連載 グラフアートを描こう 第10回 円の方程式

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イントロダクション

この記事は、「連載 グラフアートを描こう」の第10回です。
第1回 、 第2回 、 第3回 、 第4回 、 第5回 、 第6回 、 第7回 、 第8回 、 第9回 を読んでいない人はそちらから読んでいただくとより理解が深まります。

本編

実験

今回は、円について考えます。

円とはどのような図形でしょうか。

円の上に乗っている点は、すべて中心からの距離が等しいです。

$原点を中心とし半径が\hspace{1mm}5\hspace{1mm}の円の上にある3点$

たとえば、これらの3点$A, B, C$は、すべて原点からの距離が$ 5 $です。$ B $と$ C $に関しては三平方の定理で確かめることができますね。

逆に、中心からの距離が等しい点は、同じ円の上に乗っているといえます。たとえば、次の4点を考えます:

座標平面上の4点

これらの4点は、点$ \left(\frac{1}{14}, \frac{5}{14} \right) $からの距離がすべて$ \frac{\sqrt{2210}}{14} $と等しくなることが知られています。不思議ですね。

そのため、これらの4点は、中心が点$ \left(\frac{1}{14}, \frac{5}{14} \right) $で半径が$ \frac{\sqrt{2210}}{14} $の円の上に乗ります。

$中心が点\hspace{1mm}\left(\frac{1}{14}, \frac{5}{14} \right)\hspace{1mm}で半径が\hspace{1mm}\frac{\sqrt{2210}}{14}\hspace{1mm}の円$

式の構成

では、これらのことを式にしてみましょう。
そのためには、三平方の定理を使います。

点$ (a, b) $と点$ (c, d) $の距離は$ \sqrt{(c - a)^2 + (d - b)^2} $と表せるので、
点$ (a, b) $を中心とする半径$ r $の円は、

$$ \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 } = r $$

あるいはこの両辺を2乗して、

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

と表されます。教科書にはこの形で書かれていることがほとんどですね。

たとえば、$ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 $のグラフは、中心が$ (2, -1) $で半径が$ 3 $の円になります。

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2\hspace{1mm}のグラフ$

さて、次は平行移動・・・といきたいところですが、実はこの式はすでに平行移動を含んでいます。

実際、原点を中心とする半径$ r $の円は
$$ x^2 + y^2 = r^2 $$
で、点$ (a, b) $を中心とする半径$ r $の円は
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$
なので、たしかに「平行移動させた」形になっていますね。

楕円

円を縦横で違う倍率に拡大させると楕円になります。

$原点を中心とする半径\hspace{1mm}1\hspace{1mm}の円$

このグラフに対応する数式は、
$$ x^2 + y^2 = 1 $$
です。

これを、横に$ 2 $倍、縦に$ 1.5 $倍に拡大してみましょう。

$円を縦\hspace{1mm}2\hspace{1mm}倍、横\hspace{1mm}1.5\hspace{1mm}倍に引き伸ばした$

数式は、

$$ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{1.5}\right)^2 = 1 $$

となります。

数学Ⅲで見る形ですね。

次回予告

ここまでで、いろいろな線がひととおり描けるようになって、グラフアートの素材がそろってきました。
ここからは、グラフアートを描くのに便利なDesmos特有の機能について紹介したいと思います。
第11回 は、「グラフのパラメータ調整」です。

免責事項

可能な限り連載を続けるようにしますが、作者失踪などで連載が中断する可能性もあります。連載が中断したことによる読者への不利益に関して、作者は一切の責任を負いません。

おことわり：次回は特に更新までの時間が長くなるかもしれません。4月までには書き上げられると思います。