種類. これらは, $\{g^p|g\in G\}\supset Z(G)$かどうかで区別ができる. ($G=\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$のとき, 右辺には$x$が属するが, 左辺には属さない.)

$G^{\mathrm{ab}}\iso C_{p}\times C_p$のとき

上の表より, このとき$p\neq 2$となり,群としてありうるのは$\semiprod{C_p}{\psi_1}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\semiprod{C_p}{\psi_u}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$C_p.(C_{p^2}\times C_p)$,$C_p.(C_p\times C_p\times C_p)$ の$4$種類.
前三つと後一つは, $C_{p^2}\times C_p$の形の部分群をもつかで区別できる:

以下, 前三つの群が非同型なことを示す. $p$で場合分けを行う.

• $p=3$
  位数$p$以下の元の個数をみればよい. 実際,
  $\semiprod{C_p}{\psi_1}{(C_{p^2}\times C_p)}$の位数$3$以下の元は, $\gen{x^3,y},\alpha \gen{x^3,y},\alpha^2 \gen{x^3,y}$の$27$個.
  $\semiprod{C_p}{\psi_u}{(C_{p^2}\times C_p)}$の位数$3$以下の元は, $\gen{x^3,y},\alpha \gen{x,y},\alpha^2 \gen{x,y}$の$63$個.
  $C_p.(C_{p^2}\times C_p)$の位数$3$以下の元は, $\gen{x^3,y}$の$9$個.
  となる.
  (先に計算したように, $\widetilde{\psi_1}=\begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix},\widetilde{\psi_u}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$である. これと補題2を合わせると計算できる)
• $p>3$
  $G_v:=\semiprod{C_p}{\psi_v}{(C_{p^2}\times C_p)},v\in\{1,u\}$とする. まず$G_v$の性質を調べていく:
  先に計算したように, $\widetilde{\psi_v}=\begin{pmatrix} p & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p & 0\\ 0 & p\\ \end{pmatrix}$である. よって, 補題2より, $z\in \gen{x,y}$のとき, $(\alpha^iz)^p=z^p$がわかる.^[4] よって, $\{g\in G_v|g^p=1\}=\gen{\alpha,x^p,y}$となる.
  群同型$f:G_1\to G_u$の存在を仮定して矛盾を導く.
  $Z(G_v)=\gen{x^p}$なので, $f(x^p)=x^{ip}$, $i\not\equiv 0\pmod{p}$と書ける.
  $\{g\in G_v|g^p=1\}=\gen{\alpha,x^p,y}$より, $f(\alpha)\in \gen{\alpha,x^p,y}$. よって, $f(\alpha)\in \alpha^j\gen{x^p,y}$と書ける.
  $f(x)^p=f(x^p)=x^{ip}$より, $f(x)\in x^i\gen{\alpha,x^p,y}$である.
  $[\alpha,x^p]=[x^p,y]=1,[\alpha,y]=x^p$なので, $[f(\alpha),f(x)]\in [\alpha,x]^{ij}\gen{x^p}[G,[G,G]]=y^{iju}\gen{x^p}$^[5]となる.
  $x^p\in Z(G)$なので, $[f(\alpha),[f(\alpha),f(x)]]=[f(\alpha),y^{iju}]=\pow(x,ij^2up)$.
  一方, $G_1$において, $[\alpha,[\alpha,x]]=[\alpha,y]=x^p$なので, $[f(\alpha),[f(\alpha),f(x)]]=f(x^p)=x^{ip}$. よって, $ij^2u\equiv i\pmod{p}$となるが, これは$u$が平方非剰余なことに矛盾する.

$e(G)=p$のとき

このような群は,

• $U_3(\mathbb{F}_p)\times C_p=(\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p)})\times C_p$, $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy,p\neq 2$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p\times C_p)}$ $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy,\psi(\alpha)(z)=yz,p\neq 2,3$

の計$2$個. $Z(U_3(\mathbb{F}_p)\times C_p)=\gen{x,z}$だが, $Z(\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p\times C_p)})=\gen{x}$なので, この群は非同型.

まとめ

よって, $p$によらない群として,

• $C_{p^4}$
• $C_{p^3}\times C_p$
• $C_{p^2}\times C_{p^2}$
• $C_{p^2}\times C_{p}\times C_p$
• $C_{p}\times C_p\times C_p\times C_p$
• $\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^3}}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,{1+p^2})$
• $(\semiprod{C_p}{\psi}{C_{p^2}})\times C_p$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{C_{p^2}}$,$\psi(\alpha)(x)=x^{1+p}$
• $\semiprod{C_{p^2}}{\psi}{(C_p\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=x^py$.

の$10$個.
$p=2$のときは, 追加で

• $\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,3),p=2$
• $D_8=\semiprod{C_2}{\psi}{C_8}$,$\psi(\alpha)(x)=\pow(x,-1),p=2$
• $Q_{16}:=\gen{\alpha,x|x^8=1,\alpha^2=x^4,\alpha x\alpha^{-1}=x^{-1}},p=2$
• $Q_8\times C_2,p=2$

の$4$つがあり, 計$14$個.
$p\neq 2$のときは, 追加で

• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=xy,\psi(\alpha)(y)=x^py$.
• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_{p^2}\times C_p)}$,$\psi(\alpha)(x)=xy^u,\psi(\alpha)(y)=x^py$.
• $U_3(\mathbb{F}_p)\times C_p=(\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p)})\times C_p$, $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy$.
• $C_p.(C_p\times C_p\times C_p):=\gen{\alpha,x,y,z|x^p=y^p=z^p=1,\alpha^{p}=x,[x,y]=[x,z]=[y,z]=[\alpha,x]=1,\alpha y\alpha^{-1}=yx,\alpha z \alpha^{-1}=zx}$

の$4$つがあり, $p=3$のときはさらに

• $C_p.(C_{p^2}\times C_p):=\gen{\alpha,x,y|x^9=y^3=[x,y]=1,\alpha^3=x^3,\alpha x\alpha^{-1}=xy^2,\alpha y \alpha^{-1}=x^3y}$

$p\neq 3$のときはさらに

• $\semiprod{C_p}{\psi}{(C_p\times C_p\times C_p)}$ $\psi(\alpha)(x)=x,\psi(\alpha)(y)=xy,\psi(\alpha)(z)=yz$

があるので, 計$15$個.

参考文献

https://arxiv.org/pdf/1611.00461 :この記事と大体同じ方針で, 位数$p^4$($p$:奇素数)の群の分類をしています. 細かい計算の参考にしました.
https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/ :位数$600$までの群とその基本的な性質が列挙されてます. 位数$16,81$の結果が, この記事と矛盾しないことを確認しました.